Teoria gier

Z Skrypty dla studentów Ekonofizyki UPGOW

(Różnice między wersjami)

Wersja z 20:13, 17 wrz 2010

\(\mathbf{TEORIA\;\; GIER\;\; W\;\; NEGOCJACJACH\;\; I\;\; PODEJMOWANIU\;\; DECYZJI}\)

MAREK SZOPA

                  Skrypt dla studentów ekonofizyki sfinansowany w ramach projektu 
                        Uniwersytet Partnerem Gospodarki Opartej na Wiedzy

Spis treści

1 Wstęp
2 Gry dwuosobowe o sumie zerowej
3 Gry dwuosobowe o sumie niezerowej
4 Gry wieloosobowe
5 Podejmowanie decyzji
6 Podstawowe zasady prowadzenia negocjacji
7 Strategie i taktyki negocjacji
- 7.1 Zmienne negocjacyjne - manipulowanie ustępstwami
- 7.2 Strategia szachowa
8 Zadania
- 8.1 Zad. 1.
- 8.2 Zad. 2.
9 Bibliografia

Wstęp

Wyobraź sobie, że wygrałeś główną nagrodę w teleturnieju. Aby jednak jeszcze bardziej przyciągnąć uwagę widzów, prowadzący stawiają przed Tobą ostatnie zadanie - wybór jednej z trzech zamkniętych kopert wewnątrz których znajduje się kartka, na której zapisano jaka jest Twoja nagroda. Wiadomo, że na jednej kartce jest nazwa najnowszego, dobrze "wypasionego" modelu Mercedesa, na pozostałych dwóch zaś widnieje wizerunek nagrody pocieszenia, również dobrze wypasionego ...osła. Twój ostateczny wybór zadecyduje którą nagrodę dostaniesz. Wybierasz zatem jedną z kopert na "chybił trafił" - nie masz żadnych przesłanek, gdzie zapisano nazwę Mercedesa. Po Twoim wyborze prowadzący (który wie w której kopercie jest Mercedes) bierze inną kopertę i po jej otwarciu pokazuje Ci wizerunek osła. Następnie zadaje pytanie czy dalej obstajesz przy Twoim pierwszym wyborze, czy też decydujesz się na zmianę pierwotnie wybranej, na ostatnia - trzecią kopertę. Co będzie dla Ciebie lepszym wyjściem?

Aby opisana historia była kompletna, a odpowiedź na postawione pytanie jednoznaczna trzeba jeszcze kilka rzeczy uściślić. Wiadomo, że niezależnie od Twojego pierwszego wyboru prowadzący zawsze otwiera jedną z pozostałych dwu kopert, w której jest wizerunek osła. Wiesz również, że prowadzący nie rozdaje Mercedesów "lekką ręką". Nie wiadomo jednak, czy ważniejsze jest dla niego "zaoszczędzenie" samochodu czy też pozyskanie większej widowni poprzez budowanie dodatkowej dramaturgii teleturnieju. Gdyby założyć tą pierwszą opcję, można by pomyśleć, że pokazanie koperty z osłem ma na celu zmylenie nas i skłonienie do zmiany pierwotnie wybranej koperty z Mercedesem na inną. Tak też myśli wiele osób, które bardziej są skłonne do obstawania przy pierwotnym wyborze, niż do zmiany koperty.

Przeanalizujmy dokładniej zaistniałą sytuację. Prawdopodobieństwo, że pierwotny wybór był trafny (przez taki rozumiemy wybór Mercedesa) wynosi dokładnie \(1/3\). Po otwarciu przez prowadzącego jednej z kopert z osłem, prawdopodobieństwo, że w dowolnej z pozostałych kopert jest Mercedes wydaje się wynosić dokładnie \(1/2\). Takie rozumowanie jest jednak błędne. Okazuje się, że pomysł, żeby nie zmieniać koperty gdyż prowadzący prawdopodobnie chce nas do tego skłonić jest niewłaściwy. Wszak powiedzieliśmy, że prowadzący zawsze odkrywa jedną z pozostałych kopert niezależnie od tego, co pierwotnie wybraliśmy. Zauważmy zatem, że jeśli pierwotnie wybraliśmy kopertę z osłem t.j. w 2 przypadkach na 3 to prowadzący odkrywając drugą kopertę z osłem (bo takie są zasady) wskazuje nam pozostałą kopertę z Mercedesem, wystarczy jedynie zmienić pierwotny wybór. Zmiana koperty przyniesie nam porażkę (t.j. wybór osła) jedynie wtedy, kiedy pierwotnie wybraliśmy Mercedesa - ale taka sytuacja zdarzy się w \(1/3\) przypadków. Widzimy zatem, że strategia zmiany koperty podnosi prawdopodobieństwo sukcesu z \(1/3\) do \(2/3\), choć nie widać tego na pierwszy rzut oka. Strategia pozostawienia pierwotnego wyboru przyniesie sukces jedynie w \(1/3\) przypadków.

Opisana sytuacja znana jest w literaturze jako paradoks Monty Halla i wzięła swoją nazwę od pseudonimu artystycznego osoby prowadzącej telewizyjne widowisko "Let's make a deal" gdzie wykorzystywano ten paradoks. Paradoks doczekał się już bardzo bogatej literatury [1]. Zwróćmy uwagę na użyte słowo "strategia". W teorii gier przez strategię będziemy rozumieli algorytm postępowania - przepis, który jednoznacznie określi wybieraną przez nas opcję lub ich sekwencję. Jedną z możliwych (i ważnych) jest strategia przypadkowa, tj. taka, w której przed każdym wyborem opcji musimy się odwołać do "generatora przypadku", na przykład rzutu monetą.

Teoria gier jest stosunkowo młodą dziedziną matematyki, która powstała w połowie XX wieku, i bardzo szybko znalazła praktyczne zastosowania w wielu dziedzinach życia.

Celem niniejszego skryptu jest przybliżenie czytelnikowi podstawowych pojęć związanych z teorią gier, ze szczególnym uwzględnieniem zastosowań tej teorii do bardzo praktycznych zagadnień jakimi są podejmowanie decyzji oraz negocjowanie. Okazuje się, że ścisłe rozważania matematyczne: definiowanie pojęć, formułowanie twierdzeń oraz ich dowodzenie - domena rozumowania matematycznego - nie musi być zamkniętym, niedostępnym dla zwykłego śmiertelnika obszarem rzeczywistości. Dowodzi tego właśnie teoria gier. Aby zrozumieć jej podstawowe pojęcia nie trzeba studiować matematyki, co więcej, nie ma w teorii gier nawet bardziej zaawansowanych metod matematycznych stosowanych w szkole średniej. Można zaryzykować twierdzenie, że matematyka wykorzystywana w obrębie teorii gier ogranicza się do zakresu szkoły podstawowej. Oczywiście sama teoria gier, tak jak każda inna dziedzina, wprowadza nowe pojęcia, których opanowanie jest niezbędne do jej zrozumienia. Wszystkie te pojęcia znajdzie jednak czytelnik w niniejszym opracowaniu.

Skrypt podzielono na kilka części. Czytelnik, który wcześniej poznał podstawy teorii gier może opuścić początkowe rozdziały. W tych rozdziałach znajdziemy wszystkie definicje i pojęcia potrzebne do zrozumienia zagadnień zawartych w kolejnych częściach tego opracowania. Jeśli jednak interesują Cię przede wszystkim zastosowania, to czytanie "od końca" oraz odwoływanie się w razie potrzeby do definicji i twierdzeń zawartych w pierwszej części niniejszego opracowania też może być dobrym sposobem.

Gry dwuosobowe o sumie zerowej

Gry oraz diagramy przesunięć

Gra: Przez grę rozumiemy zespół zasad określający wypłatę dla graczy jako funkcje wybranych opcji, które są możliwe dla danej gry.

Aby mówić o grze musimy wskazać co najmniej dwu graczy. Każdy z tych graczy ma możliwość wyboru spośród pewnej liczby możliwych opcji. Gracze podejmują swoje decyzję równocześnie lub, co na to samo wychodzi, nie znając wyborów pozostałych graczy - taką grę nazywamy symultaniczną. Mogą też wybierać swoje opcje jako odpowiedź na wybór dokonany przez pozostałych graczy, w takim przypadku mówimy o grach 'sekwencyjnych'. Gra może składać się z jednej lub wielu rund, w trakcie których gracze dokonują swoich wyborów. Przez strategię, jak już to wspomnieliśmy we wstępie, rozumiemy przyjęty przez gracza sposób wybierania jednej z możliwych opcji. Strategie mogą być proste, wówczas gracz po prostu wybiera jedną opcję lub mieszane, wówczas gracz decyduje się na wybór kilku opcji z określeniem prawdopodobieństwa wyboru każdej z nich.

Jeśli każdej możliwej kombinacji opcji wybranych przez graczy przyporządkujemy (jednoznacznie) wypłatę dla każdego z nich to taki przepis nazywamy zasadą gry. Wypłatą gracza nazywamy mierzalny sposób określenia jego wyniku. Wypłaty zazwyczaj określamy w sposób liczbowy aby ułatwić ich sumowanie i podliczanie wyników gry. Można jednak definiować gry w których wypłaty są dobrami materialnymi, zobowiązaniem do wykonania jakiejś czynności (np. że gracz, który przegra stanie na głowie), etc. Zasady gry mogą być przedstawione w postaci macierzowej tzw. tabeli wypłat. Poniżej przedstawiamy przykładową tabelę.

Przykład 2.1 Tabela gry.

*Przykład macierzy wypłat dla gry dwuosobowej*
2.1	Basia (Kolumna)
Adam (Wiersz)		A	B
A	1, -1	-2, 2
B	-1, 1	0, 0
C	-4, 4	5, -5

Graczami są Adam i Basia. W dalszej części odpersonalizujemy Adama i będziemy go nazywać (panem) Wierszem a Basię (panią) Kolumną. W grze 2.1 Adam ma do wybory trzy opcje (strategie proste): A, B oraz C a Basia dwie strategie: A oraz B. W zależności od dokonanych wyborów uzyskują wypłaty zapisane w tabeli. Wypłaty Adama są oznaczone kolorem niebieskim a wypłaty Basi kolorem czerwonym. Jak łatwo zauważyć wypłaty Adama są zawsze liczbami przeciwnymi do wypłat Basi. Tyle ile jedno z nich wygra drugie musi przegrać. Grę w której mamy do czynienia z taką sytuacją nazywamy grą o sumie zerowej. Dla gier o sumie zerowej przyjmujemy upraszczające konwencję zapisu, w której tabela wypłat zawiera tylko wypłaty Wiersza, wypłaty Kolumny są przeciwne do wypłat wiersza. W przypadku gry 2.1. uproszczona tabela ma postać

*Uproszczona macierz pokazująca tylko wypłaty Wiersza*
2.1	Kolumna
Wiersz		A	B
A	1	-2
B	-1	0
C	-4	5

Przeanalizujmy teraz, jak wygląda nasza przykładowa gra 2.1 z punktu widzenia opłacalności poszczególnych wyborów graczy. Jeśli Wiersz wybierze opcję A to kolumnie opłaca się wtedy wybrać B, gdyż dla opcji A Kolumna przegrywa \(1\) a w opcji B Kolumna wygrywa \(2\). Na diagramie przesunięć poniżej oznaczono ten fakt przy pomocy strzałki w prawo w polu (A,A). Zauważmy, że strzałka ta jest skierowana od wartości większej \((1)\) do mniejszej \((-2)\) zgodnie z konwencją, że wygrane Kolumny są liczbami przeciwnymi do wygranych wiersza. A zatem ta strzałka, tak naprawdę wskazuje preferencje Kolumny: zakładając, że Wiersz pozostanie przy opcji A, wybór B Kolumny jest dla niej korzystniejszy niż A \((2 > -1)\). Można podsumować, że poziome strzałki diagramu przesunięć są zawsze skierowane od wartości większych do mniejszych oraz wskazują preferowane opcje Kolumny.

