Z Skrypty dla studentów Ekonofizyki UPGOW
Spis treści
|
Funkcje - podstawowe własności
Funkcja jest jednym z podstawowych pojęć w matematyce. W trakcie tego wykładu przybliżymy pojęcie funkcji, omówimy jej podstawowe własności, podamy przykłady najczęściej używanych funkcji, a zakończymy wprowadzeniem określenia granicy i ciągłości funkcji. Będziemy rozważać jedynie funkcje określone i mające wartości w zbiorach liczbowych.
Pojęcie funkcji
Funkcją lub inaczej, odwzorowaniem zbioru \(X\) w zbiór \(Y\) nazywamy przyporządkowanie każdemu elementowi ze zbioru \(X\) jednego elementu ze zbioru \(Y\). \[f\ \colon\ X \to Y\] Zbiór \(X\) nazywamy dziedziną funkcji, a zbiór \(Y\) to zbiór wartości funkcji, nazywany także przeciwdziedziną.
Zwróćmy uwagę na to, że każdemu elementowi ze zbioru \(X\) (każdemu elementowi dziedziny funkcji) funkcja przyporządkowuje dokładnie jeden element przeciwdziedziny (zbioru wartości funkcji \(Y\)). Funkcja jest więc relacją prawostronnie jednoznaczną. Ponadto różnym wartościom \(x \in X\) mogą być przyporządkowane takie same wartości \(y\), co znaczy tyle, że dla poprawnego określenia funkcji nie jest wymagana lewostronna jednoznaczność.
Schematyczne przedstawienie funkcji znajduje się na Rys. 1.
Prawostronna jednoznaczność jest niezbędnie konieczna aby można było zdefiniować poprawnie funkcję. Widać to dobrze w przypadku funkcji zdefiniowanej następującym przepisem słownym: Godzinie 12:00 przyporządkuj temperaturę zmierzoną w Katowicach (podobnie dla kolejnych dni). Ta funkcja jest zdefiniowana poprawnie, ponieważ o godzinie 12-tej zmierzymy jedną (i tylko jedną) wartość temperatury. Oczywiście gdyby wymaganie prawostronnej jednoznaczności nie było spełnione to o godz. 12:00 mielibyśmy np. 3 różne wartości temperatury, co jest "bez sensu", ponieważ na termometrze odczytujemy jedną wartość temperatury.
Wykres jest graficznym przestawieniem funkcji \(f\) w układzie współrzędnych. Najczęściej stosowanym układem współrzędnych jest układ prostokątny, nazywany też kartezjańskim. Tworzą go dwie osie: pozioma oś odciętych \(x\) oraz pionowa oś \(y\) (oś rzędnych) narysowane na płaszczyźnie utworzonej przez iloczyn kartezjański dwóch zbiorów liczb rzeczywistych. Wykres funkcji \(y = f(x)\) jest zbiorem punktów \(\{(x,y): x \in X, y = f(x)\}\).
Przykładowy wykres funkcji znajduje się na rysunku Rys 2
Zazwyczaj funkcję określamy przy pomocy wzoru \(y = f(x)\). Np.
- \(y = f(x) = x^2\), funkcja kwadratowa,
- \(y = \sin x\), funkcja trygonometryczna \(sinus\).
W tym wykładzie będziemy używać określenia funkcji wzorem, ale nie zawsze jest to możliwe. W przypadku gdy nie nie można podać funkcji wzorem posługujemy się tabelą lub przepisem słownym. Przyporządkowanie kolejnemu rokowi studiów pierwszego stopnia liczby studentów może być przykładem zdefiniowania funkcji przy pomocy tabeli:
| \(x\) (rok studiów) | 1 | 2 | 3 |
| \(y\) (liczba studentów) | 86 | 58 | 33 |
Zdefiniowaniem funkcji przepisem słownym było przyporządkowanie godzinie 12-tej temperatury zmierzonej w Katowicach. Innym przykładem jest: każdej liczbie naturalnej \(x\) przyporządkuj jej odwrotność \(y\). Oczywiście tak zdefiniowana funkcja \(y(x)\) może być podana zarówno wzorem \(y(x)=1/x\), jak i przy pomocy tabeli
| \(x\) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | \(\ldots\) |
| \(y\) | 1 | \(\frac{1}{2}\) | \(\frac{1}{3}\) | \(\frac{1}{4}\) | \(\frac{1}{5}\) | \(\ldots\) |
Teraz omówimy ogólne własności funkcji.
