Z Skrypty dla studentów Ekonofizyki UPGOW
Spis treści |
Wstęp
Literatura
Obiekt zainteresowań, czyli o czym się tu gada
Opcje
Wraz z postępującym rozwojem rynków finansowych, ich pomysłowi uczestnicy uczestnicy wymyślali coraz bardziej pomysłowe 'towary' warte obrotu. Wyobrażmy sobie bardzo realną sytuację: jesienią chciałbym kupić 100 kg ziemniaków (czyli kwintal lub tzw. 'meter'). Umawiam się więc z plantatorem, panem Zenkiem, że 30 września kupię od niego wspomniany kwintal za cenę K. Pan Zenek, wiedząc o tym, zasadzi dodatkowe dwa rządki na swoim zagonie z myślą o moim zamówieniu. Jeśli jednak znajdzie się ktoś chętny kupić ode mnie prawo zakupu za satysfakcjonującą ceną, nic nie stoi na przeszkodzie, abym sprzedał mu prawo zakupu ziemniaków pana Zenka. Z drugiej strony, czy pan Zenek koniecznie musi zasadzić dwa dodatkowe rządki ziemniaków, gdy umawia się ze mną? A może, w razie czago, opłaci mu się kupić te ziemniaki od innego plantatora? Okazuje się, że w tym procederze nie muszą pojawiać się żadne ziemniaki! Obiektem obrotu, handlu i spekulacji może być prawo zakupu lub zobowiązanie sprzedaży. Tutaj dochodzimy do intuicyjnego sedna pojęcia instrumentu pochodnego i jego relacji do instumentu podstawowego (ziemniaka).
Opcje: definicja
Opcja jest kontraktem dającym posiadaczowi prawo (nie obowiązek!) kupić (opcje typu CALL) lub sprzedać (opcje typu PUT) instrument finansowy w chwili T za cenę K
T: czas wykonania, wygaśnięcia, dojrzałości K: cena wykonania
Jeśli opcja może być wykonana jedynie w chwili T mówimy o opcji europejskiej. Ten typ opcji będzie znajdował się w centrum naszych zainteresowań. Jeśli wykonanie opcji może nastąpić w dowolnej chwili \(t\in[0,T]\) to jest to opcja amerykańska. Zaprezentowana klasyfikacja nie wyczerpuje wszystkich typów opcji. W istocie wymienione zostały dwa najbardziej podstawowe rodzaje. Konstrukcją skomplikowanych i bardzo chytrych instrumentów pochodnych jest przedmiotem szeroko rozumianej inżynierii finansowej i pozostaje poza tematyką tego skryptu.
Pytanie: Ile warta jest moja opcja?
Centralnym zagadnieniem pozostaje próba określenia wartości posiadanej opcji \(C(t)\) w chwili \(t\in[0,T]\) w relacji do ceny instrumentu bazowego \(S(t)\). Niwątpliwie, jeśli rynkowa cena ziemniaków 30 września będzie niższa niż cena wykonania opcji nie kupię ziemniaków u pana Zenka, lecz raczaj na targu. Oznacza to, że wtedy moja opcja jest nic nie warta. Inaczej jest, gdy ziemniaki na targu są droższe niż cena za jaką mogę je kupić od pana Zenka. Należy podkreślić, że prawo zakupu ziemniaków mogłem nabyć za pewną cenę \(C(0,S(0))\), którą powinienem uwzględnić w bilansie zysków i strat.
Powyższą dyskusję można sformalizować stosując metody współczesnej ekonofizyki. Zacznijmy od warunku brzegowego dla wartości opcji:
\[ C(T,S(T))=\left\{ \begin{array}{cc} S(T)-K & \mbox{gdy}\,\, S(T)>K \\ 0 &\mbox{gdy}\,\, S(T)<K \end{array}\right. \] Warto zauważyć, że powyższy warunek brzegowy jest warunkiem końcowym, tzn. opisuje wartość opcji w chwili wykonania.
