Z Skrypty dla studentów Ekonofizyki UPGOW

Aktualna wersja na dzień 09:16, 31 mar 2015

Całkowanie funkcji, podobnie jak różniczkowanie, jest jednym z podstawowych narzędzi wykorzystywanych w naukach przyrodniczych, a także w ekonomii. Do pewnego stopnia możemy uważać, że całkowanie jest operacją odwrotną do różniczkowania. Np. wzory na znajdowanie całek funkcji elementarnych można łatwo sprawdzić korzystając ze wzorów na pochodne tych funkcji. Niestety, ze względu na brak wzorów na całkę iloczynu i ilorazu dwóch funkcji całkowanie jest trudniejsze niż różniczkowanie. W trakcie tego wykładu, oprócz podania definicji i interpretacji całki oznaczonej i nieoznaczonej, omówione zostaną dwie podstawowe metody całkowania: przez podstawienie i przez części, a także obliczanie całek niewłaściwych. Całki niewłaściwe to całki oznaczone z funkcji nieograniczonych, a także całki oznaczone w przedziale nieskończonym. Wykład zakończymy omówieniem podstawowych metod całkowania funkcji wymiernych.

Funkcja pierwotna i całka nieoznaczona

Funkcja \(F(x)\) jest funkcją pierwotną funkcji \(f(x)\) dla \(x \in (a,b)\) wtedy gdy jej pochodna jest równa funkcji \(f(x)\) dla każdego \(x \in (a,b)\)

\(\begin{aligned} \bigwedge_{x \in (a,b)} F'(x) = f(x). \nonumber\end{aligned}\)

Natomiast całka nieoznaczona funkcji \(\int f(x) dx\) to

\(\begin{aligned} \int f(x) dx = F(x) + C. \nonumber\end{aligned}\)

gdzie \(C\) jest dowolną stałą.

Oczywiście zachodzi

\(\begin{aligned} (F(x) + C)' = f(x), \nonumber\end{aligned}\)

ponieważ pochodna stałej \(C\) jest równa zero.

Jak już wspomnieliśmy całkowanie jest operacją odwrotną do różniczkowania (czyli do znajdowania pochodnej funkcji) i dlatego wzory na całki funkcji elementarnych możemy otrzymać ze wzorów na pochodne tych funkcji. Otrzymujemy

\(\int x^a dx = \frac{x^{a+1}}{a+1} + C, a \neq -1, \,\, x > 0 \)

\(\int \sin x dx = -\cos x + C, \)

\(\int \cos x dx = \sin x + C, \)

\(\int \frac{1}{\cos^2x} dx = \operatorname{tg} x, \,\, \cos x \neq 0 \)

\(\int \frac{1}{\sin^2x} dx = -\operatorname{ctg} x, \,\, \sin x \neq 0 \)

\(\int e^x dx = e^x + C, \)

\(\int a^x dx = \frac{a^x}{\ln{a}} + C, \,\, a>0, a \neq 1, \)

\(\int \frac{1}{x} dx = \ln{\vert x \vert} + C, \,\, x \neq 0 \)

\(\int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} dx = \arcsin x + C, \,\, x \in (-1,1) \)

\(\int \frac{1}{x^2 + 1} dx = \operatorname{arctg} x + C, \)

przy czym dla pierwszego z powyższych wzorów zastrzeżenie \(x>0\) nie jest potrzebne gdy \(a \in N\), a ponadto jeżeli \(a \in C\) i \(a<0\) to wystarczy aby \(x \neq 0\).

Następujące dwie własności całek nieoznaczonych pomagają w obliczeniach

\(\begin{aligned} \int (f(x) + g(x)) dx = \int f(x) dx + \int g(x) dx, \nonumber \\ \int cf(x) dx = c \int f(x) dx, \nonumber\end{aligned}\)

tzn. całka sumy funkcji jest równa sumie całek, a stałą można wyłączyć przed całkę. Jak już wspomniano podobnych wzorów nie ma na całkę iloczynu bądź ilorazu dwóch funkcji, co wynika ze wzorów na pochodną iloczynu i ilorazu dwóch funkcji - np. pochodna iloczynu dwóch funkcji nie jest równa iloczynowi pochodnych. Przedstawimy teraz dwie metody całkowania.

