Informacje o kursie

Zagadnienia

1. CAŁKA NIEOZNACZONA
   a) Pojęcie funkcji pierwotnej i całki nieoznaczonej.
   b) Całki podstawowe (odwrócenie wzorów na pochodne funkcji elementarnych).
   c) Twierdzenia o całkowaniu przez części i przez podstawianie oraz ich praktyczne zastosowanie.
   d) Całkowanie funkcji wymiernych (w oparciu o rozkład na ułamki proste).
   e) Całkowanie funkcji niewymiernych (zawierających pierwiastki) - podstawienia Eulera.
   
   
2. CAŁKA OZNACZONA RIEMANNA
   a) Definicja całki oznaczonej Riemanna na przedziale zwartym (przez pośrednie  sumy całkowe).
   b) Podstawowe własności całki Riemanna (liniowość, monotoniczność oraz addytywność względem przedziałów całkowania).
   c) Twierdzenia o całkowalności funkcji ciągłych i monotonicznych.
   d) Podstawowe twierdzenie rachunku całkowego i różniczkowego oraz wzór Newtona-Leibniza.
   e) Twierdzenia o całkowaniu przez części i przez podstawianie dla całki oznaczonej.
   f) Całki nie właściwe.
   g) Geometryczne zastosowania całki oznaczonej (jak np. obliczanie pól figur płaskich, długości krzywych i objętości brył obrotowych).
   
   
3. MACIERZE LICZBOWE I UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH
   a) Pojęcie macierzy i podstawowe typy macierzy kwadratowych.
   b) Transpozycja macierzy.
   c) Mnożenie macierzy przez skalar oraz dodawanie i mnożenie macierzy przez siebie.
   c) Wyznacznik macierzy kwadratowej i rząd macierzy oraz metody ich obliczenia.
   d) Odwracanie macierzy.
   e) Ustalanie typu układu równań liniowych (oznaczony / nieoznaczony / sprzeczny) za pomocą twierdzenia Kroneckera-Capellego.
   f) Rozwiązywanie układów równań liniowych przy pomocy twierdzenia Cramera oraz metodą eliminacji Gaussa (poprzez sprowadzenie macierzy uzupełnionej układu do postaci schodkowej-zredukowanej poprzez operacje elementarne na jej wierszach).
   g) Określoność formy kwadratowej macierzy oraz kryterium Sylvestera dla macierzy symetrycznych.
   
   
4. PRZESTRZEŃ WSPÓŁRZĘDNYCH RZECZYWISTYCH Rⁿ
   a) Norma i metryki euklidesowa.
   b) Definicja kuli i sfery (otwartej / domkniętej). 
   c) Pojęcie zbioru ograniczonego.
   d) Pojęcia zbioru otwartego i domkniętego oraz wnętrza, domknięcia i brzegu zbioru. Najważniejsze fakty związane z tymi pojęciami.
   e) Wyznaczanie naturalnej dziedziny funkcji wielu zmiennych.
   
   
5. GRANICA I CIĄGŁOŚĆ FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH
   a) Granica ciągu punków przestrzeni R̄ⁿ.
   b) Pojęcie punktu skupienia podzbioru przestrzeni Rⁿ.
   c) Granica funkcji wielu zmiennych w punkcie przestrzeni Rⁿ.
   d) Badanie ciągłości funkcji wielu zmiennych.
   
   
6. RACHUNEK RÓŻNICZKOWY FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH (O WARTOŚCIACH RZECZYWISTYCH)
   a) Pochodne cząstkowe i ich interpretacja geometryczna. Pojęcie gradientu funkcji.
   b) Różniczkowalność w sensie Frécheta. Pojęcie różniczki i pochodnej Frécheta.
   c) Równanie płaszczyzny stycznej w danym punkcie to powierzchni z=f(x,y).
   d) Związek między różniczkowalnością i ciągłością funkcji wielu zmiennych.
   e) Ciągłość pochodnych cząstkowych jako warunek wystarczający dla różniczkowalności.
   f) Pochodne cząstkowe wyższych rzędów. Postać pochodnej i różniczki Frécheta II rzędu.
   g) Twierdzenie Schwarza-Clairaut o symetrii ciągłych pochodnych mieszanych.
   h) Ekstrema lokalne funkcji wielu zmiennych (warunek konieczny istnienia ekstremum oraz wystarczający, oparty o rodzaj określoności różniczki II rzędu).
   i) Twierdzenie o istnieniu i różniczkowaniu funkcji uwikłanej.
   
   
7. CAŁKI WIELOKROTNE (PODWÓJNE I POTRÓJNE)
   a) Pojęcie obszaru normalnego oraz regularnego (będącego sumą obszarów normalnych o rozłącznych wnętrzach).
   b) Definicja całki podwójnej i potrójnej z funkcji ograniczonej po obszarze regularnym.
   c) Podstawowe własności całek wielokrotnych (liniowość, monotoniczność oraz addytywność względem obszaru całkowania).
   d) Twierdzenie o całkowalności funkcji ciągłych.
   e) Wyznaczanie całki podwójnych i potrójnych po obszarach normalnych poprzez ich zamianę na pojedyncze całki iterowane.
   f) Wyznaczanie całek podwójnych i potrójnych przez zamianę zmiennych kartezjańskich na odp. biegunowe  i sferyczne.
   g) Zastosowanie całki podwójnej do obliczania pól figur płaskich i objętości brył przestrzennych oraz całki potrójnej do wyznaczania masy ciała na podstawie funkcji jego gęstości.
   
   
8. ELEMENTY RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA
   a) Podstawowe schematy kombinatoryczne.
   b) Miara probabilistyczna i σ-ciało zdarzeń.
   c) Klasyczny i geometryczny model prawdopodobieństwa.
   d) Prawdopodobieństwo warunkowe. Twierdzenie o prawdopodobieństwie całkowitym oraz wzór Bayesa.
   e) Niezależność zdarzeń oraz klas zdarzeń.
   f) Pojęcie zmiennej losowej, jej rozkładu prawdopodobieństwa oraz dystrybuanty.
   h) Gęstość rozkładu ciągłego (i związek z dystrybuantą) oraz funkcja masy rozkładu dyskretnego. Przegląd najważniejszych rozkładów.
   i) Funkcje zmiennej losowej
   j) Parametry rozkładów: wartość oczekiwana i wariancja.
   k) Wektory losowe i wyznaczenia ich rozkładów brzegowych. 
   l) Niezależność zmiennych losowych oraz jej charakteryzacja w języku rozkładów, dystrybuant i gęstości rozkładów brzegowych wektora losowego.

Literatura