MKZR:Stochastyczne równania różniczkowe

Z Skrypty dla studentów Ekonofizyki UPGOW

(Różnice między wersjami)
(Schemat Eulera dla układu równań stochastycznych)
(Schemat Milsteina)
 
(Nie pokazano 72 wersji pomiędzy niniejszymi.)
Linia 1: Linia 1:
 +
[[Category:MKZR]]
==Stochastyczne równania różniczkowe==
==Stochastyczne równania różniczkowe==
W tym rozdziale zostaną opisane  metody numeryczne, które służa do rozwiązywania  [[PIZL:Stochastyczne_równania_różniczkowe|stochastycznych równań różniczkowych]] typu:
W tym rozdziale zostaną opisane  metody numeryczne, które służa do rozwiązywania  [[PIZL:Stochastyczne_równania_różniczkowe|stochastycznych równań różniczkowych]] typu:
-
<math>\frac{dX(t)}{dt} = F(X(t), t) + G(X(t), t)\Gamma(t)</math>
+
:<math>\frac{dX(t)}{dt} = F(X(t), t) + G(X(t), t)\Gamma(t)</math>
gdzie F i G to dowolne funkcje, a <math>\Gamma(t)</math> jest procesem losowym.
gdzie F i G to dowolne funkcje, a <math>\Gamma(t)</math> jest procesem losowym.
Linia 9: Linia 10:
Dlatego poprawne jest zapisanie równanie Ito w postaci:
Dlatego poprawne jest zapisanie równanie Ito w postaci:
-
<math>dX(t)= F(X(t), t)dt + G(X(t), t) dW(t)\;</math>
+
:<math>dX(t)= F(X(t), t)dt + G(X(t), t) dW(t)\;</math>
Nie zmienia to ogólności, gdyż jak wiadomo każde równanie zapisane w interpretacji Stratonowicza ma swój odpowiednik Ito. Dla potrzeb metod numerycznych będziemy rozpatrywać zawsze równania Ito, a jeśli pojawią się równania Stratonowicza to będziemy je transpormować do postaci Ito.  
Nie zmienia to ogólności, gdyż jak wiadomo każde równanie zapisane w interpretacji Stratonowicza ma swój odpowiednik Ito. Dla potrzeb metod numerycznych będziemy rozpatrywać zawsze równania Ito, a jeśli pojawią się równania Stratonowicza to będziemy je transpormować do postaci Ito.  
Linia 16: Linia 17:
-
=== Schemat Eulera dla równań stochastycznych  ===
+
=== Schemat Eulera-Maruyamy dla równań stochastycznych  ===
Najprostszą metodą aproksymacji numerycznej równania stochastycznego jest podobnie jak w przypadku równań różniczkowych zwyczajnych jest schemat Eulera. Część deterministyczną równania stochastycznego traktujemy w taki sam sposób jak w schemacie Eulera dla równań różniczkowych zwyczajnych. Niech h oznacza krok  całkowania i oś czasowa będzie zdyskretyzowana na przedzialy <math>t_{i-1},t_{i},t_{i+1}</math> oraz <math>h=t_{i}-t_{i-1}</math>.  Wtedy część deterministyczna równania stochastycznego przyjmuje postać:
Najprostszą metodą aproksymacji numerycznej równania stochastycznego jest podobnie jak w przypadku równań różniczkowych zwyczajnych jest schemat Eulera. Część deterministyczną równania stochastycznego traktujemy w taki sam sposób jak w schemacie Eulera dla równań różniczkowych zwyczajnych. Niech h oznacza krok  całkowania i oś czasowa będzie zdyskretyzowana na przedzialy <math>t_{i-1},t_{i},t_{i+1}</math> oraz <math>h=t_{i}-t_{i-1}</math>.  Wtedy część deterministyczna równania stochastycznego przyjmuje postać:
