Zagadnienia:

1. Funkcja charakterystyczna rozkładu

  • Definicja funkcji charakterystycznej rozkładu prawdopodobieństwa, jej własności i charakteryzacja (tw. Bochnera);
  • Wzór Levy'ego na odwrócenie;
  • Własności funkcji charakterystycznej zapewniające ciągłość lub dyskretność odpowiadającego jej rozkładu oraz postać gęstości / funkcji masy tego rozkładu;
  • Twierdzenie o różniczkowaniu funkcji charakterystycznej i jego zastosowanie do wyznaczania momentów wyższych rzędów zmiennych losowych;
  • Funkcja charakterystyczna sumy niezależnych zmiennych losowych.
2. Prawa wielkich liczb:
  • Zbieżność prawie pewna i stochastyczna oraz związek między nim;
  • Twierdzenie Riesza i charakteryzacja zbieżności stochastycznej przez prawie pewną zbieżność podciągów;
  • Twierdzenie Kołmogorowa o zbieżności szeregu zmiennych losowych;
  • Słabe prawa wielkich liczb (Czebyszewa, Chinczyna i Bernoulliego);
  • Mocne prawa wielkich liczb (Kołmogorowa).
3. Centralne twierdzenie graniczne:
  • Zbieżność według rozkładu zmiennych losowych i jej związek ze zbieżnością stochastyczną;
  • Charakteryzacja zbieżności wg. rozkładu w języku dystrybuant (tw. Helly'ego) oraz punktowej zbieżności funkcji charakterystycznych (tw. Levy’ego - Cramera);
  • Centralne Twierdzenie Graniczne Lindenberga-Levy'ego.
4. Wielowymiarowe zmienne losowe (wektory losowe) - uzupełnienie wiadomości:
  • Rozkłady, gęstości i dystrybuanty wektorów losowych;
  • Rozkłady brzegowe oraz ich gęstości i funkcje masy;
  • Funkcje wektorów losowych o rozkładach ciągłych i dyskretnych (w tym twierdzenie o gęstości gładkiego przekształcenia wektora losowego o rozkładzie ciągłym);
  • Macierz kowariancji i wielowymiarowy rozkład normalny.
5. Warunkowa wartość oczekiwana (WWO):
  • WWO względem zdarzenia;
  • WWO względem dowolnego sigma-ciała;
  • WWO względem wektora losowego;
  • Wyznaczanie E(g(X,Y) | Y) przy danym rozkładzie (X,Y) za pomocą gęstości warunkowych;
  • Uogólniona definicja prawdopodobieństwa warunkowego.
6. Martyngały, podmartyngały i nadmartyngały z czasem dyskretnym:
  • Pojęcie filtracji i ciągu do niej adoptowanego;
  • Definicja martynagału, podmartyngału i nadmartyngału i ich interpretacja;
  • Momenty stopu i Twierdzenia Dooba i ich zastosowanie.
7. Dyskretne łańcuchy Markowa*
  • Definicja dyskretnego łańcucha Markowa, jego macierzy przejścia i rozkładu początkowego;
  • Wyznaczanie rozkładów łańcucha Markowa przy pomocy jego macierzy przejścia i rozkładu początkowego, równanie Chapmana-Kołmogorowa;
  • Relacja osiągalności i wzajemnej komunikacji w przestrzeni stanów, stany istotne i nieistotne, klasy zamknięte oraz pojęcie łańcucha nieprzywiedlnego;
  • Stany chwilowe i powracające;
  • Stany okresowe i nieokresowe;
  • Rozkłady stacjonarne i twierdzenie ergodyczne.

Literatura

  1. J. Jakubowski, R. Sztencel, Wstęp do teorii prawdopodobieństwa, Script, Warszawa, 2001.
  2. W. Krysicki, J. Bartos, W. Dyczka, K. Królikowska, M. Wasilewska,  Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna w zadaniach,  tom 1., PWN, Warszawa, 1998.
  3. A. Plucińska, E. Pluciński, Probabilistyka: Rachunek prawdopodobieństwa, Statystyka matematyczna, Procesy Stochastyczne, Wyd. Naukowo-Techniczne, Warszawa, 2000.
  4. A. Plucińska, E. Pluciński,  Zadania z probabilistyki, PWN, Warszawa, 1983.