Całkowanie przez podstawienie, czyli zamianę zmiennej

Jeżeli dla \(x \in [a,b]\) funkcja \(g(x)\) ma pochodną ciągłą, a funkcja \(f(u)\) jest ciągła w zbiorze wartości funkcji \(g(x)\) to:

\(\begin{aligned} \int f(g(x))g'(x) dx = \int f(u) du, \qquad u = g(x) \nonumber.\end{aligned}\)

Obliczymy \(\int \sin (4x) dx\) aby zilustrować całkowanie przez podstawienie. Funkcja podcałkowa \(\sin (4x)\) jest funkcją złożoną, a \(u = 4x\). Obliczmy różniczkę obu stron wyrażania \(u = 4x\). Dla przypomnienia różniczka \(df\) funkcji \(f(x)\) jest równa iloczynowi pochodnej \(f'(x)\) funkcji i \(dx\): \(df = f'(x)dx.\) Otrzymujemy \(du = 4dx\), gdzie 4 jest pochodną \(4x\), czyli \(dx = \frac{du}{4}\). Musimy wyrazić \(dx\) przez \(du\) aby móc naszą całkę wyrazić w zmiennej \(u\):

\(\begin{aligned} \int \sin{4x} dx = \int \sin u \frac{du}{4} = \\ = \frac{1}{4} \int \sin u du = -\frac{1}{4} \cos u + C = \\ = -\frac{1}{4}\cos (4x) + C, \end{aligned}\)

gdzie najpierw wyłączyliśmy stałą \(\frac{1}{4}\) przed całkę, następnie obliczyliśmy całkę funkcji elementarnej \(\sin u\), a na koniec wyraziliśmy wynik w zmiennej \(x\). Oczywiście łatwo sprawdzimy, że pochodna funkcji pierwotnej \(-\frac{1}{4}\cos (4x)\) jest równa funkcji podcałkowej \(\sin (4x)\). Metodą całkowania przez podstawienie można obliczyć wiele całek, chociaż czasami podstawienie nie jest oczywiste. Jak widać z obliczonego przykładu całkowanie przez podstawienie zawsze działa dla podstawień liniowych, czyli wtedy gdy \(u\) jest liniową funkcją \(x\).

Całkowanie przez części

Jeżeli funkcje zmiennej \(x\), \(u(x)\) i \(v(x)\) mają pochodne ciągłe to

\[\begin{aligned} \int u(x)v'(x) dx = u(x)v(x) - \int v(x)u'(x) dx, \nonumber \\ \int udv = uv - \int vdu, \nonumber \end{aligned}\]

przy czym drugi z powyższych wzorów na całkowanie przez części jest skróconym zapisem pierwszego - pamiętamy czemu jest równa różniczka funkcji \(dv = v'(x)dx\) oraz \(du = u'(x)dx\). Obliczymy teraz \(\int x \sin x dx\). Wybór \(u\) i \(dv\) jest dowolny. My wybierzemy \(u = x\) i stąd \(dv = \sin x dx\). Aby skorzystać ze wzoru na całkowanie przez części musimy obliczyć \(du\) oraz \(v\). Stąd \(du = dx\), ponieważ \(u' = 1\). Natomiast znalezienie \(dv\) wymaga scałkowania obu stron równania \(dv = \sin x dx\). Otrzymujemy \(\int dv = v\) oraz \(\int \sin x dx = -\cos x\), i stąd \(v = -\cos x\). Teraz można zastosować wzór na całkowanie przez części:

\[\begin{aligned} \int x \sin x dx = -x \cos x -\int (-\cos x) dx = -x \cos x + \sin x + C, \nonumber \\ (-x \cos x + \sin x + c)' = - \cos x + x \sin x + \cos x + 0 = x \sin x, \nonumber\end{aligned}\]

gdzie obliczając pochodną sprawdziliśmy poprawność wyznaczenia całki. Wybór \(u\) i \(dv\) jest dowolny. Zauważmy jednak, że gdybyśmy wybrali na odwrót \(u = \sin x\), oraz \(dv = xdx\), to otrzymalibyśmy \(du = d(\sin x) = \cos xdx\) oraz \(v = \int dv = \int xdx = \frac{x^2}{2}\). Korzystając ze wzoru na całkowanie przez części

\[\begin{aligned} \int x \sin x dx = \sin x \frac{x^2}{2} - \int \frac{x^2}{2}\cos x dx.\end{aligned}\]

Jak widać całka, którą mamy obliczyć jest bardziej skomplikowana niż \(\int x \sin x dx\). Dlatego wybór \(u\) i \(dv\) powinien prowadzić do obliczenia prostszych całek. Metoda całkowania przez części jest skuteczna wtedy, gdy np. różniczka jednej funkcji jest prostsza (np. pochodna funkcji potęgowej obniża potęgę o jeden), a całka drugiej funkcji się nie komplikuje (np. całki funkcji \(\sin x\), \(\cos x\) czy \(e^x\)).

