Z Skrypty dla studentów Ekonofizyki UPGOW
Wstęp
Literatura
Obiekt zainteresowań, czyli o czym się tu gada
Opcje
Wraz z postępującym rozwojem rynków finansowych, ich pomysłowi uczestnicy uczestnicy wymyślali coraz bardziej pomysłowe 'towary' warte obrotu. Wyobrażmy sobie bardzo realną sytuację: jesienią chciałbym kupić 100 kg ziemniaków (czyli kwintal lub tzw. 'meter'). Umawiam się więc z plantatorem, panem Zenkiem, że 30 września kupię od niego wspomniany kwintal za cenę K. Pan Zenek, wiedząc o tym, zasadzi dodatkowe dwa rządki na swoim zagonie z myślą o moim zamówieniu. Jeśli jednak znajdzie się ktoś chętny kupić ode mnie prawo zakupu za satysfakcjonującą ceną, nic nie stoi na przeszkodzie, abym sprzedał mu prawo zakupu ziemniaków pana Zenka. Z drugiej strony, czy pan Zenek koniecznie musi zasadzić dwa dodatkowe rządki ziemniaków, gdy umawia się ze mną? A może, w razie czago, opłaci mu się kupić te ziemniaki od innego plantatora? Okazuje się, że w tym procederze nie muszą pojawiać się żadne ziemniaki! Obiektem obrotu, handlu i spekulacji może być prawo zakupu lub zobowiązanie sprzedaży. Tutaj dochodzimy do intuicyjnego sedna pojęcia instrumentu pochodnego i jego relacji do instumentu podstawowego (ziemniaka).
Opcje: definicja
Opcja jest kontraktem dającym posiadaczowi prawo (nie obowiązek!) kupić (opcje typu CALL) lub sprzedać (opcje typu PUT) instrument finansowy w chwili T za cenę K
T: czas wykonania, wygaśnięcia, dojrzałości K: cena wykonania
Jeśli opcja może być wykonana jedynie w chwili T mówimy o opcji europejskiej. Ten typ opcji będzie znajdował się w centrum naszych zainteresowań. Jeśli wykonanie opcji może nastąpić w dowolnej chwili \(t\in[0,T]\) to jest to opcja amerykańska. Zaprezentowana klasyfikacja nie wyczerpuje wszystkich typów opcji. W istocie wymienione zostały dwa najbardziej podstawowe rodzaje. Konstrukcją skomplikowanych i bardzo chytrych instrumentów pochodnych jest przedmiotem szeroko rozumianej inżynierii finansowej i pozostaje poza tematyką tego skryptu.
Pytanie: Ile warta jest moja opcja?
Centralnym zagadnieniem pozostaje próba określenia wartości posiadanej opcji \(C(t)\) w chwili \(t\in[0,T]\) w relacji do ceny instrumentu bazowego \(S(t)\). Niwątpliwie, jeśli rynkowa cena ziemniaków 30 września będzie niższa niż cena wykonania opcji nie kupię ziemniaków u pana Zenka, lecz raczaj na targu. Oznacza to, że wtedy moja opcja jest nic nie warta. Inaczej jest, gdy ziemniaki na targu są droższe niż cena za jaką mogę je kupić od pana Zenka. Należy podkreślić, że prawo zakupu ziemniaków mogłem nabyć za pewną cenę \(C(0,S(0))\), którą powinienem uwzględnić w bilansie zysków i strat.
Powyższą dyskusję można sformalizować stosując metody współczesnej ekonofizyki. Zacznijmy od warunku brzegowego dla wartości opcji:
\[ C(T,S(T))=\left\{ \begin{array}{cc} S(T)-K & \mbox{gdy}\,\, S(T)>K \\ 0 &\mbox{gdy}\,\, S(T)<K \end{array}\right. \] Warto zauważyć, że powyższy warunek brzegowy jest warunkiem końcowym, tzn. opisuje wartość opcji w chwili wykonania.
Wycena opcji: model Blacka-Scholesa
Model BS jest najprostszym i chyba najstarszym modelem pozwalającym na znalezienie wartości opcji na instrument bazowy. Pełni on w ekonofizyce funkcję podobną do modelu oscylatora harmonicznego w fizyce: koży wie, że jest to model zbyt prosty, z drugiej jednak strony oddaje istotę omawianych zjawisk. Dla wyprowadzenie tego modelu wymagana jest spełnienie szergu założeń. Część z nich jest oczywista, inna techniczna jeszcze inna trudna do zrozumienia bez pogłębionej analizy matematycznej będącej poza naszym obszerem zainteresowań.
Mówiąc w pewnym (dość znacznym) uproszeczeniu oczekujemy, że:
1. cena instrumentu podstawowego opisywany jest procesem Ito
2. wszystkie procesy są ciągłe w czasie
3. nie ma możliwości arbitrażu
4. przeprowadzenie transa\(Tutaj wprowadź wzór\)kcji możliwe jest w dowolnej chwili
5. transakcje nie są obarczone kosztami
6. istnieje stała (w czasie \(t\in[0,T]\)), wolna od ryzyka stopa rynkowa \(r\)
7. pomijamy możliwość wypłacania dywidendy
Typowym sposobem opisu dynamiki instrumentu bazowego jest tzw. geometryczny ruch Browna opisywany równaniem Ito \[ \frac{dS(t)}{dt}=\phi S(t)+\sigma S(t)R(t) \] gdzie \(R(t)\) to biały szum gaussowski (pochodna po czasie procedu Wienera) o wartości przeciętnej \( E[R(t)]=0 \) i autokorelacji \( E[R(t),R(t')]=\delta(t-t')\). Parametry \(\phi\) oraz \(\sigma\) to, odpowiednio, dryf i zmienność. Wybór tego modelu jest podyktowany szeregiem jego pożądanych własności:
1. Jeśli \(S(t_0)>0\) to \(S(t>t_0)>0\), czyli proces przyjmuje wartości nieujemne.
2. Granica \(S=0\) jest pochłaniająca
Dalej zakładamy, że jesteśmy posiadaczami 'portfela' składającego się z opcji i pewnej liczby jednostek (pewnej ilości) instrumentu bazowego \[\Pi=C-\Delta_h S \] Wybór \(\Delta_h\) jest kluczowy dla minimalizacji ponoszonego ryzyka. Nie wchodząc w uzasadnienia zakładamy, że \[\Delta_h=\frac{\partial C}{\partial S} \] a wówczas nasz portfel ma postać \[\Pi=C-\frac{\partial C}{\partial S}S \] Obliczenie szybkości zmian wartości portfela, przy zastosowaniu formułu Ito \[dC=(\frac{\partial C}{\partial S}+\frac{\partial C}{\partial t}+\frac{1}{2}\frac{\partial^2 C}{\partial S^2}\sigma^2 S^2)dt+\frac{\partial C}{\partial S}\sigma S R(t)dt \] i uzycie formułu definiującej geoemtryczny ruch Browna prowadzi do wzoru \[ \frac{d\Pi}{dt}=\frac{dC}{dt}-\frac{\partial C}{\partial S}\frac{dS}{dt}=\frac{\partial C}{\partial t}+\frac{1}{2}\sigma^2S^2\frac{\partial^2C}{\partial S^2}\] Zauważmy, że gdyby zdecydować się zdeponować wartość portfela w banku, przy stałej, wolnej od ryzyka stopie procentowej, wówczas \[ \frac{d\Pi}{dt}=r\Pi\] Przy braku arbitrażu, oba powyższe scenariusze prowadzą do jednakowych zmnian wartości portfela. W wyniku uzyskuje się równanie Blacka-Scholesa \[ rC= \frac{\partial C}{\partial t}+rS\frac{\partial C}{\partial S}+\frac{1}{2}\sigma^2S^2\frac{\partial^2C}{\partial S^2} \] Warto zauważyć, że minimalizacja ryzyka skutkuje konstrukcją wpełni deterministecznego modelu, bez czynników losowych.