Wycena opcji: model Blacka-Scholesa
Model BS jest najprostszym i chyba najstarszym modelem pozwalającym na znalezienie wartości opcji na instrument bazowy. Pełni on w ekonofizyce funkcję podobną do modelu oscylatora harmonicznego w fizyce: koży wie, że jest to model zbyt prosty, z drugiej jednak strony oddaje istotę omawianych zjawisk. Dla wyprowadzenie tego modelu wymagana jest spełnienie szergu założeń. Część z nich jest oczywista, inna techniczna jeszcze inna trudna do zrozumienia bez pogłębionej analizy matematycznej będącej poza naszym obszerem zainteresowań.
Mówiąc w pewnym (dość znacznym) uproszeczeniu oczekujemy, że:
1. cena instrumentu podstawowego opisywany jest procesem Ito
2. wszystkie procesy są ciągłe w czasie
3. nie ma możliwości arbitrażu
4. przeprowadzenie transa\(Tutaj wprowadź wzór\)kcji możliwe jest w dowolnej chwili
5. transakcje nie są obarczone kosztami
6. istnieje stała (w czasie \(t\in[0,T]\)), wolna od ryzyka stopa rynkowa \(r\)
7. pomijamy możliwość wypłacania dywidendy
Typowym sposobem opisu dynamiki instrumentu bazowego jest tzw. geometryczny ruch Browna opisywany równaniem Ito \[ \frac{dS(t)}{dt}=\phi S(t)+\sigma S(t)R(t) \] gdzie \(R(t)\) to biały szum gaussowski (pochodna po czasie procedu Wienera) o wartości przeciętnej \( E[R(t)]=0 \) i autokorelacji \( E[R(t),R(t')]=\delta(t-t')\). Parametry \(\phi\) oraz \(\sigma\) to, odpowiednio, dryf i zmienność. Wybór tego modelu jest podyktowany szeregiem jego pożądanych własności:
1. Jeśli \(S(t_0)>0\) to \(S(t>t_0)>0\), czyli proces przyjmuje wartości nieujemne.
2. Granica \(S=0\) jest pochłaniająca
Dalej zakładamy, że jesteśmy posiadaczami 'portfela' składającego się z opcji i pewnej liczby jednostek (pewnej ilości) instrumentu bazowego \[\Pi=C-\Delta_h S \] Wybór \(\Delta_h\) jest kluczowy dla minimalizacji ponoszonego ryzyka. Nie wchodząc w uzasadnienia zakładamy, że \[\Delta_h=\frac{\partial C}{\partial S} \] a wówczas nasz portfel ma postać \[\Pi=C-\frac{\partial C}{\partial S}S \] Obliczenie szybkości zmian wartości portfela, przy zastosowaniu formułu Ito \[dC=(\frac{\partial C}{\partial S}+\frac{\partial C}{\partial t}+\frac{1}{2}\frac{\partial^2 C}{\partial S^2}\sigma^2 S^2)dt+\frac{\partial C}{\partial S}\sigma S R(t)dt \] i uzycie formułu definiującej geoemtryczny ruch Browna prowadzi do wzoru \[ \frac{d\Pi}{dt}=\frac{dC}{dt}-\frac{\partial C}{\partial S}\frac{dS}{dt}=\frac{\partial C}{\partial t}+\frac{1}{2}\sigma^2S^2\frac{\partial^2C}{\partial S^2}\] Zauważmy, że gdyby zdecydować się zdeponować wartość portfela w banku, przy stałej, wolnej od ryzyka stopie procentowej, wówczas \[ \frac{d\Pi}{dt}=r\Pi\] Przy braku arbitrażu, oba powyższe scenariusze prowadzą do jednakowych zmnian wartości portfela. W wyniku uzyskuje się równanie Blacka-Scholesa \[ rC= \frac{\partial C}{\partial t}+rS\frac{\partial C}{\partial S}+\frac{1}{2}\sigma^2S^2\frac{\partial^2C}{\partial S^2} \] Warto zauważyć, że minimalizacja ryzyka skutkuje konstrukcją wpełni deterministecznego modelu, bez czynników losowych.
