Analiza Szeregów Czasowych/Stacjonarność
Z Skrypty dla studentów Ekonofizyki UPGOW
(Różnice między wersjami)
m (→Stacjonarność procesów stochastycznych) |
(→Stacjonarność procesów stochastycznych) |
||
Linia 6: | Linia 6: | ||
;Definicja 3.1 | ;Definicja 3.1 | ||
- | Jeżeli <math> \{X_t, t \in T\}\ </math> jest procesem dla którego wariancja zmiennej losowej dla każdej chwili czasu <math> \ | + | Jeżeli <math> \{X_t, t \in T\}\ </math> jest procesem dla którego wariancja zmiennej losowej dla każdej chwili czasu <math> \sigma_{X_t} </math> jest skończona, wtedy funkcja autokowariancji procesu <math> \{X_t\}\ </math> zdefiniowana jest jako |
+ | |||
+ | : <math> | ||
+ | \begin{align} | ||
+ | ~\gamma_X(r,s) = &K_{XX}(r,s) = cov(X(r),X(s)) = cov(X_r,X_s) = \\ | ||
+ | &E[(X_r - EX_r)(X_s - EX_s)]\text{dla} ~~~ r,s \in T | ||
+ | \end{align} | ||
+ | </math> | ||
;Definicja 3.3: Szereg czasowy <math> \{X_t, t \in \Z\}\ </math>, gdzie zbiór indeksów zdefiniowany jest jako <math> \Z = \{0, \pm 1, \pm 2,\cdots \}</math> nazywamy stacjonarnym (w sensie słabym) jeżeli spełnione są poniższe punkty | ;Definicja 3.3: Szereg czasowy <math> \{X_t, t \in \Z\}\ </math>, gdzie zbiór indeksów zdefiniowany jest jako <math> \Z = \{0, \pm 1, \pm 2,\cdots \}</math> nazywamy stacjonarnym (w sensie słabym) jeżeli spełnione są poniższe punkty |
Wersja z 12:49, 23 wrz 2010
Stacjonarność procesów stochastycznych
Do wyznaczania zależności pomiędzy zmiennymi losowymi użyteczna bywa funkcja kowariancji. W przypadku gdy analizujemy szereg czasowy opisywany poprzez ewolucję jednej zmiennej losowej możemy mówić najwyżej o funkcji autokowariancji. Dla szeregu czasowego \( \{X_t, t \in T\}\ \) możemy taką funkcję zdefiniować następująco.
- Definicja 3.1
Jeżeli \( \{X_t, t \in T\}\ \) jest procesem dla którego wariancja zmiennej losowej dla każdej chwili czasu \( \sigma_{X_t} \) jest skończona, wtedy funkcja autokowariancji procesu \( \{X_t\}\ \) zdefiniowana jest jako
- \( \begin{align} ~\gamma_X(r,s) = &K_{XX}(r,s) = cov(X(r),X(s)) = cov(X_r,X_s) = \\ &E[(X_r - EX_r)(X_s - EX_s)]\text{dla} ~~~ r,s \in T \end{align} \)
- Definicja 3.3
- Szereg czasowy \( \{X_t, t \in \Z\}\ \), gdzie zbiór indeksów zdefiniowany jest jako \( \Z = \{0, \pm 1, \pm 2,\cdots \}\) nazywamy stacjonarnym (w sensie słabym) jeżeli spełnione są poniższe punkty
- \( \begin{align} (i) &~E | X_t |^2 < \infty ~~~ \text{for all} ~~~ t \in \Z \\ (ii) &~E X_t = m ~~~ \text{for all} ~~~ t \in \Z \\ (iii)&~\gamma_X(r,s) = \gamma_X(r+t,s+t) ~~~ \text{for all} ~~~ t \in \Z \end{align} \)
Uwagi
- Powyższa definicja odnosi się do tak zwanej słabej stacjonarności, stacjonarności w szerszym sensie lub stacjonarności rzędu dwa. Ma ona zastsowanie najczęściej podczas analizy szeregów czasowych. Na tym kursie analizy szeregów czasowych będzie to podstawowa definicja jaką będziemy rozpatrywali.
- Punkt \((iii)\ \) często zapisuje się w postaci
- \( \gamma_X(r+t,s+t) = \gamma_X(r-s,0) \!\)
- lub krótko
- \( \gamma_X(r-s,0) = \gamma(\tau) \, \mbox{ gdzie } \, \tau = t_1 - t_2 \)