Rozwiązanie równania BS jest doskonale znane zarówno ekonofizykom jak i inżynierom finansowym. Ponieważ celem skryptu jest uwypuklenie użyteczności kwantowych metod analizy tego równania, jego 'klasyczne' rozwiązanie, dla europejskiej opcji CALL, przedstawiamy bez wyprowadzenia:
\[C(\tau=T-t,S,K,r)=SN(d_+)-Ke^{-r\tau}N(d_-)\] gdzie \[d_\pm=\frac{\ln(\frac{S}{K})+(r\pm\frac{\sigma^2}{2})\tau}{\sigma\sqrt{\tau}}\] a \[N(x)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^x \exp(-\frac{z^2}{2})dz\] jest dystrybuantą rozkładu normalnego.
Dynamika Hamiltonowska
Mechanika kwantowa: mechanika macierzowa
Sceną zdarzeń mechaniki kwantowej jest przestrzeń stanów \(|\psi\rangle\in\mathcal{H}\). Jest to przestrzeń wektorowa nad ciałem liczb zespolonych, której elementy można dodawać i mnożyć przez (zespolone) skalary, a także, co najważniejsze, można obliczać ich ioczyn skalarny: \[\langle \psi_1|\psi_2\rangle=(\langle \psi_1|\psi_2\rangle)^*\in\mathbb{C}\] \[\langle \psi_1|a\psi_2\rangle=a\langle \psi_1|\psi_2\rangle,\,\,\,a\in\mathbb{C}\]
Eksperyment Sterna-Gerlacha (SG).
Zacznijmy od najprostszego przypadku, który jednak zawiera w sobie całą istotę mechaniki kwantowej. Wyobrażmy sobie wiązkę elektrów wpadającą w jednoeodne poje magnetyczne wytworzone pomiędzy biegunami magnesu. Wiązka elektronów w polu magnetycznym dzieli się na dwa strumienie. Oznacza to, że w obrębie wiązki możemy wyróżnić dwa rodzaje elektronów różniące się jakąś cechą (stopniem swobody). Cechę tę nazywa się spinem. Jest to całkowicie kwantowa własność elektronów i jakakolwiek próba jej wizualizacji, czy to w postaci wirowania, czy namagnesowania, ociera się o niedorzeczność. Ponieważ w eksperymencie SG wiązka elektronów podzielił się na dwie wiązki można podejrzewać, że w opisie tego stopnia swobody potrzeba przestrzeni dwuwymiarowej \(dim\mathcal{H}=2\). Załóżmy, że w eksperymencie SG pole magnetyczne skierowane było wzdłuż osi \(z\). Wówczas bazę przestrzeni możemy oznaczyć \[|+z\rangle,\,\, |-z\rangle\] Stan elektronów w wiązce, element przestrzeni \(\mathcal{H}\) możemy zapisać w postaci kombinacji liniowej
\[|\psi\rangle=c_+|+z\rangle+ c_-|-z\rangle\]
Stany \(|\pm z\rangle\) róznią się wartością wielkości zwanej spinem w kierunku osi \(z\). Przyjmijmy, że w stanie \(|\pm z \rangle\) spin przyjmuje wartości \(S_z=\pm\frac{\hbar}{2}\) odpowiednio. Tutaj \(\hbar=\frac{h}{2\pi}\), gdzie \(h\) to stała Plancka. Nie ma to jednak, co ciekawe, większego znaczenie dla dalszej dyskusji.
Zauważmy, że jeśli dowolną z wiązek otrzymaną w wyniku podziału wiązki w eksperymencie SG skierujemy do następnego, identycznego z pierwszym, eksperymentu SG, to wiązka ta nie uklegnie dalszemu rozszczepieniu. Oznacza to, że stany \(|\pm z\rangle \) nie zawierają w sobie stanów \(|\mp z\rangle\). Matematyka pozwala sformalizować tę obserwację: Baza \(\{|+z\rangle,|-z\rangle\}\) jest ortogonalna ( co więcej, bez straty ogólności możemy przyjąć, że jest to baza ortonormalna) \[\langle \pm z|\mp z\rangle =0\] \[\langle \pm z|\pm z\rangle =1\]
Zauważmy, że nic nie stoi na przeszkodzie, aby obrócić eksperyment SG, tak aby pole magnetyczne wyznaczało inną niż \(z\) oś. Wówczas wiązka również się rozszczepi
\[|\psi\rangle=c_+|+x\rangle+ c_-|-x\rangle\] gdy pole jest skierowane wzdłuż osi \(x\) lub
\[|\psi\rangle=c_+|+y\rangle+ c_-|-y\rangle\] gdzy pole wyznacza oś \(y\).
W przedstawionych przykłądach wektor stanu \(|\psi\rangle\) przedsawiony został w trzech spośród nieskończenie wielu (odpowiadających dowolnemu kątowi obrotu eksperymentu SG) baz prystrzeni \(\mathcal{H}\)
Interpretacja probabilistyczna.
Iloczyn skalarny \[\langle\psi_1|\psi_2\rangle\] ma w mechanice kwantowej głęboką interpretację probabilistyczną. Opisuje on amplitudę zdarzenia, polegającego na tym, że stan \(|psi_1\rangle\) jest stanem \(|\psi_2\rangle\) (i oczywiście vice versa). Co to jest amplituda? Ponieważ, przestrzeń \(\mathcal{H}\) jest zespolona, iloczyn skalarny jej elementów jest w ogólności liczbą zespoloną, czyli amplitudą, zwaną czasem amplitudą prawdopodobieństwa. Wartość bezwzględna amplitudy zdarzenia jest jego prawodopodobieństwem. Zauważmy, że przy takiej interpretacji \(c_+\) jest amplitudą, a \(|c_+|=c_+c_+^*\) jest prawdopodobieństwem tego, że stan wiązki wchodzącej do SG jest stanem \(|+z\rangle\). Interpretacja probailistyczna nie przenosi się na problemy ekonofizyki omawiane w skrypcie, więc nie będziemy dalej zgłebiać tego tematu.
Mechanika kwantowa: bra-kety i operatory
W przypadku układów wyżejwymiarowych, czyli takich, gdzie
\[\mathcal{H}=\mbox{span}\{|v_i\rangle,i=1,...,N=dim\mathcal{H}\}\]
dowolny wektor zapisujemy w postaci
\[|\psi\rangle=\sum_{i=1}^N c_i|v_i\rangle=\left(\begin{array}{c}c1 \\ c2 \\ \ldots \\ c_N \end{array}\right)\]
w tradycyjnej terminologii werktor \(|\psi\rangle\) nazywamy wektorem ket. Wektor do niego dualny
\[\langle\psi|=\sum_{i=1}^N c_i^*\langle v_i|=\left(c_1^*,c_2^*,\ldots, c_N^*\right)=\left(|\psi\rangle \right)^\dagger\]
zwykło się nazywać wektorem bra. \(\dagger\) oznacza hermitowskie sprzężenie macierzy: transpozycja wraz ze sprzężeniem zespolonym Nazewnictwo to wynika z faktu, że iloczyn skalarny \[\langle \psi|\phi\rangle=\sum_{i=1}^N c_i^* d_i\] można zapisać w postaci 'mnożenia bra razy ket'
\[ \langle \psi| \cdot |\phi\rangle=\left(c_1^*,c_2^*,\ldots, c_N^*\right)\left(\begin{array}{c}d1 \\ d2 \\ \ldots \\ d_N \end{array}\right)\]
i otrzymać braket.