Rozwiązanie równania BS jest doskonale znane zarówno ekonofizykom jak i inżynierom finansowym. Ponieważ celem skryptu jest uwypuklenie użyteczności kwantowych metod analizy tego równania, jego 'klasyczne' rozwiązanie, dla europejskiej opcji CALL, przedstawiamy bez wyprowadzenia:
\[C(\tau=T-t,S,K,r)=SN(d_+)-Ke^{-r\tau}N(d_-)\] gdzie \[d_\pm=\frac{\ln(\frac{S}{K})+(r\pm\frac{\sigma^2}{2})\tau}{\sigma\sqrt{\tau}}\] a \[N(x)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^x \exp(-\frac{z^2}{2})dz\] jest dystrybuantą rozkładu normalnego.
Dynamika Hamiltonowska
Mechanika kwantowa: mechanika macierzowa
Sceną zdarzeń mechaniki kwantowej jest przestrzeń stanów \(|\psi\rangle\in\mathcal{H}\). Jest to przestrzeń wektorowa nad ciałem liczb zespolonych, której elementy można dodawać i mnożyć przez (zespolone) skalary, a także, co najważniejsze, można obliczać ich ioczyn skalarny: \[\langle \psi_1|\psi_2\rangle=(\langle \psi_1|\psi_2\rangle)^*\in\mathbb{C}\] \[\langle \psi_1|a\psi_2\rangle=a\langle \psi_1|\psi_2\rangle,\,\,\,a\in\mathbb{C}\]
Eksperyment Sterna-Gerlacha (SG).
Zacznijmy od najprostszego przypadku, który jednak zawiera w sobie całą istotę mechaniki kwantowej. Wyobrażmy sobie wiązkę elektrów wpadającą w jednoeodne poje magnetyczne wytworzone pomiędzy biegunami magnesu. Wiązka elektronów w polu magnetycznym dzieli się na dwa strumienie. Oznacza to, że w obrębie wiązki możemy wyróżnić dwa rodzaje elektronów różniące się jakąś cechą (stopniem swobody). Cechę tę nazywa się spinem. Jest to całkowicie kwantowa własność elektronów i jakakolwiek próba jej wizualizacji, czy to w postaci wirowania, czy namagnesowania, ociera się o niedorzeczność. Ponieważ w eksperymencie SG wiązka elektronów podzielił się na dwie wiązki można podejrzewać, że w opisie tego stopnia swobody potrzeba przestrzeni dwuwymiarowej \(dim\mathcal{H}=2\). Załóżmy, że w eksperymencie SG pole magnetyczne skierowane było wzdłuż osi \(z\). Wówczas bazę przestrzeni możemy oznaczyć \[|+z\rangle,\,\, |-z\rangle\] Stan elektronów w wiązce, element przestrzeni \(\mathcal{H}\) możemy zapisać w postaci kombinacji liniowej
\[|\psi\rangle=c_+|+z\rangle+ c_-|-z\rangle\]
Stany \(|\pm z\rangle\) róznią się wartością wielkości zwanej spinem w kierunku osi \(z\). Przyjmijmy, że w stanie \(|\pm z \rangle\) spin przyjmuje wartości \(S_z=\pm\frac{\hbar}{2}\) odpowiednio. Tutaj \(\hbar=\frac{h}{2\pi}\), gdzie \(h\) to stała Plancka. Nie ma to jednak, co ciekawe, większego znaczenie dla dalszej dyskusji.
Zauważmy, że jeśli dowolną z wiązek otrzymaną w wyniku podziału wiązki w eksperymencie SG skierujemy do następnego, identycznego z pierwszym, eksperymentu SG, to wiązka ta nie uklegnie dalszemu rozszczepieniu. Oznacza to, że stany \(|\pm z\rangle \) nie zawierają w sobie stanów \(|\mp z\rangle\). Matematyka pozwala sformalizować tę obserwację: Baza \(\{|+z\rangle,|-z\rangle\}\) jest ortogonalna ( co więcej, bez straty ogólności możemy przyjąć, że jest to baza ortonormalna) \[\langle \pm z|\mp z\rangle =0\] \[\langle \pm z|\pm z\rangle =1\]
Zauważmy, że nic nie stoi na przeszkodzie, aby obrócić eksperyment SG, tak aby pole magnetyczne wyznaczało inną niż \(z\) oś. Wówczas wiązka również się rozszczepi
\[|\psi\rangle=c_+|+x\rangle+ c_-|-x\rangle\] gdy pole jest skierowane wzdłuż osi \(x\) lub
\[|\psi\rangle=c_+|+y\rangle+ c_-|-y\rangle\] gdzy pole wyznacza oś \(y\).