Całka oznaczona - interpretacja geometryczna

Jeżeli dla \(x \in [a,b]\) wartości funkcji \(f(x) \geq 0\) to wtedy pole \(P\) obszaru ograniczonego prostymi \(x = a\), \(x = b\), odcinkiem \([a,b]\) na osi \(OX\) oraz wykresem funkcji \(y = f(x)\)

Rys. 1 Całka oznaczona - interpretacja geometryczna

(Rys. 1) jest równe całce oznaczonej

\[\begin{aligned} P = \int_{a}^{b} f(x) dx, \nonumber\end{aligned}\]

przy czym zachodzi:

\[\begin{aligned} \int_{a}^{b} f(x) dx = F(x)\vert_{a}^{b} = F(b) - F(a), \nonumber\end{aligned}\]

gdzie \(F(x)\) jest funkcją pierwotną funkcji \(f(x)\), tzn. zachodzi \(F'(x) = f(x)\), a różnicę \(F(b)-F(a)\) zapisaliśmy w skrócie jako \(F(x)\vert_{a}^{b}\). Jak widać gdy znamy całkę nieoznaczoną to obliczenie pola pod funkcją podcałkową \(f(x)\) sprowadza się do odjęcia od wartości funkcji pierwotnej w górnej granicy całkowania \(b\), jej wartości w dolnej granicy całkowania \(a\).

Dla całek oznaczonych mamy dwie własności takie jak dla całek nieoznaczonych. Stałą \(c\) można wyłączyć przed całkę oznaczoną

\[\begin{aligned} \int_{a}^{b} cf(x) dx = c\int_{a}^{b} f(x) dx, \nonumber\end{aligned}\]

a także całka oznaczona sumy funkcji jest równa sumie całek oznaczonych

\[\begin{aligned} \int_{a}^{b} (f(x) + g(x)) dx = \int_{a}^{b} f(x) dx + \int_{a}^{b} g(x) dx. \nonumber\end{aligned}\]

Uważny czytelnik zapewne zauważył, że w przypadku całki oznaczonej nie pojawia się stała \(C\), którą dodawaliśmy do funkcji pierwotnej przy obliczaniu całek nieoznaczonych. Dzieje się tak dlatego, ponieważ różnica \(F(b) - F(a)\) nie zależy od stałej całkowania \(C\). Pole jak miara powierzchni musi być liczbą nieujemną i tak będzie gdy wartości funkcji \(f(x)\) (funkcja podcałkowa w całce oznaczonej) będą dodatnie. Jeżeli wartości funkcji \(f(x)\) dla \(x \in [a,b]\) są mniejsze lub równe zero to wtedy

\[\begin{aligned} P = -\int_{a}^{b} f(x) dx. \nonumber\end{aligned}\]

Widzimy, że aby obliczyć całkę oznaczoną należy najpierw znaleźć całkę nieoznaczoną, a następnie odjąć od siebie wartośći funkcji pierwotnej obliczone dla końców przedziału całkowania.

Można podzielić przedział całkowania \([a,b]\) np. ma dwa przedziały \([a,c]\) oraz \([c,b]\), (\(a \leq c \leq b\)). Zachodzi wtedy addytywność całek oznaczonych względem przedziału całkowania

\[\begin{aligned} \int_{a}^{b} f(x) dx = \int_{a}^{c} f(x) dx + \int_{c}^{b} f(x) dx. \nonumber\end{aligned}\]

Całka oznaczona znajduje szerokie zastosowanie w obliczeniach fizycznych, technicznych i ekonomicznych. Można tutaj wymienić obliczanie długości łuku, pola powierzchni, objętości brył, momentu bezwładności, środka ciężkości czy też zysku w pewnym czasie gdy znana jest funkcja opisującą zależność zysku od czasu.

Jako przykład obliczymy \(\int_{0}^{4} x dx\). Jest to pole trójkąta pokazane na Rys. 2.

Rys. 2 Całka oznaczona - przykład

Otrzymujemy:

\[\begin{aligned} P = \int_{0}^{4} x dx = \frac{x^2}{2}\vert_{0}^{4} = \frac{4^2}{2} - \frac{0^2}{2} = 8. \nonumber\end{aligned}\]

Wynik ten można łatwo sprawdzić korzystając ze znanego wzoru na pole trójkąta (długość podstawy = 4, wysokość = 4). Można również zsumować pola elementarne o boku 1 zawarte w trójkącie (niektóre z nich to oczywiście połówki pól elementarnych). Gdy funkcją podcałkową nie jest funkcja liniowa to wtedy jedynym sposobem obliczania pola jest zastosowanie całki oznaczonej.

Kliknij aby zobaczyc graficzna animację całki oznaczonej

Podamy teraz wzory na całkowanie przez podstawienie i przez części dla całek oznaczonych.

Jeżeli dla \(x \in [a,b]\) funkcja \(g(x)\) ma pochodną ciągłą, a funkcja \(f(u)\) jest ciągła w zbiorze wartości funkcji \(g(x)\) to zachodzi następujący wzór na całkowanie przez podstawienie całek oznaczonych:

\(\begin{aligned} \int_{a}^{b} f(g(x))g'(x) dx = \int_{g(a)}^{g(b)} f(u) du, \qquad u = g(x), \nonumber\end{aligned}\)

przy czym należy zwrócić uwagę na to, że granice całkowania się zmieniają.