-
<math>X(t_i) = X(t_{i-1}) + \int_{t_{i-1}}^{t_{i}} F(X(t), t) dt \simeq X(t_{i-1}) + F(X(t_{i-1}, t_{i-1}) h  </math>
+
:<math>X(t_i) = X(t_{i-1}) + \int_{t_{i-1}}^{t_{i}} F(X(t), t) dt \simeq X(t_{i-1}) + F(X(t_{i-1}, t_{i-1}) h  </math>
Aby całkować część stochastyczną potrzebujemy formuły na przyrost skończony procesu Wienera:
Aby całkować część stochastyczną potrzebujemy formuły na przyrost skończony procesu Wienera:
-
<math> \int_{t_{i-1}}^{t_{i}} \Gamma(t) dt =\;\int_{t_{i-1}}^{t_{i}} dW(t) = W(t_{i})-W(t_{i-1})</math>
+
:<math> \int_{t_{i-1}}^{t_{i}} \Gamma(t) dt =\;\int_{t_{i-1}}^{t_{i}} dW(t) = W(t_{i})-W(t_{i-1})</math>
Wiemy, że proces Wienera jest procesem o [[PIZL:Proces_Wienera_i_proces_dyfuzji#PROCES_WIENERA_W.28t.29|przyrostach niezależnych]], które są  gaussowską zmienna losową o zerowej wartości średniej i wariancji   
Wiemy, że proces Wienera jest procesem o [[PIZL:Proces_Wienera_i_proces_dyfuzji#PROCES_WIENERA_W.28t.29|przyrostach niezależnych]], które są  gaussowską zmienna losową o zerowej wartości średniej i wariancji   
Linia 32: Linia 33:
Tak więc widać, że w schemacie Eulera całkę typu <math> \int_{t_{i-1}}^{t_{i}} \Gamma(t) dt </math> należy zastąpić w każdym kroku całkowania gaussowską zmienną losową o wariancji proporcjonalnej do kroku całkowania h. Ponieważ z reguły dysponujemy gaussowskich generatorem liczb losowych  o jednostkowej wariancji N(0,1), można zapisać:
Tak więc widać, że w schemacie Eulera całkę typu <math> \int_{t_{i-1}}^{t_{i}} \Gamma(t) dt </math> należy zastąpić w każdym kroku całkowania gaussowską zmienną losową o wariancji proporcjonalnej do kroku całkowania h. Ponieważ z reguły dysponujemy gaussowskich generatorem liczb losowych  o jednostkowej wariancji N(0,1), można zapisać:
-
<math> \int_{t_{i-1}}^{t_{i}} \Gamma(t) dt = \sqrt{2 h} N(0,1) </math>
+
:<math> \int_{t_{i-1}}^{t_{i}} \Gamma(t) dt = \sqrt{2 h} N(0,1) </math>
Ten zapis pokazuje też ważną cechę przy obliczaniu aproksymacji rozwiązań stochastycznych - najniższy rząd w h jest nie O(h) ale <math>O(h^{1/2})</math>.
Ten zapis pokazuje też ważną cechę przy obliczaniu aproksymacji rozwiązań stochastycznych - najniższy rząd w h jest nie O(h) ale <math>O(h^{1/2})</math>.
Linia 39: Linia 40:
-
Korzystając w powyższych faktów, możemy zapisać pełny schemat Eulera dla równania stochastycznego (Ito):
+
Korzystając w powyższych faktów, możemy zapisać pełny schemat Eulera-Maruyamy dla równania stochastycznego (Ito):
-
<math>X(t_i) = X(t_{i-1}) + F(X(t_{i-1}, t_{i-1}) h  + \sqrt{h}G(X(t_{t-1}), t_{t-1})  N(0,1)</math>.
+
:<math>X(t_i) = X(t_{i-1}) + F(X(t_{i-1}, t_{i-1}) h  + \sqrt{h}G(X(t_{t-1}), t_{t-1})  N(0,1)</math>.
Gaussowskie zmienne losowe możemy otrzymać np. korzystając z [[MKZR:Liczby_losowe#Algorytm_Boxa-Mullera|algorytmu Box-a Mullera]].
