Z Skrypty dla studentów Ekonofizyki UPGOW

Wersja z 19:33, 14 kwi 2010 (pokaż źródło) Marcin (dyskusja | edycje) (→Stochastyczne równania różniczkowe) ← poprzednia edycja		Wersja z 19:40, 14 kwi 2010 (pokaż źródło) Marcin (dyskusja | edycje) (→Proces Wienera) następna edycja →
Linia 23:		Linia 23:
	Jego realizacja jest funkcją ciągłą, ale jednocześnie nigdzie nie jest różniczkowalna.		Jego realizacja jest funkcją ciągłą, ale jednocześnie nigdzie nie jest różniczkowalna.
-	Przyrost <math>W(t_2) - W(t_1)</math> jest zmienna losową gaussowską o zerowej wartości średniej i wariancji <math> = 2D(t_2 - t_1) </math>. Więc jego rozkład prawdopodobieństwa ma postać	+	Przyrost <math>W(t_2) - W(t_1)</math> jest zmienna losową gaussowską o zerowej wartości średniej i wariancji <math> = 2D(t_2 - t_1) </math>.
-	: <math>\Delta W(t) = W(t+\Delta t) - W(t) \;</math>	+	Całkując powy
-		+
-	i wzór  ma postać	+
-		+
-		+
-		+
-	<math>\langle [\Delta W(t)]^2 \rangle = \langle [W(t+\Delta t) - W(t)[^2 \rangle = 2D \Delta t </math>	+
	=== Schemat Eulera dla równania z szumem addytywnym ===		=== Schemat Eulera dla równania z szumem addytywnym ===
	Najprostszą metodą aproksymacji numerycznej równania stochastycznego jest podobnie jak w przypadku równań różniczkowych zwyczajnych - schemat Eulera.		Najprostszą metodą aproksymacji numerycznej równania stochastycznego jest podobnie jak w przypadku równań różniczkowych zwyczajnych - schemat Eulera.

---

Wersja z 19:40, 14 kwi 2010

Stochastyczne równania różniczkowe

W tym rozdziale zostaną opisane metody numeryczne, które służa do rozwiązywania stochastycznych równań różniczkowych typu:

\(\frac{dX(t)}{dt} = F(X(t), t) + G(X(t), t)\Gamma(t)\)

gdzie F i G to dowolne funkcje, a \(\Gamma(t)\) jest procesem losowym. W przypadku gdy rozpatrujemy biały szum Gaussowski to należy zwrócic szczególną uwagę na dylemat Stratonowicza-Ito.

\(dX(t)= F(X(t), t)dt + G(X(t), t) dW(t)\;\)

Proces Wienera

Proces Wienera jest rozwiązaniem następującego stochastycznego równania różniczkowego:

\(dX(t)= dW(t)\;\).

Jego realizacja jest funkcją ciągłą, ale jednocześnie nigdzie nie jest różniczkowalna. Przyrost \(W(t_2) - W(t_1)\) jest zmienna losową gaussowską o zerowej wartości średniej i wariancji \( = 2D(t_2 - t_1) \).

Całkując powy

Schemat Eulera dla równania z szumem addytywnym

Najprostszą metodą aproksymacji numerycznej równania stochastycznego jest podobnie jak w przypadku równań różniczkowych zwyczajnych - schemat Eulera.