Diagram przesunięć

*Macierzy pokazująca dla każdej pary wyborów preferencje graczy*
2.1	Kolumna
Wiersz		A	B
A	\(\rightarrow\)	\(\downarrow\)
B	\(\uparrow\)	\(\leftarrow \; \downarrow\)
C	\(\uparrow\)	\(\leftarrow\)

Preferowane opcje Wiersza wskazują strzałki pionowe, które są zawsze skierowane od wartości mniejszych do większych, zgodnie z preferencjami Wiersza. Strzałka skierowana w dół w polu (B,B) oznacza, że przy zadanym wyborze B Kolumny, opcja C jest dla Wiersza korzystniejsza niż B. Zauważmy, że w polu (B,B) znajduje się również strzałka skierowana w lewo. Oznacza ona, że przy zadanym wyborze B Wiersza, opcja A jest dla Kolumny korzystniejsza niż B. W każdym polu diagramu przesunięć gry 2.1 znajduje się jakaś strzałka. Oznacza to, że nie ma w tej grze pary wyborów, która byłaby korzystna dla oby graczy: dla każdej pary wyborów jeden z graczy może znaleźć opcję korzystniejszą, przy założeniu, że partner pozostanie przy swojej. Ta sytuacja jednak nie zawsze ma miejsce, zobaczmy bowiem kolejną grę:

Przykład 2.2 Gra z punktem równowagi.

*Macierz wypłat 2.2*
2.2	Kolumna
Wiersz		A	B	C
A	-1	3	1
B	0	2	0

Diagram przesunięć dla tej gry wygląda następująco:

*Diagram przesunięć dla gry 2.2*
2.2	Kolumna
Wiersz		A	B	C
A	\(\downarrow\)	\(\leftarrow \; \; \; \; \rightarrow\)
B		\(\leftarrow \; \uparrow \; \rightarrow\)	\(\uparrow\)

Jak widzimy w polach (B,A) i (A,C) nie ma żadnych strzałek. Oznacza to, że jeśli gracze znajdą się w jednym z tych punktów, to żadnemu z nich nie opłaca się jednostronnie zmieniać swojej opcji na sąsiednią. Takie miejsca nazywamy punktami równowagi. Zauważmy, że punkty równowagi jest określony lokalnie, poprzez wartości wypłat pól sąsiednich. Jaką strategię powinni obrać graczy w tej grze? Dla Wiersza korzystniejszą jest równowaga (A,C) - wygrana \(1\) niż (B,A) - wygrana \(0\). Załóżmy więc, że wybierze on opcję A. Wtedy jednak Kolumna szybko zauważy, że lepiej jej jest nie grać swojej opcji C dla równowagi (A,C) gdyż opcja A jest dla nie korzystniejsza. Jeśli Wiersz to zauważy to sam powinien zagrać B, co doprowadzi graczy do drugiej równowagi (B,A). Po osiągnięciu tej równowagi, żaden z graczy nie jest zainteresowany zmianą swojej strategii: wygrana \(0\) jest bowiem dla wiersza najwyższa w kolumnie A, natomiast dla Kolumny jest ona nie mniej korzystna niż inne w wierszu B. Żaden z graczy nie może wygrać więcej przez jednostonną zmianę swojej strategii.

Punkty siodłowe oraz dominacje

Rozpoczniemy od definicji punktu siodłowego

Punkt siodłowy: Punkt macierzy wypłat, którego wartość jest nie większa od innych wartości w jego wierszu oraz nie mniejsza od innych wartości w jego kolumnie nazywamy punktem siodłowym. Na punkt siodłowy składa się para zawierających go strategii oraz odpowiadająca im wygrana \( \nu \), którą nazywamy wartością gry.

W grze 2.2 punktem siodłowym jest równowaga (B,A). Wiersz grając należącą do punktu siodłowego strategię B może być pewien, że nie wygra mniej niż wynosi wartość gry \(0\) a Kolumna grając należącą do punktu siodłowego strategię A ma pewność, że Wiersz nie wygra więcej niż wynosi wartość gry.

Zauważmy, że niezależnie od strategii Wiersza, Kolumna może z góry wykluczyć swoją strategię B. Istotnie, Strategia B jest zawsze gorsza od strategii A i strategii C Kolumny. Obrazują to poziome strzałki na diagramie przesunięć gry 2.2. Ten przypadek ilustruje ważne pojęcie strategii zdominowanej.

Strategia zdominowana: Mówimy, że strategia X gracza jest zdominowana przez strategię Y tego gracza jeżeli X i Y nie są identyczne a niezależnie od strategii przeciwnika wypłata przy wyborze X jest niewiększa od wypłaty przy wyborze Y. W tym przypadku mówimy również, że strategia Y gracza dominuje strategię X.

Jak widzimy na przykładzie 2.2 strategia B Kolumny jest zdominowana przez strategię A oraz przez strategię C. Istotnie dla wypłaty Kolumny porównując B z A mamy \(-3<1\) i \(-2<0\). Podobnie rzecz się ma przy porównaniu B z C. Jeśli jakaś strategia jest zdominowana przez inną to gracz może tej strategii nie brać pod uwagę w rozgrywce. Rzeczywiście zamiast tej strategii może zawsze wybrać inną, która ją dominuje a jego wygrana będzie co najmniej równa wygranej dla strategii zdominowanej.

Załóżmy, że mamy do czynienia z racjonalnymi graczami, którzy nie wybierają strategii dla siebie niekorzystnych. W tym przypadku analizując grę możemy ją uprościć usuwając z niej wszystkie strategie zdominowane. W przypadku gry 2.2 możemy spokojnie usunąć strategię B Kolumny. W tym przypadku gra przybierze postać

Przykład 2.2' Gra 2.2 bez strategii zdominowanej.

*Macierz wypłat 2.2'*
2.2'	Kolumna
Wiersz		A	C
A	-1	1
B	0	0

Na diagramie przesunięć dla tej gry znajdziemy jeden punkt równowagi (B,A):

*Diagram przesunięć dla gry 2.2'*
2.2	Kolumna
Wiersz		A	C
A	\(\downarrow\)	\(\leftarrow\)
B		\( \uparrow\)

Zauważmy, że punkt równowagi (B,A) jest jednocześnie punktem siodłowym. Wyeliminowanie z gry strategii zdominowanej uprościło jej analizę i z dwu punktów równowagi pozostał tylko jeden - ten który jest jednocześnie punktem siodłowym. Przeanalizujmy teraz bardziej złożoną grę, w której każdy z graczy ma po 4 opcje wyboru.

Przykład 2.3 Gra z kilkoma punktami siodłowymi.

*Macierz wypłat 2.3*
2.3	Kolumna
Wiersz		A	B	C	D
A	2	1	3	1
B	-1	0	7	-5
C	9	1	5	1
D	1	0	7	-2

Diagram przesunięć dla tej gry wygląda następująco:

*Diagram przesunięć dla gry 2.3*
2.3	Kolumna
Wiersz		A	B	C	D
A	\(\rightarrow\)		\(\leftarrow \; \downarrow \; \rightarrow\)
B	\(\updownarrow\)	\(\leftarrow \; \updownarrow\)	\(\leftarrow \; \; \; \; \rightarrow\)	\(\updownarrow\)
C	\(\rightarrow\)		\(\leftarrow \; \updownarrow \; \rightarrow\)
D	\(\uparrow \; \rightarrow\)	\(\uparrow\)	\(\leftarrow \; \; \; \; \rightarrow\)	\(\uparrow\)

W tej grze można wyeliminować strategię C Kolumny, jest ona zdominowana zarówno przez strategię B jak i D a zatem racjonalny gracz nie powinien jej wybierać. Wiedząc o tym, Wiersz powinien więc planować swoje wybory uwzględniając, że Kolumna nie zagra strategii C. Po wyeliminowaniu jej uzyskamy grę:

Przykład 2.3' Gra z kilkoma punktami siodłowymi.

*Macierz wypłat 2.3'*
2.3	Kolumna
Wiersz		A	B	D
A	2	1	1
B	-1	0	-5
C	9	1	1
D	1	0	-2

dla której diagram przesunięć jest

*Diagram przesunięć dla gry 2.3'*
2.3'	Kolumna
Wiersz		A	B	D
A	\(\rightarrow\)
B	\(\updownarrow\)	\(\leftarrow \; \updownarrow \; \rightarrow\)	\(\updownarrow\)
C	\(\rightarrow\)
D	\(\uparrow \; \rightarrow\)	\(\uparrow \; \rightarrow\)	\(\uparrow\)

Zauważmy, że w zmodyfikowanej grze 2.3' strategie B i D Wiersza również są zdominowane na przykład przez strategię C. Dla Wiersza oznacza to, że może tych strategii nie brać pod uwagę, co dodatkowo znacznie uprości grę do postaci

Przykład 2.3\(''\) Gra z kilkoma punktami siodłowymi.

*Macierz wypłat 2.3\(''\)*
2.3\(''\)	Kolumna
Wiersz		A	B	D
A	2	1	1
C	9	1	1

dla której diagram przesunięć jest

*Diagram przesunięć dla gry 2.3\(''\)*
2.3\(''\)	Kolumna
Wiersz		A	B	D
A	\(\rightarrow\)
C	\(\rightarrow\)

.

A teraz już tylko jeden krok do rozwiązania gry, które otrzymamy po wyeliminowaniu zdominowanej strategii A Kolumny (zauważmy, że Kolumna nie mogła wyeliminować swojej strategii A już w pierwszym kroku, gdyż w pierwotnej postaci gry 2.3 ta strategia nie jest zdominowana). Po tej trzystopniowej redukcji strategii zdominowanych gra 2.3 sprowadza się do prostej formy

Przykład 2.3\('''\) Gra z kilkoma punktami siodłowymi.

*Macierz wypłat 2.3\('''\)*
2.3\('''\)	Kolumna
Wiersz		B	D
A	1	1
C	1	1

dla której diagram przesunięć jest oczywiście pusty. Rozwiązanie gry 2.3 mówi nam, że Wiersz powinien grać strategię A lub C a Kolumna strategię B lub D. Grając te strategie obaj gracze mają gwarancję, że ich wynik będzie nie gorszy niż wynosi wartość gry, którą jest w tym przypadku \( \nu=1 \). Zauważmy, że pary strategii (A,B), (A,D), (C,B) i (C,D) są punktami siodłowymi gry w każdej jej postać od 2.3 do 2.3\('''\). W pierwotnej postaci gry para strategii (D,A) również dawała wygraną równą wartości gry \( \nu=1 \) ale para ta nie jest punktem siodłowym. Istotnie, gdyby na przykład wiersz zdecydował się zagrać strategię D to Kolumna mogłaby zagrać również D uzyskując dla siebie wynik \(2\) dużo korzystniejszy niż wartość gry.