Przykład: obliczyć \(\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin 2x dx\). Podstawiając \(u = g(x) = 2x\) otrzymujemy nowe granice całkowania \( g(0) = 0\), \(g(\frac{\pi}{2}) = \pi\) oraz \(du = 2 dx\), czyli \(dx = \frac{du}{2}\). Można teraz skorzystać ze wzoru na całkowanie całek oznaczonych przez podstawienie:

\(\begin{aligned} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin 2x dx = \int_{0}^{\pi} \sin u \frac{du}{2} = \\ = \frac{1}{2} \int_{0}^{\pi} \sin u du = - \frac{1}{2} \cos u \vert_{0}^{\pi} = \\ = -\frac{1}{2} (\cos \pi - \cos 0) = 1. \end{aligned}\)

Jeżeli funkcje zmiennej \(x\), \(u(x)\) i \(v(x)\) mają pochodne ciągłe to zachodzi następujący wzór na całkowanie przez części całek oznaczonych:

\[\begin{aligned} \int_{a}^{b} u(x)v'(x) dx = u(x)v(x)\vert_{a}^{b} - \int_{a}^{b} v(x)u'(x) dx, \nonumber \\ \int_{a}^{b} udv = uv\vert_{a}^{b} - \int_{a}^{b} vdu. \nonumber \end{aligned}\]

Przykład: obliczyć \(\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} x \cos x dx\). Wybierając \(u = x\) i \(dv = \cos x dx\), otrzymujemy \(du = dx\), a po scałkowaniu obu stron równania \(dv = \cos x dx\) znajdujemy, że \(v = \sin x\).

\[\begin{aligned} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} x \cos x dx = x \sin x \vert_{0}^{\frac{\pi}{2}} -\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin x dx = \frac{\pi}{2} + \cos x \vert_{0}^{\frac{\pi}{2}} = \frac{\pi}{2} - 1. \nonumber \\ \end{aligned}\]

Oczywiście, korzystając z podanego wcześniej związku pomiędzy całką oznaczoną i nieoznaczoną, można zanleźć wartości powyższych całek oznaczonych, wyliczając najpierw całki nieoznaczone.

Całka oznaczona funkcji parzystej i nieparzystej w przedziale \([-a,a]\)

Obliczenie całki funkcji na przedziale symetrycznym \([-a,a] \) możemy uprościć wykorzystując informacje o parzystości funkcji. Korzystając z addytywności całek oznaczonych względem przedziału całkowania otrzymujemy: \[ \int_{-a}^{a} f(x)dx = \int_{-a}^{0} f (x)dx + \int_{0}^{a} f (x)dx = - \int_{0}^{-a} f (x)dx + \int_{0}^{a}f (x)dx = \int_{0}^{a} f (-x)dx + \int_{0}^{a}f (x)dx\] (Uwaga: podczas przestawienia granic całkowania należy zmienić znak całki, czyli \( \int_{-a}^{0} f (x)dx = - \int_{0}^{-a} f (x)dx \))

Jeżeli:

• \(f\) jest parzysta (\(f (- x) = f (x)\)) to otrzymujemy (patrz Rys. 3a)

\[ \int_{-a}^{a} f(x)dx = \int_{0}^{a} f (-x)dx + \int_{0}^{a}f (x)dx = 2 \int_{0}^{a}f (x)dx \]

Rys. 3a Całkowanie funkcji parzystej \(f(x)=x^4-x^2+3\) w przedziale \([-3,3]\)

• \(f\) jest nieparzysta (\(f (- x) = - f (x)\)) to otrzymujemy (patrz Rys. 3b)

\[ \int_{-a}^{a} f(x)dx = \int_{0}^{a} f (-x)dx + \int_{0}^{a}f (x)dx = - \int_{0}^{a} f (x)dx + \int_{0}^{a}f (x)dx = 0\]

Rys. 3b Całkowanie funkcji nieparzystej \(f(x)=x^3-x\) w przedziale \([-3,3]\)

Przykład

• Oblicz całkę z funkcji parzystej \(f(x)=x^4-x^2+3\) w przedziale \([-3,3]\)

\[\int_{-3}^{3} \bigg(x^4-x^2+3 \bigg)dx=\bigg[ \frac{x^5}{5}-\frac{x^3}{3}+3x \bigg]_{-3}^{3}=\bigg( \frac{3^5}{5}-\frac{3^3}{3}+3\cdot3 \bigg)-\bigg( \frac{-3^5}{5}-\frac{-3^3}{3}+3\cdot-3 \bigg)=\frac{243}{5}+\frac{243}{5}=97,2\] Rozwiązanie przedstawia Rys. 3a

