PIZL:Błądzenie przypadkowe

Z Skrypty dla studentów Ekonofizyki UPGOW

Kl.png
Ue.png




Spis treści

BŁĄDZENIE PRZYPADKOWE

Błądzenie przypadkowe

W Rozdziale 6 omawialiśmy zmienne losowe Poissona, a w Rozdziale 8 omawialiśmy procesy Poissona, które są granicznym przypadkiem pewnej klasy schematów Bernoulliego: liczba niezależnych doświadczeń (prób) \(n\to \infty\) oraz prawdopodobieństwo sukcesu \(P(A_1) = p\) w jednym doświadczeniu zmierza do zera, \(p \to 0\), ale przejście graniczne jest dokonywane w taki sposób aby iloczyn \(n\cdot p = const. =\lambda\). Przykłady możliwe do realizowania takiego przejścia granicznego podaliśmy w Rozdziale 8. Tego typu przejścia granicznego nie mozna stosowac do doświadczen typu rzut monetą, ponieważ prawdopodobieństwo sukcesu \(P(A_1) = p\) w jednym doświadczeniu jest ustalone i nie może zmierzać do zera.

W następnym rozdziale podamy przykład innego przejścia granicznego prowadzącego do zupełnie nowej rodziny procesów stochastycznych, do procesów Wienera. Zarówno procesy Poissona jak i procesy Wienera stanowią podstawę wszelkich innych procesów stochastycznych. Można powiedzieć, że dowolny proces stochastyczny ma jakiś związek albo z procesem Poissona albo z procesem Wienera lub ich uogólnieniami.

Nim skonstruujemy proces Wienera, zdefiniujmy proces bładzenia przypadkowego. Rozpatrzymy raz jeszcze schemat Bernoulliego podobny do rzutu monetą zakładając możliwość posiadania sfałszowanej monety po to, aby prawdopodobieństwo wylosowania orła \(P(A_1)=p\) mogło być inne niż prawdopodobieństwo wylosowania reszki \(P(A_2)=q\).


Ruch losowy cząstki błądzącej: cząstka w odstępach czasu T wykonuje ruch przypadkowy o długości kroku L w jednym lub przeciwnym kierunku.

Zdefiniujemy proces błądzenia przypadkowego w następujący sposób. Rozważmy nieskończoną jednowymiarową sieć (łańcuch) o strukturze periodycznej, o okresie \(L\). Węzły sieci oznaczymy liczbami całkowitymi \(\{\dots, -2, -1, 0, 1, 2, \dots \}\). Odległość między węzłami wynosi \(L\). Niech cząstka w chwili początkowej \(t=0\) znajduje się w węźle oznaczonym umownie \(r=0\). Cząstka co pewien ustalony czas \(T\) wykonuje krok albo w prawo (zdarzenie \(A_1\)) albo w lewo (zdarzenie \(A_2\)). Niech prawdopodobieństwo kroku w prawo wynosi \(p\), a kroku w lewo \(q\), czyli

\(P(A_1) =p, \; \; \; \; \;\;\;\;\; P(A_2) = q, \; \;\;\;\;\; \; \;p+q=1\)


Pytamy, jakie jest prawdopodobieństwo tego, że po \(n\) krokach cząstka jest w węźle o numerze \(r\). Czas \(t\) po \(n\)-krokach wynosi

\(t=nT\;\)

Dlatego czas \(t\) można utożsamiać z ilością kroków \(n\). Położenie w \(r\)-tym węźle wynosi

\(x=rL\;\)

Dlatego położenie \(x\) można utożsamiać z numerem węzła \(r\).

czyli położenie cząstki \(\xi(t)\; \) w chwili \(t\) zapiszemy jako


\(\xi(t) = \xi(nT)= x = r L \;\).


Załóżmy, że w \(n\)-krokach, \(k\)-kroków było w prawo (więc cząstka przesunęła się w prawo na odległość \(kL\)), a pozostałe \((n-k)\)-kroków było w lewo (więc cząstka przesunęła się w lewo na odległość \((n-k)L\)). Zatem położenie po \(n\)-krokach wynosi

\(x = k L - (n-k) L = (2k-n)l = rL, \; \; \; \; k=0, 1, 2, \dots, n\).