Rozwiązanie gry: Rozwiązaniem gry o sumie zerowej nazywamy parę strategii optymalnych oraz wartość gry \(\nu\,\) czyli wypłatę, odpowiadającą tym strategiom. Strategia gracza jest optymalna, jeżeli jego wygrana będzie równa co najmniej \(\nu\,\), niezależnie od strategii przyjętej przez drugiego gracza.

Zauważmy, że każdy punkt siodłowy jest rozwiązaniem gry. Gra 2.3 ma zatem 4 rozwiązania, odpowiadające wartości gry \( \nu=1\,\). Czy możliwa jest sytuacja w której gra ma kilka punktów siodłowych odpowiadających różnym wartościom wygranej? Gdyby tak było, to nie można by jednoznacznie określić wartości gry. Na szczęście taka sytuacja nie może mieć miejsca. Zachodzi bowiem twierdzenie

Twierdzenie. Każde dwa punkty siodłowe tej samej gry odpowiadają tej samej wypłacie.
Dowód: załóżmy, że para strategii (X\(_{1}\),Y\(_{1}\)) odpowiada wypłacie \( \nu_{1,1}\,\) a para strategii (X\(_{2}\),Y\(_{2}\)) odpowiada wypłacie \( \nu_{2,2}\,\) oraz (X\(_{1}\),Y\(_{1}\)) i (X\(_{2}\),Y\(_{2}\)) są punktami siodłowymi. Pokażemy, że \( \nu_{1,1}=\nu_{2,2}\,\). Gdyby X\(_{1}\) = X\(_{2}\) to \( \nu_{1,1}=\nu_{2,2}\,\) gdyż z definicji żaden z dwu punktów siodłowych w jednym wierszu nie może być większy od drugiego. Podobnie pokazujemy tezę dla Y\(_{1}\) = Y\(_{2}\). Możemy więc założyć, że strategie X\(_{1}\) i X\(_{2}\) są różne podobnie jak Y\(_{1}\) i Y\(_{2}\). Rozważmy dodatkowe pary strategii (X\(_{1}\),Y\(_{2}\)) i (X\(_{2}\),Y\(_{1}\)), oraz odpowiadające im wypłaty \( \nu_{1,2}\,\) i \( \nu_{2,1}\,\) (por. tabela 2.4). Zauważmy, że z definicji punktu siodłowego wynika, że wszystkie wartości w wierszu są nie mniejsze od \( \nu_{1,1} \,\) i \( \nu_{2,2}\,\) więc

*Tabela 2.4*
2.4	Kolumna
Wiersz		...	Y\(_{1}\)	...	Y\(_{2}\)	...
...	...	...	...	...	...
X\(_{1}\)	...	\(\nu_{1,1}\)	...	\(\nu_{1,2}\)	...
...	...	...	...	...	...
X\(_{2}\)	...	\(\nu_{2,1}\)	...	\(\nu_{2,2}\)	...
...	...	...	...	...	...

\[ \nu_{1,1} \leqslant \nu_{1,2} \] oraz \( \nu_{2,2} \leqslant \nu_{2,1} \).

Podobnie z definicji punktu siodłowego wynika, że wszystkie wartości w kolumnie są nie większe od \( \nu_{1,1}\) i \( \nu_{2,2}\) więc

\[ \nu_{2,1}\leqslant\nu_{1,1} \] oraz \( \nu_{1,2} \leqslant \nu_{2,2} \).

Z nierówności tych wynika bezpośrednio, że

\[ \nu_{1,1}=\nu_{1,2}=\nu_{2,2}=\nu_{2,1} \;\]

A zatem udowodniliśmy twierdzenie pokazując ponadto dodatkowe dwa punkty siodłowe, które wraz z pierwotnie wybranymi tworzą prostokąt w tabeli wypłat.

Maksimin i minimaks

Poszukiwanie punktów siodłowych metodą redukcji strategii zdominowanych tak jak to pokazaliśmy w przykładzie 2.3 udaje się tylko dla niektórych gier. W ogólnym przypadku taka metoda jest nieskuteczna. W tym rozdziale zajmiemy się ogólną metodą poszukiwania punktów siodłowych za pomocą wyznaczania maksiminu i minimaksu. Aby to zrobić ponownie odwołamy się do przekładu gry podobnej do 2.3 tyle, że zmienimy w niej jedną wypłatę, odpowiadającą strategii (C,C) - wartość 5 zamienimy na 0. Jak widać z przedstawionej poniżej tabeli wypłat po takiej zmianie żaden a wierszy ani żadna z kolumn nie jest zdominowana przez inne.

Przykład 2.5 Wyznaczanie punktów siodłowych metodą maksiminu i minimaksu.

*Maksimin jest maksymalną spośród wypłat minimalnych w wierszach a minimaks jest minimalną spośród wypłat maksymalnych w kolumnach macierzy*
2.5	Kolumna	minima wierszy	maksimin
Wiersz		A	B	C	D
A	2	1	3	1	1	1
B	-1	0	7	-5	-5
C	9	1	0	1	0
D	1	0	7	-2	-2
maksima kolumn	9	1	7	1
minimaks		1		1

Z definicji punkt siodłowy ta taki, którego wartość jest nie większa on innych w jego wierszu. Poszukajmy zatem najmniejszych wartości w każdym wierszu. W przykładzie 2.5 pokazano je jako "minima wierszy", jeśli gra miałaby punkt siodłowy to musiałby on znaleźć się na tej liście. Z drugiej jednak strony punkt siodłowy to taki, którego wartość jest nie mniejsza od innych w jego kolumnie. Poszukajmy więc największych wartości w poszczególnych kolumnach. W tabeli 2.5 pokazano je jako "maksima kolumn". Teraz jest jasne, że aby gra miała punkt siodłowy, musi on należeć do obu tych list. Ale maksima kolumn są nie mniejsze niż minima wierszy dlatego jedyną możliwością znalezienia części wspólnej obu tych list jest porównanie minimalnego maksimum kolumn i maksymalnego minimum wierszy. Jeśli te dwie liczby są równe to ich wspólna wartość jest punktem siodłowym oraz wartością gry \( \nu \). Minimalne maksimum kolumn nazywamy minimaksem a maksymalne minimum wierszy nazywamy maksiminem. Udowodniliśmy zatem twierdzenie

Twierdzenie o maksiminie i minimaksie: Jeśli maksimin i minimaks gry macierzowej są równe to gra posiada punkt lub punkty siodłowe o tej wartości. Punkty te leżą na przecięciu wierszy i kolumn których minima i maksima są równe tej wartości. Jeśli maksimin jest mniejszy od minimaksu to gra nie posiada punktów siodłowych.

Jak widać w przypadku gry 2.5 ma ona dwa punkty siodłowe (A,B) i (A,D) o wartości wspólnej maksiminu i minimaksu \( \nu=1 \). Inne pary strategii o wartości 1, t.j (C,B), (C,D) i (A,E) nie są punktami siodłowymi gdyż nie leżą na przecięciu wierszy i kolumn których zarówno minima jak i maksima są równe 1.

Strategie mieszane

W poprzednim rozdziale pokazaliśmy, że poszukiwanie punktów siodłowych jest wygodnym sposobem poszukiwania rozwiązań gier o sumie zerowej. Zauważyliśmy również, że aby gra miała punkt siodłowy musi zachodzić równość minimaksu i maksiminu dla tabeli tej gry. Powróćmy jeszcze raz do pierwszego rozważanego przykładu 2.1. Jak widzimy dla tej gry taka równość nie zachodzi bo maksimin=1 a minimaks=-1.

Przykład 2.6 Gra bez punktów siodłowych.

*W tej grze maksimin=1 a minimaks=-1 więc nie ma punktu siodłowego*
2.6	Kolumna	minima wierszy	maksimin
Wiersz		A	B
A	1	-2	-2
B	-1	0	-1	-1
C	-4	5	-4
maksima kolumn	1	5
minimaks	1

Na diagramie przesunięć gry 2.1 nie ma żadnego punktu równowagi. Oznacza to, że nie istnieje taka para opcji dla Wiersza i Kolumny która, gdyby była wybrana, zapewniłaby im wygraną równą wartości gry. Wszak taka para musiałaby być równowagą, której w naszej grze brak. Czyżby zatem gra 2.1 nie miała rozwiązania? Okazuje się, że takie rozwiązanie istnieje, tyle, że oparte jest o tzw. strategie mieszane.

Strategia mieszana: Strategią mieszaną nazywamy taki sposób gry w którym gracz Wiersz wybiera dostępne opcje A, B, C,... w sposób losowy w prawdopodobieństwem \(pW_X >0\,\) oraz \(\sum\limits_{X=A,B,\ldots} pW_X = 1\,\) . Taką strategię oznaczamy symbolem \([pW_A, pW_B, pW_C...]_W \,\). Analogicznie definiujemy strategię mieszaną Kolumny

A zatem strategia mieszana jest sposobem na gry, które są rozgrywane wielokrotnie - dopiero wtedy nabiera znaczenia to, że poszczególnym opcjom gracza odpowiada prawdopodobieństwo ich wybrania. Strategią mieszaną będzie na przykład użycie przez Wiersz monety do losowania jednej z dwu opcji A i B. W tym przypadku odpowiednie prawdopodobieństwa powinny wynosić \(pW_A=pW_B=1/2\,\). Przy stosowaniu strategii mieszanej wygraną gracza da się określić tylko jako jej wartość oczekiwana.

Wartość oczekiwana wypłaty: Jeżeli prawdopodobieństwa uzyskania wypłat \(a_1, a_2,...a_k \,\) wynoszą odpowiednio \(p_1, p_2,...p_k, (p_1 + p_2+...+ p_k=1 \,\)) to wartością oczekiwaną wypłaty \(\mathbb E\,\) jest

\[\mathbb E =a_1 p_1 + a_2 p_2 +...+ a_k p_k\,\]

Przykład: Jeśli w grze 2.6 Kolumna zagra opcję A z prawdopodobieństwem \(pK_A=1/2\,\) i B z prawdopodobieństwem \(pK_B=1/2\,\) czyli wybierze strategię \([1/2, 1/2]_K\,\) to wartość oczekiwana wypłaty Wiersza przy wyborze opcji A, którą oznaczamy \(WOW_A\,\), wynosi

\[\mathbb EW_A=\frac {1}{2} \cdot 1 + \frac {1}{2} \cdot(-2) = -\frac {1}{2}\],

podobnie wartość oczekiwana wypłaty Wiersza przy wyborze opcji B (\(\mathbb EW_B\,\)) wynosi

\[\mathbb EW_B=\frac {1}{2}\cdot (-1) + \frac {1}{2} \cdot 0 = -\frac {1}{2}\].

