Analiza Szeregów Czasowych/Stacjonarność
Z Skrypty dla studentów Ekonofizyki UPGOW
(Różnice między wersjami)
(→Stacjonarność procesów stochastycznych) |
(→Stacjonarność procesów stochastycznych) |
||
| Linia 2: | Linia 2: | ||
==Stacjonarność procesów stochastycznych== | ==Stacjonarność procesów stochastycznych== | ||
| - | Do wyznaczania zależności pomiędzy zmiennymi losowymi użyteczna bywa funkcja kowariancji. W przypadku gdy analizujemy szereg czasowy opisywany poprzez ewolucję jednej zmiennej losowej możemy mówić najwyżej o funkcji autokowariancji. | + | Do wyznaczania zależności pomiędzy zmiennymi losowymi użyteczna bywa funkcja kowariancji. |
| + | |||
| + | ;Definicja 3.1: Dla dwóch zmiennych losowych <math> \{X_t, t \in T\}\ </math> oraz <math> \{Y_s, s \in T\}\ </math> funkcja | ||
| + | |||
| + | : <math> | ||
| + | \begin{align} | ||
| + | ~cov(X(r),Y(s)) = | ||
| + | &E[(X_r - EX_r)(Y_s - EY_s)] = E(X_tY_s) - EX_t EY_s ~~~\text{dla} ~~~ r,s \in T | ||
| + | \end{align} | ||
| + | </math> | ||
| + | |||
| + | określa liniową zależność pomiędzy powyższymi zmiennymi losowymi. Stopień współzależności owych zmiennych losowych można podać za pomocą tzw. współczynnika korelacji Pearsona | ||
| + | |||
| + | :<math> | ||
| + | cov (X, Y) = corr(X, Y) \sigma_X \sigma_Y. | ||
| + | </math> | ||
| + | |||
| + | W przypadku gdy analizujemy szereg czasowy opisywany poprzez ewolucję jednej zmiennej losowej możemy mówić najwyżej o funkcji autokowariancji. | ||
Dla szeregu czasowego <math> \{X_t, t \in T\}\ </math> możemy taką funkcję zdefiniować następująco. | Dla szeregu czasowego <math> \{X_t, t \in T\}\ </math> możemy taką funkcję zdefiniować następująco. | ||
| - | ;Definicja 3. | + | ;Definicja 3.2: Jeżeli <math> \{X_t, t \in T\}\ </math> jest procesem dla którego wariancja zmiennej losowej dla każdej chwili czasu <math> \sigma_{X_t} </math> jest skończona, wtedy funkcja autokowariancji procesu <math> \{X_t\}\ </math> zdefiniowana jest jako |
| - | Jeżeli <math> \{X_t, t \in T\}\ </math> jest procesem dla którego wariancja zmiennej losowej dla każdej chwili czasu <math> \sigma_{X_t} </math> jest skończona, wtedy funkcja autokowariancji procesu <math> \{X_t\}\ </math> zdefiniowana jest jako | + | |
: <math> | : <math> | ||
Wersja z 12:57, 23 wrz 2010
Stacjonarność procesów stochastycznych
Do wyznaczania zależności pomiędzy zmiennymi losowymi użyteczna bywa funkcja kowariancji.
- Definicja 3.1
- Dla dwóch zmiennych losowych \( \{X_t, t \in T\}\ \) oraz \( \{Y_s, s \in T\}\ \) funkcja
- \( \begin{align} ~cov(X(r),Y(s)) = &E[(X_r - EX_r)(Y_s - EY_s)] = E(X_tY_s) - EX_t EY_s ~~~\text{dla} ~~~ r,s \in T \end{align} \)
określa liniową zależność pomiędzy powyższymi zmiennymi losowymi. Stopień współzależności owych zmiennych losowych można podać za pomocą tzw. współczynnika korelacji Pearsona
\[ cov (X, Y) = corr(X, Y) \sigma_X \sigma_Y. \]
W przypadku gdy analizujemy szereg czasowy opisywany poprzez ewolucję jednej zmiennej losowej możemy mówić najwyżej o funkcji autokowariancji. Dla szeregu czasowego \( \{X_t, t \in T\}\ \) możemy taką funkcję zdefiniować następująco.
- Definicja 3.2
- Jeżeli \( \{X_t, t \in T\}\ \) jest procesem dla którego wariancja zmiennej losowej dla każdej chwili czasu \( \sigma_{X_t} \) jest skończona, wtedy funkcja autokowariancji procesu \( \{X_t\}\ \) zdefiniowana jest jako
- \( \begin{align} ~\gamma_X(r,s) = &K_{XX}(r,s) = cov(X(r),X(s)) = cov(X_r,X_s) = \\ &E[(X_r - EX_r)(X_s - EX_s)] = E(X_tX_s) - EX_t EX_s ~~~\text{dla} ~~~ r,s \in T \end{align} \)
- Definicja 3.3
- Szereg czasowy \( \{X_t, t \in \Z\}\ \), gdzie zbiór indeksów zdefiniowany jest jako \( \Z = \{0, \pm 1, \pm 2,\cdots \}\) nazywamy stacjonarnym (w sensie słabym) jeżeli spełnione są poniższe punkty
- \( \begin{align} (i) &~E | X_t |^2 < \infty ~~~ \text{for all} ~~~ t \in \Z \\ (ii) &~E X_t = m ~~~ \text{for all} ~~~ t \in \Z \\ (iii)&~\gamma_X(r,s) = \gamma_X(r+t,s+t) ~~~ \text{for all} ~~~ t \in \Z \end{align} \)
Uwagi
- Powyższa definicja odnosi się do tak zwanej słabej stacjonarności, stacjonarności w szerszym sensie lub stacjonarności rzędu dwa. Ma ona zastsowanie najczęściej podczas analizy szeregów czasowych. Na tym kursie analizy szeregów czasowych będzie to podstawowa definicja jaką będziemy rozpatrywali.
- Punkt \((iii)\ \) często zapisuje się w postaci
- \( \gamma_X(r+t,s+t) = \gamma_X(r-s,0) \!\)
- lub krótko
- \( \gamma_X(r-s,0) = \gamma(\tau) \, \mbox{ gdzie } \, \tau = t_1 - t_2 \)