Z Skrypty dla studentów Ekonofizyki UPGOW
m |
(→Model Blacka-Scholesa dla europejskiej opcji kupna) |
||
| Linia 6: | Linia 6: | ||
Model Blacka-Scholesa zakłada że, że cena akcji <math>\displaystyle S(t)</math> ewoluuje zgodnie z geometrycznym ruchem Browna przy ciągłej kapitalizacji z roczną stopą procentową r: | Model Blacka-Scholesa zakłada że, że cena akcji <math>\displaystyle S(t)</math> ewoluuje zgodnie z geometrycznym ruchem Browna przy ciągłej kapitalizacji z roczną stopą procentową r: | ||
| - | <math>dS(t) = r S(t) dt + \sigma S(t) d W(t)\,</math>. | + | :<math>dS(t) = r S(t) dt + \sigma S(t) d W(t)\,</math>. |
W chwili <math>t_0</math> instument bazowy ma wartość <math>S0</math> a cena wykupu (lub sprzedaży) w chwili T wynosi S(T). Pytamy się o wartość instrumentu pochodnego w dowonej chwili <math>t<T</math>. Zakładając, że chcemy utrzymać portfel bez ryzyka (delta neutralny) można pokazać, że wartość taka jest dana przez równanie Blacka-Scholesa | W chwili <math>t_0</math> instument bazowy ma wartość <math>S0</math> a cena wykupu (lub sprzedaży) w chwili T wynosi S(T). Pytamy się o wartość instrumentu pochodnego w dowonej chwili <math>t<T</math>. Zakładając, że chcemy utrzymać portfel bez ryzyka (delta neutralny) można pokazać, że wartość taka jest dana przez równanie Blacka-Scholesa | ||
| - | <math> \frac{\partial V}{\partial t} + \frac{1}{2}\sigma^2 S^2\frac{\partial^2 V}{\partial S^2} + rS\frac{\partial V}{\partial S} - rV = 0. </math> | + | :<math> \frac{\partial V}{\partial t} + \frac{1}{2}\sigma^2 S^2\frac{\partial^2 V}{\partial S^2} + rS\frac{\partial V}{\partial S} - rV = 0. </math> |
gdzie r jest stopą procentową wolną od ryzyka. | gdzie r jest stopą procentową wolną od ryzyka. | ||
| Linia 27: | Linia 27: | ||
:::<math> d_2 = d_1 - \sigma\sqrt{T - t}. </math> | :::<math> d_2 = d_1 - \sigma\sqrt{T - t}. </math> | ||
| - | |||
====Własności wzorów Blacka-Scholesa ==== | ====Własności wzorów Blacka-Scholesa ==== | ||
Wersja z 10:26, 5 maj 2014
Spis treści |
Wycena opcji: modele z czasem ciągłym
Model Blacka-Scholesa dla europejskiej opcji kupna
Model Blacka-Scholesa zakłada że, że cena akcji \(\displaystyle S(t)\) ewoluuje zgodnie z geometrycznym ruchem Browna przy ciągłej kapitalizacji z roczną stopą procentową r:
\[dS(t) = r S(t) dt + \sigma S(t) d W(t)\,\].
W chwili \(t_0\) instument bazowy ma wartość \(S0\) a cena wykupu (lub sprzedaży) w chwili T wynosi S(T). Pytamy się o wartość instrumentu pochodnego w dowonej chwili \(t<T\). Zakładając, że chcemy utrzymać portfel bez ryzyka (delta neutralny) można pokazać, że wartość taka jest dana przez równanie Blacka-Scholesa
\[ \frac{\partial V}{\partial t} + \frac{1}{2}\sigma^2 S^2\frac{\partial^2 V}{\partial S^2} + rS\frac{\partial V}{\partial S} - rV = 0. \]
gdzie r jest stopą procentową wolną od ryzyka.
