Z Skrypty dla studentów Ekonofizyki UPGOW

Wersja z 12:51, 20 wrz 2010 (pokaż źródło) LM (dyskusja | edycje) ← poprzednia edycja		Wersja z 13:18, 23 wrz 2010 (pokaż źródło) LM (dyskusja | edycje) następna edycja →
Linia 1:		Linia 1:
	[[Analiza Szeregów Czasowych]]		[[Analiza Szeregów Czasowych]]
-	Procesy stochastyczne	+	=Elementy teorii prawdopodobieństwa=
		+
		+	=Procesy stochastyczne=
		+
		+	=Definicja i rola funkcji autokowariancji (autokorelacji)=
		+	Do wyznaczania zależności pomiędzy zmiennymi losowymi użyteczna bywa funkcja kowariancji.
		+
		+	;Definicja 3.1: Dla dwóch zmiennych losowych <math> \{X_t, t \in T\}\ </math> oraz <math> \{Y_s, s \in T\}\ </math> funkcja
		+
		+	: <math>
		+	\begin{align}
		+	~cov(X(r),Y(s)) =
		+	&E[(X_r - EX_r)(Y_s - EY_s)] = E(X_tY_s) - EX_t EY_s ~~~\text{dla} ~~~ r,s \in T
		+	\end{align}
		+	</math>
		+
		+	określa liniową zależność pomiędzy powyższymi zmiennymi losowymi. Stopień współzależności owych zmiennych losowych można podać za pomocą tzw. współczynnika korelacji Pearsona <math> r_{XY}\ </math>
		+
		+	: <math>
		+	cov (X, Y) = r_{XY} \sigma_{X} \sigma_{Y}.
		+	</math>
		+
		+	Wartość współczynnika korelacji Pearsona mieści się w przedziale domkniętym [-1, 1]. Im większa jego wartość bezwzględna, tym silniejsza jest zależność zmiennych losowych między zmiennymi.
		+	<math>r_{XY} = 0</math> oznacza brak liniowej zależności między cechami, <math>r_{XY} = 1</math> oznacza dokładną dodatnią liniową zależność między cechami, natomiast <math>r_{XY} = -1</math> oznacza dokładną ujemną liniową zależność między cechami, tzn. jeżeli zmienna <math>X</math> rośnie, to <math>Y</math> maleje i na odwrót.
		+	Współczynnik korelacji liniowej można traktować jako znormalizowaną [[kowariancja|kowariancję]]. Korelacja przyjmuje zawsze wartości w zakresie [-1, 1], co pozwala uniezależnić analizę od dziedziny badanych zmiennych.
		+
		+	W przypadku gdy analizujemy szereg czasowy opisywany poprzez ewolucję jednej zmiennej losowej możemy mówić najwyżej o funkcji autokowariancji.
		+	Dla szeregu czasowego <math> \{X_t, t \in T\}\ </math> możemy taką funkcję zdefiniować następująco.
		+
		+	;Definicja 3.2: Jeżeli <math> \{X_t, t \in T\}\ </math> jest procesem dla którego wariancja zmiennej losowej dla każdej chwili czasu <math> \sigma_{X_t} </math> jest skończona, wtedy funkcja autokowariancji procesu <math> \{X_t\}\ </math> zdefiniowana jest jako
		+
		+	: <math>
		+	\begin{align}
		+	~\gamma_X(r,s) = &K_{XX}(r,s) = cov(X(r),X(s)) = cov(X_r,X_s) = \\
		+	&E[(X_r - EX_r)(X_s - EX_s)] = E(X_tX_s) - EX_t EX_s ~~~\text{dla} ~~~ r,s \in T.
		+	\end{align}
		+	</math>
		+
		+	Analogicznie do funkcji kowariancji, autokowariancja określa liniową zależność pomiędzy tą samą zmienną losową w dwóch chwilach czasu t i s.
		+
		+
		+	=Stacjonarność procesu stochastycznego=

---

Wersja z 13:18, 23 wrz 2010

Analiza Szeregów Czasowych

Spis treści 1 Elementy teorii prawdopodobieństwa 2 Procesy stochastyczne 3 Definicja i rola funkcji autokowariancji (autokorelacji) 4 Stacjonarność procesu stochastycznego

Elementy teorii prawdopodobieństwa

Procesy stochastyczne

Definicja i rola funkcji autokowariancji (autokorelacji)

Do wyznaczania zależności pomiędzy zmiennymi losowymi użyteczna bywa funkcja kowariancji.

Definicja 3.1

Dla dwóch zmiennych losowych \( \{X_t, t \in T\}\ \) oraz \( \{Y_s, s \in T\}\ \) funkcja

\( \begin{align} ~cov(X(r),Y(s)) = &E[(X_r - EX_r)(Y_s - EY_s)] = E(X_tY_s) - EX_t EY_s ~~~\text{dla} ~~~ r,s \in T \end{align} \)

określa liniową zależność pomiędzy powyższymi zmiennymi losowymi. Stopień współzależności owych zmiennych losowych można podać za pomocą tzw. współczynnika korelacji Pearsona \( r_{XY}\ \)

\( cov (X, Y) = r_{XY} \sigma_{X} \sigma_{Y}. \)

Wartość współczynnika korelacji Pearsona mieści się w przedziale domkniętym [-1, 1]. Im większa jego wartość bezwzględna, tym silniejsza jest zależność zmiennych losowych między zmiennymi. \(r_{XY} = 0\) oznacza brak liniowej zależności między cechami, \(r_{XY} = 1\) oznacza dokładną dodatnią liniową zależność między cechami, natomiast \(r_{XY} = -1\) oznacza dokładną ujemną liniową zależność między cechami, tzn. jeżeli zmienna \(X\) rośnie, to \(Y\) maleje i na odwrót. Współczynnik korelacji liniowej można traktować jako znormalizowaną kowariancję. Korelacja przyjmuje zawsze wartości w zakresie [-1, 1], co pozwala uniezależnić analizę od dziedziny badanych zmiennych.

W przypadku gdy analizujemy szereg czasowy opisywany poprzez ewolucję jednej zmiennej losowej możemy mówić najwyżej o funkcji autokowariancji. Dla szeregu czasowego \( \{X_t, t \in T\}\ \) możemy taką funkcję zdefiniować następująco.

Definicja 3.2

Jeżeli \( \{X_t, t \in T\}\ \) jest procesem dla którego wariancja zmiennej losowej dla każdej chwili czasu \( \sigma_{X_t} \) jest skończona, wtedy funkcja autokowariancji procesu \( \{X_t\}\ \) zdefiniowana jest jako

\( \begin{align} ~\gamma_X(r,s) = &K_{XX}(r,s) = cov(X(r),X(s)) = cov(X_r,X_s) = \\ &E[(X_r - EX_r)(X_s - EX_s)] = E(X_tX_s) - EX_t EX_s ~~~\text{dla} ~~~ r,s \in T. \end{align} \)

Analogicznie do funkcji kowariancji, autokowariancja określa liniową zależność pomiędzy tą samą zmienną losową w dwóch chwilach czasu t i s.

Stacjonarność procesu stochastycznego