Operacje w przestrzeni wektorowej reprezentowane są przez macierze (macierzowe reprezentacje operatorów) \[|\psi\rangle=A|\phi\rangle\] \[\langle\psi|=\langle A\phi|=\langle \phi| A^\dagger \]
W fizyce interesujące są trzy typy operatorów:
1. Operatory hermitowskie o własności \[A=A^\dagger\] zapewniającej rzeczywiste widmo i ortonrmalne wektory własne
2. Operatory unitarne \[U^{-1}=U^\dagger\] zachowujące iloczyny skalarne \[\langle U\psi|U\phi\rangle =\langle \psi|U^\dagger U\phi\rangle=\langle\psi|\phi\rangle\]
3. Projektory, czyli operatory rzutowania. Ograniczymy się tu do projektorów postaci \[P=|\phi\rangle \langle \phi| \] gdzie \(|\phi\rangle\) to pewien wektor. Operator tej postaci jest w istocie projektorem: \[P^2=P=P^\dagger\] Szczególnym przykładem jest projektor rzutujący wektor na wektor ortonormalnej bazy: \[P_k|\psi\rangle=\left(| v_k\rangle\langle v_k|\right)\sum_{i=1}^N c_i| v_i\rangle= c_k \] Operatory rzutowania odgrywają ważną rolę w opisie pomiaru kwantowego.
3a. Identycznść, lub operator identycznościowy, którego najważniejszą cechą jest nicnierobienie \[\mathcal{I}=\sum_{i=1}^N |v_i\rangle \langle v_i|\] Powyższy zapis nosi nazwę rozkładu jedności w bazie wektorów \(\{|v_i\rangle, i=1,\ldots, N\}\)
Dynamika układów kwantowych
Wszystko płynie, również czas, choć ten raczej ucieka (tempus fugit). Istnieje conajmniej kilka sposobów opisu ewolucji w czasie układów kwantowych. W toku wykładu omówimu dwa spośród nich: "tradycyjny" (Hamiltonowski) i drugi, wykorzystujący całki po trajektoriach (to później).
Ewolucja w czasie układu kwantowego oznacza istnienie transformacji (operatora \(U(t)\)) \[U(t)|\psi(0)\rangle=|\psi(t)\rangle\] Zwróćmy uwagę, że warunek zachowania normalizacji \[\langle \psi(t)|\psi(t)\rangle=\langle \psi(0)|U^\dagger(t)U(t)\psi(0)\rangle=\langle \psi(0)|\psi(0)\rangle\] narzuca na operator \(U(t)\) warunek unitarności \[U^\dagger(t)U(t)=\mathcal{I}\] Rozważmy ewolucję infintezymalnie krótką: \(t\rightarrow dt\): \[U(dt)=\mathcal{I}-\frac{i}{\hbar}Hdt\] gdzie operator \(H\) jest generatorem przesunięcia w czasie i tradycyjnie nazywa się go hamiltonianem. Stała Plancka, jak zwykle, nie pełni to ważniejszej funkcji niż inne parametry. Zauważmy, że unitarność \(U(t)\) implikuje hermitowskość \(H=H^\dagger\) Ewolucja w czasie spełnia nstępujące równanie: \[U(t+dt)=U(dt)U(t)=\left(\mathcal{I}-\frac{i}{\hbar}Hdt\right)\] a wówczas \[U(t+dt)-U(t)=\left(-\frac{i}{\hbar}Hdt\right)U(t)\] co, "dzieląc przez \(dt\)" można zapisać w postaci operatorowego równania różniczkowego \[i\hbar\frac{d}{dt}U(t)=HU(t)\] lub w postaci równania różniczkowego opisującego wektor stanu \[i\hbar\frac{d}{dt}|\psi(t)\rangle=H|\psi(t)\rangle\] znanego w kręgach "zbliżonych do fizyków" pod nazwą równania Schroedingera. Uważny czytelnik z pewnością zauważy przynajmniej dwa uproszczenia w powyższym wywodzie: po pierwsze, dlaczego operator \(H\) nie miałby zależeć od czasu, po drugie zaś, milcząco założono że \(dim\mathcal{H}<\infty\). Uproszczenia te pozwalają jednak znaleźć rozwiązanie równania Schroedingera, które ma postać inną niż tylko formalna: \[U(t)=\lim_{N\rightarrow \infty}\left[\mathcal{I}-\frac{i}{\hbar}H(\frac{t}{N}) \right]^N=e^{-iHt/\hbar}\] a wówczas \[|\psi(t)\rangle=e^{-iHt/\hbar}|\psi(0)\rangle\] Fizyczną implikacją założenia niezależności od czasu hamiltonianu jest zachowawczość układu (wartość oczekiwana energii \(E\) jest stała w czasie) \[\langle E\rangle =\langle\psi(t)|H|\psi(t)\rangle=\langle\psi(0)|H|\psi(0)\rangle\] Szczególnie prostą postać przyjmuje ewolucja w czasie stanów włąsnych operatora \(H\), czyli wektrów spełniających warunek \[H|E\rangle=E|E\rangle\] gdzie energia \(E\) jest liczbą rzeczywistą. Dla stanów tych \[e^{-iHt/\hbar}|E\rangle=e^{-iEt/\hbar}|E\rangle\]
Przykład
Jako przykład, zaczerpnięty z Feynmanna, ukłądu, którego ewolucję chcemy opisać niech posłuży cząstka amoniaku \(NH_3\). Budowa takiej molekuły (składającej się z trzech atomów wodoru ułożonych na płaszczyźnie, pod/ponad którą umiejscowiony jest azot) sugeruje wprowadzenie uproszczonego opisu: \[|1\rangle =|\mbox{azot nad}\rangle \] \[|2\rangle =|\mbox{azot pod}\rangle \] oznaczjącego uwzględnienie jedynie dwu, dla nas istotnych, stopni swobody. Hamiltonian układu \[H=\left(\begin{array}{cc} \langle 1|H|1\rangle & \langle 1|H|2\rangle \\ \langle 2|H|1\rangle & \langle 2|H|2\rangle \end{array} \right)=\left(\begin{array}{cc} E_0 & -A \\ -A & E_0 \end{array} \right)\] Zagadnienie własne \[H|E\rangle=E|E\rangle\] prowadzi do znalezienia dwu unormowanych stanów własnych \[|E_I\rangle=\frac{1}{\sqrt{2}}|1\rangle+\frac{1}{\sqrt{2}}|2\rangle\] \[|E_{II}\rangle=\frac{1}{\sqrt{2}}|1\rangle-\frac{1}{\sqrt{2}}|2\rangle\] odpowiadającym energiom \[E_{I/II}=E_0\pm A\] Przyjmijmy, że początkowo azot znajduje się nad płaszczyzną wyznaczoną przez wodory \[|\psi(0)\rangle=|1\rangle\] Wówczas \[|\psi(t)\rangle=e^{-iHt/\hbar}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}|E_I\rangle+\frac{1}{\sqrt{2}}|E_{II}\rangle \right)=\frac{e^{-i(E_It}/\hbar}{\sqrt{2}}|E_I\rangle+\frac{e^{-iE_{II}t/\hbar}}{\sqrt{2}}|E_{II}\rangle \] czyli problem jest rozwiązany.