Różnowartościowość
Funkcja \(y=f(x)\) jest różnowartościowa w przedziale \((a,b)\) jeżeli
\[\begin{aligned} \bigwedge_{x_1,x_2 \in (a,b)} (x_1 \neq x_2) \Rightarrow f(x_1) \neq f(x_2).\nonumber\end{aligned}\]
Np. funkcja kwadratowa \(f(x)=x^2\) jest różnowartościowa dla \(x \in [0,\infty )\), a także dla \(x \in (-\infty ,0]\). Natomiast nie jest różnowartościowa dla \(x \in (- \infty, \infty)\), ponieważ np. dla wartości \(x_1=2\) i \(x_2=-2, (x_1 \neq x_2)\) otrzymujemy \(f(x_1) = f(x_2) = 4\).
Monotoniczność
Znalezienie przedziałów monotoniczności funkcji to inaczej znalezienie przedziałów w których funkcja jest rosnąca (Rys. 3a) bądź malejąca (Rys. 3b). Funkcja \(y = f(x)\) jest rosnąca (gdy rośnie argument funkcji to i wartości funkcji rosną) w przedziale \((a,b)\) jeżeli
\[\begin{aligned} \bigwedge_{x_1,x_2 \in (a,b)} (x_1 < x_2) \Rightarrow f(x_1) < f(x_2).\nonumber\end{aligned}\]
Podobnie (inny znak nierówności) funkcja \(y = f(x)\) jest malejąca (gdy argumenty funkcji maleją to wartości funkcji rosną) przedziale \((a,b)\) jeżeli
\[\begin{aligned} \bigwedge_{x_1,x_2 \in (a,b)} (x_1 < x_2) \Rightarrow f(x_1) > f(x_2).\nonumber\end{aligned}\]
Funkcja \(y = f(x)\) jest stała w przedziale \((a,b)\) jeżeli
\[\begin{aligned} \bigwedge_{x \in (a,b)} f(x) =c, \nonumber\end{aligned}\]
gdzie \(c\) jest wartością stałą, czyli niezależną od \(x\) (Rys. 3c).
Jak przekonamy się w dalszej części wykładu, badanie monotoniczności nie jest zadaniem trudnym jeżeli wykorzystamy pochodną funkcji.
Funkcja odwrotna
Jeżeli funkcja \(y = f(x)\) jest różnowartościowa w przedziale \([a,b]\), a \([f(a),f(b)]\) jest zbiorem wartości funkcji \(f(x)\), wtedy funkcja \(x = f^{-1}(y)\) jest funkcją odwrotną do funkcji \(f(x)\) jeżeli każdemu \(y_0 \in [f(a),f(b)]\) przyporządkowany jest \(x_0 \in [a,b]\) taki że \(y_0 = f(x_0)\).
Zauważmy, że argumentem funkcji odwrotnej \(x = f^{-1}(y)\) jest \(y\), który należy do zbioru wartości funkcji \(f(x)\). Funkcja \(f(x)\) i funkcja odwrotna \(f^{-1}(y)\) mają taki sam wykres, ale w układach współrzędnych w których osie są zamienione miejscami: dla funkcji odwrotnej oś \(y\) jest osią odciętych. Rozpatrywanie wykresu w takich współrzędnych jest kłopotliwe, dlatego dla wygody dokonujemy zamiany współrzędnych \(x \leftrightarrow y\). Wtedy wykresy obu funkcji, \(f(x)\) i \(f^{-1}(x)\) mogą być przedstawione w tym samym układzie współrzędnych z osią odciętych \(x\) gdzie osią symetrii ich wykresów jest prosta \(y = x\).
Zobaczymy to na przykładzie funkcji \(y = f(x) = x^2\), która jak pamiętamy jest różnowartościowa dla \(x \in [0,\infty )\). Dlatego w tym przedziale argumentów możemy utworzyć funkcję odwrotną \(x = \sqrt y, y \in [0, \infty )\). Po zamianie zmiennych \(x \leftrightarrow y\) funkcją odwrotną dla funkcji \(y = x^2\) jest funkcja \(y = \sqrt x\). Patrz Rys. 4.
Jak widać obie funkcje \(y = x^2\) oraz \(y = \sqrt x\) są rosnące. Nie jest to przypadek. Można udowodnić, że monotoniczność funkcji i funkcji do niej odwrotnej jest taka sama.
Funkcja złożona
Jeżeli \(w = g(x), x \in X, w \in W\), a \(y = h(w), w \in W, y \in Y\) to funkcje \(g\) i \(h\) przyporządkowują \(x \in X\) dokładnie jeden \(y \in Y\) i tym samym określają nową funkcję \(h(g(x))\). Funkcja \(h\) jest funkcją złożoną. Funkcję \(g\) nazywamy funkcją wewnętrzną, a funkcję \(h\) funkcją zewnętrzną. Czasami zamiast oznaczenia \(h(g(x))\) można spotkać \(h \circ g\). Ilustrację graficzną funkcji złożonej przedstawia Rys. 5.
