Informacje o kursie

Zagadnienia:

1. Funkcja charakterystyczna*
2. Wektory losowe (wielowymiarowe zmienne losowe):
• rozkłady, gęstości i dystrybuanty wielowymiarowych zmiennych losowych,
• rozkłady brzegowe i gęstości brzegowe,
• kryteria niezależności zmiennych losowych,
• pojęcie kowariancji, współczynnika korelacji i macierzy kowariancji,
• wielowymiarowy rozkład normalny.
3. Funkcje wielowymiarowych zmiennych losowych:
• Rozkładów funkcji wektorów losowych o rozkładach dyskretnych,
• Gęstość sumy, iloczynu i ilorazu zmiennych losowych o rozkładzie ciągłym,
• Gęstość gładkiego przekształcenia wektora losowego o rozkładzie ciągłym.
4. Warunkowa wartość oczekiwana:
• względem zdarzenia,
• względem przeliczalnego rozbicia przestrzeni zdarzeń elementarnych,
• względem dowolnego sigma-ciała,
• względem zmiennej losowej,
• wyznaczanie E(g(X,Y) | Y) przy danym rozkładzie (X,Y) za pomocą gęstości warunkowych,
• uogólniona definicja prawdopodobieństwa warunkowego.
5. Prawa wielkich liczb:
   
• zbieżność prawie pewna i stochastyczna oraz związek między nim,
• twierdzenie Riesza i charakteryzacja zbieżności stochastycznej przez prawie pewną zbieżność podciągów,
• twierdzenie Kołmogorowa o zbieżności szeregu zmiennych losowych;
• słabe prawa wielkich liczb (Czebyszewa, Chinczyna i Bernoulliego),
• Mocne prawa wielkich liczb (Kołmogorowa).
6. Centralne twierdzenie graniczne:
• zbieżność według rozkładu zmiennych losowych i jej związek ze zbieżnością stochastyczną,
• charakteryzacja zbieżności wg. rozkładu w języku dystrybuant (tw. Helly'ego) oraz punktowej zbieżności funkcji charakterystycznych (tw. Levy’ego - Cramera),
• centralne twierdzenie graniczne (dla zmiennych o jednakowym i dowolnym rozkładzie).
7. Martyngały, podmartyngały i nadmartyngały:
   
• pojęcie filtracji i ciągu do niej adoptowanego,
• definicja martynagału, podmartyngału i nadmartyngału i ich interpretacja,
• momenty stopu i Twierdzenia Dooba i ich zastosowanie.
8. Jednorodne łańcuchy Markowa*

Literatura

1. J. Jakubowski, R. Sztencel, Wstęp do teorii prawdopodobieństwa, Script, Warszawa, 2001.
2. W. Krysicki, J. Bartos, W. Dyczka, K. Królikowska, M. Wasilewska,  Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna w zadaniach,  tom 1., PWN, Warszawa, 1998.
3. A. Plucińska, E. Pluciński, Probabilistyka: Rachunek prawdopodobieństwa, Statystyka matematyczna, Procesy Stochastyczne, Wyd. Naukowo-Techniczne, Warszawa, 2000.
4. A. Plucińska, E. Pluciński,  Zadania z probabilistyki, PWN, Warszawa, 1983.