Mechanika kwantowa: mechanika falowa
W dalszym ciągu skupimy naszą uwagę na bardzo szczególnej reprezentacji machaniki kwantowej. Jest to tzw. reprezentacja położeniowa, prowadzące w efekcie do mechaniki falowej. Reprezentację tę definiuje wyróżniona baza położeń \[\{|x\rangle\}, \,\,\, x\in\mathbb{R}\] Baza ta jest ortonormalna (w uogólnionym sensie) \[\langle x|x'\rangle=\delta(x-x'), \,\,\, x,x'\in\mathcal{R}\] Zapis ten sugeruje, że dla położenia, rozkład jedności \[\mathcal{I}=\int_\mathcal{R}dx |x\rangle\langle x|\] jest "uciągloną" wersją wyrażenia postaci \[\mathcal{I}=\sum_x |x\rangle\langle x|\] właściwego dla przypadku przeliczalnej (lub skończonej) liczby możliwych położeń. W bazie położeń dowolny wektor zapisujemy w postaci kombinacji liniowej \[|\psi\rangle=\int_{-\infty}^\infty dx |x\rangle\langle x|\psi\rangle\] gdzie \[\psi(x)=\langle x|\psi\rangle\] to funkcja falowa.
Operacja przesunięcia
Rozważmy naturalny operator przesunięcia zadany warunkiem \[T(a)|x\rangle=|x+a\rangle\] Wówczas \[|\psi'\rangle=T(a)|\psi\rangle=T(a)\int_\mathcal{R}dx'|x'\rangle\langle x'|\psi\rangle=\int dx'|x'+a\rangle\langle x'|\psi\rangle\] Zauważmy, że \[\psi'(x)=\int dx'\langle x|x'+a\rangle\psi(x')=\int dx' \delta(x-(x'+a))\psi(x')=\psi(x-a)\] ponadto, z unitarności przesunięcia \[T^\dagger(a)T(a)=\mathcal{I}\] można łatwo wywieść \[T^\dagger(a)=T(-a)\] Z operatorem przesunięcia można związać jego generator \[T(dx)=\mathcal{I}-\frac{i}{\hbar}p_xdx\] w sposób analogiczny do generatora przesunięcia w czasie. Hermitowski operator \[p_x=p^\dagger_x\] jest, jak pokażemy, operatorem pędu. Dowolny operator przesunięcia można wyrazić poprzez jego generator \[T(a)=e^{-ip_xa/\hbar}\] Spróbujmy teraz znaleźć postać generatora przesunięć w bazie położeniowej. Oznacza to, że próbujemy obliczyć \(\langle x|p_x\psi\rangle\). Załóżmy, że \(s\approx dx\) wówczas \[T(s)|\psi\rangle=\int dx|x+s\rangle \psi(x)=\int dx'|x'\rangle\psi(x'-s)\] z drugiej strony, stosując dla małych \(s\) rozwinięcie Taylora \[\psi(x'-s)=\psi(x')-s\frac{\partial}{\partial x'}\psi(x')\] otrzymujemy \[T(s)|\psi\rangle=|\psi\rangle-s\int dx'|x'\rangle\frac{\partial}{\partial x'}\psi(x')=\left(\mathcal{I}-\frac{i}{\hbar}p_xs\right)\] czyli \[p_x|\psi\rangle=\frac{\hbar}{i}\int dx'|x'\rangle\frac{\partial}{\partial x'}\psi(x')\] a stąd \[\langle x|p_x|\psi\rangle=\frac{\hbar}{i}\frac{\partial}{\partial x}\langle x|\psi\rangle\] a więc \[p_x\longrightarrow \frac{\hbar}{i}\frac{\partial}{\partial x}\]
Przestrzeń położeń
Załóżmy, że operator pędu posiada sensownie określone stany własne: \[p_x|p\rangle=p|p\rangle\] stanowiące (ortonormalną) bazę przestrzeni stanów (\(\langle p|p'\rangle=\delta(p-p')\)), czyli pozwalające zapisać dowolny wektor w postaci \[|\psi\rangle=\int dp|p\rangle\langle p|\psi\rangle\] gdzie \[\psi(p)=\langle p|\psi\rangle\] jest funkcją falową w bazie pędów. Związek między tymi bazami zawarty jest w formule \[|p\rangle=\int dx|x\rangle\langle x|p\rangle\] gdzie współczynniki \(\langle x|p\rangle\) znajdujemy rozwiązując równanie różniczkowe postaci \[\langle x|p_x|p\rangle=p\langle x|p\rangle=\frac{\hbar}{i}\frac{\partial}{\partial x}\langle x|p\rangle\] W pierwszej z równości korzystamy z faktu, że stany pędowe to stany własne operatore pędu, w drugiej zaś z reprezentacji położeniowej operatora pędu. Ostatecznie \[\langle x|p\rangle=\frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}}e^{ipx/\hbar}\] czyli związek pomiędzy reprezentacją położeniową a pędową zadany jest tarnsfromacją Fouriera wraz z dodatko narzuconym warunkim normalizacji \(\langle p|p'\rangle=\delta(p-p')\)
Ewolucja w czasie
Podobnie jak w ogólnym przypadku dyskutowanym wcześniej, dynamika kwantowa w przestrzeni położeń generowana jest przez odpowiednio dobrany hamiltonian. Konwencjonalnie zakłada się, że hamiltonian układu kwantowego jest sumą operatorowej wersji energii kinetycznej o odpowiedniego potencjału: \[H=\frac{p_x^2}{2m}+V(x)\] Oczywiście znalezienie dynamiki kwantowej w jej ogólej postaci jest, poza nielicznymi wyjątkami, po prostu niemożliwe. Rozważmy jednak to co da się opisać: dynamikę cząstki swobodnej, czyli takiej, dla której \(V\equiv 0\), czyli \[H=\frac{p_x^2}{2m}\] Wówczas \[|\psi(t)\rangle=e^{-iHt/\hbar}\int dp |p\rangle\langle p|\psi\rangle\] gdzie stan \[|\psi(0)\rangle=\int dp |p\rangle\langle p|\psi\rangle=\int dx |x\rangle\langle x|\psi\rangle\] korzystniej zapisać jest w bazie pędów, gdzyż jest to również baza stanów własnych hamiltonianu. Oczywiście, obie bazy są Fourierowsko dualne: \[\langle p|\psi\rangle=\int dx \langle p|x\rangle\langle x|\psi\rangle=\int dx \frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}}e^{-ipx/\hbar}\langle x|\psi\rangle\] \[\langle x|\psi\rangle=\int dp \langle x|p\rangle\langle p|\psi\rangle=\int dp \frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}}e^{ipx/\hbar}\langle p|\psi\rangle\]
Studnia potencjału
