Zagadnienia:
1. Funkcja charakterystyczna rozkładu
- Definicja funkcji charakterystycznej rozkładu prawdopodobieństwa, jej własności i charakteryzacja (tw. Bochnera);
- Wzór Levy'ego na odwrócenie;
- Własności funkcji charakterystycznej zapewniające ciągłość lub dyskretność odpowiadającego jej rozkładu oraz postać gęstości / funkcji masy tego rozkładu;
- Twierdzenie o różniczkowaniu funkcji charakterystycznej i jego zastosowanie do wyznaczania momentów wyższych rzędów zmiennych losowych;
- Funkcja charakterystyczna sumy niezależnych zmiennych losowych.
2. Prawa wielkich liczb:
- Zbieżność prawie pewna i stochastyczna oraz związek między nim;
- Twierdzenie Riesza i charakteryzacja zbieżności stochastycznej przez prawie pewną zbieżność podciągów;
- Twierdzenie Kołmogorowa o zbieżności szeregu zmiennych losowych;
- Słabe prawa wielkich liczb (Czebyszewa, Chinczyna i Bernoulliego);
- Mocne prawa wielkich liczb (Kołmogorowa).
3. Centralne twierdzenie graniczne:
- Zbieżność według rozkładu zmiennych losowych i jej związek ze zbieżnością stochastyczną;
- Charakteryzacja zbieżności wg. rozkładu w języku dystrybuant (tw. Helly'ego) oraz punktowej zbieżności funkcji charakterystycznych (tw. Levy’ego - Cramera);
- Centralne Twierdzenie Graniczne Lindenberga-Levy'ego.
4. Wielowymiarowe zmienne losowe (wektory losowe) - uzupełnienie wiadomości:
- Rozkłady, gęstości i dystrybuanty wektorów losowych;
- Rozkłady brzegowe oraz ich gęstości i funkcje masy;
- Funkcje wektorów losowych o rozkładach ciągłych i dyskretnych (w tym twierdzenie o gęstości gładkiego przekształcenia wektora losowego o rozkładzie ciągłym);
- Macierz kowariancji i wielowymiarowy rozkład normalny.
5. Warunkowa wartość oczekiwana (WWO):
- WWO względem zdarzenia;
- WWO względem dowolnego sigma-ciała;
- WWO względem wektora losowego;
- Wyznaczanie E(g(X,Y) | Y) przy danym rozkładzie (X,Y) za pomocą gęstości warunkowych;
- Uogólniona definicja prawdopodobieństwa warunkowego.
6. Martyngały, podmartyngały i nadmartyngały z czasem dyskretnym:
- Pojęcie filtracji i ciągu do niej adoptowanego;
- Definicja martynagału, podmartyngału i nadmartyngału i ich interpretacja;
- Momenty stopu i Twierdzenia Dooba i ich zastosowanie.
7. Dyskretne łańcuchy Markowa*
- Definicja dyskretnego łańcucha Markowa, jego macierzy przejścia i rozkładu początkowego;
- Wyznaczanie rozkładów łańcucha Markowa przy pomocy jego macierzy przejścia i rozkładu początkowego, równanie Chapmana-Kołmogorowa;
- Relacja osiągalności i wzajemnej komunikacji w przestrzeni stanów, stany istotne i nieistotne, klasy zamknięte oraz pojęcie łańcucha nieprzywiedlnego;
- Stany chwilowe i powracające;
- Stany okresowe i nieokresowe;
- Rozkłady stacjonarne i twierdzenie ergodyczne.
Literatura
- J. Jakubowski, R. Sztencel, Wstęp do teorii prawdopodobieństwa, Script, Warszawa, 2001.
- W. Krysicki, J. Bartos, W. Dyczka, K. Królikowska, M. Wasilewska, Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna w zadaniach, tom 1., PWN, Warszawa, 1998.
- A. Plucińska, E. Pluciński, Probabilistyka: Rachunek prawdopodobieństwa, Statystyka matematyczna, Procesy Stochastyczne, Wyd. Naukowo-Techniczne, Warszawa, 2000.
- A. Plucińska, E. Pluciński, Zadania z probabilistyki, PWN, Warszawa, 1983.
- Nauczyciel: Czapla Dawid