Zauważmy, że granie według strategii mieszanej jest jakościowo różne od strategii prostej. W przypadku tej pierwszej nie mamy jednoznacznej recepty którą opcję należy przy danym wyborze wybrać, wiemy tylko z jakim prawdopodobieństwem mamy ją wybrać. Sytuacja nieco przypomina opis świata fizycznego przy pomocy mechaniki klasycznej i kwantowej. W tej pierwszej, mamy dokładną informację co do "parametrów gry": położeń, prędkości poszczególnych cząstek. W mechanice kwantowej wiemy jedynie, lub obserwujemy, jakie są prawdopodobieństwa przyjęcia poszczególnych wartości przez te "parametry". W tym miejscu nie będziemy bardziej rozwijać tej analogii, zainteresowanych odsyłam do prac Sładkowskiego i Piotrowskiego.

Osobnym tematem pozostaje sposób realizacji strategii mieszanej. Sprawę wyjaśnijmy na przykładzie. Gdyby Kolumna mając do wyboru dwie opcje A i B jak w przykładzie 2.6 miała zagrać strategią \([2/3, 1/3]_K\,\) to jak ją zrealizuje? Można by przypuszczać, że powinna grać B w co trzeciej grze, tzn. wybierając A,A,B,A,A,B,... , gdyż w ten sposób zrealizowałaby żądany rozkład prawdopodobieństwa. Przypuszczamy jednak, że Wiersz, gdyby to zauważył natychmiast wykorzystałaby tą wiedzę i dopasował swoją strategię grając sekwencję: A,A,C,A,A,C,... w której jego wypłata po każdej sekwencji trzech wyborów wynosiłaby 7. Byłby to najgorszy z możliwych scenariuszy dla Kolumny. Aby zagrać strategią \([2/3, 1/3]_K\,\) Kolumna powinna to zrobić w sposób losowy. Można w tym celu wykorzystać np rzut kostką i wybierać B tylko gdy wypadnie "5" lub "6", losować "z kapelusza", można w losowy sposób otwierać kartki książki i wybierać "B" gdy numer strony jest podzielny przez 3, spoglądać na sekundnik zegarka i stosować tę samą zasadę dla zaobserwowanej akurat sekundy. (Lepiej jednak spojrzenie na zegarek ukryć przed Wierszem bo może odgadnąć zasadę i wykorzystać swój zegarek.) Można wykorzystać jakikolwiek inny ""generator"" losowy.

Rozwiązania gier w strategiach mieszanych

Poszukamy teraz metody znajdywania rozwiązań gier, które nie mają punktów siodłowych przy pomocy strategii mieszanych. Rozważmy następującą grę bez punktów siodłowych

Przykład 2.7 Gra bez rozwiązań w strategiach prostych

*W tej grze maksimin=0 a minimaks=1 więc nie ma punktu siodłowego*
2.7	Kolumna	minima wierszy	maksimin
Wiersz		A	B
A	2	-3	-3
B	0	1	0	0
maksima kolumn	2	1
minimaks		1

Załóżmy że Kolumna w tej grze gra strategią \([pK_A, pK_B]_K\,\). Wówczas wartość oczekiwana wygranych Wiersza będzie:

(1)\(\mathbb EW_A=pK_A \cdot 2 + (1-pK_A)\cdot(-3) = -3 + 5 pK_A\,\), \[\mathbb EW_B=pK_A \cdot 0 + (1-pK_A)\cdot 1 = 1 - pK_A\,\],

Zauważmy, że jeżeli zechcemy aby \(\mathbb EW_A=\mathbb EW_B\,\), tzn.

\[-3 + 5 pK_A = 1 - pK_A\,\],

to wyliczona stąd wartość \(pK_A=2/3\,\) wyznacza strategię Kolumny \([2/3, 1/3]_K\,\) taką, dla której wartość oczekiwana wypłaty Wiersza nie będą zależały od wybranej przezeń opcji. Taką strategię nazywamy strategią wyrównującą Kolumny. Jeśli Kolumna ją zastosuje to ta wartość oczekiwana będzie równa \[\mathbb EW_A=\mathbb EW_B=1/3,\,\] niezależnie od zastosowanej przez Wiersz strategii. Ale Wiersz również ma swoją strategię wyrównującą, którą obliczymy zakładając, że \(\mathbb EK_A=\mathbb EK_B\,\), gdzie

\[\mathbb EK_A=pW_A\cdot 2 + (1-pW_A)\cdot 0 = 2pW_A,\,\] \[\mathbb EW_B=pW_A\cdot(-3) + (1-pW_A)\cdot1 = 1 - 4pW_A,\,\]

czyli \(pW_A=1/6\,\), co daję strategię wyrównującą Wiersza \([1/6, 5/6]_W\,\). Wartość oczekiwana wygranej Kolumny przy tej strategii jest taka sama \(\mathbb EK_A=\mathbb EK_B=1/3\,\).

Można więc powiedzieć, że strategie wyrównujące dają nam parę strategii optymalnych dla obu graczy \([2/3, 1/3]_K, [1/6, 5/6]_W\,\) oraz wartość gry wyrażoną jako wartość oczekiwaną wygranej obu graczy \(\nu=1/3\,\) czyli rozwiązanie gry 2.7 wyrażone w strategiach mieszanych.

Na uzyskane rozwiązanie składają się dwie strategie optymalne obu gracz, jeśli wiersz zastosuje swoją strategię \([1/6, 5/6]_W\,\) to niezależnie od tego, jak będzie grała Kolumna to wartość oczekiwana jej wypłaty będzie równa \(\nu=-1/3\,\). Podobnie jeśli Kolumna zagra swoją strategię optymalną \([2/3, 1/3]_K\,\) to niezależnie od tego co zrobi Wiersz, jego wartość oczekiwana wypłaty będzie równa \(\nu=-1/3\,\). Sytuacja odzwierciedla parę strategii punktu siodłowego z tą różnicą, że wygrane zostały zastąpione ich wartościami oczekiwanymi. To jest jednak nieuniknione jeśli mówimy o strategiach mieszanych.

Warunki istnienia punktów siodłowych

Gra posiadająca punkty siodłowe ma swoje rozwiązania w strategiach prostych. Czy można podać ogólną receptę na rozwiązania gry, która tak jak gra 2.8 nie posiada punktów siodłowych? Okazuje się że odpowiedź na to pytanie jest pozytywna. Zanim jednak podamy ogólna rozwiązania skupimy się na najprostszym przypadku gry typu (2x2) (po dwie dostępne opcje dla Wiersza i Kolumny) i jej macierzy wypłat kiedy nie ma ona punktów siodłowych. Ogólną grę można zapisać w postaci macierzy wypłat \(\mathcal{W}=\{w_{X,Y}\}\,\)

Przykład 2.8 Ogólna gra typy (2x2)

*Gra (2x2) opisana przy pomocy macierzy wypłat \(\mathcal{W}=\{w_{X,Y}\}\,\)*
2.8	Kolumna
Wiersz		A	B
A	\(w_{A,A}\,\)	\(w_{A,B\,}\)
B	\(w_{B,A}\,\)	\(w_{B,B}\,\)

Twierdzenie 2.8: Gra typu 2.8 nie ma punktów siodłowych wtedy i tylko wtedy gdy

(2)\( \begin{array}c rK_B \cdot rK_A <0\,\\ rW_B \cdot rW_A <0\, \end{array} \)

oraz

(3)\( \begin{array}c rK_A \cdot rW_A >0\,\\ rK_B \cdot rW_B >0\, \end{array} \)

gdzie:

\[rK_A=w_{A,A}-w_{B,A}\,\] \[rK_B=w_{A,B}-w_{B,B}\,\] \[rW_A=w_{A,A}-w_{A,B}\,\] \[rW_B=w_{B,A}-w_{B,B}\,\]

Dowód: Zauważmy, że pierwsze dwie nierówności (2) oznaczają, że powyższa gra nie ma strategii zdominowanych. Pierwsza z nich oznacza, że żaden z wierszy 2.8 nie jest zdominowany - rzeczywiście znaki \(rK_A\,\) oraz \(rK_B\,\) wyznaczają kierunki pionowych strzałek diagramu przesunięć a ujemny znak ich iloczynu świadczy, że są skierowane przeciwnie. Drugi warunek (2) oznacza, że poziome strzałki, których kierunki wyznaczają \(rW_A\,\) i \(rW_B\,\) są skierowane przeciwnie.

Jeśli, jak w tych dwu pierwszych nierównościach, iloczyn dwu czynników jest ujemny, to czynniki te muszą być liczbami niezerowymi o przeciwnych znakach, można to osiągnąć na cztery sposoby: \((+-)\), \((+-)\) lub \((+-)\), \((-+)\) lub \((-+)\), \((-+)\) lub \((-+)\), \((+-)\). Odpowiada to czterem postaciom diagramu przesunięć:

Diagramy przesunięć 2.8

*postać 1*
\(\downarrow\)	\(\leftarrow\)
\(\rightarrow\)	\(\uparrow\)

*postać 2*
\(\downarrow \rightarrow\)
	\(\leftarrow \uparrow\)

*postać 3*
\(\rightarrow\)	\(\downarrow\)
\(\uparrow\)	\(\leftarrow\)

*postać 4*
	\(\leftarrow \downarrow\)
\(\uparrow \rightarrow\)

Zwróćmy jednak uwagę, że diagram przesunięć w postaci 2 jest niemożliwy gdyż prowadzi do zestawu sprzecznych nierówności \(w_{A,A} < w_{B,A} < w_{B,B} < w_{A,B} < w_{A,A} \,\). Podobnie nie istnieje macierz odpowiadająca diagramowi w postaci 4. Oznacza to jednak, że z czterech możliwych sposobów znakozmienności powyższych wyrażeń pozostają tylko dwa odpowiadające postaciom 1 i 3 diagramu przesunięć: \((+-)\), \((+-)\) lub \((-+)\), \((-+)\) a to prowadzi do kolejnych dwu nierówności (3) naszego twierdzenia. Pokazaliśmy zatem że spełnienie wszystkich czterech nierówności jest równoważne, że diagramy przesunięć przybierają postać 1 lub 3 a to jest równoważne temu, że gra nie ma punktów siodłowych.

Ogólna metoda rozwiązania gier (2x2) w strategiach mieszanych

Wiedząc jakie warunki spełnia macierz wypłat \(\mathcal{W}=\{w_{X,Y}\}\,\) gry (2x2) która nie ma punktów siodłowych podamy teraz jej rozwiązania w strategiach mieszanych. Układ równań równań (1), który zapisaliśmy w przykładzie 2.7 można zapisać w postaci ogólnej jako

(4)\( \begin{bmatrix} w_{A,A} & w_{A,B} \\ w_{B,A} & w_{B,B}\end{bmatrix} \begin{bmatrix} pK_{A} \\ 1-pK_{A}\end{bmatrix}= \begin{bmatrix} \mathbb EW_A \\ \mathbb EW_B\end{bmatrix} \),

ale \(\mathbb EW_A = \mathbb EW_B \,\) więc rozwiązując układ równań (4) dostaniemy

(5)\( pK_A= \frac{rK_B}{rK_B - rK_A},\,\,\,\,\,pK_B = 1 - pK_A = \frac{-rK_A}{rK_B - rK_A}\)

oraz

(6)\( \mathbb EW_A=\mathbb EW_B=w_{B,B} + \frac{rW_B \cdot rK_B}{rW_B - rW_A}\).