W praktycznych zastosowaniach mechaniki kwantowej w badaniu własności układów atomowych centralnym zagadnianiem pozostaje rozwiązanie równania Schroedingera \[\langle x|H|\psi(t)\rangle=i\hbar \langle x|\frac{d}{dt}|\psi(t)\rangle\] gdzie \[\langle x|H|\psi(t)\rangle=\langle x|\left[\frac{p_x^2}{2m}+V(x)\right]=\left[-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2}{\partial x^2} +V(x)\right]\langle x|\psi(t)\rangle\] lub w terminologii finkcji falowych \[\left[-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2}{\partial x^2} +V(x)\right]\psi(x,t)=i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\psi(x,t), \,\,\, \langle x|\psi(t)\rangle=\psi(x,t)\] Szczególnym problemem pozostaje znalezienie dopuszczalnych energii układu. Ponieważ badany układ jest zachowaczy, gdyż jego hamiltonian nie zależy od czasu ewolucja stanu własnego hamiltonianu przebiega następująco \[\psi_E(x,t)=\langle x|E\rangle e^{-iEt/\hbar}\] co pozwala zredukować problem do rozwiażania równania Schroedingera niezależnego od czasu postaci \[\left[-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2}{\partial x^2} +V(x)\right]\langle x|E\rangle =E\langle x|E\rangle\] Rozpatrzmy najprostszy z możliwych przykładów: zagadnienie własne dla cząski uwięzionej w studni potencjału \[V(x)=\left\{\begin{array}{cc} 0 & |x|<\frac{a}{2}\\ \infty & |x|\ge \frac{a}{2} \end{array} \right.\] Przypadek ten, jak się okaże, znajdzie swoje zastosowanie w opisie opcji barierowych w dalszym toku dyskusji. Szukane rozwiązanie jest postaci \[\psi(x)=A\sin kx+ B\cos kx, \,\,\, |x|<a/2 \] z dodatkowym warunkiem \(\psi\left(\pm\frac{a}{2}\right)=0\). Warunek ten zapisany jawnie przyjmuje postać \[\left(\begin{array}{cc}\sin(ka/2) & \cos(ka/2) \\ -\sin(ka/2) & \cos(ka/2) \end{array}\right)\left(\begin{array}{c} A \\ B \end{array} \right)=0\] Z warunku \[\left|\begin{array}{cc}\sin(ka/2) & \cos(ka/2) \\ -\sin(ka/2) & \cos(ka/2) \end{array}\right|=0\] otrzymujemy \[\sin ka=0 \Rightarrow k_na=n\pi,\,\, n\in\mathbb{N} \] a rozwiązanie (z uwzględnieniem normalizacji) \[\psi_n(x)=\left\{\begin{array}{cc}\sqrt{\frac{2}{a}}\cos(\frac{n\pi x}{a}) & n=1,3,5... \\ \sqrt{\frac{2}{a}}\sin(\frac{n\pi x}{a}) & n=2,4,6... \end{array}\right.\] a odpowiednie wartości energii to \[k_n a=\sqrt{\frac{2mE_n}{\hbar^2}}a=n\pi,\,\,\, n\in\mathbb{N}\]
Ekonofizyka
W tym rozdziale po raz pierwszy dochodzimy do meritum rozważanej w krypcie problematyki. Pokażemy jak wykorzystać narzędzia badawcze mające swe źródło w opisie dynamiki układów kwantowych przy badaniu dynamiki opcji w modelu Blacka-Scholesa (BS). Pragniemy podkreślić, że zaproponowana metodologia badawcza nie oznacza kwqantowania modelu BS w sensie znanym w fizyce, lecz wskazanie na istnienie formalnych analogii pomiędzy tymi teoriami. Rozpocznijmy od równania BS: \[\frac{\partial C}{\partial t}=-\frac{1}{2}\sigma^2 S^2\frac{\partial^2C}{\partial S^2}-rS\frac{\partial C}{\partial S}+rC\] gdzie \(C=C(S,t)\) jest szukaną ceną instrumentu pochodnego uzależnioną od ceny instrumentu bazowego \(S(t)\) i czasu \(t\). Szczególowa dyskusja tego równania przedstawiona została we wcześniejszych rozdziałach skryptu.
Rozważmy zamianę zmiennych \[S=e^x, \,\,\,\, x\in [-\infty,\infty]\] w wyniku której równanie BS przyjmuje "hamiltonowską" postać \[\frac{\partial C}{\partial t}=H_{BS} C\] Operator \[H_{BS}\left(\cdot\right)=-\frac{\sigma^2}{2}\frac{\partial^2}{\partial x^2}\left(\cdot\right)+\left(\frac{1}{2}\sigma^2-r \right)\frac{\partial}{\partial x}\left(\cdot\right) + r\left(\cdot\right)\] będziemy w toku dalszego wykładu nazywać hamiltonianem Blacka-Scholesa (BS). Już tutaj musimy podkreślić nbardzo istotną cechę odróżniającą model BS od modeli rozważanych typowo w fizyce. Hamiltonian BS nie jest hermitowski. \[H_{BS}^\dagger \left(\cdot\right)=-\frac{\sigma^2}{2}\frac{\partial^2}{\partial x^2}\left(\cdot\right)-\left(\frac{1}{2}\sigma^2-r \right)\frac{\partial}{\partial x}\left(\cdot\right) + r\left(\cdot\right)\neq H_{BS}\left(\cdot\right)\] Niehermitowskie hamiltoniany pojawiają się w efektywnym opisie układów kwantowych. Pobieżna dyskusja tego zagadnienie przedstawiona zostenie w następnym rozdziale. Już tu jednak podkreślmy, że brak "hermitowskości" stanowić może poważną niedogodność, lub może raczej harmitowskość hamiltonianów fizycznych jest znacznym, często niedocenianym, ułatwieniem. Kolejna różnica widoczna w porównaniu modelu BS i równania Schroedingere to brak jednostki urojone \(i^2=-1\). W pewnym uproszczeniu możemy powiedzieć, że dynamika BS odbywa się w czasie urojonym \(t\rightarrow it\). Czas urojony stosuje się w fizyce statystycznej przy badaniu własności termodynamicznych układów kwantowych. Do zqagadnienia tego powrócimy w dalszych rozdziałach skryptu.
Propagator Blacka-Scholesa
Równanie BS zapisane w postaci hamiltonowskiej \[\frac{\partial C}{\partial t}=H C\] gdzie dla uproszczenie pominięto wskaźnik BS i.e. \(H=H_{BS}\), można formalnie rozwiązać \[C(t,x)=e^{tH}C(0,x)\] przy czym, stosując notację Diraca ("bra-kety") \(C(t,x)=\langle x|C,t\rangle\). To samo równaie można zapisać przy użyciu notacji Diraca \[\frac{\partial}{\partial t}|C,t\rangle=H |C,t\rangle\] a rozwiązanie
- \(|C,t\rangle=e^{tH}|C,0\rangle\)
Notacja Diraca stanowi użyteczne uproszczenie o charakterze mnemotechnicznym, choć jej stosowalność w przypadku układów nieskończenie wymiarowych wymaga użycia uogólnionych (wyposażonych) przestrzeni Hilberta. Nie zapominajmy, że zgodnie z dyskusją zawartą we wcześniejszych rozdziałach, równanie BS wymaga określenie warunku końcowego: \[|C,T\rangle=e^{TH}|C,0\rangle=|g\rangle\] Ponieważ wówczas \[|C,0\rangle=e^{-TH}|g\rangle\] więc rozwiązanie równania BS przyjmuje postać \[|C,t\rangle=e^{tH}|C,0\rangle=e^{-(T-t)H}|g\rangle\] W dalszym ciągu przyjmuje oznaczenie \[\tau=T-t\] W zaproponowanej notacji stany \(|x\rangle\), gdzie \(x\in\mathcal{R}\), pełnią naturalną funkcję \(położeń\) wraz z odpowiadającym rozkładem jedności \[\mathcal{I}=\int_\mathbb{R}dx |x\rangle\langle x|\] Rozkład jedności pozwala na znalezienie szukanej ceny opcji w modelu BS w postaci funkcji falowej \[C(t,x)=\langle x|e^{-\tau H}|x\rangle=\int_{-\infty}^\infty dx' \langle x|e^{-\tau H}|x'\rangle\] Zauważmy, że dla znajomości wartości instrumentu pochodnego w dowolnej chwili wystarcza znajomość warunku końcowego i wielkości \[K(x,x',\tau)=\langle x|e^{-\tau H}|x'\rangle\] znanej w fizyce pod nazwą propagatora, lub funkcji Greena. Pokażemy w dalszych rozdziałach jak, stosując metody rodem z fizyki kwantowej, można obliczyć, lub sensoenie przybliżyć, propagator dla modelu BS.
