Z Skrypty dla studentów Ekonofizyki UPGOW
Spis treści |
Elementy teorii prawdopodobieństwa
Procesy stochastyczne
Definicja i rola funkcji autokowariancji (autokorelacji)
Do wyznaczania zależności pomiędzy zmiennymi losowymi użyteczna bywa funkcja kowariancji.
- Definicja 3.1
- Dla dwóch zmiennych losowych \( \{X_t, t \in T\}\ \) oraz \( \{Y_s, s \in T\}\ \) funkcja
- \( \begin{align} ~cov(X(r),Y(s)) = &E[(X_r - EX_r)(Y_s - EY_s)] = E(X_tY_s) - EX_t EY_s ~~~\text{dla} ~~~ r,s \in T \end{align} \)
określa liniową zależność pomiędzy powyższymi zmiennymi losowymi. Stopień współzależności owych zmiennych losowych można podać za pomocą tzw. współczynnika korelacji Pearsona \( r_{XY}\ \)
- \( cov (X, Y) = r_{XY} \sigma_{X} \sigma_{Y}. \)
Wartość współczynnika korelacji Pearsona mieści się w przedziale domkniętym [-1, 1]. Im większa jego wartość bezwzględna, tym silniejsza jest zależność zmiennych losowych między zmiennymi. \(r_{XY} = 0\) oznacza brak liniowej zależności między cechami, \(r_{XY} = 1\) oznacza dokładną dodatnią liniową zależność między cechami, natomiast \(r_{XY} = -1\) oznacza dokładną ujemną liniową zależność między cechami, tzn. jeżeli zmienna \(X\) rośnie, to \(Y\) maleje i na odwrót. Współczynnik korelacji liniowej można traktować jako znormalizowaną kowariancję. Korelacja przyjmuje zawsze wartości w zakresie [-1, 1], co pozwala uniezależnić analizę od dziedziny badanych zmiennych.
W przypadku gdy analizujemy szereg czasowy opisywany poprzez ewolucję jednej zmiennej losowej możemy mówić najwyżej o funkcji autokowariancji. Dla szeregu czasowego \( \{X_t, t \in T\}\ \) możemy taką funkcję zdefiniować następująco.
- Definicja 3.2
- Jeżeli \( \{X_t, t \in T\}\ \) jest procesem dla którego wariancja zmiennej losowej dla każdej chwili czasu \( \sigma_{X_t} \) jest skończona, wtedy funkcja autokowariancji procesu \( \{X_t\}\ \) zdefiniowana jest jako
- \( \begin{align} ~\gamma_X(r,s) = &K_{XX}(r,s) = cov(X(r),X(s)) = cov(X_r,X_s) = \\ &E[(X_r - EX_r)(X_s - EX_s)] = E(X_tX_s) - EX_t EX_s ~~~\text{dla} ~~~ r,s \in T. \end{align} \)
Analogicznie do funkcji kowariancji, autokowariancja określa liniową zależność pomiędzy tą samą zmienną losową w dwóch chwilach czasu t i s.