Równanie to posiada analityczne rozwiązanie i jest to słynny wzór Blacka-Scholesa dla ceny opcji kupna na europejska akcję bez dywidend:
\[ C(S,t) = SN(d_1) - Ke^{-r(T - t)}N(d_2) \, \]
i ceny opcji sprzedaży na europejska akcję bez dywidend:
\[ P(S,t) = Ke^{-r(T-t)} - S + C(S,t). \ \]
gdzie:
-
- \[ d_1 = \frac{\ln(\frac{S}{K}) + (r + \frac{\sigma^2}{2})(T - t)}{\sigma\sqrt{T - t}} \]
-
- \[ d_2 = d_1 - \sigma\sqrt{T - t}. \]
Własności wzorów Blacka-Scholesa
Powyższe wzory można zaimplementować jako funkcje w matlab/GNU Octave w następujący sposób:
function [C,P] = BlackScholes(S0,K,r,T,sigma) d1=(log(S0./K)+(r+sigma^2/2)*T)/(sigma*sqrt(T)); d2=d1-sigma*sqrt(T); C = S0.*normcdf(d1)-K*exp(-r*T)*normcdf(d2); P = K*exp(-r*T)*normcdf(-d2)-S0.*normcdf(-d1); end
Warto zwrócić uwagę by ten program został zapisany w pliku o nazwie BlackScholes.m.
Program ten zwraca dla zadanych wartości ceny aktualnej ("spot") S0, cena rozliczenia opcji K w czasie T oraz wysokość rocznej stopy procentowej wolnej od ryzyka dla terminu wygaśnięcia opcji r i volatility \(\sigma\) dwie ceny - opcji kupna C oraz sprzedaży P. Są one zwracane jako dwa argumenty, więc poprawne wywołanie takiej funkcji powinno być np.:
octave:8> [call,put]=BlackScholes(31 ,51.1 ,0.1 ,5 , 0.2) call = 5.4876 put = 5.4813
Wzór ten ma kilka ciekawych własności. Po pierwsze zauważmy, że gdyby fluktuacje ceny akcji znikły w chwili obserwacji to wartość opcji była by równa różnicy między ceną aktualną a zdyskontowaną ceną wykupu \(S-K e^{-r T}\), gdy tylko taka różnica była by większa od zera. W innym przypadku wartość takiej opcji jest równa zeru. Na rysunku jest umieszczona zależności ceny wykupu od wartości aktualnej opcji wygenerowany następującym skryptem:
clear all close all T=5. S0=31 sigma=0.2 r = 0.1 K = S0*exp(r*T) S0_tab = 1:1:60; plot(S0_tab,BlackScholes(S0_tab,K,r,T,sigma), S0_tab, max(S0_tab-K*exp(-r*T),0),'o' ); exact=BlackScholes(S0,K,r,T,sigma) line([S0,S0],[0,exact]) grid on
Można przypuszczać, że wykres wzoru Blacka Scholes-a będzie dążył do kropkownej zależności dla \(\sigma \to 0\). Rzeczywiście, można się o tym przekonać rysując kilka zależności C(S) dla malejących wartości \(\sigma\). Na rysunku otrzymanym przez uruchomienie poniższego programu:
clear all close all T=5. S0=31 r = 0.1 K = S0*exp(r*T) S0_tab = 1:1:60; for sigma=[0.01 0.1 0.2 0.3] plot(S0_tab,BlackScholes(S0_tab,K,r,T,sigma) ); hold on endfor grid on
otrzymujemy cztery krzywe dla coraz mniejszych wartości volatility.