Propagator BS: rozwiązanie
Ze względu na względną prostotę modelu BS możliwym jest podanie dla tego modelu jawnej postaci propagatora \(K(x,x',\tau)\). Wykorzystamy w tym celu reprezentację "pędową", czyli postąpimy analogicznie do przypadku ckwantowej cząstki swobodnej:
- \(K(x,x',\tau)=\langle x|e^{-\tau H}|x\rangle=\int_\mathbb{R} \frac{dp}{2\pi}\langle x|e^{-\tau H}|p\rangle\langle p|x'\rangle\)
gdzie zastosowano rozkład jedności \[\mathcal{I}=\int_\mathbb{R} \frac{dp}{2\pi}dp|p\rangle\langle p|\] Do wykorzystania powyższego wzoru wystarczy zauważyć, że \[\langle x|H| p\rangle=H\langle x| p\rangle= He^{ipx}=\left(\frac{1}{2}\sigma^2p^2+i(\frac{1}{2}\sigma^2-r)p+r \right) e^{ipx}\], gdzyż, przypomnijmy (\(\hbar=1\)) \[\langle x|p\rangle=e^{ipx},\,\,\,\,\, p_x\rightarrow -i\frac{\partial}{\partial x}\] Teraz propagator można zapisać w postaci całki \[K(x,x',\tau)=e^{-r\tau}\int_\mathbb{R}\frac{dp}{2\pi}e^{-\frac{1}{2}\tau\sigma^2p^2}e^{ip\left(x-x'+\tau(r-\frac{\sigma^2}{2})\right)}\] Całka ta jest całką gaussowską, którą można, korzystając ze wzoru \[\int_\mathbb{R}dse^{-as^2}=\sqrt\frac{\pi}{a},\,\, a\neq 0\] obliczyć jawnie \[K(x,x',\tau)=e^{-r\tau}\frac{1}{\sqrt{2\pi\tau\sigma^2}}e^{-\frac{1}{2\tau\sigma^2}\left(x-x'+\tau(r-\frac{\sigma^2}{2})\right)^2}\] Oznacza to, że problem wyceny opcji BS można uznać za rozwiązany.
Potencjały a opcje barierowe
Uniwersalna stosowalność mechaniki kwantowej w opisie mikroświata zasadza się w możliwości modelowania nimal dowolnych układów poprzez wybór odpowiedniego potenjału w hamiltonianie występującym w równaniu Schroedingera \[H=\frac{p^2}{2m}+V\] Dobór potencjału \(V\) podyktowany jest naturalnymi przesłankamiwynikającymi z natury sił wiążących układ kwantowy. W przypadku wyceny opcji w modelach typu Blacka-Scholesa okazuje się, że istnieje swoboda podobnego typu. Okazuje się, że opis szerkiej klasy opcji zależnych od drogi można przeprowadzić poprzez modyfikację \[H_{eff}=H_{BS}+V\] Szczególnym przypadkiem mogą być tu tzw. opcje barierowe, czy też opcje azjatyckie dla których \[V=ige^x\] Ciekawą klasę problemów otrzymuje się, gdy założy się \(r\rightarrow V(x)\) otrzymując \[H_V=-\frac{\sigma^2}{2}\frac{\partial^2}{\partial x^2}+\left(\frac{\sigma^2}{2}-V(x)\right)\frac{\partial}{\partial x}+V(x)\] Z powyższym niehermitowskim hamiltonianem można powiązać hamiltonian efektywny \(H_{eff}\) poprzez następującą izospektralną transformację \[H_V=e^sH_{eff}e^{-s}\] gdzie \[H_{eff}=-\frac{\sigma^2}{2}\frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{1}{2}\frac{\partial V}{\partial x}+\frac{1}{2\sigma^2}\left(V+\frac{1}{2}\sigma^2 \right)^2\] oraz \[s=\frac{1}{2}x -\frac{1}{\sigma^2}\int_0^x dh V(h)\] Korzyść wyniesiona z przeprowadzonej trnasformacji staje się jasna, gdzy zauważymy, że hamiltonian efektywny jest hermitowski \(H_{eff}^\dagger=H_{eff}\). Oznacza tto istotne uprszczenie przy próbie jego diagonalizacji \[H_{eff}|\phi_n\rangle=E_n|\phi_n\rangle\] Oczywiście \[H_V|\psi_n\rangle=E_n|\psi_n\rangle\] gdzie \[|\psi_n\rangle=e^s|\phi_n\rangle\] lecz oczywiście \[\langle \tilde{\psi}_n|=e^{-s}\langle\phi_n|\neq \langle\psi_n|\] gdyż \(H_V\) nie jest hermitowski. Porblem birtogonalności stanów własnych niehermitowskich hamiltonianów przedyskutowany zostanie w nastepnym rozdziale.
W szczególnym przypadku \(V=r\), czyli dla podstawowego modelu BS \[H_{BS}=e^sH_{eff}e^{-s}=e^{\alpha x}\left(-\frac{\sigma^2}{2}\frac{\partial^2}{\partial x^2}+\gamma \right)e^{-\alpha x}\] gdzie \[\gamma=\frac{1}{2\sigma^2}\left(r+\frac{1}{2}\sigma^2 \right)^2, \,\,\,\,\alpha=\frac{1}{\sigma^2}\left(\frac{1}{2}\sigma^2-r\right)\]
Przykład: dwie bariery
Opcje barierowe to instumenty pochodne konstruowane dla instumentu bazowego, którego zakres wartości (położenie) ograniczony jest do właściwego podzbioru zbioru liczb rzeczywistych (\(x\in A\subset\mathbb{R}\)) Rozważmy dynamikę opcji w modelu BS w obecności potencjału, który ogranicza położenie instrumentu bazowego do skończonego przedziału na osi liczb rzczywistych. \[H_{DB}=H_{BS}+V(x)=e^s(H_{eff}+V(x)))e^{-s}\] gdzie \[V(x)=\left\{\begin{array}{cc} \infty & x\le a \\ 0 & x\in(a,b)\\ \infty & x\ge b \end{array} \right.\] zaś \[H_{eff}=-\frac{\sigma^2}{2}\frac{\partial^2}{\partial x^2}+\gamma\] Zauważmy, że rozważany model, w którym występują dwie bariery jest spektralnie równoważny modelowi cząstki uwięzionej w studni potencjału.