Stąd otrzymujemy relację

\(r=2k -n \;\;\; \mbox{lub} \;\;\; k=\frac{n+r}{2}, \; \; \;\ \; r= -n, -(n-1), -(n-2), \dots, (n-2), (n-1), n\)

Zauważmy, że tak sformułowany proces błądzenia przypadkowego jest schematem Bernoulliego o n próbach i k sukcesach. Więc prawdopodobieństwo tego, że po \(n\) krokach cząstka jest w węźle o numerze \(r\) dane jest przez rozkład dwumianowy:


(1)\( Pr\{\xi(nT) =rL=(2k-n)L\} = {n \choose k} \cdot p^k \cdot q^{n-k} = \frac{n!}{k! (n-k)!} \cdot p^k \cdot q^{n-k} \;\)


W równaniu tym należy wstawić wyrażenia

\(k=\frac{n+r}{2} \;\;\; \mbox{oraz} \;\;\; n - k=\frac{n-r}{2}\)

Wówczas otrzymamy prawdopodobieństwo \(p_n(r)\) tego, że po n-krokach cząstka jest w węźle r:


(2)\( p_n(r) = Pr\{\xi(nT) =rL\} = {n \choose \frac{n+r}{2}} \cdot p^{\frac{n+r}{2}} \cdot q^{\frac{n-r}{2}} \;\)


Warunek unormowania ma postać

\(\sum_{r=-n}^n p_n(r) = 1\;\)


Jeżeli proces startuje z zerowego węzła, to znaczy \(\xi(0) = 0\), to


(3)\(p_0(0) = 1, \; \; \; p_0(r) = 0 \; \;\ \mbox{dla} \; \; \; r \ne 0\)


To są warunki początkowe dla prawdopodobieństw \(p_n(r) \;\).

Prawdopodobieństwa (2) spełniają równanie ewolucji (master equation) w postaci


(4)\(p_{n+1}(r) = p\cdot p_{n}(r-1) + q \cdot p_{n}(r+1), \; \; \;\; \; \; \; p_0(r)=\delta_{0,r}\)

gdzie zapisaliśmy zgrabnie warunek początkowy (3) przy pomocy delty Kroneckera \(\delta_{0,r}\), która równa się 1 gdy \(r=0\) oraz równa się zero gdy \(r\ne 0\).

Powyższe równanie ewolucji należy następująco interpretować: Z lewej strony równania mamy prawdopodobieństwa tego, że w chwili \((n+1)\) cząstka jest w położeniu \(r\). Z prawej strony równania mamy prawdopodobieństwa tego, że w chwili \(n\) cząstka była w położeniu \((r-1)\) i w następnym kroku z prawdopodobieństwem \(p\) przeskoczyła w prawo, czyli nastąpiło przejście \((r-1) \to r\) lub cząstka była w położeniu \((r+1)\) i w następnym kroku z prawdopodobieństwem \(q\) przeskoczyła w lewo, czyli nastąpiło przejście \((r+1) \to r\).

Dowód Równania (4) nie jest trudny. Należy zgodnie z oznaczeniami w Równaniu (2) wstawić poszczególne wyrażenia dla \(p_{n+1}(r), \; \; p_{n}(r-1)\) i \(p_{n}(r+1)\;\) oraz wykorzystać tożsamość z kombinatoryki dla kombinacji

\({n \choose m-1} + {n \choose m} = {n+1 \choose m}\)

gdzie \(m=(n+r+1)/2\;\). Tożsamość tę można sprawdzić bezpośrednim rachunkiem rozpisując symbol kombinacji jak w Równaniu (1).

Ponieważ znamy prawdopodobieństwa (2) lub równoważnie (1), możemy wyznaczyć momenty statystyczne dla błądzenia przypadkowego. Wygodniej jest wykowywac obliczenia stosując Równanie (1).

Momenty statystyczne

Średnie położenie

Wartość średnia procesu \(\xi(t)\), czyli wartość średnia położenia po \(n\)-krokach wynosi (patrz Równanie (1) i Równanie (2))

(5)\(m(t) = m(nT)=\langle \xi(t)\rangle = \langle \xi(nT)\rangle = \sum_{r=-n}^n rL \; p_n(r) \)

\[ = \sum_{k=0}^n (2k-n)L \; {n \choose k} \cdot p^k \cdot q^{n-k} = nL (2p-1) \;\] </equation>

Zauważmy, że w symetrycznym przypadku, gdy \(p=q=1/2\), średnie położenie cząstki

\(\langle \xi(nT)\rangle=0\)

Jest to oczywiste, ponieważ z tym samym prawdopodobieństwo cząstka skacze w lewo i w prawo. Jeżeli \(p>q\) to cząstka częściej skacze w prawo niż w lewo i średnio cząstka przemieszcza sie w prawo. Z kolei gdy \(q>p\) to cząstka częściej skacze w lewo niż w prawo i średnio cząstka przemieszcza sie w lewo. Z fizycznego punktu widzenia, przypadek \(p\ne q\) oznacza, że istnieje jakaś przyczyna na to że cząstka dryfuje w jedna stronę. Tą przyczyną może być siła lub asymetria układu. Dlatego przypadek \(p\ne q\) nazywa się asymetrycznym błądzeniem przypadkowym lub błądzeniem przypadkowym z dryfem.