Przykładem funkcji złożonej może być \( y = \sin{x^2} \), w której \(w = g(x) = x^2\) jest funkcją wewnętrzną (podniesienie do kwadratu), a \(h(w) = h(x^2) = \sin x^2 \) jest funkcją zewnętrzną (obliczenie sinusa). Dziedziną tej funkcji jest zbiór liczb rzeczywistych \(\mathbb{R}\).
Można tworzyć funkcje wielokrotnie złożone, np. \(y = \sqrt {\sin x^2}\) (Rys. 5a), gdzie do złożenia dwóch funkcji z poprzedniego przykładu dodaliśmy obliczenie pierwiastka. Natomiast funkcja \(y = \ln\sqrt {\sin x^2}\) jest funkcją czterokrotnie złożoną. Oczywiście na każdym etapie tworzenia funkcji złożonej należy określić dziedzinę.
Funkcja okresowa
Funkcja \(y = f(x)\) jest funkcją okresową jeżeli istnieje liczba \(k \neq 0 \in \mathbb{R}\) taka że (\(D\) oznacza dziedzinę funkcji \(y\))
\[\begin{aligned} \bigwedge_{x \in D}\ f(x) = f(x+k),\nonumber\end{aligned}\]
przy czym najmniejszą z dodatnich liczb \(k\) nazywamy okresem podstawowym funkcji. Funkcjami okresowymi są funkcje trygonometryczne, które będą omawiane w dalszej części wykładu. Tutaj ograniczymy się do podania jednego przykładu funkcji okresowej \( f(x) = \sin{x} \), której okresem podstawowym (lub w skrócie okresem) jest \(k = 2\pi\), ponieważ
\[\begin{aligned} \bigwedge_{x \in \mathbb{R}}\ \sin{x} = \sin{(x + 2\pi)}.\nonumber\end{aligned}\]
Przykład funkcji okresowej znajduje się na rysunku Rys. 6
Parzystość funkcji
Funkcja może posiadać własność parzystości lub nieparzystości, które zapisujemy następująco:
\[ y = f(x) \text{ jest parzysta }\Leftrightarrow \bigwedge_{x \in D} f(-x) = f(x),\] \[ y = f(x) \text{ jest nieparzysta }\Leftrightarrow \bigwedge_{x \in D} f(-x) = -f(x).\]
Przykładem funkcji parzystej może być \(f(x) = x^2\), ponieważ \(f(-x) = (-x)^2 = x^2\). Wykres funkcji parzystej (Rys. 7a) jest symetryczny względem prostej \(x = 0\). Natomiast funkcja \(f(x) = x^3\) jest nieparzysta, bowiem \(f(-x) = (-x)^3 = -x^3\). Wykres funkcji nieparzystej (Rys. 7b) jest symetryczny względem początku układu współrzędnych - punkt \((0,0)\).
Należy zauważyć, że są funkcje które nie posiadają określonej parzystości bądź nieparzystości.
Przegląd najważniejszych funkcji jednej zmiennej rzeczywistej
Funkcja wielomianowa
Wielomianem \(W(x)\) stopnia \(n\) nazywamy funkcję postaci
\[\begin{aligned} W(x) = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + ... + a_{n-a} x^{n-1} + a_n x^n,\nonumber\end{aligned}\]
gdzie \(x \in \mathbb{R}\), \(a_0,...,a_n \in \mathbb{R}\), \(a_n \neq 0\) oraz \(n \in \mathbb{N} \cup \{0\}\).
Liczba \(x_0\) jest miejscem zerowym wielomianu (inaczej pierwiastkiem wielomianu) \(W(x)\) jeżeli \(W(x_0) = 0\). Można udowodnić bardzo ważne twierdzenie: wielomian stopnia \(n\) posiada \(n\) pierwiastków w zbiorze liczb zespolonych. Nasz wykład dotyczy obecnie liczb rzeczywistych i dlatego to ważne twierdzenie musimy nieco zmodyfikować: wielomian stopnia \(n\) ma co najwyżej \(n\) pierwiastków rzeczywistych.
Przykładami wielomianów najniższych stopni są dobrze nam znane funkcje:
- \(n = 0, W(x) = a_0\), funkcja stała (\(y = c\)),
- \(n = 1, W(x) = a_0 + a_1 x\), funkcja liniowa (\(y = ax + b\)),
- \(n = 2, W(x) = a_0 + a_1 x + a_2 x^2\), funkcja kwadratowa (\(y = ax^2 + bx + c\)).