Stany własne: \[\langle x|\phi_n\rangle=\sqrt{\frac{2}{b-a}}\sin(p_n(x-a)),\,\,\,p_n=\frac{\pi n}{b-a},\,\,\, E_n=\frac{\sigma^2}{2}p_n^2,\,\,\,n\in\mathbb{N}\] otrzymuje się z rozwiązania odpowiedniego problemu kwantowego, a nastepnie, korzystając z ich zupełności \[\mathcal{I}=\sum_{n=1}^\infty |\phi_n\rangle\langle\phi_n|\] obliczamy \[K(x,x',\tau)=\langle x|e^{-\tau H_{BD}}|x'\rangle =e^{-\tau\gamma}e^{\alpha(x-x')}\sum_{n=1}^\infty e^{-\tau E_n}\langle x|\phi_n\rangle\langle\phi_n|x'\rangle \] co oznacza rozwiązanie problemu.
Niehermitowskie hamiltoniany w fizyce
Całki po trajektoriach
Mechanika klasyczna: ujęcie Langrange'a
Mechanika klasyczna, bardziej niż jakakolwiek teoria fizyczna, znana jest z tego, że dopuszcza przynajmniej trzy alternatywne (choć nie równoważne zob. Arnold "Matematyczne metody mechaniki klasycznej") sposoby opisu. Możemy wyróżnić
1. Mechanikę Newtona
2. Mechanikę Hamiltona
3. Mechanikę Lagrange'a
Mechanika Hamiltona, formalizm kanoniczny, stanowi podstawę historycznie najwcześniejszych prób kwantowania mechaniki. Niemniej jednak to formalizm Lagrange'a stał się kanwą dla omawianych w dalszych rozdziałach metod całek po trajektoriach.
Rozpocznijmy of pojęcia funkcjonału, operacji przyporządkowania funkcji liczby (rzeczywistej) danej następującą formułą \[F[f]=\int dx F(f(x))\] szczególnym przypadkiem takiej operacji jest funkcjonał działania \[S[x]=\int_{t_i}^{t_f} dt L(x,\dot{x})\] gdzie \[L(x,\dot{x})=\frac{m}{2}\dot{x}^2-V(x)\] to funkcja Lagrange'a.
Funkcjonały można różniczkować: \[F'[v]=\frac{d}{d\epsilon}F[f+\epsilon v]|_{\epsilon=0}= \int dx\frac{\delta F[f]}{\delta f(x)}v(x)\] gdzie \[\frac{\delta F(f(x))}{\delta f(y)}=\lim_{\epsilon\rightarrow 0}\frac{F(f(x)+\epsilon\delta(x-y))-F(f(x))}{\epsilon}\] a w szczególności \[\frac{\delta f(y)}{\delta f(x)}=\delta (x-y)\] Zauważmy, że tak zdefiniowana pochodna funkcjonału jest naturalnym uogólnieniem pojęcia pochodnej kierunkowej dla funkcji wielu zmiennych.
Dla przykładu rozważmy: \[F[f]=\int dy F(f(y))= \int dy (f(y))^n\] obliczjąc pochodną: \[\frac{\delta}{\delta f(x)}F(f(y))=\lim_{\epsilon\rightarrow 0} \frac{f(y)+\epsilon \delta(x-y))^n-f(y))^n}{\epsilon}=\] \[ =\lim_{\epsilon\rightarrow 0}\frac{(f(y))^n+n\epsilon (f(y))^{n-1}\delta(y-x)+O(\epsilon^2)-(f(y))^n}{\epsilon}=n(f(y))^{n-1}\delta(y-x)\] czyli ostatecznie \[\frac{\delta}{\delta f(x)}F[f]=\int dy \frac{\delta F(f(y))}{\delta f(x)}=\int dy nf(y)^{n-1} \delta(y-x)=nf(x)^{n-1}\]
Równania Lagrange'a
Jako kolejny przykład rozważmy funkcjonał działania \[S[x]=\int_{t_i}^{t_f} dt' L(x(t'),\dot{x}(t'))\]\ gdzie funkcja Lagrange's \[L(x(t),\dot{x}(t'))=\frac{1}{2}m\dot{x}^2-V(x(t))=T(\dot{x}(t))-V(x(t))\] jest różnicą energii kineycznej i potencjalnej cząstki.
Równania ruchu cząstki otrzymuje z ekstermalizacji funkcjonału działania: \[0=\frac{\delta S[x]}{\delta x(t)}=\int_{t_i}^{t_f} dt' \frac{\delta L(x(t'),\dot{x}(t'))}{\delta x(t)}=-m \ddot{x}(t)-V'(x(t))\] gdyż \[\frac{\delta L(x(t'),\dot{x}(t'))}{\delta x(t)}=m\dot{x}(t')\frac{d}{dt'}\delta(t-t')-\frac{\partial V(x(t')}{\partial x(t')}\delta(t'-t)\] Ostatecznie, ekstermalizując działanie cząstki na klasycznej trajektorii okazało się, że ruch cząstki dany jest rozwiązaniem równania Newtona.
Całki w mechanice kwantowej
Powróćmy teraz do opsu dynamiki układów kwantowych. Formalizm całek po trajektoriach, który zostanie zaprezentowany w niniejszym rozdziale, pozwala na obliczenie ewolucji w czasie nie tyle stanu: \[|x,t\rangle_H=\exp(\frac{i}{\hbar}tH)|x\rangle\] co raczej na znalezienie propagatora \[_H\langle x_1,t_1|x_2, t_2\rangle_H = \langle x_1|e^{\frac{-i}{\hbar} Ht_1}e^{\frac{i}{\hbar} Ht_2}|x_2\rangle=\langle x_1|e^{\frac{-i}{\hbar} H(t_1-t_2)}|x_2\rangle= \] \[=\langle x_1|U(t_1,t_2)|x_2\rangle=U(t_1,x_1;t_2,x_2)\] Oznacza to, że stosując całki po trajektoriach przyjmuje się za fundamentalne nieco inne wielokści niż w przypadku "kanonicznym" omawianym wcześniej. Należy podkreślić, że nie skutkuje to utratą informacji o badanym układzie.