W analogiczny sposób wyznaczamy strategię mieszaną wiersza, która wyraża się symetrycznymi wzorami w których jednak macierz \(\mathcal{W}\,\) zastąpiono jej macierzą transponowaną \(\mathcal{W}^{T}=\{w_{Y,X}\}\) a w związku z tym w równaniach (5) i (6) należy dokonać zamiany wiersza na kolumnę i odwrotnie:

(7)\( pW_A= \frac{rW_B}{rW_B - rW_A},\,\,\,\,\,pW_B = 1 - pW_A = \frac{-rW_A}{rW_B - rW_A}\)

wartość oczekiwana wygranej Kolumny ma taką samą wartość, jak wygrana Wiersza, tu przedstawiamy jej równoważną, wynikającą z symetrii postać

(8)\( \mathbb EK_A=\mathbb EK_B=w_{B,B} + \frac{rK_B \cdot rW_B}{rK_B - rK_A}\).

Zauważmy, że z twierdzenia 2.8 wynika, że dla gier, które nie mają punktów siodłowych wszystkie różnice \(rK_A\,\), \(rK_B\,\), \(rW_A\,\) i \(rW_B\,\) w licznikach i mianownikach wyrażeń na (5) i (7) są jednocześnie tego samego znaku - dodatnie lub ujemne. Jest to ważne ponieważ oznacza, że są spełnione warunki \( 0 < pK_A < 1\,\) i \( 0 < pW_A < 1\,\) niezbędne aby \( pK_A \,\) i \( pK_B \,\) oraz \( pW_A \,\) i \( pW_B \,\) były odpowiednimi prawdopodobieństwami. W związki z tym wzory te można przedstawić w równoważnej postaci:

(9)\( pK_A= \frac{|rK_B|}{|rK_B| + |rK_A|},\,\,\,\,\,pK_B = \frac{|rK_A|}{|rK_B| + |rK_A|}\)

oraz

(10)\( pW_A= \frac{|rW_B|}{|rW_B| + |rW_A|},\,\,\,\,\,pW_B = \frac{|rW_A|}{|rW_B| + |rW_A|}\)

W związku z powyższymi wzorami można wskazać praktyczną metodę wyznaczania strategii mieszanych dla gier (2x2) bez punktu siodłowego.

Przykład 2.9 Metoda Williamsa

*Graficzna metoda obliczania mieszanych strategii optymalnych Wiersza i Kolumny oraz wartości gry dla gier (2x2) bez punktu siodłowego.*
2.9	Kolumna	różnice w wierszach	\( pW_A \,\) i \( pW_B \,\) dla strategii optymalnej Wiersza
Wiersz		A	B
A	\(w_{A,A}\,\)	\(w_{A,B}\,\)	\(rW_A \,\)	\(\frac{\|rW_B\|}{\|rW_B\| + \|rW_A\|}\)
B	\(w_{B,A}\,\)	\(w_{B,B}\,\)	\(rW_B\,\)	\(\frac{\|rW_A\|}{\|rW_B\| + \|rW_A\|}\)
różnice w kolumnach	\(rK_A\,\)	\(rK_B\,\)	\( \mathbb EW=\mathbb EK=w_{B,B} + \frac{\|rW_B\| \cdot \|rK_B\|}{\|rW_B\| + \|rW_A\|}\)
\( pK_A \,\) i \( pK_B \,\) dla strategii optymalnej Kolumny	\(\frac{\|rK_B\|}{\|rK_B\| + \|rK_A\|}\)	\(\frac{\|rK_A\|}{\|rK_B\| + \|rK_A\|}\)

Rozwiązania gier typu (mx2) i (2xn)

Jak pokazaliśmy w poprzednich rozdziałach istnieją rozwiązania dowolnych gier o sumie zerowej o wymiarze (2x2). O grach dla których gracze mają więcej niż dwie opcje do wyboru, t.j. np. (mxn), gdzie przynajmniej jedna z tych liczb jest większa od dwójki wiemy tyle, że uda się nam je rozwiązać jeżeli mają punkty siodłowe. Metodę poszukiwania takich punktów opisaliśmy w rozdziale Maksimin i minimaks. Jeśli gra nie posiada takich punktów to można próbować zredukować jej wymiar poprzez poszukiwanie strategii zdominowanych. Jak zobaczyliśmy w rozdziale Punkty siodłowe oraz dominacje redukcja taka może się wieloetapowa, poprzez kolejne eliminowanie zdominowanych wierszy i kolumn. Końcowym etapem redukcji gry 2.3 była gra (2x2) posiadająca punkty siodłowe. Co jednak jeśli omawiane wyżej kroki nie doprowadzą do rozwiązania gry? Obecny rozdział poświęcimy takim przypadkom, w których nieredukowalne i nie posiadające punktów siodłowych gry mają wymiar (mx2) lub (2xn). Rozważmy na przykład grę typu (2x4), która nie posiada punktów siodłowych ani strategii zdominowanych. Załóżmy, że Kolumna gra strategią mieszaną \([pK_A, pK_B, pK_C, pK_D] \,\). Zwróćmy uwagę, że taką strategia mieszana można zapisać jako wektor

(11)\( \begin{bmatrix} w_{A,A} & w_{A,B} & w_{A,C} & w_{A,D} \\ w_{B,A} & w_{B,B} & w_{B,C} & w_{B,D}\end{bmatrix} \begin{bmatrix} pK_{A} \\ pK_{B} \\ pK_{C} \\pK_{D} \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} \mathbb EW_A \\ \mathbb EW_B\end{bmatrix} \),

w dwuwymiarowej przestrzeni wartości oczekiwanych wygranej Wiersza odpowiadających wyborom opcji A i B. Wszystkie strategie mieszane Kolumny tworzą tzw. otoczkę wypukłą rozpiętą na wektorach będących kolumnami macierzy wypłat. Żeby nasze rozważania były jaśniejsze zilustrujemy to przykładem konkretnej gry (2x4) (zobacz rysunek)

Przykład 2.10 Rozwiązanie gry typu (2x4)

*Gra (2x4) bez punktów siodłowych i strategii zdominowanych*
2.1	Kolumna
Wiersz		A	B	C	D
A	-4	0	2	3
B	2	1	0	-3

Na rysunku przedstawiono cztery punkty odpowiadające strategiom czystym A, B, C i D Kolumny. Tym strategiom odpowiadają wektory wygranych

\[ \begin{bmatrix} -4 \\ 2\end{bmatrix},\;\; \begin{bmatrix} 0\\ 1\end{bmatrix},\;\; \begin{bmatrix} 2\\ 0\end{bmatrix},\;\; \begin{bmatrix} 3\\ -3\end{bmatrix}. \]

Każda strategia mieszana jest, jak wynika z (11), wyznaczona przez kombinację liniową tych wektorów o współczynnikach nieujemnych sumujących się do jedności. Takie kombinacje tworzą otoczkę liniową zilustrowaną na rysunku a każdy punkt tej otoczki (poza wierzchołkami) odpowiada pewnej strategii mieszanej Kolumny. Tak jak w rozdziale Rozwiązania gier w strategiach mieszanych poszukamy teraz strategii wyrównujących Kolumny. Takie strategie powinny spełniać równanie

\[\mathbb EW_A=\mathbb EW_B=\mathbb EW \,\]

czyli leżeć na prostej o tym równaniu nachylonej pod kątem \(\pi/2\) do osi \(\mathbb EW_A\,\) (czerwona przerywana linia). Wszystkie punkty otoczki leżące na tej prostej są strategiami wyrównującymi Kolumny. Ona jednak jest zainteresowana minimalizacją wygranej Wiersza a zatem wybierze strategię oznaczoną literą "S". Ta strategia leży na krawędzi otoczki wyznaczonej przez wypłaty opcji A i D Kolumny. Jak zatem widać z rysunku Kolumna powinna całkowicie odrzucić strategie B oraz C, które dają wyższe wygrane Wierszowi i powinna zagrać strategię mieszaną "S" wyznaczoną przez równanie

\[ \begin{bmatrix} -4 & 3 \\ 2 & -3\end{bmatrix} \begin{bmatrix} pK_{A} \\pK_{D}\end{bmatrix}= \begin{bmatrix} \mathbb EW \\ \mathbb EW\end{bmatrix}, \,\,\,\,\,\,\,pK_{D}=1-pK_{A}\,\]

co prowadzi, na podstawie wzorów ogólnej metody, do

\[ pK_{A}=pK_{D}=\frac{1}{2},\;\;\;\; pK_{B}=pK_{C}=0,\;\;\;\;\mathbb EW=-\frac{1}{2}.\]

W ten sposób Kolumna zapewni sobie, że niezależnie od strategii Wiersza nie będzie on w stanie wygrać więcej niż \(\mathbb EW\). Strategie A oraz D Kolumny nazywamy jej strategiami aktywnymi natomiast strategie B i C, których Kolumna nie powinna grać w ogóle - jej strategiami nieaktywnymi.

Z kolei Wiersz powinien założyć, że Kolumna gra racjonalnie i wybrać ze swojej strony strategię będącą najlepszą odpowiedzią na wyrównującą strategię kolumny. Obliczając opisaną wyżej metodą strategię Wiersza uzyskamy

\[ pW_{A}=\frac{5}{12},\;\;\;\;pW_{B}=\frac{7}{12},\;\;\;\; \mathbb EK=-\frac{1}{2}.\] W ten sposób Wiersz zapewni sobie, że niezależnie od strategii wybranej przez Kolumnę nie wygra ona więcej niż wynosi wartość gry. Zauważmy, że poszukując rozwiązania gry typu (2x4) bez punktów siodłowych i dominacji tak naprawdę zredukowaliśmy tę grę do podgry typu (2x2) poprzez wyeliminowanie strategii, które są mniej korzystne dla Kolumny.

Jak się można domyśleć zastosowana metoda eliminowania dodatkowych wymiarów może być zastosowana do dowolnej gry typy (2xn). Rzeczywiście punkt "S" zawsze leży na jednej krawędzi otoczki wypukłej zbudowanej na punktach macierzy wypłat odpowiadających kolejnym strategiom Kolumny. Redukcja dowolnej macierzy wypłat typu (2xn) polega na znalezieniu tych punktów metodą graficzną a następnie rozwiązaniu gry (2x2) zredukowanej du tych punktów. Podobną zasadę można zastosować do gier typu (mx2). Tym razem jednak redukować będziemy nadmiarowe strategie Wiersza a punktu "S" będziemy poszukiwać wśród najwyższych wygranych Wiersza a więc w prawym górnym punkcie przecięcia otoczki wypukłej z czerwoną linią \(\mathbb EW_A=\mathbb EW_B\,\) (por. zadanie 2).

Rozwiązania dowolnych gier o sumie zerowej

Zapisana w rozdziale Punkty siodłowe oraz dominacje definicja rozwiązania gry odwołuje się do pary strategii optymalnych oraz liczby \(\nu\,\) zwanej wartością gry. Jak dotychczas pokazaliśmy, że rozwiązania gier istnieją w przypadku, kiedy istnieją jej punkty siodłowe (lub da się ją zredukować do tej postaci drogą redukcji strategii zdominowanych) oraz kiedy gra jest typu (2x2), (mx2) lub (2xn). Pozostaje do rozpatrzenia problem ogólny dwuosobowych gier o sumie zerowej typu (mxn). Ten przypadek został rozwiązany przez Johna von Neumanna, który w 1928 roku udowodnił twierdzenie

Twierdzenie (J. von Neumann): Każda dwuosobowa gra (mxn) o sumie zerowej ma rozwiązanie.