Gaussowskie zmienne losowe możemy otrzymać np. korzystając z [[MKZR:Liczby_losowe#Algorytm_Boxa-Mullera|algorytmu Box-a Mullera]].
-
=== Schemat Eulera dla układu równań stochastycznych  ===
+
=== Schemat Eulera-Maruyamy dla układu równań stochastycznych  ===
-
Schemat Eulera można uogólnić na układy równań stochastycznych. Niech <math>\mathbf X(t)</math> będzie wektorem o składowych   
+
Schemat Eulera-Maruyamy można uogólnić na układy równań stochastycznych. Niech <math>\mathbf X(t)</math> będzie wektorem o składowych   
:<math>\mathbf X(t)=( X^1(t),X^2(t),...,X^n(t))</math>.  
:<math>\mathbf X(t)=( X^1(t),X^2(t),...,X^n(t))</math>.  
Układ równań stochastycznych (Ito) można zapisać w ogólnej postaci:
Układ równań stochastycznych (Ito) można zapisać w ogólnej postaci:
-
:<math>d X^i(t)= \mathbf F^i(\mathbf X(t), t)dt + \sum_{j=1}^{n}\mathbf G^{i,j}(\mathbf X(t), t) dW^j(t)\;</math>\; j=1,2,...,n,
+
:<math>d X^i(t)= F^i(\mathbf X(t), t)dt + \sum_{j=1}^{n} G^{i,j}(\mathbf X(t), t) dW^j(t)\;</math>\; j=1,2,...,n,
gdzie <math>W^i(t),\;W^j(t)</math>  są niezależnymi procesami Wienera dla <math>i\neq j</math>,  
gdzie <math>W^i(t),\;W^j(t)</math>  są niezależnymi procesami Wienera dla <math>i\neq j</math>,  
-
<math>F^i</math> oznacza wektor drytfu a  <math>G^{i,j}</math> jest macierzą <math>n \times n</math> funkcji.
+
<math>F^i</math> oznacza wektor dryftu a  <math>G^{i,j}</math> jest macierzą <math>n \times n</math> funkcji.
-
Wtedy schemat Eulera ma postać:
+
Wtedy schemat Eulera-Maruyamy ma postać:
-
<math> X^j(t_i) =  
+
:<math> X^j(t_i) = X^j(t_{i-1}) + F^j (\mathbf X(t_{i-1}), t_{i-1}) h + \sqrt{h} \sum_{k=1}^{n} G^{j,k}(\mathbf X(t), t) N^k(0,1)\;  </math>
-
</math>
+
-
<math>
+
=== Schemat Milsteina ===
-
X_^j(t_{i-1}) + F^j (\mathbf X(t_{i-1}), t_{i-1}) h + \sqrt{h} \sum_{k=1}^{n}\mathbf G^{j,k}(\mathbf X(t), t) N^k(0,1)\;  </math>
+
-
=== Proces Wienera ===
+
Schemat Milsteina jest dany wzorem interacyjnym:
-
Proces Wienera jest rozwiązaniem następującego stochastycznego równania różniczkowego:  
+
:<math>\displaystyle X(t_i) = X(t_{i-1}) + F(X(t_{i-1}, t_{i-1}) h - </math>
 +
:<math>
 +
\frac{1}{2}G(X(t_{i-1},t-1)G'(X(t_{i-1},t-1) h  + \sqrt{h}G(X(t_{t-1}), t_{t-1})  N(0,1)</math>.
-
<math>dX(t)= dW(t)\;</math>.
+
W stosunku do schematy Eulera-Maruyamy zawiera on dodatkowy składnik, proporcjonalny do O(h):
 +
:<math>-  \frac{1}{2}G(X(t_{i-1},t-1)G'(X(t_{i-1},t-1) h</math>.
-
Jego realizacja jest funkcją ciągłą, ale jednocześnie nigdzie nie jest różniczkowalna.
+
Ta poprawka powoduje, że powyższy schemat jest pierwszego rzędu w sensie silnym  w przeciwieństwie do schematu  Eulera-Maruyamy, ktry jest rzędu  1/2.
-
Przyrost <math>W(t_2) - W(t_1)</math> jest zmienna losową gaussowską o zerowej wartości średniej i wariancji <math> = 2D(t_2 - t_1) </math>.  
+
-
 