Dalej wyprowadzimy wzór opisujący propagator cząstki kwantowej lub inaczej, amplitudę zdarzenia, że cząstka będąca w chwili \(t_i\) w punkcie \(x_i\) znajdzie się w chwili \(t_f\) w punkcie \(x_f\). W toku wykładu ograniczamy się do przypadku jednowymiarowego i.e. \(x\in\mathbb{R}\). \[U(t_f,x_f;t_i,x_i)=_H\langle x_f,t_f|x_i,t_i\rangle_H\] Rozpocznijmy od dyskretyzacji czasu \[\epsilon=\frac{t_f-t_i}{N}\] czyli podzieleniu ewolucji w czasie na kroki \[t_n=t_i+n\epsilon,\,\,\, n=1,2,\ldots,(N-1)\]
\[ U(t_f,x_f;t_i,x_i)=\lim_{\epsilon\rightarrow 0}\lim_{N\rightarrow\infty} \int dx_1\ldots dx_{N-1}\,_H\langle x_f,t_f|x_{N-1},t_{N-1}\rangle_H\] \[\,_H\langle x_{N-1},t_{N-1}|x_{N-2},t_{N-2}\rangle_H\ldots\,_H\langle x_i,t_1|x_i,t_i\rangle_H\]
\[_H\langle x_n,t_n|x_{n-1},t_{n-1}\rangle = \langle x_n| e^{-\frac{i}{\hbar} t_nH}e^{\frac{i}{\hbar} t_{n-1}H}|x_{n-1}\rangle=\] \[=\langle \exp(-\frac{i}{\hbar}(t_n-t_{n-1})H)|x_{n-1}\rangle=\langle x_n|\exp(-\frac{i}{\hbar}\epsilon H)|x_{n-1}\rangle=\] \[=\int\frac{dp}{2\pi\hbar}e^{\frac{i}{\hbar}p_n(x_n-x_{n-1})-\frac{i}{\hbar} \epsilon H(\frac{x_n+x_{n-1}}{2},p_n)}\]
\[U(t_f,x_f;t_i,x_i)=\lim_{\epsilon\rightarrow 0}\lim_{N\rightarrow \infty}\int dx_1\ldots dx_{N-1}\frac{dp_1}{2\pi\hbar}\ldots \frac{dp_N}{2\pi\hbar} \] \[\exp(\frac{i}{\hbar}\sum_{n=1}^N (p_n(x_n-x_{n-1})-\epsilon H(\frac{x_n+x_{n-1}}{2},p_n)))\]
\[U(t_f,x_f;t_i,x_i)= \int \mathcal{D}p \int \mathcal{D}x \exp(\frac{i}{\hbar}\int_{t_i}^{t_f} dt (p\dot{x}-H(x,p)))=\] \[=\int \mathcal{D}p \int \mathcal{D}x \exp(\frac{i}{\hbar}\int_{t_i}^{t_f} dt L) \]
Postać Feynmanna całki po trajektorii
\[H(x,p)= \frac{p^2}{2m}+V(x)\]
\[U(t_f,x_f;t_i,x_i)=\lim_{\epsilon\rightarrow 0}\lim_{N\rightarrow\infty} \int dx_1 \ldots dx_{N-1}\frac{dp_1}{2\pi\hbar}\ldots\frac{dp_N}{2\pi\hbar}\] \[\exp(\frac{i\epsilon}{\hbar} \sum_{n=1}^N (p_n(\frac{x_n-x_{n-1}}{\epsilon}-\frac{p_n^2}{2m} -V(\frac{x_n+x_{n-1}}{2})))\]
\[\int\frac{dp_n}{2\pi\hbar} \exp(-\frac{i\epsilon}{\hbar} (\frac{p_n^2}{2m}-\frac{p_n(x_n-x_{n-1})}{\epsilon}))=\sqrt{\frac{m}{2\pi i\hbar\epsilon}}\exp(\frac{im\epsilon}{2\hbar}(\frac{x_n-x_{n-1}}{\epsilon})^2)\]
\[U(t_f,x_f;t_i,x_i)=A\int \mathcal{D}x \exp(\frac{i}{\hbar}\int_{t_i}^{t_f}dt(\frac{1}{2}m\dot{x}^2-V(x)))=A\int\mathcal{D}x\exp(\frac{i}{\hbar}S[x])\]
Cząstka swobodna
\[L=\frac{1}{2}m\dot{x}^2\]
\[U(t_f,x_f;t_i,x_i)=\lim_{\epsilon\rightarrow 0}\lim_{N\rightarrow \infty} (\frac{m}{2\pi i\hbar\epsilon})^{N/2}\int dx_1 \ldots dx_{N-1} \exp(\frac{im}{2\hbar\epsilon} \sum_{n=1}^N(x_n-x_{n-1})^2))\]
\[y_n=\sqrt{\frac{m}{2\hbar\epsilon}}x_n\]
\[U(t_f,x_f;t_i,x_i)=\lim_{\epsilon\rightarrow 0}\lim_{N\rightarrow \infty} (\frac{m}{2\pi i\hbar\epsilon})^{\frac{N}{2}}(\frac{2\hbar\epsilon}{m})^{\frac{N-1}{2}}\int dy_1\ldots dy_{N-1}\exp(i\sum_{n=1}^N(y_n-y_{n-1})^2)\]
\[U(t_f,x_f;t_i,x_i)=\lim_{\epsilon\rightarrow 0}\lim_{N\rightarrow \infty} (\frac{m}{2\pi i\hbar\epsilon})^{\frac{N}{2}}(\frac{2\hbar\epsilon}{m})^{\frac{N-1}{2}}\sqrt{\frac{i\pi^{N-1}}{N}}\exp(\frac{i}{N}(y_N-y_0)^2)=\]
\[x_N=x_f, \,\,\, x_0=x_i\]
\[=\sqrt{\frac{m}{2\pi i\hbar(t_f-t_i)}}\exp(\frac{mi}{2\hbar}\frac{(x_f-x_i)^2}{t_f-t_i})\]
Oscylator harmoniczny
Czas urojony
\[H^J(t)=H(p,x)+\vec{\Phi}\cdot \vec{J}= H(p,x)+pK(t)+xJ(t)\] \[\vec{\Phi}=(p,x),\,\, \vec{J}(t)=(K(t),J(t))\] \[Z^J=Z^J(t_f,t_i)=\langle 0|U^J(t_f,t_i)|0\rangle\] \[H(p,x)|0\rangle=E_0|0\rangle\]
\[-\hbar^2 \frac{1}{Z^J}\frac{\partial ^2 Z^J}{\partial \vec{J}(t_1)\partial\vec{J}(t_2)}|_{\vec{J}\rightarrow 0}=\langle 0|\mathbb{T} \vec{\Phi}(t_1)\vec{\Phi}(t_2)|0\rangle\] \[\vec{\Phi}(t)=e^{iHt/\hbar}\vec{\Phi}e^{-iHt/\hbar}\] \[\mathbb{T}A(t_1)B(t_2)=\theta(t_1-t_2)A(t_1)B(t_2)-\theta(t_2-t_1)B(t_2)A(t_1)\] \[t\rightarrow -it\] \[\tilde{U}(t_f,t_i)=\lim_{N\rightarrow\infty}(\mathcal{I}-\frac{\epsilon}{\hbar}H_N^J(p,x))(\mathcal{I}-\frac{\epsilon}{\hbar}H_{N-1}^J(p,x))\ldots (\mathcal{I}-\frac{\epsilon}{\hbar}H_1^J(p,x))\] \[H_n^J=H(p,x)+\vec{\Phi}\cdot \vec{J}_n,\,\,\,\vec{J}_n=\vec{J}(-it_j) \]
\[\tilde{Z}^J(t_f,t_i)=\mbox{Tr}\tilde{U}^J(t_f,t_i)=\int_{-\infty}^\infty dx \langle x|\tilde{U}^J|x\rangle\]
\[\tilde{Z}^J(t_f,t_i)=\lim_{N\rightarrow\infty} \prod_{j=1}^N(\int\int\frac{dp_j dx_j}{2\pi\hbar})\] \[\exp(\frac{1}{\hbar}\sum_{j=1}^N(ip_j(x_j-x_{j-1})-\epsilon(H(p_j,\frac{x_j+x_{j-1}}{2})+p_jK_j+x_jJ_j)))|_{x_0=x_N}\]
Całki w ekonofizyce
BS 'Plus', czyli zmienność stochastyczna
Zmienność stochastyczna
\[ \sigma^2=V, \,\,\, \frac{dV}{dt}=\lambda+\mu V+\xi V^{\alpha}Q \] przy czym dobór parametrów gwarantuje \( V>0 \)
Ogólnie \[ \frac{dS}{dt}=\phi S + S\sqrt{V} R_1 \] \[ \frac{dV}{dt}=\lambda+\mu V+\xi V^{\alpha}R_2 \] gdzie, dla korelacji \( \rho\in[-1,1]\) \[ \frac{1}{\rho}E[R_1(t),R_2(t')]=\delta(t-t')\]