Informacje o kursie

1. Funkcja charakterystyczna rozkładu

• Definicja funkcji charakterystycznej rozkładu prawdopodobieństwa, jej własności i charakteryzacja (tw. Bochnera);
• Wzór Levy'ego na odwrócenie;
• Własności funkcji charakterystycznej zapewniające ciągłość lub dyskretność odpowiadającego jej rozkładu oraz postać gęstości / funkcji masy tego rozkładu;
• Twierdzenie o różniczkowaniu funkcji charakterystycznej i jego zastosowanie do wyznaczania momentów wyższych rzędów zmiennych losowych;
• Funkcja charakterystyczna sumy niezależnych zmiennych losowych.

2. Prawa wielkich liczb:

• Zbieżność prawie pewna i stochastyczna oraz związek między nim;
• Twierdzenie Riesza i charakteryzacja zbieżności stochastycznej przez prawie pewną zbieżność podciągów;
• Twierdzenie Kołmogorowa o zbieżności szeregu zmiennych losowych;
• Słabe prawa wielkich liczb (Czebyszewa, Chinczyna i Bernoulliego);
• Mocne prawa wielkich liczb (Kołmogorowa).

3. Centralne twierdzenie graniczne:

• Zbieżność według rozkładu zmiennych losowych i jej związek ze zbieżnością stochastyczną;
• Charakteryzacja zbieżności wg. rozkładu w języku dystrybuant (tw. Helly'ego) oraz punktowej zbieżności funkcji charakterystycznych (tw. Levy’ego - Cramera);
• Centralne Twierdzenie Graniczne Lindenberga-Levy'ego.

4. Wielowymiarowe zmienne losowe (wektory losowe) - uzupełnienie wiadomości:

• Rozkłady, gęstości i dystrybuanty wektorów losowych;
• Rozkłady brzegowe oraz ich gęstości i funkcje masy;
• Funkcje wektorów losowych o rozkładach ciągłych i dyskretnych (w tym twierdzenie o gęstości gładkiego przekształcenia wektora losowego o rozkładzie ciągłym);
• Macierz kowariancji i wielowymiarowy rozkład normalny.

5. Warunkowa wartość oczekiwana (WWO):

• WWO względem zdarzenia;
• WWO względem dowolnego sigma-ciała;
• WWO względem wektora losowego;
• Wyznaczanie E(g(X,Y) | Y) przy danym rozkładzie (X,Y) za pomocą gęstości warunkowych;
• Uogólniona definicja prawdopodobieństwa warunkowego.

6. Martyngały, podmartyngały i nadmartyngały z czasem dyskretnym:

• Pojęcie filtracji i ciągu do niej adoptowanego;
• Definicja martynagału, podmartyngału i nadmartyngału i ich interpretacja;
• Momenty stopu i Twierdzenia Dooba i ich zastosowanie.

7. Dyskretne łańcuchy Markowa*

• Definicja dyskretnego łańcucha Markowa, jego macierzy przejścia i rozkładu początkowego;
• Wyznaczanie rozkładów łańcucha Markowa przy pomocy jego macierzy przejścia i rozkładu początkowego, równanie Chapmana-Kołmogorowa;
• Relacja osiągalności i wzajemnej komunikacji w przestrzeni stanów, stany istotne i nieistotne, klasy zamknięte oraz pojęcie łańcucha nieprzywiedlnego;
• Stany chwilowe i powracające;
• Stany okresowe i nieokresowe;
• Rozkłady stacjonarne i twierdzenie ergodyczne.