Funkcja wymierna
W wyniku podzielenia dwóch wielomianów \(W_1(x)\) i \(W_2(x)\) otrzymujemy funkcję wymierną
\[\begin{aligned} f(x) = \frac{W_1(x)}{W_2(x)},\quad x \in \mathbb{R} \smallsetminus \{ \text{pierwiastki }W_2(x) \} \nonumber.\end{aligned}\]
Przykładem funkcji wymiernej jest
\[\begin{aligned} f(x) = \frac{4x + 2}{x^2 - 4x - 5},\quad x \in \mathbb{R} \smallsetminus \{ -1, 5 \}, \nonumber\end{aligned}\]
gdzie -1 oraz 5 są pierwiastkami trójmianu kwadratowego z mianownika funkcji wymiernej.
Funkcja wykładnicza
Funkcję postaci
\[\begin{aligned} f(x) = a^x,\quad x \in \mathbb{R},\ a \in \mathbb{R}_{+}, \nonumber\end{aligned}\]
nazywamy funkcją wykładniczą. Zwróćmy uwagę, że inaczej niż w przypadku funkcji wielomianowej, zmienna \(x\) znajduje się w wykładniku, a nie w podstawie wyrażenia potęgowego. Zbiorem wartości funkcji wykładniczej jest zbiór liczb rzeczywistych dodatnich \(\mathbb{R}_{+}\). Monotoniczność funkcji wykładniczej zależy od wartości podstawy \(a\)
- dla \(a \in (0,1)\) funkcja wykładnicza jest malejąca,
- dla \(a = 1\) funkcja wykładnicza jest funkcją stałą,
- dla \(a \in (1,+\infty)\) funkcja wykładnicza jest rosnąca.
Na Rys. 8 przedstawiono dwie funkcje wykładnicze \(f(x) = (\frac{1}{2})^x\) oraz \(f(x) = 2^x\). Zauważamy, że dla \(a \neq 1\) funkcja wykładnicza jest funkcją różnowartościową, co oznacza, że można utworzyć funkcję odwrotną do funkcji wykładniczej - funkcję logarytmiczną.
Widzimy, że wykresy funkcji (Rys. 8) \(f(x) = (\frac{1}{2})^x\) oraz \(f(x) = 2^x\) są symetryczne względem prostej \(x = 0\).
Funkcja logarytmiczna
Funkcję postaci
\[\begin{aligned} f(x) = \log_a x,\quad x \in \mathbb{R}_{+},\ \ a \in \mathbb{R}_{+}\!\smallsetminus\!\{1\}, \nonumber\end{aligned}\]
nazywamy funkcją logarytmiczną (logarytm o podstawie \(a\)). Jak już wspomnieliśmy w poprzednim rozdziale funkcja logarytmiczna jest funkcją odwrotną dla funkcji wykładniczej. Dziedzina funkcji wykładniczej \(\mathbb{R}\) staje się zbiorem wartości funkcji logarytmicznej, a zbiór wartości funkcji wykładniczej \(\mathbb{R}_{+}\) jest dziedziną funkcji logarytmicznej. Ponadto monotoniczność funkcji wykładniczej i logarytmicznej jest taka sama: obie są rosnące dla \(a \in (1,+\infty)\), obie są malejące dla \(a \in (0,1)\). Ich wykresy są symetryczne względem prostej \(y = x\), oczywiście dla tej samej wartości podstawy \(a\). Na Rys 9 przedstawiono funkcje logarytmiczne \(f(x) = \log_{\frac{1}{2}} x\), \(f(x) = \log_2 x\) oraz funkcję wykładniczą \(f(x) = 2^x\).
Szczególną i ważną podstawą funkcji logarytmicznej jest liczba niewymierna \(e = 2.71828...\). Taką funkcję oznaczmy \(f(x) = \ln{x}\), a nie \(f(x) = \log_{e} x\). Podobnie \(f(x) = \log{x}\) (bez podania podstawy) oznacza podstawę 10, czyli logarytm dziesiętny.
Funkcje trygonometryczne
Najczęściej używanymi funkcjami trygonometrycznymi są \(sinus\), \(cosinus\), \(tangens\) i \(cotangens\).
Funkcja \(f(x) = \sin{x} \)
Dziedziną funkcji \(sinus\) jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych \(\mathbb{R}\), a zbiorem wartości funkcji jest przedział \([-1,1]\). Jest to funkcja okresowa, a wartość okresu podstawowego wynosi \(2\pi\). Funkcja \(f(x)\) = \(\sin{x}\) posiada nieskończenie wiele miejsc zerowych (w punktach \(x = k\pi, k = 0, \pm 1, \pm 2,...\)), nieskończenie wiele maksimów (w punktach \(x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi, k = \pm 1, \pm 2,...\)) oraz nieskończenie wiele minimów (w punktach \(x = \frac{3\pi}{2} + 2k\pi, k = \pm 1, \pm 2,...\)). Jest funkcją nieparzystą. Funkcja \(f(x)\) = \(\sin{x}\) jest funkcją różnowartościową jedynie w pewnych przedziałach, np. dla \(x \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]\) i jest w tym przedziale rosnąca.