Rozważmy przypadek, gdy jako cenę aktualna instrumentu bazowego weżmiemy zdyskontowaną wartość opcji terminie wygaśnięcia. W przypadku braku fluktuacji cen instrumentu bazowego w takim przypadku nasze opcję mają zerową wartość. Jednak pojawienie się fluktuacji wyrażonej przez niezerowe \(\sigma\) powoduje, że opcje zyskują pewną wartość. Można to zobaczyć z powyższych rysunków lub dokładniej na przykładzie:
T=5.0; sigma=0.2; r = 0.1; K = 52.1; BlackScholes( K*exp(-r*T),K,r,T,sigma)
Symulacje Monte Carlo ceny instrumentu pochodnego
Wzory Blacka-Scholesa umożliwiają bardzo szybkie i dokładne obliczenie ceny opcji. Oczywiście w praktyce oczywiście dochodzi element eksperymentalnego wyznaczenia volatility, czyli współczynnika zmienności ceny instrumentu bazowego. Stosowalność wzorów Blacka-Scholesa jest jednak ograniczona do opcji Europejskich, których przypadku możliwość wykupu/sprzedaży opcji dokładnie w terminie wygaśnięcia umożliwia otrzymanie rozwiązania analitycznego. W innych przypadkach, np. gdy dopuścimy sprzedaż w dowolnej chwili przed wygaśnięciem, podejście analityczne staje się niemożliwe. W takich przypadkach popularną i skuteczna metoda jest symulacja numeryczna przebiegu czasowego instrumentu bazowego i wyliczenie odpowiednich statystyk z otrzymanych trajektorii.
Znamy już algorytm generujący geometryczny ruch Browna, możemy więc wygenerować wiele trajektorii, a zadanym warunku początkowym z zadanym krokiem h:
clear all close all N=100; M=100000; T=5.1; h=T/N; S0=55; sigma=0.4; K = 50; r = 0.08; x=zeros(M,N); x(:,1)=S0*ones(M,1); for i=2:N x(:,i)=x(:,i-1) + r*x(:,i-1)*h + sigma*sqrt(h)*x(:,i-1).*normrnd (0,1,M,1); endfor
W powyższym kodzie macierz x będzie zawierała 100tys. trajektorii geometrycznego procesu Wienera z zadanymi parametrami. Czas potrzebny na wygenerowanie takiej ilości danych nie powinien przekraczać kilku sekund. Ważne jest by w podobnych przypadkach używając systemu matlab/GNU Octave stosować kod wektorowy tak jak w powyższym przykladzie. Mając te trajektorie możemy obliczyć średnie z max(S(T)-K,0), lub max(K-S(T),0) dla opcji odpowiednio kupna lub sprzedaży:
call_MC=exp(-r*T)*mean( max(x(:,N)-K,0) ) put_MC=exp(-r*T)*mean( max(K-x(:,N),0) )
i następnie porównać je z wartościami otrzymanymi ze wzroru Blacka-Scholesa:
[call,put]=BlackScholes(S0,K,r,T,sigma)
.
Możemy też wyliczyć względny błąc jaki dostajemy w przypadku posługiwania się symulacją stochastyczną.
error_rel_call=abs(call_MC-call)/call_MC*100 error_rel_put=abs(put_MC-put)/put_MC*100
W badanym przypadku błąd ten będzie oscylował w okolicach jednego procenta dla 100tys trajektorii. Daje to szacunkową orientację w możliwościach metod stochastycznych na współczesnych komputerach: na jednym komputerze uzyskujemy jedną wycenę w ciągu jednej sekundy z dokładnością jednego procenta. W pewnych przypadkach może być to wystarczająco szybko, dla pewnych zastosowań analitycznych będzie to jednak za wolno i w takich przypadkach stosuje się potężne komputery równoległe, które są w stanie przyśpieszyć ten proces o tysiące razy.
Równanie stochastyczne dla procesu losowego opisującego cenę instrumentu bazowego w modelu Blacka-Scholesa jest równaniem liniowym i można je scałkować analitycznie do czasu T:
\(S(T)=S(0) e^{(r-\frac{1}{2}\sigma^2)}T+\sigma \int_0^T dW\)
gdzie wartości całki z procesu Wienera są zmiennymi losowymi o rozkładnie normalnym \(N(0,\sqrt(T))\). Możemy więc napisać program, który będzie symulować wartość S(T) w jednym i wielu krokach:
clear all close all N=303; M=32313; T=13.1; h=T/N; S0=11; sigma=0.4; K = 50; r = 0.1; x=S0*ones(M,1); # integrate in one step y = x .* exp( (r-0.5*sigma^2)*T + sigma.*sqrt(T).*normrnd (0,1,M,1) ) ; # integrate in N steps mu=>r for i=2:N x =x + r*x*h + sigma*sqrt(h)*x.*normrnd (0,1,M,1); endfor # Call option value Nsteps=exp(-r*T)*mean( max(x-K,0) ) onestep=exp(-r*T)*mean( max(y-K,0) ) exact=BlackScholes(S0,K,r,T,sigma)
Program ten wyliczy trzema sposobami tą samą liczbę. Można by się zapytać po co stosować czasochłonną symulację podczas gdy to samo można otrzymać wykonując całkowanie w jednym kroku? Odpowiedz jest prosta - po pierwsze, takie całkowanie nie daje nam całej historii pomiędzy chwilą początkową a czasem wygaśnięcia opcji, a od tej historii może zależeć wycana opcji. Po drugie, scałkowanie analityczne jest możliwe wyłącznie w przypadku, gdy proces losowy jest procesem liniowym. W innych przypadkach nawet jeśli interesuje nas tylko wartość w chwili końcowej musimy zastosować metodę numeryczna np. schemat Eulera.