W przedstawionych przykłądach wektor stanu \(|\psi\rangle\) przedsawiony został w trzech spośród nieskończenie wielu (odpowiadających dowolnemu kątowi obrotu eksperymentu SG) baz prystrzeni \(\mathcal{H}\)
Interpretacja probabilistyczna.
Iloczyn skalarny \[\langle\psi_1|\psi_2\rangle\] ma w mechanice kwantowej głęboką interpretację probabilistyczną. Opisuje on amplitudę zdarzenia, polegającego na tym, że stan \(|psi_1\rangle\) jest stanem \(|\psi_2\rangle\) (i oczywiście vice versa). Co to jest amplituda? Ponieważ, przestrzeń \(\mathcal{H}\) jest zespolona, iloczyn skalarny jej elementów jest w ogólności liczbą zespoloną, czyli amplitudą, zwaną czasem amplitudą prawdopodobieństwa. Wartość bezwzględna amplitudy zdarzenia jest jego prawodopodobieństwem. Zauważmy, że przy takiej interpretacji \(c_+\) jest amplitudą, a \(|c_+|=c_+c_+^*\) jest prawdopodobieństwem tego, że stan wiązki wchodzącej do SG jest stanem \(|+z\rangle\). Interpretacja probailistyczna nie przenosi się na problemy ekonofizyki omawiane w skrypcie, więc nie będziemy dalej zgłebiać tego tematu.
Mechanika kwantowa: bra-kety i operatory
W przypadku układów wyżejwymiarowych, czyli takich, gdzie
\[\mathcal{H}=\mbox{span}\{|v_i\rangle,i=1,...,N=dim\mathcal{H}\right}\]
dowolny wektor zapisujemy w postaci
\[|\psi\rangle=\sum_{i=1}^N c_i|v_i\rangle\]
w tradycyjnej terminologii werktor \(|\psi\rangle\) nazywamy wektorem ket. Wektor do niego dualny
\[\langle\psi|=\sum_{i=1}^N c_i^*\langle v_i|</math zwykło się nazywać wektorem '''bra'''. Nazewnictwo to wynika z faktu, że iloczyn skalarny :\(\langle \psi|\phi\rangle\] można zapisać w postaci 'mnożenia bra razy ket' \[\langle \psi| \cdot |\phi\rangle\] i otrzymać braket
Mechanika kwantowa: mechanika falowa
W dalszym ciągu skupimy naszą uwagę na bardzo szczególnej reprezentacji machaniki kwantowej. Jest to tzw. reprezentacja położeniowa, prowadzące w efekcie do mechaniki falowej. Reprezentację tę definiuje wyróżniona baza położeń \[\{|x\rangle\}, \,\,\, x\in\mathbb{R}\] W bazie tej dowolny wektor zapisujemy w postaci kombinacji liniowej \[|\psi\rangle=\int_{-\infty}^\infty dx |x\rangle\langle x|\psi\rangle\]
Dynamika układów kwantowych
Ekonofizyka
Niehermitowskie hamiltoniany w fizyce
Całki po trajektoraich
Mechanika klasyczna: ujęcie Langrange'a
Całki w mechanice kwantowej
Całki w ekonofizyce
BS 'Plus', czyli zmienność stochastyczna
Zmienność stochastyczna
\[ \sigma^2=V, \,\,\, \frac{dV}{dt}=\lambda+\mu V+\xi V^{\alpha}Q \] przy czym dobór parametrów gwarantuje Parser nie mógł rozpoznać (Nie można utworzyć lub zapisywać w tymczasowym katalogu dla wzorów matematycznych): V>0 \) Ogólnie \[ \frac{dS}{dt}=\phi S + S\sqrt{V} R_1 \] \[ \frac{dV}{dt}=\lambda+\mu V+\xi V^{\alpha}R_2 \] gdzie, dla korelacji \( \rho\in[-1,1]\) \[ \frac{1}{\rho}E[R_1(t),R_2(t')]=\delta(t-t')\] ==Całki po trajektoraich w probabilistyce==