Z Skrypty dla studentów Ekonofizyki UPGOW

Stochastyczne równania różniczkowe

W tym rozdziale zostaną opisane metody numeryczne, które służa do rozwiązywania stochastycznych równań różniczkowych typu:

\(\frac{dX(t)}{dt} = F(X(t), t) + G(X(t), t)\Gamma(t)\)

gdzie F i G to dowolne funkcje, a \(\Gamma(t)\) jest procesem losowym. Najczęstszym przypadek to taki w którym \(\Gamma(t)\) to biały szum Gaussowski. Tak zapisane równanie nie jest precyzyjnie określone ze względu na dylemat Stratonowicza-Ito. Dlatego poprawne jest zapisanie równanie Ito w postaci:

\(dX(t)= F(X(t), t)dt + G(X(t), t) dW(t)\;\)

Nie zmienia to ogólności, gdyż jak wiadomo każde równanie zapisane w interpretacji Stratonowicza ma swój odpowiednik Ito. Dla potrzeb metod numerycznych będziemy rozpatrywać zawsze równania Ito, a jeśli pojawią się równania Stratonowicza to będziemy je transpormować do postaci Ito.

Schemat Eulera dla równania z szumem addytywnym

Najprostszą metodą aproksymacji numerycznej równania stochastycznego jest podobnie jak w przypadku równań różniczkowych zwyczajnych jest schemat Eulera. Część deterministyczną równania stochastycznego traktujemy w taki sam sposób jak w schemacie Eulera dla równań różniczkowych zwyczajnych. Niech h oznacza krok całkowania i oś czasowa będzie zdyskretyzowana na przedzialy \(t_{i-1},t_{i},t_{i+1}\) oraz \(h=t_{i}-t_{i-1}\). Wtedy część deterministyczna równania stochastycznego przyjmuje postać:

\(X(t_i) = X(t_{i-1}) + \int_{t_{i-1}}^{t_{i}} F(X(t), t) dt \simeq X(t_{i-1}) + F(X(t_{i-1}, t_{i-1}) h \)

Aby całkować część stochastyczną potrzebujemy formuły na przyrost skończony procesu Wienera:

\( \int_{t_{i-1}}^{t_{i}} \Gamma(t) dt =\;\int_{t_{i-1}}^{t_{i}} dW(t) = W(t_{i})-W(t_{i-1})\)

Wiemy, że proces Wienera jest procesem o przyrostach niezależnych, które są gaussowską zmienna losową o zerowej wartości średniej i wariancji \(2D(t_{i} − t_{i-1})=2 D h\).

Tak więc widać, że w schemacie Eulera całkę typu \( \int_{t_{i-1}}^{t_{i}} \Gamma(t) dt \) należy zastąpić w każdym kroku całkowania gaussowską zmienną losową o wariancji proporcjonalnej do kroku całkowania h. Ponieważ z reguły dysponujemy gaussowskich generatorem liczb losowych o jednostkowej wariancji N(0,1), można zapisać:

\( \int_{t_{i-1}}^{t_{i}} \Gamma(t) dt = \sqrt{2D h} N(0,1) \)

Ten zapis pokazuje też ważną cechę przy obliczaniu aproksymacji rozwiązań stochastycznych - najniższy rząd w h jest nie O(h) ale \(O(h^{1/2})\).

Ponadto z takiego sformułowania widać też, że zmiany procesu Wienera w stosunku do przyrostów czasu są rozbieżne w granicy \(h\to 0\).

Korzystając w powyższych faktów, możemy zapisać pełny schemat Eulera dla równania stochastycznego:

\(X(t_i) = X(t_{i-1}) + F(X(t_{i-1}, t_{i-1}) h + \)

Proces Wienera

Proces Wienera jest rozwiązaniem następującego stochastycznego równania różniczkowego:

\(dX(t)= dW(t)\;\).

Jego realizacja jest funkcją ciągłą, ale jednocześnie nigdzie nie jest różniczkowalna. Przyrost \(W(t_2) - W(t_1)\) jest zmienna losową gaussowską o zerowej wartości średniej i wariancji \( = 2D(t_2 - t_1) \).

Całkując powy