• Oblicz całkę z funkcji nieparzystej \(f(x)=x^3-x\) w przedziale \([-3,3]\)

\[\int_{-3}^{3} \bigg(x^3-x \bigg)dx=\bigg[ \frac{x^4}{4}-\frac{x^2}{2} \bigg]_{-3}^{3}=\bigg(\frac{3^4}{4}-\frac{3^2}{2} \bigg)-\bigg(\frac{-3^4}{4}-\frac{-3^2}{2} \bigg)=\bigg(\frac{81}{4}-\frac{27}{2} \bigg)-\bigg(\frac{81}{4}-\frac{27}{2} \bigg)=0\]

Rozwiązanie przedstawia Rys. 3b

Całki funkcji nieograniczonych

Okazuje się, że możemy obliczyć całkę oznaczoną z funkcji, która jest nieograniczona w przedziale całkowania (tzn. w pewnych punktach tego przedziału ma granicę nieskończoną). Całka taka istnieje, czyli jest zbieżna, jeżeli odpowiednie granice (bądź jedna granica), dyskutowane poniżej, są skończone. Gdy są nieskończone to wtedy taka całka jest rozbieżna.

Jeżeli funkcja \(f(x)\) jest nieograniczona w przedziale \([a,b]\), ale jest ograniczona i całkowalna w przedziałach \(a \le x \le c-\alpha\) i \(c+\beta \le x \le b\), gdzie \(c \in [a,b], \text{ } \alpha,\beta>0\), oraz jeżeli istnieją granice

\[\begin{aligned} \lim_{\alpha \rightarrow 0} \int_{a}^{c-\alpha} f(x) dx, \qquad \lim_{\beta \rightarrow 0} \int_{c+\beta}^{b} f(x) dx,\nonumber\end{aligned}\]

to wtedy

\[\begin{aligned} \int_{a}^{b} f(x) dx = \lim_{\alpha \rightarrow 0} \int_{a}^{c-\alpha} f(x) dx + \lim_{\beta \rightarrow 0} \int_{c+\beta}^{b} f(x) dx.\nonumber\end{aligned}\]

Całka wyliczona w ten sposób nazywa się całką niewłaściwą.

Jeżeli funkcja \(f(x)\) jest ograniczona i całkowalna dla \(x \in [a,b]\) to powyższa równość staje się zwykłym podziałem przedziału całkowania \([a,b]\) na sumę dwóch przedziałów \([a,c]+[c,b]\), a całka oznaczona liczona w przedziale całkowania \([a,b]\) jest zwykłą sumą dwóch całek liczonych w przedziałach \([a,c]\) i \([c,b]\).

Czasami obliczając całkę oznaczoną z funkcji nieograniczonej trzeba obliczyć tylko jedną z granic. Tak jest np. w przykładzie: obliczyć \(\int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{x}} dx\), który teraz rozwiążemy. Funkcja podcałkowa \(f(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}\) jest nieokreślona dla \(x=0\), a jej granica w tym punkcie wynosi \(+\infty\).

\[\begin{aligned} \int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{x}} dx = \lim_{\alpha \rightarrow 0} \int_{\alpha}^{1} \frac{1}{\sqrt{x}} dx = \lim_{\alpha \rightarrow 0} 2\sqrt{x}\vert^{1}_{\alpha} = 2\sqrt{1} - \lim_{\alpha \rightarrow 0} 2\sqrt{\alpha} = 2 - 0 = 2.\nonumber \end{aligned}\]

Jak widać jest to całka zbieżna, a graficzna ilustracja tego przykładu jest zamieszczona na Rys. 4.

Rys. 4 Całka oznaczona \(\int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{x}} dx\)

Całki oznaczone w przedziałach nieskończonych

Podobnie, czyli w sensie granicy, będziemy rozpatrywać niewłaściwe całki oznaczone gdy jedna (lub obie) granice całkowania są równe \(\pm\infty\). Jeżeli funkcja \(f(x)\) jest ograniczona i całkowalna w każdym przedziale \([a,b]\) oraz istnieje granica

\[\begin{aligned} \lim_{b \rightarrow +\infty} \int_{a}^{b} f(x) dx,\nonumber\end{aligned}\]

to nazywamy ją całką niewłaściwą funkcji \(f(x)\) w przedziale \([a,+\infty)\). Czyli możemy napisać, że

\[\begin{aligned} \int_{a}^{+\infty} f(x)dx = \lim_{b \rightarrow +\infty} \int_{a}^{b} f(x) dx.\nonumber\end{aligned}\]

Analogicznie określamy całkę niewłaściwą w przedziale \((-\infty,b]\)

\[\begin{aligned} \int_{-\infty}^{b} f(x)dx = \lim_{a \rightarrow -\infty} \int_{a}^{b} f(x) dx,\nonumber\end{aligned}\]

oraz całkę niewłaściwą w przedziale \((-\infty,+\infty)\)

\[\begin{aligned} \int_{-\infty}^{+\infty} f(x)dx = \lim_{a \rightarrow -\infty} \lim_{b \rightarrow +\infty}\int_{a}^{b} f(x) dx.\nonumber\end{aligned}\]