Poniżej znajduje się program, który graficznie ilustruje proces symulacji Monte-Carlo cen instrumentu bazowego wraz z ceną wykupu K, w różnych układach współrzędnych: normalnym i zdyskontowanym.
clear all close all N=303; M=11222; T=5. h=T/N; t=linspace(0,T,N); S0=31 sigma=0.2 r = 0.1 K = 50 K = S0*exp(r*T) # integrate in N steps mu=>r x=zeros(M,N); x(:,1)=S0*ones(M,1); # log(1)=0 for i=2:N x(:,i)=x(:,i-1) + r*x(:,i-1)*h + sigma*sqrt(h)*x(:,i-1).*normrnd (0,1,M,1); endfor # Call option value Nsteps=exp(-r*T)*mean( max(x(:,N)-K,0) ) exact=BlackScholes(S0,K,r,T,sigma) # Visualization figure(1) subplot(2,1,1) plot(t,x(1:12,:),'r-',t,K*ones(N,1),'g',t,S0*exp(t*r),'b',t,mean(x),'g.') axis([0 t(N) 10 100]); grid on subplot(2,1,2) plot(t,x(1,:).*exp(-t.*r),'r',t,S0*ones(N,1),'.') axis([0 t(N) 0 50]); grid on print("BS_Sim3_vis1.eps","-F:24") # figure(2) S0_tab = 1:1:60; plot(S0_tab,BlackScholes(S0_tab,K,r,T,sigma), S0_tab, max(S0_tab-K*exp(-r*T),0),'o' ); l1=sprintf("Black Scholes option value=%1.1f",exact) text(37,0,l1) line([S0,S0],[-30,exact]) grid on print("BS_Sim3_vis2.eps","-F:24")
Wycena opcji: modele z czasem dyskretnym
Modele z czasem dyskretnym oparte najczęściej o drzewo dwumianowe zwane też modelem Cox'a-Ross'a-Rubinstein'a są historycznie pierwszym numerycznym podejściem do wyceny instrumentów pochodnych. Obecnie z uwagi na większą moc obliczeniową komputerów są rzadko stosowane i większą popularnością cieszy się podejście z czasem ciągłym.
W tych modelach zakładamy, że czas zmienia się o stały przyrost i po każdej zmianie wartość instrumentu \(S_0\) przechodzi na wyższą wartość \(S_0 u\) w prawdopodobieństwem \(p_u\) oraz na niższą \(S_0 d\) w prawdopodobieństwem \(p_d\) (patrz rysunek).
Poniższy program w matlab/GNU Octave implementuje opisaną regułę:
function [price, lattice] = LatticeEurCall(S0,K,r,T,sigma,N) deltaT = T/N; u=exp(sigma * sqrt(deltaT)); d=1/u; p=(exp(r*deltaT) - d)/(u-d); lattice = zeros(N+1,N+1); for i=0:N lattice(i+1,N+1)=max(0 , S0*(u^i)*(d^(N-i)) - K); end for j=N-1:-1:0 for i=0:j lattice(i+1,j+1) = exp(-r*deltaT) * ... (p * lattice(i+2,j+2) + (1-p) * lattice(i+1,j+2)); end end price = lattice(1,1);