Średnio-kwadratowe przemieszczenie


Jeżeli mówimy o poruszających się cząstkach, to drugi moment centralny procesuy stochastycznego nazywamy często średnio-kwadratowym przemieszczeniem lub fluktuacjami położenia. Dla błądzenia przypadkowego otrzymujemy

(6)\( \sigma^2(t) = \sigma^2(nT)= \langle [\xi(t) - m(t)]^2\rangle = \sum_{r=-n}^n [rL -m(nT)]^2 \; p_n(r) \)

\( \,\ \; \; \; \; \; \; \; \; = \sum_{k=0}^n [(2k-n)L - nL(2p-1)]^2\; {n \choose k} \cdot p^k \cdot q^{n-k} = 4n L^2p(1-p) \; \)


W symetrycznym przypadku, gdy \(p=q=1/2\), dyspersja ma postać

(7)\(\sigma(nT) = L \sqrt{n} \;\)



Własności trajektorii

Podamy teraz ważną poglądową własność ruchu przypadkowego. Trajektorie cząstki (realizacje procesu) mogą bardzo różnie przebiegać, czasami znacznie się różnić. Jednak zdecydowana większość trajektorii fluktuuje wokół wartości średniej i jest w przedziale:


\(\xi(t) \in [\langle \xi(t)\rangle - \sigma(t), \langle \xi(t)\rangle + \sigma(t)] \;\)

W przypadku symetrycznym większość trajektorii jest w przedziale:


\(\xi(nT) \in [ - \sigma(nT), + \sigma(nT)] = [-L\sqrt{n}, L\sqrt{n}] \;\)

Zauważmy, że gdy ilość kroków \(n\) rośnie (czas \(t=nT\) rośnie) to narastają też fluktuacje położenia. Innymi słowy, trajektorie mogą rozbiegać sie coraz bardziej od wartości średniej. Ta rozbieżność jest pierwiastkowa z ilością kroków: \(\propto \sqrt{n}\).


Powyżej używałem różnych zapisów tej samej wielkości. Pamiętajmy, że położenie cząstki w chwlili \(t\) jest opisane przez \(\xi(t)\), czas \(t\) utożsamiamy z ilością kroków \(n\), z kolei położenie cząstki po \(n\)-krokach oznaczyliśmy przez \(r\). W praktyce, najprościej jest wyliczyć wartość średnią i wariancję używając wyrażeń z sumą po \(k\). Wówczas można wykorzystać wzór na dwumian Newtona

\( (x+y)^n = \sum_{k=0}^n {n \choose k} \cdot x^k \cdot y^{n-k} \; \)

Różniczkując (jednokrotnie i dwukrotnie) powyższy wzór względem x, przyjmująć \(x=p\) oraz \(y=q=1-p\) otrzymamy warażenia na występujące powyżej sumy. Dla przykładu obliczmy sumę


\( S_1 = \sum_{k=0}^n k \; {n \choose k} \cdot p^k \cdot q^{n-k} \;\)

Zróżniczkujmy obustronie dwumian Newtona względem x:

\( n(x+y)^{n-1} = \sum_{k=0}^n k \; {n \choose k} \cdot x^{k-1} \cdot y^{n-k} \;\)

Wyrażenie to mnożymy obustronnie przez \(x\), następnie podstawiamy \(x=p , \; y=q\) pamiętając że \(p+q=1\;\). W rezultacie otrzymamy

\( np = \sum_{k=0}^n k \; {n \choose k} \cdot p^k \cdot q^{n-k} =S_1\;\)

Dwukrotne różniczkowanie ze względu na \(x\) pozwala na wyliczenie sum zawierających \(k(k-1)=k^2-k\), ale sumę zawierającą \(k\) własnie wyliczyliśmy. Dlatego tez można wyliczyc sumę zawierającą \(k^2\). Tym sposobem możemy obliczyć momenty dowolnego rzędu dla błądzenia przypadkowego.


UWAGi:

1. Powyższe rozważania można uogólnić na ruch cząstki na płaszczyźnie (ruch dwu-wymiarowy) i w przestrzeni (ruch trój-wymiarowy).

2. Można rozważać także przeskoki o 2 (3, 4, ...) węzły.

3. Można dokonać uogólnienia zakładając, że cząstka z prawdopodobieństwem \(p_1\) przeskakuje w prawo, z prawdopodobieństwem \(p_2\) przeskakuje w lewo oraz z prawdopodobieństwem \(p_3\) nie przeskakuje (czeka).

4. Rozważany w Rozdziale 8.2 proces urodzin i śmierci też opisuje błądzenie przypadkowe cząstki: przejściu (narodziny) \(k \to k+1\) odpowiada przeskok w prawo z węzła \(k\) do węzła \(k+1\), podobnie przejściu (śmierci) \(k \to k-1\) odpowiada przeskok w lewo z węzła \(k\) do węzła \(k-1\). Jest to rozszerzenie procesu urodzin i śmierci ponieważ przestrzeń stanów zawiera wszystkie liczby całkowite numerujące węzły sieci (dla procesu urodzin i śmierci przestrzeń stanów to liczby całkowite nieujemne).