Z Skrypty dla studentów Ekonofizyki UPGOW
Spis treści |
Wstęp
Literatura
Obiekt zainteresowań, czyli o czym się tu gada
Opcje
Wraz z postępującym rozwojem rynków finansowych, ich pomysłowi uczestnicy uczestnicy wymyślali coraz bardziej pomysłowe 'towary' warte obrotu. Wyobrażmy sobie bardzo realną sytuację: jesienią chciałbym kupić 100 kg ziemniaków (czyli kwintal lub tzw. 'meter'). Umawiam się więc z plantatorem, panem Zenkiem, że 30 września kupię od niego wspomniany kwintal za cenę K. Pan Zenek, wiedząc o tym, zasadzi dodatkowe dwa rządki na swoim zagonie z myślą o moim zamówieniu. Jeśli jednak znajdzie się ktoś chętny kupić ode mnie prawo zakupu za satysfakcjonującą ceną, nic nie stoi na przeszkodzie, abym sprzedał mu prawo zakupu ziemniaków pana Zenka. Z drugiej strony, czy pan Zenek koniecznie musi zasadzić dwa dodatkowe rządki ziemniaków, gdy umawia się ze mną? A może, w razie czago, opłaci mu się kupić te ziemniaki od innego plantatora? Okazuje się, że w tym procederze nie muszą pojawiać się żadne ziemniaki! Obiektem obrotu, handlu i spekulacji może być prawo zakupu lub zobowiązanie sprzedaży. Tutaj dochodzimy do intuicyjnego sedna pojęcia instrumentu pochodnego i jego relacji do instumentu podstawowego (ziemniaka).
Opcje: definicja
Opcja jest kontraktem dającym posiadaczowi prawo (nie obowiązek!) kupić (opcje typu CALL) lub sprzedać (opcje typu PUT) instrument finansowy w chwili T za cenę K
T: czas wykonania, wygaśnięcia, dojrzałości K: cena wykonania
Jeśli opcja może być wykonana jedynie w chwili T mówimy o opcji europejskiej. Ten typ opcji będzie znajdował się w centrum naszych zainteresowań. Jeśli wykonanie opcji może nastąpić w dowolnej chwili \(t\in[0,T]\) to jest to opcja amerykańska. Zaprezentowana klasyfikacja nie wyczerpuje wszystkich typów opcji. W istocie wymienione zostały dwa najbardziej podstawowe rodzaje. Konstrukcją skomplikowanych i bardzo chytrych instrumentów pochodnych jest przedmiotem szeroko rozumianej inżynierii finansowej i pozostaje poza tematyką tego skryptu.
Pytanie: Ile warta jest moja opcja?
Centralnym zagadnieniem pozostaje próba określenia wartości posiadanej opcji \(C(t)\) w chwili \(t\in[0,T]\) w relacji do ceny instrumentu bazowego \(S(t)\). Niwątpliwie, jeśli rynkowa cena ziemniaków 30 września będzie niższa niż cena wykonania opcji nie kupię ziemniaków u pana Zenka, lecz raczaj na targu. Oznacza to, że wtedy moja opcja jest nic nie warta. Inaczej jest, gdy ziemniaki na targu są droższe niż cena za jaką mogę je kupić od pana Zenka. Należy podkreślić, że prawo zakupu ziemniaków mogłem nabyć za pewną cenę \(C(0,S(0))\), którą powinienem uwzględnić w bilansie zysków i strat.
Powyższą dyskusję można sformalizować stosując metody współczesnej ekonofizyki. Zacznijmy od warunku brzegowego dla wartości opcji:
\[ C(T,S(T))=\left\{ \begin{array}{cc} S(T)-K & \mbox{gdy}\,\, S(T)>K \\ 0 &\mbox{gdy}\,\, S(T)<K \end{array}\right. \] Warto zauważyć, że powyższy warunek brzegowy jest warunkiem końcowym, tzn. opisuje wartość opcji w chwili wykonania.
Wycena opcji: model Blacka-Scholesa
Model BS jest najprostszym i chyba najstarszym modelem pozwalającym na znalezienie wartości opcji na instrument bazowy. Pełni on w ekonofizyce funkcję podobną do modelu oscylatora harmonicznego w fizyce: koży wie, że jest to model zbyt prosty, z drugiej jednak strony oddaje istotę omawianych zjawisk. Dla wyprowadzenie tego modelu wymagana jest spełnienie szergu założeń. Część z nich jest oczywista, inna techniczna jeszcze inna trudna do zrozumienia bez pogłębionej analizy matematycznej będącej poza naszym obszerem zainteresowań.
Mówiąc w pewnym (dość znacznym) uproszeczeniu oczekujemy, że: 1. cena instrumentu podstawowego opisywan jest procesem Ito
2. wszystkie procesy są ciągłe w czasie
3. nie ma możliwości arbitrażu
4. przeprowadzenie transakcji możliwe jest w dowolnej chwili
5. transakcje nie są obarczone kosztami
6. istnieje stała (w czasie \(t\in[0,T]\)), wolna od ryzyka stopa rynkowa \(r\)
7. pomijamy możliwość wypłacania dywidendy
\[ \frac{dS(t)}{dt}=\phi S(t)+\sigma S(t)R(t) \]
gdzie \( E[R(t)]=0 \) \( E[R(t),R(t')]=\delta(t-t')\)
\[\Pi=C-\frac{\partial C}{\partial S}S \]
\[ \frac{d\Pi}{dt}=\frac{dC}{dt}=\frac{\partial C}{\partial S}\frac{dS}{dt}=\frac{\partial C}{\partial t}+\frac{1}{2}\sigma^2S^2\frac{\partial^2C}{\partial S^2}\] \[ \frac{d\Pi}{dt}=r\Pi\]
\[ rC= \frac{\partial C}{\partial t}+rS\frac{\partial C}{\partial S}+\frac{1}{2}\sigma^2S^2\frac{\partial^2C}{\partial S^2} \]
Zmienność stochastyczna
\[ \sigma^2=V, \,\,\, \frac{dV}{dt}=\lambda+\mu V+\xi V^{\alpha}Q \] przy czym dobór parametrów gwarantuje \( V>0 \)
Ogólnie \[ \frac{dS}{dt}=\phi S + S\sqrt{V} R_1 \] \[ \frac{dV}{dt}=\lambda+\mu V+\xi V^{\alpha}R_2 \] gdzie, dla korelacji \( \rho\in[-1,1]\) \[ \frac{1}{\rho}E[R_1(t),R_2(t')]=\delta(t-t')\]