W tym miejscu nie będziemy dowodzić tego twierdzenia ale pokażemy sposób postępowania prowadzący do znajdywania rozwiązań. Sposób ten jest w dużej mierze powieleniem metody którą zastosowaliśmy do gier typu (mx2) lub (2xn). Polega on na tym, że dowolną grę typy (mxn) najpierw sprowadzamy do postaci kwadratowej (kxk). Taką grę (kxk) którą otrzymujemy z gry (mxn) drogą redukcji strategii zdominowanych i/lub eliminacji strategii nieaktywnych nazywamy podgrą gry oryginalnej. O grze tej zakładamy, że nie da sie jej dalej zredukować w opisany wyżej sposób. Pokazany w poprzednim rozdziale sposób redukcji do postaci kwadratowej metodą eliminacji strategii nieaktywnych, w przypadku gier o wymiarze trzy lub większym, może być trudny do wykonania. Zawsze jednak możemy przeprowadzić taką redukcję drogą rozważania wszystkich podgier kwadratowych a następnie wybranie przez gracza dysponującego większą liczbą opcji jako strategie aktywne, tylko tych, które dają mu najwyższą wygraną. Jeśli tak zrobi to sprowadzi grę do postaci kwadratowej. Pozostaje nam zatem pokazanie efektywnej metody rozwiązywania gier kwadratowych. W tym przypadku ogólna metoda nie różni się zanadto od metody pokazanej dla gier typu (2x2), zamiast układu równań 2x2 rozwiążemy jedynie układ o większym wymiarze.

W przypadku ogólnej gry typu (3x3) mamy do rozwiązania, analogicznie do gry typu (2x2), następujący układ równań

(12)\( \begin{bmatrix} w_{A,A} & w_{A,B} & w_{A,C} \\ w_{B,A} & w_{B,B} & w_{B,C}\\ w_{C,A} & w_{C,B} & w_{C,C}\end{bmatrix} \begin{bmatrix} pK_{A} \\ pK_{B} \\ pK_{C}\end{bmatrix}= \begin{bmatrix} \mathbb EW \\ \mathbb EW\\ \mathbb EW\end{bmatrix}, \,\,\,\, pK_{A}+ pK_{B} + pK_{C}=1. \)

Rozwiązaniem tego układu jest punkt przecięcia otoczki wypukłej trójwymiarowych wektorów kolumnowych macierzy gry z prostą \(\mathbb E W_{A}= \mathbb EW_B= \mathbb EW_C \,\). Istnienie takiego rozwiązania, o ile macierz gry nie da się zredukować do gry (2x2) lub (1x1) jest zagwarantowane przez twierdzenie Von Neumanna. Rozważmy dla przykładu grę

Przykład 2.11 Gra (3x3).

*Macierz wypłat gry (3x3) bez punktów siodłowych i dominacji*
2.11	Kolumna
Wiersz		A	B	C
A	2	0	1
B	0	2	2
C	1	2	0

Graficzną reprezentację rozwiązania można znaleźć (rys. 2)

rysując trzy trójwymiarowe wektory odpowiadających strategiom A, B i C Kolumny

\[ \begin{bmatrix} 2 \\ 0\\1\end{bmatrix},\;\; \begin{bmatrix} 0\\ 2\\2\end{bmatrix},\;\; \begin{bmatrix} 1\\ 2\\0\end{bmatrix} \]

oraz otoczkę wypukłą generowaną przez te trzy wektory jako niebieski trójkąt rozpięty pomiędzy nimi. Z rysunku widzimy, że rozwiązaniem równania (12) jest przecięcie tego trójkąta z prostą o równaniu \[\mathbb EW_A=\mathbb EW_B=\mathbb EW_C \,\], narysowaną jako czerwona przerywana linia. Rozwiązaniem gry jest więc strategia mieszana odpowiadająca zaznaczonemu na rys. 2 czerwonemu punktowi.

Jak łatwo sprawdzić, rozwiązując układ trzech równań liniowych o trzech niewiadomych, rozwiązaniem tym jest strategia mieszana \[ pK_{A} = \frac{4}{9},\,\,\,\, pK_{B} = \frac{3}{9},\,\,\,\, pK_{C}=\frac{2}{9} \] a wartością gry jest \( \nu = \frac{10}{9}.\). Jako, że macierz gry jest symetryczna ze względu na transpozycję to rozwiązanie dla Wiersza będzie identyczne

\[ pW_{A} = \frac{4}{9},\,\,\,\, pW_{B} = \frac{3}{9},\,\,\,\, pW_{C}=\frac{2}{9}. \]

W podobny sposób można rozwiązać dowolną grę typu (3x3). W przypadku gier kwadratowych o większej ilości wymiarów rozwiązanie może wymagać większego wysiłku ale zawsze można go uzyskać stosując znane wzory Kramera na rozwiązania układu równań liniowych niejednorodnych.

Gry dwuosobowe o sumie niezerowej

Gry wieloosobowe

gry wieloosobowe

Podejmowanie decyzji

Podstawowe zasady prowadzenia negocjacji

Harwardzki model negocjacji

Współczesne podejście do negocjacji, aby mogło okazać się pomocne dla uczestników rozmów, musi uwzględnić szereg dylematów, wobec których stajemy przystępując do rozmów:

Co jest zasadniczym celem negocjacji: porozumienie, kompromis czy zwycięstwo - wykazanie swojej przewagi?
Czy drugą stronę traktujemy jako partnera czy przeciwnika?
Przyjąć miękki czy twardy styl negocjowania?
Być szczerym i otwartym czy manipulować rozmówcą ukrywając przed nim jak najwięcej informacji?
Czy drugiej stronie powinniśmy ufać czy nie?

Istotą odpowiedzi, jaką na powyższe pytania proponują współcześni badacze jest stwierdzenie, że negocjacje nie powinny być terenem ścierania się i walki stron, lecz próbą wspólnego rozwiązania problemów. Należy sobie uświadomić, że niekoniecznie nasz sukces musi oznaczać porażkę innych (i odwrotnie), lecz że możliwe jest doprowadzenie do sytuacji obopólnej wygranej - wyniku satysfakcjonującego zaangażowane strony. Już to stwierdzenie sugeruje, że aby uzyskać ten efekt, będziemy stosowali opis przy pomocy teorii gier o sumie niezerowej. Uzasadnienie tego podejścia znajdziemy również w analizie tradycyjnego i nowoczesnego modelu negocjowania.

Przyjęcie takiego kooperacyjnego modelu pociąga za sobą konieczność traktowania przedstawicieli drugiej strony jako partnerów. Pozostałe z powyższych dylematów nie są już tak oczywiste i ich rozwiązanie zależy od analizy konkretnej sytuacji. Na ogół uważa się, że rezygnacja z konfrontacyjnego podejścia do negocjacji wymaga odejścia od stosowania ciągłej presji (twardy styl negocjatora) przy jednoczesnym okazaniu szczerej postawy (co nie znaczy, że należy wyjawić drugiej stronie wszystko!) i, przy zachowaniu należytej czujności, zaufania wobec partnerów.

Niedoskonałość tradycyjnego podejścia do negocjacji wynika z tego, że prezentuje ono model negocjacji, w którym strony zajmujące sprzeczne pozycje wypracowują kompromis, traktowany jako mechaniczne wypośrodkowanie między różnymi stanowiskami. Efekt negocjacji przedstawiony zostaje wówczas jako sytuacja, w której zysk jednej ze stron pociągać musi stratę dla drugiej. Jest to jednowymiarowe rozumienie bilansu zysków i strat obu stron, które ilustruje następujący diagram:

Rys.3. Tradycyjny model negocjacji

Inny rozkład możliwych rezultatów otrzymamy traktując negocjacje jako poszukiwanie twórczych rozwiązań - takich wyników gry, które dają możliwość osiągnięcia korzyści obu stronom. Jako memento dla tych wszystkich, którzy uważają, że coś zyskać można jedynie kosztem kogoś innego, przytoczmy prostą, ale pouczającą anegdotę:

Dwie siostry spierały się o pomarańczę - każda z nich uważała, że to jej należy się cały owoc. Kiedy wreszcie zgodziły się podzielić pomarańczę po połowie, jedna z nich zjadła ze smakiem swoją część i wyrzuciła skórkę, a druga, która pomarańcz nie lubiła, wyrzuciła miąższ a dodała skórkę do ciasta.

Współczesne podejście reprezentuje model wypracowany w ramach Harwardzkiego Programu Negocjacyjnego Program on Negotiation at Harvard Law School, przyjęty przez niemal wszystkich autorów nowoczesnych podręczników jako podstawa prezentacji sensu i rezultatów negocjowania. Jak pokazuje poniższy diagram, opiera się on na rozdzieleniu dwóch osi: jedna reprezentuje stopień zaspokojenia „moich” interesów, druga - „ich” interesów.

Rys.4. Model Harwardzki

Tradycyjne podejście ograniczałoby się do przekątnej od prawego dolnego do lewego górnego wierzchołka - albo ja osiągam wszystko „ich” kosztem ("wygrany-przegrany"), albo „oni” moim ("przegrany-wygrany"), albo znajdujemy rozwiązanie pośrednie kompromisowe w okolicach środka. Istnieje jeszcze - spotykany, niestety, w rzeczywistości - rezultat "przegrany-przegrany" niekorzystny dla obu stron. Jest on najczęściej wynikiem nieprzejednanej, nieustępliwej postawy wszystkich zaangażowanych i może polegać albo na zerwaniu rozmów, albo realizacji porozumienia „za wszelką cenę”, choćby dla wszystkich niekorzystnego.

Pozostaje jednak możliwość wykroczenia poza rozwiązania jednostronnie korzystne lub kompromisowe. Nazywamy to rozwiązaniem twórczym, oznaczonym jako "wygrany-wygrany". Realistycznie rzecz ujmując, niezwykle rzadko istnieje możliwość pełnego zaspokojenia interesów obu stron. Można jednak - jak poucza nas cytowana dykteryjka o pomarańczy - dążyć do rozwiązań lepszych, niż mechaniczny kompromis. Wymaga to spełnienia dwóch warunków:

dogłębnego rozpoznania interesów obu stron (a to nie jest możliwe bez pewnej dozy szczerości i zaufania);
zerwania z przekonaniem, że w negocjacjach sukces polega na wykazaniu swojej wyższości.