Wykres funkcji jest przedstawiony na rysunku Rys. 10a
Funkcja \(f(x) = \cos{x}\)
Dziedziną funkcji \(cosinus\) jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych \(\mathbb{R}\), a zbiorem wartości funkcji jest przedział \([-1,1]\). Jest to funkcja okresowa, a wartość okresu podstawowego wynosi \(2\pi\). Funkcja \(f(x)\) = \(\cos{x}\) posiada nieskończenie wiele miejsc zerowych (w punktach \(x = k\frac{\pi}{2}, k = \pm 1, \pm 2,...\)), nieskończenie wiele maksimów (w punktach \(x = 2k\pi, k = \pm 1, \pm 2,...\)) oraz nieskończenie wiele minimów (w punktach \(x = \pi + 2k\pi, k = \pm 1, \pm 2,...\)). Jest funkcją parzystą. Funkcja \(f(x)\) = \(\cos{x}\) jest funkcją różnowartościową jedynie w pewnych przedziałach, np. dla \(x \in [0, \pi]\) i jest w tym przedziale malejąca.
Wykres funkcji jest przedstawiony na rysunku Rys. 10b
Funkcja \(f(x) = \operatorname{tg} x\)
Dziedziną funkcji \(tangens\) jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych \(\mathbb{R}\) oprócz \(x = k\frac{\pi}{2}, k = \pm 1, \pm 2,...\), a zbiorem wartości jest przedział \((-\infty,+\infty)\). Jest to funkcja okresowa, a wartość okresu podstawowego wynosi \(\pi\). Funkcja \(f(x)\) = \(\operatorname{tg}\,x\) posiada nieskończenie wiele miejsc zerowych (w punktach \(x = k\pi\)) oraz nieskończenie wiele asymptot pionowych (w punktach \(x = k\frac{\pi}{2}, k = \pm 1, \pm 2,...\)). Jest funkcją nieparzystą. Funkcja \(f(x)\) = \(\operatorname{tg}\,x\) jest funkcją różnowartościową jedynie w pewnych przedziałach, np. dla \(x \in [-\frac{\pi}{2}, +\frac{\pi}{2}]\) i jest w tym przedziale rosnąca.
Wykres funkcji jest przedstawiony na rysunku Rys. 10c
Funkcja \(f(x) = \operatorname{ctg}x\)
Dziedziną funkcji \(cotangens\) jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych \(\mathbb{R}\) oprócz \(x = k\pi, k = \pm 1, \pm 2,...\), a zbiorem wartości jest przedział \((-\infty,+\infty)\). Jest to funkcja okresowa, a wartość okresu podstawowego wynosi \(\pi\). Funkcja \(f(x)\) = \(\operatorname{ctg}x\) posiada nieskończenie wiele miejsc zerowych (w punktach \(x = k\frac{\pi}{2}, k = \pm 1, \pm 2,...\)) oraz nieskończenie wiele asymptot pionowych (w punktach \(x = k\pi, k = \pm 1, \pm 2,...\)). Jest funkcją nieparzystą. Funkcja \(f(x)\) = \(\operatorname{ctg}x\) jest funkcją różnowartościową jedynie w pewnych przedziałach, np. dla \(x \in [0, \pi]\) i jest w tym przedziale malejąca.
Wykres funkcji jest przedstawiony na rysunku Rys. 10d
Kliknij aby obejrzeć animację przedstawiająca funkcje trygonometryczne.
Poszukiwanie podstawowego okresu funkcji - przykładowe zadania
- Znajdź okres podstawowy funkcji \(f(x) = \sin{3x}\)
Okres podstawowy funkcji sinus wynosi \(2\pi\). Naszym zadaniem jest ustalić czy istnieje takie \(T > 0\), że \(\sin{[\,3(x+ T)\,]} = \sin{3x}.\) Możemy to zrobić rozwiązując następujące równanie: \[3(x+T)-3x=2\pi\] \[3x+3T-3x=2\pi\] \[3T=2\pi\] \[T=\frac{2}{3}\pi\] Widzimy, że okres podstawowy funkcji \(f(x) = \sin{3x}\) wynosi \(T=\frac{2}{3}\pi\)
- Znajdź okres podstawowy funkcji \(f(x) = \text{tg}\,(2x-\frac{\pi}{2})\)
Okres podstawowy funkcji tangens wynosi \(\pi\). Aby znaleźć okres podstawowy T musimy rozwiązać następujące równanie: \[(2(x+T)-\frac{\pi}{2})-(2x-\frac{\pi}{2})=\pi\] \[2x+2T-2x=\pi\] \[T=\frac{\pi}{2}\] Widzimy, że okres podstawowy funkcji \(f(x) = \text{tg}\,(2x-\frac{\pi}{2})\) wynosi \(T=\frac{\pi}{2}\).