Podobnie jak w przypadku całki z funkcji nieograniczonej, jeżeli któraś z powyższych granic nie istnieje to całka oznaczona w przedziale nieskończonym nie istnieje, czyli jest rozbieżna. Zakończymy ten rozdział rozwiązaniem przykładu: \[\int_{1}^{+\infty} \frac{1}{x^2}dx\]

\[\begin{aligned} \int_{1}^{+\infty} \frac{1}{x^2}dx = \frac{-1}{x}\vert_{1}^{+\infty} = \lim_{b \rightarrow +\infty} \frac{-1}{x} - \frac{-1}{1} = 0 + 1 = 1,\nonumber\end{aligned}\]

którego ilustracją jest Rys. 5.

Rys. 5 Całka oznaczona \(\int_{1}^{+\infty} \frac{1}{x^2}dx\)

Widzimy, że pole ma skończoną wartość pomimo tego, że jedna z granic całkowania jest nieskończona. Całki w granicach nieskończonych będziemy bardzo często stosować w statystyce.

Całkowanie funkcji wymiernych

Funkcja wymierna to iloraz dwóch wielomianów \(W_1(x)\), \(W_2(x)\) i dlatego całka funkcji wymiernej ma postać

\(\begin{aligned} \int \frac{W_1(x)}{W_2(x)}dx = \int \frac{a_n x^n + \ldots + a_1 x + a_0}{b_m x^m + \ldots + b_1 x + b_0}dx. \nonumber\end{aligned}\)

Okazuje się, że bez względu na stopnie wielomianów \(W_1(x)\) i \(W_2(x)\) całka funkcji wymiernej może być wyrażona jedynie przez: funkcję wymierną, logartym (funkcji liniowej lub kwadratowej) lub \(\operatorname{arctg}\) funkcji liniowej. Sposób obliczania całki funkcji wymiernej zależy od stopni wielomianów w liczniku i mianowniku, przy czym wystarczy rozpatrzyć jedynie przypadek \(n < m\) (stopień wielomianu w liczniku jest mniejszy od stopnia wielomianu w mianowniku), ponieważ dla \(n \geq m\) wielomiany można podzielić przez siebie i wtedy funkcja wymierna \(\frac{W_1(x)}{W_2(x)}\) będzie równa sumie wielomianu i funkcji wymiernej, w której stopień wielomianu w liczniku będzie mniejszy niż stopień wielomianu w mianowniku. Od teraz będziemy rozpatrywać jedynie całki takich funkcji wymiernych, a metoda ich znajdowania polega na rozkładzie funkcji podcałkowej na sumę tzw. ułamków prostych

\(\begin{aligned} \frac{A}{(ax+b)^q}, \quad \frac{Bx+C}{(cx^2+dx+e)^r}, \nonumber\end{aligned}\)

gdzie \(A,B,C,a,b,c,d,e\) są stałymi rzeczywistymi, a \(q\) i \(r\) liczbami naturalnymi. Ponadto trójmian kwadratowy \(cx^2+dx+e\) nie ma pierwiastków - jego \(\Delta\) jest ujemna. Każdą funkcję wymierną dla \(n<m\) można przedstawić jako sumę ułamków prostych. Pokażemy to poniżej na kilku typowych przykładach, przy czym ograniczymy się do rozpatrzenia całek z funkcją kwadratową w mianowniku.

Całka funkcji wymiernej z funkcją kwadratową o wyróżniku dodatnim w mianowniku

Obliczyć całkę

\(\begin{aligned} \int \frac{3x-2}{2x^2+5x-3}dx. \nonumber\end{aligned}\)

Stwierdzamy, że funkcja kwadratowa ma dwa pierwiastki \(x_1 = +\frac{1}{2}\) oraz \(x_2 = -3\) i dlatego może być przedstawiona jako \((2x-1)(x+3)\), a funkcja podcałkowa jako następująca suma ułamków prostych

\(\begin{aligned} \frac{3x-2}{2x^2+5x-3} = \frac{A}{2x-1} + \frac{B}{x+3}. \nonumber\end{aligned}\)

Po sprowadzeniu prawej strony do wspólnego mianownika otrzymujemy

\(\begin{aligned} \frac{3x-2}{2x^2+5x-3} = \frac{3x-2}{(2x-1)(x+3)} = \frac{(A+2B)x+3A-B}{(2x-1)(x+3)}. \nonumber\end{aligned}\)

Porównując współczynniki przy odpowiednich potęgach wielomianów (czyli funkcji liniowych) w liczniku otrzymujemy układ dwóch równań liniowych, w których niewiadomymi są szukane stałe \(A\) i \(B\)