ZOPA i BATNA

Pojęcia ZOPA i BATNA to akronimy, które warto poznać ze względu na ich znaczenie w negocjacjach. Oba pochodzą od języka angielskiego:

Z one
O f
P ossible
A greement

czyli obszar możliwego porozumienia to nic innego jak strefa kompromisu według [[Teoria gier#Harwardzki model negocjacji|tradycyjnego modelu negocjacji]. Z kolei

B est
A lternative
T o a
N egotiated
A greement

to Najlepsza Alternatywa dla Negocjowanego Porozumienia. Chodzi o to aby każdy, kto przystępuje do negocjacji miał świadomość, że jego celem nie jest osiągnięcie porozumienia za wszelką cenę, lecz tylko takiego, które leży w granicach rozsądku. Dlatego też tak ważną rolę odgrywa alternatywne rozwiązanie - opcja „B”, którą przyjdzie nam wykorzystać, gdyby nie udało się wynegocjować satysfakcjonującego porozumienia. Daje to komfort psychiczny negocjatorowi, który nie będąc zmuszony do osiągnięcia porozumienia wykaże się odpowiednią stanowczością w bronieniu swoich pozycji. Pojęcia BATNY wiąże się granicą ustępstw negocjatora (por. przygotowanie negocjacji 2A). Można powiedzieć, że BATNA rozciąga się już za tą granicą, której nie można przekroczyć, wobec tego należy zastosować rozwiązanie alternatywne. Często wiąże się to oczywiście z przerwaniem negocjacji z powodu braku możliwości dojścia do akceptowalnego dla nas porozumienia.

Struktura procesu negocjacji

Negocjacje są procesem, który w typowym przypadku, przebiega w sześciu etapach. Sekwencja ta z punktu widzenia skuteczności rozmów powinna zawierać wszystkie wyszczególnione elementy:

PRZYGOTOWANIE

etap poprzedzający spotkanie negocjacyjne, nie mniej ważny, niż sama rozmowa. Na tym etapie musi zostać określony cel negocjacji i ich przedmiot: musimy wiedzieć po co i na jaki temat będziemy rozmawiać. Następnie gromadzimy niezbędne informacje na temat przedmiotu negocjacji i naszego partnera. Truizmem jest stwierdzenie, że im więcej wiemy zawczasu, tym lepiej przygotujemy argumentację i unikniemy przykrych niespodzianek. Zgromadzone dane pozwolą nam na ustalenie następujących kwestii:

określenie terminu i miejsca spotkania (pamiętajmy, że na ogół własny teren jest silnym atutem, ale - z drugiej strony - wizyta u partnera może dać nam dodatkowe informacje);
wybór negocjatora z naszej strony;
określenie stanowiska wyjściowego i identyfikację wszelkich zmiennych negocjacyjnych - punktów, które mogą podlegać dyskusji;
przygotowanie rozwiązań alternatywnych wobec stanowiska wyjściowego - zawsze należy mieć przynajmniej kilka takich rozwiązań, nigdy nie poprzestać na jednym, nawet gdybyśmy uważali je za idealne;
ustalenie wiążącej dla nas granicy ustępstw - poziomu realizacji naszych interesów, poniżej którego nie można zejść (np. maksymalna cena, którą zapłacimy za dany towar). Obowiązuje tu zasada :”Mierz wysoko!” - zbyt niskie aspiracje stawiają nas na pozycji z góry przegranej;
nastawienie się na styl negocjowania odpowiedni do sytuacji (raczej twardy czy raczej ugodowy itp.), pamiętajmy jednak, że przebieg rozmowy i reakcje partnera mogą nas zaskoczyć;
ustalenie taktyki negocjowania (kolejność poruszanych tematów, typ argumentacji, tempo odsłaniania swoich pozycji, wyczekiwanie na propozycje drugiej strony itd.)

DYSKUSJA WSTĘPNA

pierwsza faza właściwych negocjacji. Błędem byłoby zaczynanie rozmowy od złożenia propozycji. Najpierw należy stworzyć klimat sprzyjający porozumieniu. Wymiana grzeczności, komplementów, poruszenie neutralnych tematów pomogą przełamać lody i przejść do omawiania meritum. Na tym etapie staramy się zrozumieć partnera, rozpoznać jego potrzeby i sprawdzić, czy oparte na zebranych informacjach założenia na temat jego osoby, zachowania i reprezentowanych interesów potwierdzają się. Upewniamy się także, czy właściwie odczytaliśmy intencje partnera, czy nadal obie strony są zainteresowane przedmiotem transakcji czy wspólnym problemem. Warto najpierw podkreślić to, co nas łączy - zanim przejdziemy do nieuchronnych rozbieżności. Warto zwrócić uwagę na następujące zasady tworzenia konstruktywnego klimatu:

Słuchaj innych, okazuj szacunek dla ich racji, nawet jeśli się z nimi nie zgadzasz
Jeśli to tylko możliwe, okazuj drugiej stronie aprobatę
Unikaj zachowań, które stwarzają wzajemne napięcia np. grożą utratą twarzy
Bądź mniej oficjalny, kiedy to stosowne
Poszukuj nieformalnych kontaktów, najlepiej na poziomie osobistym; porozmawiaj o rzeczach nie związanych z interesami
Wykaż się poczuciem humoru, zdobądź się na patrzenie z dystansem na siebie
Miej świadomość tego jak stoisz i jak siadasz; unikaj nadmiernej sztywności
Bądź w ruchu, postaraj się pozdrowić kilka osób i porozmawiać z nimi
Odwołuj się do współzależności; pokazuj wspólne interesy

PROPONOWANIE

prezentowanie stanowisk, wysuwanie propozycji i kontrpropozycji. W tej fazie zostaje określone pole możliwych ustępstw - punktów, które mogą podlegać dalszej dyskusji. Należy dać do zrozumienia, że jesteśmy gotowi pomóc partnerowi, ale jednocześnie trzeba pokazać, że będziemy stanowczo bronili swoich interesów. Charakterystyczny dla tej fazy jest tryb warunkowy: rozpatrujemy wszelkie „gdyby”, „może”, ale nic nie ustalamy, nie zgadzamy się na żadne rozwiązanie, choćby nam odpowiadało. W dalszym ciągu negocjacji mogłoby się okazać, że popełniliśmy ogromny błąd. W tej fazie trzeba wykorzystać wiele zmiennych negocjacyjnych i skłonić partnera, by on także podał alternatywne rozwiązania.

TARGOWANIE SIĘ

to dla niektórych negocjacje właściwe. Każda ze stron stara się uzyskać dla siebie jak największe korzyści kosztem ustępstw ze strony partnera. Faza ta wymaga odporności psychicznej i panowania nad sobą, bardzo łatwo przetarg może przerodzić się w otwarty konflikt. Wtedy właśnie stosowane są rozmaite chwyty mające wyprowadzić w pole partnera: stosowanie presji, bluff, mówienie półprawdy, pokazywanie urażonej miny, pozorne zrywanie rozmów, wycofanie się z podjętych już ustaleń itd. Postępowaniem w tej fazie rządzi zasada wzajemności - obie strony oczekują, że za udzielane przez siebie ustępstwa otrzymają coś w zamian. Aby nie przegrać negocjacji, musimy trzymać się reguły „„Nie oddawaj niczego za darmo”. Nawet jeśli coś, co zamierzamy oddać partnerowi nic nas nie kosztuje, naciskamy, by zaoferowano nam coś korzystnego dla nas. W grę wchodzą sposoby manipulowania ustępstwami:

Procesy percepcji powodują, że ludzie nigdy nie widzą rzeczy w taki sam sposób i przypisują im odmienną wartość;
Myśląc o ustępstwach starajmy się wyszukać rzeczy o małej dla nas wartości, lecz znacznej wartości dla drugiej strony;
Starajmy się nie proponować ustępstw jako pierwsi;
Nigdy nie czyń ustępstw bez wytargowania czegoś w zamian.
To, co wytargujesz, nie musi mieć tej samej „obiektywnej” wartości, co ustępstwa.
Trzy czwarte ustępstw udzielanych jest w końcowej fazie przetargu. Wniosek: przygotujmy się na eskalację żądań drugiej strony pod koniec negocjacji i nie ulegajmy im.

POROZUMIENIE

W tej fazie podejmowane są wiążące decyzje co do zgody na konkretne propozycje. Omówione punkty traktujemy jako ustalenia, których nie będzie się zmieniać. Ewentualne rozbieżności, o ile nie mają kluczowego charakteru, pozostawia się do odrębnego rozpatrzenia , albo usuwa poza obszar zainteresowania partnerów. Obie strony zwykle zdają sobie sprawę z tego, co osiągnęły: rezultat jest więc znany, rozstrzygnięcia poczynione, emocje opadają. Typowe jest końcowe wahanie negocjatorów („Czy dobrze zrobiliśmy?”; „Czy nie za szybko ustąpiliśmy w sprawie...?”). Z czasem ten dysonans zostanie zniwelowany, ale właśnie w ty momencie często uczestnicy oczekują dowartościowania. Wprawni negocjatorzy karmią więc rozmówców komplementami w stylu: „Ciężko się z Wami rozmawiało, ale...” ; „Jednak wywalczyliście od nas ....”.

ZAMKNIĘCIE

Zamknięcie zasługuje na wyodrębnienie jako oddzielna faza, bowiem często się ją zaniedbuje. Podstawowe znaczenie ma upewnienie się, że obie strony rozumieją warunki kontraktu tak samo (pamiętajmy o zróżnicowanej percepcji!). Bywa, że brak podsumowania ustaleń staje się powodem renegocjacji, a obie strony oskarżają się wzajemnie o nierzetelność, złamanie danego słowa itd. Umowa w postaci spisanego kontraktu eliminuje takie nieporozumienia w znacznym stopniu, ale nawet litera dokumentu może być interpretowana niejednoznacznie. Psychologiczne znaczenie, także z perspektywy przyszłych kontaktów, ma oprawa symboliczna - uroczysty charakter zamknięcia negocjacji jest zachętą dla podtrzymania długotrwałych relacji i spełnia potrzebę uznania oddziałując na samoocenę negocjatorów. Ustalenia traktujmy poważnie. Nie przychylamy się do zdania, że każda rzecz, która jest efektem osiągniętego porozumienia, może być poddana powtórnym negocjacjom. Niefortunnym elementem polskiej kultury biznesu jest skłonność do ciągłego zmieniania wcześniejszych ustaleń lub zaakceptowanych reguł gry.

Opisane zasady postępowania pomagają nam zrozumieć, co to znaczy odnieść sukces w negocjacjach. Możemy zatem podać definicję udanych negocjacji: "Udane negocjacje, to proces w którym dwie lub więcej stron dochodzą do przyjęcia decyzji, która jest zadowalająca dla wszystkich stron, a której ustalenia zostaną wcielone w życie w uzgodnionym czasie".