Funkcje cyklometryczne (kołowe)
Jak zauważyliśmy funkcje trygonometryczne są różnowartościowe w pewnych przedziałach i w tych przedziałach można dla nich utworzyć funkcje odwrotne. Argumentami tych funkcji są wartości funkcji trygonometrycznych \(sinus\), \(cosinus\), \(tangens\) i \(cotangens.\) Omówimy teraz cztery podstawowe funkcje kołowe, przy czym ich własności wynikają z twierdzeń o funkcjach odwrotnych.
Funkcja \(f(x) = \arcsin{x}\)
\(arcus\) \(sinus\) jest funkcją odwrotną do funkcji \(sinus\) rozpatrywanej dla \(x \in \left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right].\) W tym przedziale \(sinus\) posiada funkcję odwrotną, jest bowiem w tym przedziale funkcją rosnącą (zatem różnowartościową). Funkcja \(f(x) = \arcsin{x}\) jest określona w przedziale \(\left[-1; 1\right]\), jej wartości należą do przedziału \(\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]\). Jest w tym przedziale funkcją rosnącą, tak jak funkcja \(f(x) = \sin{x}\) jest rosnąca dla \(x \in \left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]\).
Wykres funkcji jest przedstawiony na rysunku Rys. 11.
Funkcja \(f(x) = \arccos{x}\)
\(arcus\) \(cosinus\) jest funkcją odwrotną do funkcji \(cosinus\) rozpatrywanej dla \(x \in \left[0,\pi\right]\). W tym przedziale \(cosinus\) posiada funkcję odwrotną, jest bowiem w tym przedziale funkcją malejącą (a zatem różnowartościową). Funkcja \(f(x) = \arccos{x}\) jest określona w przedziale \(\left[-1; 1\right]\), jej wartości należą do przedziału \(\left[\pi, 0\right]\). I jest w tym przedziale funkcją malejącą, tak jak funkcja \(f(x) = \cos{x}\) jest malejącą dla \(x \in \left[0,\pi\right]\).
Wykres funkcji jest przedstawiony na rysunku Rys. 12.
Funkcja \(f(x) = \operatorname{arctg} x\)
\(arcus\) \(tangens\) jest funkcją odwrotną do funkcji \(tangens\) rozpatrywanej dla \(x \in \left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)\). W tym przedziale \(tangens\) posiada funkcję odwrotną, jest bowiem w tym przedziale funkcją rosnącą (a zatem różnowartościową). Funkcja \(f(x) = \text{arctg}\,x\) jest określona w przedziale \(\left(-\infty, +\infty\right)\), jej wartości należą do przedziału \(\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)\). Jest w tym przedziale funkcją rosnącą, tak jak funkcja \(f(x) = \text{tg}\,x\) jest rosnąca dla \(x \in \left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)\). Zauważmy ciekawą własność funkcji \(f(x) = \text{arctg}\,x\) \(-\) odwzorowuje ona zbiór liczb rzeczywistych \(\mathbb{R}\) na zbiór \(x \in \left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)\).
Wykres funkcji jest przedstawiony na rysunku Rys. 13.
Funkcja \(f(x) = \operatorname{arcctg} x\)
\(arcus\) \(cotangens\) jest funkcją odwrotną do funkcji \(cotangens\) rozpatrywanej dla \(x \in \left(0,\pi\right)\). W tym przedziale \(cotangens\) posiada funkcję odwrotną, jest bowiem w tym przedziale funkcją malejącą (a zatem różnowartościową). Funkcja \(f(x) = \operatorname{arcctg}\,x\) jest określona w przedziale \(\left(-\infty, +\infty\right)\), jej wartości należą do przedziału \(\left(\pi, 0\right)\). Jest w tym przedziale funkcją malejącą, tak jak funkcja \(f(x) = \operatorname{ctg}\,x\) jest malejącą dla \(x \in \left(0,\pi\right)\).