\(\left\{ \begin{array}{lllll} A & + & 2B & = & 3 \\ 3A & - & B & = & 2 \end{array} \right. \nonumber\)

Jako rozwiązanie dostajemy \(A=B=1\), a do obliczenia pozostaje suma dwóch całek

\(\begin{aligned} \int \frac{3x-2}{2x^2+5x-3}dx = \int \frac{1}{2x-1}dx + \int \frac{1}{x+3}dx \nonumber\end{aligned}\)

Obie całki znajdujemy stosując podstawienia \(t = 2x-1\) w pierwszej całce oraz \(t = x + 3\) w drugiej,

\(\begin{aligned} \int \frac{3x-2}{2x^2+5x-3}dx = \frac{1}{2}\ln{\vert 2x-1 \vert} + \ln{\vert x+3 \vert} + C. \nonumber\end{aligned}\)

Całka funkcji wymiernej z funkcją kwadratową o wyróżniku równym zero w mianowniku

Obliczyć całkę

\(\begin{aligned} \int \frac{4x+3}{4x^2+4x+1}dx. \nonumber\end{aligned}\)

Stwierdzamy, że funkcja kwadratowa ma jeden pierwiastek podwójny \(x_0 = -\frac{1}{2}\) i dlatego może być przedstawiona jako \((2x+1)^2\), a funkcja podcałkowa jako następująca suma ułamków prostych

\(\begin{aligned} \frac{4x+3}{4x^2+4x+1} = \frac{A}{(2x+1)^2} + \frac{B}{2x+1}. \nonumber\end{aligned}\)

Po sprowadzeniu prawej strony do wspólnego mianownika otrzymujemy

\(\begin{aligned} \frac{4x+3}{4x^2+4x+1} = \frac{4x+3}{(2x+1)^2} = \frac{A+2Bx+B}{(2x+1)^2}. \nonumber\end{aligned}\)

Porównując współczynniki przy odpowiednich potęgach wielomianów w liczniku otrzymujemy układ dwóch równań liniowych, w których niewiadomymi są szukane stałe \(A\) i \(B\)

\(\left\{ \begin{array}{lllll} & & 2B & = & 4 \\ A & + & B & = & 3 \end{array} \right. \nonumber\)

Jako rozwiązanie dostajemy \(A=1\) oraz \(B=2\) a do obliczenia pozostaje suma dwóch całek

\(\begin{aligned} \int \frac{4x+3}{4x^2+4x+1}dx = \int \frac{1}{(2x+1)^2}dx + \int \frac{2}{2x+1}dx \nonumber\end{aligned}\)

Obie całki znajdujemy stosując podstawienie \(t = 2x+1\),

\(\begin{aligned} \int \frac{4x+3}{4x^2+4x+1}dx = \frac{-1}{2(2x+1)} + \ln \vert 2x+1 \vert + C. \nonumber\end{aligned}\)

Całka funkcji wymiernej z funkcją kwadratową o wyróżniku ujemnym w mianowniku

Obliczyć całkę

\(\begin{aligned} \int \frac{2x+1}{x^2+2x+5}dx. \nonumber\end{aligned}\)

Stwierdzamy, że funkcja kwadratowa nie ma pierwiastków. Wtedy sposób liczenia całki jest następujący: dzielimy licznik funkcji podcałkowej przez pochodną mianownika - dla naszej całki to \(2x+2\), otrzymując \(2x+1=(2x+2)-1\). Czyli

\(\begin{aligned} \int \frac{2x+1}{x^2+2x+5}dx = \int \frac{2x+2}{x^2+2x+5}dx - \int \frac{dx}{x^2+2x+5}. \nonumber\end{aligned}\)

Jak widać w pierwszej z całek w liczniku jest pochodna mianownika (jest tak bo wykonaliśmy dzielenie przez pochodną mianownika) i dlatego

\(\begin{aligned} \int \frac{2x+2}{x^2+2x+5}dx = \ln(x^2+2x+5) + C.\nonumber\end{aligned}\)

Drugą z całek będziemy przekształcać, stosując odpowiedznie podastwienia, tak aby otrzymać \(\int \frac{dt}{1+t^2}\), której rozwiązaniem jest \(\operatorname{arctg}t + C\). Na początek zauważmy, że

\(\begin{aligned} x^2 + 2x + 5 = (x+1)^2 + 4 = 4[(\frac{x+1}{2})^2 +1],\nonumber\end{aligned}\)

gdzie wyciągnęliśmy przed nawias 4, aby po zastosowaniu podstawienia \(t = \frac{x+1}{2}\) (\(dx = 2dt\)), otrzymać

\(\begin{aligned} \frac{1}{4} \int \frac{2dt}{t^2+1} = \frac{1}{2} \operatorname{arctg}t + C = \frac{1}{2} \operatorname{arctg}(\frac{x+1}{2}) + C. \nonumber\end{aligned}\)