Cztery podstawowe zasady negocjacji

Uzyskanie wyników przewidywanych przez model harwardzki umożliwia konsekwentne stosowanie zbioru podstawowych zasad. Oto one:

ODDZIEL LUDZI OD PROBLEMU. Pamiętajmy, że nigdy nie negocjują abstrakcyjne grupy czy instytucje: negocjują reprezentujący je konkretni ludzie, obdarzeni swoistymi cechami charakteru, odczuwający emocje, kierujący się różnymi wartościami. Od tego emocjonalnego aspektu nie potrafimy całkowicie uciec: zawsze w kontaktach z innymi jakąś osobę polubimy lub nie, ktoś będzie przez nas akceptowany, inny - wywoła naszą niechęć. Każdy negocjator ma zatem do czynienia z dwoma zagadnieniami: merytorycznym i międzyludzkim, a skuteczność rokowań wymaga, aby umieć odróżnić jeden aspekt od drugiego. Musimy nauczyć się rozpatrywać meritum negocjowanego problemu niezależnie od tego, że drugą stronę reprezentują tacy czy inni ludzie. Jak to zrobić? Po pierwsze, nie dopuścić aby nasze własne problemy i emocje wpływały na postawę wobec innych uczestników negocjacji. Po drugie, nie można pozwolić by nasze, nieuchronnie się pojawiające, odczucia sympatii lub antypatii w stosunku do partnerów rzutowały na to, jak potraktujemy problem - przedmiot rozmów. Uczestnicy powinni zatem traktować się jak ludzie, którzy wspólnie atakują problemy, a nie siebie nawzajem. Reguła brzmi: "Bądź miękki wobec partnerów, twardy wobec problemu". Stosowanie jej wymaga, aby dbając o przyjazny klimat rozmowy i starając się nie urazić godności i odczuć partnera, twardo bronić swojej sprawy.
SKONCENTRUJ SIĘ NA INTERESACH A NIE NA STANOWISKACH. Sens negocjacji polega na dążeniu do osiągnięcia określonego celu wyznaczającego interesy każdej ze stron. Środkiem do realizacji owych celów są wypowiadane przez negocjatorów stanowiska, np. propozycje ceny, warunki, jakie partner powinien spełnić itd. Jest rzeczą oczywistą, że ten sam cel można osiągnąć przy pomocy różnych środków. Zatem interesy są niezmiennym elementem negocjacji - ich zmiana oznaczałaby rezygnację lub przewartościowanie celu. Stanowiska natomiast mogą ulegać zmianie - wyjściowe stanowisko możemy zastąpić innym, które lepiej będzie dopasowane do sytuacji. Anegdota o pomarańczy ilustruje nam tę różnicę: każda z sióstr miała swój cel, ale twarda obrona stanowiska („Ja chcę cały owoc”) doprowadziła do kompromisu (podział po połowie) i zmarnowania części zasobów. Stanowiska należy zatem traktować elastycznie jako możliwe sposoby realizacji wyznaczonych celów w postaci proponowanych rozwiązań. Uchroni nas to przed typowym, jakże często w praktyce negocjowania występującym negatywnym zjawiskiem „okopywania się na swoich pozycjach”.
STARAJ SIĘ WYPRACOWAĆ ROZWIĄZANIA KORZYSTNE DLA OBU STRON. Jeśli uznamy, że celem negocjacji jest realizacja interesów na drodze porozumienia, a nie zwycięstwo nad partnerem traktowanym jako przeciwnik, naturalne stają się starania, aby obie strony wyniosły z negocjacji korzyść. Należy także uwzględnić czynnik psychologiczny rzutujący na przyjęcie rezultatu negocjacji. Jeśli negocjacje zakończą się wynikiem świadczącym wyraźnie o twojej wygranej, to oddaj coś drugiej stronie, aby i oni widzieli jakąś korzyść dla siebie. Istotnym elementem jest tu kwestia „zachowania twarzy”. Aby utrzymać możliwość porozumienia w przyszłych kontaktach, nie warto wykorzystywać własnej przewagi dla okazania partnerowi wyższości i pozostawienia go w poczuciu całkowitej klęski. Z tej psychologicznej prawdy zdawali sobie od wieków nawet dowódcy zwycięskich armii wyznaczając honorowe warunki kapitulacji pokonanym.
KORZYSTAJ Z OBIEKTYWNYCH KRYTERIÓW. Propozycje - zarówno swoje jak i drugiej strony - powinniśmy odnosić do kryteriów niezależnych od obu stron i uzasadnionych. Oznacza to, że nie należy stosować kryteriów subiektywnych, wyrażających nasze własne osądy i mniemania. Negocjowane kwestie powinny być prezentowane przy użyciu obiektywnych kryteriów, najlepiej opartych na standardach ilościowych. Gdy brak jest takich wymiernych odniesień, jak np. wskaźniki liczbowe, należy wspólnie uzgodnić, co będzie akceptowaną przez obie strony miarą porównań. Przykładowo, takim przyjętym kryterium ceny jest średnia cena rynkowa; kryterium jakości - standardy wyznaczone przez normy ISO itd. Czasami przy braku porozumienia w sprawie kryteriów pomocne jest rozpatrzenie precedensów - powołanie się na rozwiązania przyjęte przez innych w podobnych sytuacjach.

Strategie i taktyki negocjacji

Zmienne negocjacyjne - manipulowanie ustępstwami

Trzon spotkania negocjacyjnego stanowi prezentacja stanowisk dokonywana przez strony w postaci składanych propozycji, a następnie próba uzyskania dla siebie korzyści poprzez skłonienie partnera do ustępstw, czyli uczynienia zmiany w wyjściowym stanowisku lub zaproponowania rozwiązania alternatywnego. Każdą kwestię, która może stanowić treść takiej wymiany zdań nazywamy zmienną negocjacyjną. Umiejętność generowania (w fazie przygotowań) i operowania (podczas fazy proponowania i przetargu) dużą ilością takich zmiennych, co warunkuje posiadanie licznych rozwiązań alternatywnych, znamionuje wytrawnego negocjatora. Zmienne negocjacyjne wyznaczają pole możliwych ustępstw, bez których trudno wyobrazić sobie jakiekolwiek pertraktacje. Gdyby żadna ze stron nie zakładała możliwości ustąpienia na rzecz drugiej, negocjacje byłyby praktycznie niemożliwe. Relacje między partnerami wyznacza zasada wzajemności - obie strony oczekują, że za udzielane przez siebie ustępstwa otrzymają coś w zamian. A zatem przystępując do rozmów musimy się liczyć z możliwością ustępstw. Cała sztuka polega jednak na tym, aby nasze ustępstwa były przemyślane i przynosiły nam możliwie jak najmniej strat a jak najwięcej korzyści. Aby tak się stało należy kierować się pewnymi regułami. Przyjrzyjmy się następującym zasadom pozwalającym wprowadzać ustępstwa w przemyślany sposób:

Zwróć uwagę na możliwy zakres ustępstw z Twojej strony i ze strony partnera. Zdaj sobie sprawę jakie są Twoje oczekiwania wobec drugiej strony oraz czy i jakich ustępstw to z ich strony wymaga. Nie licz np. na ustępstwa, które byłyby dla Twojego partnera upokarzające czy ośmieszające. Równocześnie zastanów się, czego może chcieć od ciebie partner w negocjacjach i na jakie ustępstwa Ty jesteś w stanie pójść.
Ustępstwa na ogół nie są równoważne, uwaga wydaje się dość oczywista, warto jednak zdać sobie sprawę z ważności możliwych ustępstw z Twojej strony i przewidywanej skłonności do ustępstw w poszczególnych kwestiach Twojego partnera.
Ta sama sprawa ma na ogół inną wagę dla Ciebie a inną dla partnera, tu trzeba się poważnie zastanowić. Rzeczywiście waga spraw zależy od punktu widzenia obu stron na ogół jest różna: coś o dużej wartości dla Ciebie nie musi być bardzo ważne dla partnera i odwrotnie. Warto zatem pamiętać o zasadzie:
poszukuj ustępstw o małej wartości dla ciebie, lecz znacznej wartości dla drugiej strony. Te ustępstwa będą Twoimi atutami. Będziesz mógł je wykorzystać tak, aby niewiele tracąc dużo zyskać, pamiętaj jednak, że:
jeśli ustępujesz, zwróć uwagę aby druga strona to dostrzegła, innymi słowy, nawet jeśli jakieś ustępstwo nie stanowi dla Ciebie większego problemu, to przecież nie musisz tego przyznawać. Mądrzej będzie jeśli zamienisz to na coś, na czym ci zależy, gdyż:
to, co wytargujesz może mieć dla ciebie większą wartości, niż ustępstwo. Pamiętaj również o żelaznej zasadzie:
nigdy nie czyń ustępstw bez wytargowania czegoś w zamian. Aby nie przegrać negocjacji, musimy trzymać się reguły „Nie oddawaj niczego za darmo”. Nawet jeśli coś, co zamierzamy oddać partnerowi nic nas nie kosztuje, naciskamy, by zaoferowano nam coś dla nas korzystnego.
Staraj się nie proponować ustępstw jako pierwszy (zwłaszcza w kwestiach istotnych), bowiem ten, który ustępuje jako pierwszy może w dalszym ciągu negocjacji być postrzegany jako osoba o słabszym charakterze, którą można wykorzystać po zastosowaniu odpowiedniego nacisku psychicznego.
Nie ulegajmy żądaniom i rozważnie ustępujmy w ostatniej fazie negocjacji. Praktyka pokazuje, że trzy czwarte ustępstw udzielanych jest w końcowej fazie przetargu, jest to wynikiem strategii zmasowanego nacisku, wywieranego, gdy osiągnięcie porozumienia wydaje się bliskie. Wniosek: przygotujmy się na eskalację żądań drugiej strony pod koniec negocjacji i nie ulegajmy im.

Strategia szachowa

Po uświadomieniu sobie fundamentalnych zasad dotyczących ustępstw nasuwa się następujący problem. Rozumiem, że od czasu do czasu muszę ustępować, aby osiągnąć coś w zamian. Załóżmy również, że przeanalizowałem w jakich punktach i na ile mogę ustąpić. Nie wiem jednak jak do tego podejść, przecież nie mogę po prostu zgłosić chęci oddania czegoś drugiej stronie. Negocjacje są procesem psychologicznym i wiele zależy od tego, w jakim momencie zacznę ustępować, które sprawy omawialiśmy na początku, do których przeszliśmy pod koniec spotkania. Czy korzystniej będzie najpierw rozmawiać o trudnych zasadniczych tematach a na końcu ustalić łatwe, czy odwrotnie? A może trzeba to jeszcze jakoś inaczej rozegrać. "Strategia szachowa" wprowadzona przez Rogera Perrotin i Pierre'a Heusschena (1994) stanowi próbę odpowiedzi na te pytania.

Przystępując do zastosowania tej techniki podzielmy wszystkie sprawy, które strony prawdopodobnie będą chciały omówić, na trzy kategorie:

sprawa zasadnicza,
temat do dyskusji,
duży margines manewru.

Można powiedzieć, że grupa pierwsza to te sprawy, na których nam najbardziej zależy, grupa druga - sprawy mniejszej wagi i grupa trzecia - sprawy najmniej dla nas ważne. Pamiętając jednak o zasadzie ustępstw, że te same sprawy mogą mieć dla nas różnych ludzi różną wartość, uszeregujmy je również uwzględniając punkt widzenia naszego partnera. Prawdopodobnie uzyskamy całkiem inny podział. Następnym krokiem będzie przypisanie poszczególnych spraw do jednego z pól tabeli znajdującej się na następnej stronie.

Zadania

Zad. 1.

Wykorzystując metodę graficzną obliczyć rozwiązanie gry, tzn strategie mieszane Wiersza i Kolumny oraz wartość gry dla macierzy wypłat

*Zad. 1.*
2.10	Kolumna
Wiersz		A	B	C
A	2	-3	-2
B	-2	1	-1

Zad. 2.

Wykorzystując metodę graficzną obliczyć rozwiązanie gry, tzn strategie mieszane Wiersza i Kolumny oraz wartość gry dla macierzy wypłaT

Zad. 2	Kolumna
Wiersz		A	B
A	2	-3
B	0	1
C	-2	3

Bibliografia

J. von Neumann and O. Morgenstern. Theory of Games and Economic Behaviour. John Wiley and Sons, 1944