Granica funkcji
Przedstawimy teraz granicę lewostronną i prawostronną funkcji w punkcie \(x_0\). Powiemy, że liczba \(g\) jest granicą lewostronną (\(x \rightarrow x_0^-\)) funkcji \(y = f(x)\) wtedy i tylko wtedy gdy:
\[\begin{aligned} \lim_{x \rightarrow x_0^-} f(x) = g\quad\Leftrightarrow\quad\bigwedge_{\epsilon > 0} \bigvee_{\delta > 0} \bigwedge_{x \in (x_0 - \delta, x_0)} \mid f(x) - g \mid < \epsilon.\nonumber\end{aligned}\]
Podobnie liczba \(g\) jest granicą prawostronną (\(x \rightarrow x_0^+\)) funkcji \(y = f(x)\) wtedy i tylko wtedy gdy:
\[\begin{aligned} \lim_{x \rightarrow x_0^+} f(x) = g\quad\Leftrightarrow\quad\bigwedge_{\epsilon > 0} \bigvee_{\delta > 0} \bigwedge_{x \in (x_0, x_0 + \delta)} \mid f(x) - g \mid < \epsilon.\nonumber\end{aligned}\]
Zauważmy, że liczba \(g\) będąca granicą prawostronną (lewostronną) nie musi należeć do zbioru wartości funkcji \(y = f(x)\). Jeżeli obie granice, lewostronna i prawostronna istnieją w punkcie \(x = x_0\) i są sobie równe to mówimy, że funkcja \(y = f(x)\) ma granicę \(g\) dla \(x = x_0\)
Możemy również mówić o tzw. granicach niewłaściwych funkcji \(y = f(x)\), czyli granicach równych \(- \infty\) lub \(+\infty\), a także granicach w punkcie niewłaściwym czyli dla \(x \rightarrow -\infty\) lub \(x \rightarrow +\infty\).
Niewłaściwa granica lewostronna równa \(+\infty\) funkcji jest objaśniana następująco \[\begin{aligned} \lim_{x \rightarrow x_0^-} f(x) = +\infty\quad\Leftrightarrow\quad\bigwedge_{M > 0} \bigvee_{\delta > 0} \bigwedge_{x \in (x_0 - \delta, x_0)} f(x) > M,\nonumber\end{aligned}\]
a lewostronna granica niewłaściwa równa \(-\infty\)
\[\begin{aligned} \lim_{x \rightarrow x_0^-} f(x) = -\infty\quad\Leftrightarrow\quad\bigwedge_{M > 0} \bigvee_{\delta > 0} \bigwedge_{x \in (x_0 - \delta, x_0)} f(x) < -M. \nonumber\end{aligned}\]
Oczywiście, zastępując w powyższych wyrażeniach \(x_0^-\) przez \(x_0^+\) oraz \(x \in (x_0 - \delta, x_0)\) przez \(x \in (x_0, x_0 + \delta)\) otrzymujemy określenie granic niewłaściwych prawostronnych funkcji \(f(x)\).
Korzystając z powyższych określeń pokażemy, że granicą prawostronną funkcji \(f(x) = \frac{1}{x^3}\) w zerze, czyli dla \(x \rightarrow 0^+\), jest \(+\infty\). Widzimy, że jeżeli dla dowolnego \(M \gt 0\) wybierzemy \(\delta \lt \frac{1}{\sqrt[3]M}\) to wtedy \(f(x) \gt M\) dla \(x \in (0,\delta)\). Podobne rozważanie doprowadzi nas do znalezienia granicy lewostronnej (\(x \rightarrow 0_-\)) równej \(-\infty\). Oczywiście zauważamy, że \(x=0\) nie należy do dziedziny funkcji \(f(x) = \frac{1}{x^3}\). Możemy zatem użyć nieformalnego stwierdzenia, że w granicy dzielimy przez zero, a wynik takiego dzielenia, jest równy \(- \infty\) lub \(+\infty\), przy czym nie mówimy tutaj o symbolu nieoznaczonym \(\frac{0}{0}\), który będzie rozpatrywany w dalszej części skryptu.
Granicą niewłaściwą funkcji \(f(x)\) w punkcie \( x \rightarrow +\infty\) nazywamy:
\[\begin{aligned} \lim_{x \rightarrow +\infty} f(x) = g\quad\Leftrightarrow\quad\bigwedge_{\epsilon > 0} \bigvee_{M > 0} \bigwedge_{x > M} \mid f(x) - g \mid < \epsilon,\nonumber\end{aligned}\]
podobnie w przypadku granicy niewłaściwej w punkcie \( x \rightarrow -\infty\)
\[\begin{aligned} \lim_{x \rightarrow -\infty} f(x) = g\quad\Leftrightarrow\quad\bigwedge_{\epsilon > 0} \bigvee_{M < 0} \bigwedge_{x < M} \mid f(x) - g \mid < \epsilon.\nonumber\end{aligned}\]
Dla przykładu pokażemy teraz, na podstawie definicji, że granica funkcji \(f(x) = 2/x\) dla \( x \rightarrow +\infty\) wynosi \(g = 0\). Wybierzmy np. \(\epsilon = 1/100\) \(-\) pamiętamy, że zgodnie z definicją \(\epsilon\) jest dowolne. I dla dowolnej wartości \(\epsilon\) musimy znaleźć taką wartość liczby \(M\) dla której zachodzi
\[\begin{aligned} \mid f(x) - g \mid < \epsilon, \mid 2/x - 0 \mid < 1/100. \nonumber\end{aligned}\]
Rozwiązując powyższą nierówność otrzymujemy \(M > 200\). Gdybyśmy np. wybrali \(\epsilon = 1/200\) to \(M > 400\). Zatem widać, że dla dowolnej wartości \(\epsilon\) wystarczy aby \(M > 2/\epsilon\).