Ostatecznie

\(\begin{aligned} \int \frac{2x+1}{x^2+2x+5}dx = \ln(x^2+2x+5) + \frac{1}{2} \operatorname{arctg}\frac{x+1}{2} +C. \nonumber\end{aligned}\)

Zadania

1. Oblicz następujące całki
   1. \(\int (x^2-2)^{2}\, dx\)
   2. \(\int 8x^3\, dx\)
   3. \(\int (4x^2+11x^3)\, dx\)
   4. \(\int (31x^{32}+4x^3-9x^4) \,dx\)
   5. \(\int 5x^{-2}\, dx\)
   6. \(\int (\cos x+\sin x)\, dx\)
   7. \(\int 3\sin x\, dx \)
   8. \(\int (1+\operatorname{tg}^2 x)\, dx\)
   9. \(\int -e^x\, dx\)
   10. \(\int 8e^x\, dx\)
   11. \(\int \frac1{7x}\, dx\)
   12. \(\int \frac1{x^2+a^2}\, dx\)
2. Oblicz - stosując metodę całkowania przez części
   1. \(\int x\sin x \,dx\)
   2. \(\int xe^{3x}\, dx\)
   3. \(\int x^3\ln x\,dx\)
   4. \(\int e^{-2x}\sin{3x}\,dx\)
   5. \(\int \limits_{0}^{1}\ln x\,dx\)
   6. \(\int \limits_{0}^{\infty}xe^{-4x}\,dx\)
3. Pokaż, że \(\int \limits_{0}^{\infty}e^{-st}\,dt=\frac{1}{s}\) dla \(s>0\) i oblicz \(\int \limits_{0}^{\infty}t^{n}e^{-st}\,dt\) dla \(n=1,2,\ldots\)
4. Oblicz \(\int \limits_{0}^{3}f(x)\, dx\) gdzie \( f(x) = \begin{cases} x \text{ } dla \text{ } 0\le x <1 \\ 2(1+x) \text{ } dla\text{ } 1\le x <2 \\ x-1 \text{ } dla\text{ } 2 \le x \le 3 \end{cases}\)
5. Oblicz całki metodą przez podstawienie wykorzystując podane podstawienia
   1. \(\int \frac{x}{(1+x^2)^2} \, dx\) podstaw \(y=1+x^2\)
   2. \(\int \sin^3 x \cos^5 x \, dx\) podstaw \(t=\sin{x}\)
   3. \(\int \frac{1}{(3+\sqrt{x})} \, dx\) podstaw \(t=\sqrt{x}\)
6. Obliczyć całki funkcji elementarnych
   1. \(\int \frac{1-x+x^2}{x^4}dx\)
   2. \(\int (\sqrt{x}-1)xdx\)
   3. \(\int (x-2)(x-3)dx\)
   4. \(\int \frac{2x^2-x-1}{\sqrt{x}}dx\)
   5. \(\int \frac{(x-\sqrt{x})(1+\sqrt{x})}{\sqrt{x}}dx\)
7. Metodą podstawienia obliczyć całki
   1. \(\int \cos\frac{x}{2}dx\)
   2. \(\int e^{-3x}dx\)
   3. \(\int \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^2}dx\)
   4. \(\int xe^{-x^2}dx\)
   5. \(\int \frac{x}{x^4+1}dx\)
   6. \(\int x(2-x^2)^{12}dx\)
8. Metodą przez części obliczyć całki
   1. \(\int xe^xdx\)
   2. \(\int x^2e^xdx\)
   3. \(\int x^2\sin xdx\)
   4. \(\int x^2e^{-x}dx\)
   5. \(\int e^x\cos xdx\)
9. Obliczyć całki oznaczone
   1. \(\int_{0}^{\pi} \cos(2x)dx\)
   2. \(\int_{-1}^{+1} (x^2+1)dx\)
   3. \(\int_{1}^{4} \frac{4x-2\sqrt{x}}{x}dx\)
   4. \(\int_{-1}^{1} \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx\)
   5. \(\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} x \sin xdx\)
   6. \(\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^2x\cos xdx\)
   7. \(\int_{0}^{1} xe^xdx\)
10. Obliczyć pola ograniczone krzywymi
    1. prostą \(y=x\), parabolą \(y=x^2\)
    2. prostą \(y=4x\), funkcją \(y=x^3\)
    3. hiperbolą \(y=\frac{1}{x}\), prostą \(y=-x+2\)
11. Obliczyć całki niewłaściwe
    1. \(\int_{0}^{+\infty} xe^{-x^2}dx\)
    2. \(\int_{0}^{5} \frac{dx}{x}\)
    3. \(\int_{0}^{1} \ln xdx\)
    4. \(\int_{0}^{+\infty} e^{-x}dx\)
    5. \(\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{1+x}{1+x^2}dx\)
    6. \(\int_{0}^{+\infty} xe^{-x^2}dx\)