Zakres tematyczny

  1. Wielowymiarowy rozkład normalny - krótkie przypomnienie.
  2. Podstawowe pojęcia i fakty z ogólnej teorii procesów stochastycznych
    • Skończenie wymiarowe i całościowe rozkłady procesów stochastycznych. Procesy gaussowskie.
    • Twierdzenie Kołmogorowa o istnieniu procesu.
    • Twierdzenie Kołmogorowa o istnieniu ciągłej (stochastycznej) modyfikacji.
    • Filtracje, momenty stopu i progresywna mierzalność. Własność niezależności przyrostów.
  3. Proces Wienera (ruch Browna)
    • Aksjomatyczna definicja procesu Wienera i jego charakteryzacje.
    • Konstrukcja procesu Wienera.
    • Własności trajektorii procesu Wienera: lokalna holderowska ciągłość, nieróżniczkowalność, niemonotoniczność, nieskończone wahanie.
    • Mocna własność (Markowa) niezależności przyrostów (tw. Dynkina-Hunta).
    • Zasada odbicia.
    • Twierdzenia graniczne: prawo wielkich liczb oraz iterowanego logarytmu.
  4. Martyngały z czasem ciągłym
    • Pojęcie (pod-/nad-) martyngału.
    • Przykłady martyngałów związanych z procesem Wienera.
    • Kryterium martyngałowe operte na pojęciu momentu stopu.
    • Maksymalne nierówności martyngałowe Dooba i twierdzenia o zbieżności.
    • Twierdzenie Dooba-Meyera o rozkładzie martyngału.
  5. Całki stochastyczne względem procesu Wienera
    • Procesy elementarne oraz lemat o Izometrii Ito.
    • Konstrukcja i podstawowe własności całki Ito.
    • Całka Ito jako ciągły martyngał.
    • Twierdzenie o zatrzymaniu całki Ito i jego konsekwencje.
    • Całka Paleya-Wienera (jako szczególny przypadek całki Ito) i jej własności.
    • Całka Stratonowicza jako alternatywa całki Ito.
    • Jednowymiarowa formuła Ito dla procesu Ito i jej zastosowanie w wyznaczaniu całek Stochastycznych i rozwiązywaniu stochastycznych równań różniczkowych.
  6. Proces Poissona (opcjonalnie)
    • Aksjomatyczna definicja procesu Poissona i jego charakteryzacja.
    • Elementy teorii odnowy (pojęcie strumienia i procesu odnowy, elementarne twierdzenie odnowy, związek między rozkładem warunkowym strumienia o przyrostach wykładniczych i rozkładem statystyk pozycyjnych).
    • Procesu Poissona jako szczególny przypadek procesu odnowy.