Z Skrypty dla studentów Ekonofizyki UPGOW
(→Przykłady szeregów czasowych) |
(→Przykłady szeregów czasowych) |
||
Linia 30: | Linia 30: | ||
Jest to oczywiście ciągła funkcja czasu, jednak, kiedy będziemy rejestrować wartości natężenia <math>I(t)</math> w kolejnych chwilach czasu (np. co <math>0.1 T</math>, 1 milisekundę czy 1 godzinę), dostaniemy dyskretny szereg czasowy <math>I_i</math> indeksowany kolejnymi pomiarami <math> i = 0, 1, 2, \dots </math>. Przykładowe szeregi czasowe opisane powyższym wzorem można znaleźć na rysunku 1. | Jest to oczywiście ciągła funkcja czasu, jednak, kiedy będziemy rejestrować wartości natężenia <math>I(t)</math> w kolejnych chwilach czasu (np. co <math>0.1 T</math>, 1 milisekundę czy 1 godzinę), dostaniemy dyskretny szereg czasowy <math>I_i</math> indeksowany kolejnymi pomiarami <math> i = 0, 1, 2, \dots </math>. Przykładowe szeregi czasowe opisane powyższym wzorem można znaleźć na rysunku 1. | ||
- | ; | + | ;Ćwiczenie W1.1: Wygeneruj w programie Matlab/Octave rysunek 1 (legenda jest opcjonalna). |
+ | # Zbierz do tablic indeksy <math>i</math> oraz wartości natężenia prądu w punktach <math>t_i = i \cdot ( 6 \pi / 100 ), i \in [0,100]</math>. | ||
+ | # Wyplotuj do pliku (np: rys1.png) wykres <math>I_i = a \cos(\omega t_i + \phi) / r </math>. | ||
+ | ;Przykład 2: Proces dwustanowy (proces binarny, zerojedynkowy). | ||
+ | Niech <math>\{X_t, t = 1,2,3,\dots\}</math> będzie uporządkowanym zbiorem niezależnych zmiennych losowych (sekwencją losową), dla których prawdopodobieństwo | ||
+ | : <math> P (X_t = 0) = P (X_t = 1) = 1/2. </math> | ||
+ | (dowód istnienia potrzebnej przestrzeni probabilistycznej na razie sobie darujemy). Seria pomiarowa składać się będzie z losowo ułożonych w czasie zer i jedynek {0,0,0,1,0,1,1,1,1,0,...}. | ||
+ | Przykładem jest rzut monetą. | ||
+ | |||
+ | ;Ćwiczenie W1.2: Każda osoba wykonuje rzuty monetą (dowolną). W arkuszu kalkulacyjnym na [[https://spreadsheets.google.com/ccc?key=0Ah95jpawYXXzdGFiT2xQTmFCUmJRalViS1NKeU1RbGc&hl=en docs.google.com]] wpisujemy wartości: | ||
+ | * 0 jeżeli wyrzuciliśmy Orła | ||
+ | * 1 jeżeli wyrzuciliśmy Reszkę | ||
+ | każdy w swojej kolumnie. | ||
;Przykład 3: Populacja Polski | ;Przykład 3: Populacja Polski |
Wersja z 18:59, 8 lut 2010
Definicja szeregu czasowego
Możemy spotkać różne definicje szeregu czasowego.
Szereg czasowy to
- ciąg obserwacji pokazujący kształtowanie się badanego zjawiska w kolejnych okresach czasu (sekundach, dniach, latach, itp.).
- realizacja procesu stochastycznego, którego dziedziną jest czas; to ciąg informacji uporządkowanych w czasie, których pomiary wykonywane są z dokładnym krokiem czasowym.
- ciąg obserwacji xt zapisywanych w ściśle określonym czasie.
Wśród składników szeregu czasowego możemy wyróżnić:
- trend (tendencję rozwojową),
- wahania sezonowe,
- wahania cykliczne (koniunkturalne),
- wahania przypadkowe.
W jakim celu badamy szeregi czasowe?
Analiza tego typu zagadnień ma generalnie dwa podstawowe cele:
- odgadnięcie natury danego zjawiska losowego, tj. badanie własności szeregu i znalezienie modelu najlepiej opisującego zjawisko,
- prognozowanie (predykcja), tj. przewidywanie kolejnych wartości szeregu czasowego na podstawie znalezionego modelu.
Przykłady szeregów czasowych
- Przykład 1
- Prąd płynący przez opornik.
Jeżeli do opornika charakteryzującego się oporem \(r\) przyłożymy zmienne napięcie
- \( U(t) = a \cos (\omega t), \! \)
gdzie \(a\) to amplituda zmiennego napięcia przyłożonego do opornika, a okres zmienności to \(T = 2 \pi / \omega\). Wtedy natężenie prądu elektrycznego płynącego przez opornik można wyrazić wzorem
- \( I(t) = \frac{a \cos (\omega t)}{r}. \! \)
Jest to oczywiście ciągła funkcja czasu, jednak, kiedy będziemy rejestrować wartości natężenia \(I(t)\) w kolejnych chwilach czasu (np. co \(0.1 T\), 1 milisekundę czy 1 godzinę), dostaniemy dyskretny szereg czasowy \(I_i\) indeksowany kolejnymi pomiarami \( i = 0, 1, 2, \dots \). Przykładowe szeregi czasowe opisane powyższym wzorem można znaleźć na rysunku 1.
- Ćwiczenie W1.1
- Wygeneruj w programie Matlab/Octave rysunek 1 (legenda jest opcjonalna).
- Zbierz do tablic indeksy \(i\) oraz wartości natężenia prądu w punktach \(t_i = i \cdot ( 6 \pi / 100 ), i \in [0,100]\).
- Wyplotuj do pliku (np: rys1.png) wykres \(I_i = a \cos(\omega t_i + \phi) / r \).
- Przykład 2
- Proces dwustanowy (proces binarny, zerojedynkowy).
Niech \(\{X_t, t = 1,2,3,\dots\}\) będzie uporządkowanym zbiorem niezależnych zmiennych losowych (sekwencją losową), dla których prawdopodobieństwo
- \( P (X_t = 0) = P (X_t = 1) = 1/2. \)
(dowód istnienia potrzebnej przestrzeni probabilistycznej na razie sobie darujemy). Seria pomiarowa składać się będzie z losowo ułożonych w czasie zer i jedynek {0,0,0,1,0,1,1,1,1,0,...}. Przykładem jest rzut monetą.
- Ćwiczenie W1.2
- Każda osoba wykonuje rzuty monetą (dowolną). W arkuszu kalkulacyjnym na [docs.google.com] wpisujemy wartości:
- 0 jeżeli wyrzuciliśmy Orła
- 1 jeżeli wyrzuciliśmy Reszkę
każdy w swojej kolumnie.
- Przykład 3
- Populacja Polski
- Przykład 4
- Liczba wypadków samochodowych
- Przykład 5
- Giełda 1
- Przykład 6
- Giełda 2
- Przykład 7
- Giełda 3