Z Skrypty dla studentów Ekonofizyki UPGOW

Stochastyczne równania różniczkowe

W tym rozdziale zostaną opisane metody numeryczne, które służa do rozwiązywania stochastycznych równań różniczkowych typu:

\(\frac{dX(t)}{dt} = F(X(t), t) + G(X(t), t)\Gamma(t)\)

gdzie F i G to dowolne funkcje, a \(\Gamma(t)\) jest procesem losowym. W przypadku gdy rozpatrujemy biały szum Gaussowski to należy zwrócic szczególną uwagę na dylemat Stratonowicza-Ito.

\(dX(t)= F(X(t), t)dt + G(X(t), t) dW(t)\;\)

Proces Wienera

Proces Wienera jest rozwiązaniem następującego stochastycznego równania różniczkowego:

\(dX(t)= dW(t)\;\).

Jego realizacja jest funkcją ciągłą, ale jednocześnie nigdzie nie jest różniczkowalna. Przyrost \(W(t_2) - W(t_1)\) jest zmienna losową gaussowską o zerowej wartości średniej i wariancji \( = 2D(t_2 - t_1) \). Więc jego rozkład prawdopodobieństwa ma postać

\(\Delta W(t) = W(t+\Delta t) - W(t) \;\)

i wzór ma postać

\(\langle [\Delta W(t)]^2 \rangle = \langle [W(t+\Delta t) - W(t)[^2 \rangle = 2D \Delta t \)

Schemat Eulera dla równania z szumem addytywnym

Najprostszą metodą aproksymacji numerycznej równania stochastycznego jest podobnie jak w przypadku równań różniczkowych zwyczajnych - schemat Eulera.