+
-
Całkując powy
+

Aktualna wersja na dzień 20:35, 31 mar 2016

Spis treści

Stochastyczne równania różniczkowe

W tym rozdziale zostaną opisane metody numeryczne, które służa do rozwiązywania stochastycznych równań różniczkowych typu:

\[\frac{dX(t)}{dt} = F(X(t), t) + G(X(t), t)\Gamma(t)\]

gdzie F i G to dowolne funkcje, a \(\Gamma(t)\) jest procesem losowym. Najczęstszym przypadek to taki w którym \(\Gamma(t)\) to biały szum Gaussowski. Tak zapisane równanie nie jest precyzyjnie określone ze względu na dylemat Stratonowicza-Ito. Dlatego poprawne jest zapisanie równanie Ito w postaci:

\[dX(t)= F(X(t), t)dt + G(X(t), t) dW(t)\;\]

Nie zmienia to ogólności, gdyż jak wiadomo każde równanie zapisane w interpretacji Stratonowicza ma swój odpowiednik Ito. Dla potrzeb metod numerycznych będziemy rozpatrywać zawsze równania Ito, a jeśli pojawią się równania Stratonowicza to będziemy je transpormować do postaci Ito.



Schemat Eulera-Maruyamy dla równań stochastycznych

Najprostszą metodą aproksymacji numerycznej równania stochastycznego jest podobnie jak w przypadku równań różniczkowych zwyczajnych jest schemat Eulera. Część deterministyczną równania stochastycznego traktujemy w taki sam sposób jak w schemacie Eulera dla równań różniczkowych zwyczajnych. Niech h oznacza krok całkowania i oś czasowa będzie zdyskretyzowana na przedzialy \(t_{i-1},t_{i},t_{i+1}\) oraz \(h=t_{i}-t_{i-1}\). Wtedy część deterministyczna równania stochastycznego przyjmuje postać:

\[X(t_i) = X(t_{i-1}) + \int_{t_{i-1}}^{t_{i}} F(X(t), t) dt \simeq X(t_{i-1}) + F(X(t_{i-1}, t_{i-1}) h \]


Aby całkować część stochastyczną potrzebujemy formuły na przyrost skończony procesu Wienera:

\[ \int_{t_{i-1}}^{t_{i}} \Gamma(t) dt =\;\int_{t_{i-1}}^{t_{i}} dW(t) = W(t_{i})-W(t_{i-1})\]

Wiemy, że proces Wienera jest procesem o przyrostach niezależnych, które są gaussowską zmienna losową o zerowej wartości średniej i wariancji \(2(t_{i} − t_{i-1})=2 h\).

Tak więc widać, że w schemacie Eulera całkę typu \( \int_{t_{i-1}}^{t_{i}} \Gamma(t) dt \) należy zastąpić w każdym kroku całkowania gaussowską zmienną losową o wariancji proporcjonalnej do kroku całkowania h. Ponieważ z reguły dysponujemy gaussowskich generatorem liczb losowych o jednostkowej wariancji N(0,1), można zapisać:

\[ \int_{t_{i-1}}^{t_{i}} \Gamma(t) dt = \sqrt{2 h} N(0,1) \]

Ten zapis pokazuje też ważną cechę przy obliczaniu aproksymacji rozwiązań stochastycznych - najniższy rząd w h jest nie O(h) ale \(O(h^{1/2})\).

Ponadto z takiego sformułowania widać też, że zmiany procesu Wienera w stosunku do przyrostów czasu są rozbieżne w granicy \(h\to 0\).


Korzystając w powyższych faktów, możemy zapisać pełny schemat Eulera-Maruyamy dla równania stochastycznego (Ito):

\[X(t_i) = X(t_{i-1}) + F(X(t_{i-1}, t_{i-1}) h + \sqrt{h}G(X(t_{t-1}), t_{t-1}) N(0,1)\].


Gaussowskie zmienne losowe możemy otrzymać np. korzystając z algorytmu Box-a Mullera.

Schemat Eulera-Maruyamy dla układu równań stochastycznych

Schemat Eulera-Maruyamy można uogólnić na układy równań stochastycznych. Niech \(\mathbf X(t)\) będzie wektorem o składowych \[\mathbf X(t)=( X^1(t),X^2(t),...,X^n(t))\]. Układ równań stochastycznych (Ito) można zapisać w ogólnej postaci:

\[d X^i(t)= F^i(\mathbf X(t), t)dt + \sum_{j=1}^{n} G^{i,j}(\mathbf X(t), t) dW^j(t)\;\]\; j=1,2,...,n,

gdzie \(W^i(t),\;W^j(t)\) są niezależnymi procesami Wienera dla \(i\neq j\), \(F^i\) oznacza wektor dryftu a \(G^{i,j}\) jest macierzą \(n \times n\) funkcji.

Wtedy schemat Eulera-Maruyamy ma postać:

\[ X^j(t_i) = X^j(t_{i-1}) + F^j (\mathbf X(t_{i-1}), t_{i-1}) h + \sqrt{h} \sum_{k=1}^{n} G^{j,k}(\mathbf X(t), t) N^k(0,1)\; \]

Schemat Milsteina

Schemat Milsteina jest dany wzorem interacyjnym:

\[\displaystyle X(t_i) = X(t_{i-1}) + F(X(t_{i-1}, t_{i-1}) h - \] \[ \frac{1}{2}G(X(t_{i-1},t-1)G'(X(t_{i-1},t-1) h + \sqrt{h}G(X(t_{t-1}), t_{t-1}) N(0,1)\].

W stosunku do schematy Eulera-Maruyamy zawiera on dodatkowy składnik, proporcjonalny do O(h):

\[- \frac{1}{2}G(X(t_{i-1},t-1)G'(X(t_{i-1},t-1) h\].

Ta poprawka powoduje, że powyższy schemat jest pierwszego rzędu w sensie silnym w przeciwieństwie do schematu Eulera-Maruyamy, ktry jest rzędu 1/2.