Aby znaleźć granicę funkcji nie trzeba korzystać z definicji. W obliczeniach wielu granic bardzo wygodne jest zastosowanie reguły de L'Hospitala, która jest omówiona w dalszej części skryptu.
Ciągłość funkcji
Funkcja \(y = f(x)\) jest ciągła w punkcie \(x_0 \in D\) (\(D\) oznacza dziedzinę funkcji) wtedy i tylko wtedy gdy granica funkcji dla \(x = x_0\) jest równa wartości funkcji w tym punkcie \(f(x_0)\)
\[\begin{aligned} \lim_{x \rightarrow x_0} f(x) = f(x_0).\nonumber\end{aligned}\]
Jeśli funkcja \(f(x)\) jest ciągła dla wszystkich wartości \(x \in (a,b)\) to mówimy, że funkcja \(f(x)\) jest ciągła w przedziale \((a,b)\).
Funkcje: wielomianowa, wykładnicza oraz funkcje \(sinus\) i \(cosinus\) są ciągłe dla \(x \in \mathbb{R}\), a funkcja logarytmiczna dla \(x \in \mathbb{R}_+\). Natomiast funkcja wymierna może posiadać punkty nieciągłości jeżeli jej mianownik ma miejsca zerowe. A funkcje \(\text{tangens}\) i \(\text{cotangens}\) mają nieskończenie wiele punktów nieciągłości \(-\) są to punkty w których te funkcje nie są określone, czyli \(x = \pi/2 + k\pi\) dla funkcji \(\text{tangens}\) oraz \(x = k\pi\) dla funkcji \(\text{cotangens}\) (\(k\) jest liczbą całkowitą).
Potocznie (i praktycznie) możemy powiedzieć, że wykres funkcji ciągłej w przedziale \((a,b)\) możemy narysować jednym pociągnięciem ołówka, czyli bez odrywania go od kartki papieru. Natomiast jeśli w przedziale \((a,b)\) funkcja \(f(x)\) ma punkty nieciągłości to rysując wykres funkcji w tych punktach będziemy musieli oderwać ołówek od kartki papieru.
Przykład funkcji ciągłej i nieciągłej jest przedstawiony na Rys. 14.
Przesunięcie funkcji - wykres funkcji
Funkcję \(y=f(x)\) możemy przesunąć o wektor \([a,b]\) i wówczas będzie ona dana wzorem \[y-b=f(x-a)\] czyli \[y=f(x-a)+b\]
Przykład
- Funkcja liniowa
Dana jest funkcja \(f(x)=3x\), należy przesunąć tę funkcję o wektor \([2,-1]\). Wynikiem takiego przesunięcia będzie funkcja \(f(x)=f(x-2)-1\). Przesunięcie pokazano na wykresie funkcji Rys. 15.
- Funkcja kwadratowa
Dana jest funkcja kwadratowa \(f(x)=x^2\), należy przesunąć tę funkcję o wektor \([-1,1]\). Wynikiem takiego przesunięcia będzie funkcja \(f(x)=f(x+1)+1\). Przesunięcie pokazano na wykresie funkcji Rys. 16.
Zadania
- Narysuj wykres funkcji.
- \( y = -x \)
- \( y = 2x+1 \)
- \( y = -3x + 4 \)
- \( y = \sin{2x} \)
- \( y = \log_3{x} \)
- Wyznacz dziedzinę funkcji danej wzorem:
- \( y = (x-5)(2-x) \)
- \( y = \frac{x+3}{x}+\frac{2x-3}{x+7} \)
- \( y = \sqrt{x-7} \)
- \( y = \sqrt{x-1}+\sqrt{x} \)
- Wyznacz zbiór wartości funkcji
- \( y = \frac{1}{2}x^2\) dla \( x \in\{-2,-1,0,1,2\} \)
- \( y = x-3 \) dla \( x \in [0,2) \)
- \( y =|x| \) dla \( x \in [-3,3)\)
- Oblicz najmniejszą wartość funkcji kwadratowej \(f(x)=x^2\) w przedziale \([0,1]\)
- Oblicz największą i najmniejszą wartość funkcji \(f(x)=2x^2-4x+11\) w przedziale \(A=[0,4]\)