Z Skrypty dla studentów Ekonofizyki UPGOW

Wstęp

Wyobraź sobie, że wygrałeś główną nagrodę w teleturnieju. Prowadzący stawiają przed Tobą jeszcze jedno, ostatnie zadanie - wybór jednej z trzech zamkniętych kopert wewnątrz których zapisano, jaka jest Twoja nagroda. Wiadomo, że w jednej kopercie jest nazwa najnowszego, dobrze "wypasionego" modelu Mercedesa, w pozostałych dwóch zaś widnieje wizerunek nagrody pocieszenia, również dobrze wypasionego ...osła. Twój ostateczny wybór zadecyduje którą nagrodę dostaniesz. Wybierasz zatem jedną z kopert na "chybił trafił" - nie masz żadnych przesłanek, w której kopercie ukryto Mercedesa. Po Twoim wyborze prowadzący (który wie w której kopercie jest Mercedes) bierze inną kopertę i po jej otwarciu pokazuje Ci wizerunek osła. Następnie zadaje pytanie czy dalej obstajesz przy Twoim pierwszym wyborze, czy też decydujesz się na zmianę pierwotnie wybranej, na ostatnia - trzecią kopertę. Co będzie dla Ciebie lepszym rozwiązaniem?

Aby opisana historia była kompletna, a odpowiedź na postawione pytanie jednoznaczna, trzeba jeszcze kilka rzeczy uściślić. Wiadomo, że niezależnie od Twojego pierwszego wyboru prowadzący zawsze otwiera jedną z pozostałych dwu kopert, w której jest wizerunek osła. Wiesz również, że prowadzący nie rozdaje Mercedesów "lekką ręką". Nie wiadomo jednak, czy ważniejsze jest dla niego "zaoszczędzenie" samochodu czy też pozyskanie większej widowni poprzez budowanie dodatkowej dramaturgii teleturnieju. Gdyby założyć tą pierwszą opcję, można by pomyśleć, że pokazanie koperty z osłem ma na celu zmylenie nas i skłonienie do zmiany pierwotnie wybranej koperty z Mercedesem na inną. Tak też myśli wiele osób, które bardziej są skłonne do obstawania przy pierwotnym wyborze, niż do zmiany koperty.

Przeanalizujmy dokładniej zaistniałą sytuację. Prawdopodobieństwo, że pierwotny wybór był trafny (przez taki rozumiemy wybór Mercedesa) wynosi dokładnie \(1/3\). Po otwarciu przez prowadzącego jednej z kopert z osłem, prawdopodobieństwo, że w dowolnej z pozostałych kopert jest Mercedes wydaje się wynosić dokładnie \(1/2\). Takie rozumowanie jest jednak błędne. Okazuje się, że pomysł, żeby nie zmieniać koperty gdyż prowadzący prawdopodobnie chce nas do tego skłonić jest niewłaściwy. Wszak powiedzieliśmy, że prowadzący zawsze odkrywa jedną z pozostałych kopert niezależnie od tego, co pierwotnie wybraliśmy. Zauważmy zatem, że jeśli pierwotnie wybraliśmy kopertę z osłem t.j. w 2 przypadkach na 3 to prowadzący odkrywając drugą kopertę z osłem (bo takie są zasady) wskazuje nam pozostałą kopertę z Mercedesem, wystarczy jedynie zmienić pierwotny wybór. Zmiana koperty przyniesie nam porażkę (t.j. wybór osła) jedynie wtedy, kiedy pierwotnie wybraliśmy Mercedesa - ale taka sytuacja zdarzy się w \(1/3\) przypadków. Widzimy zatem, że strategia zmiany koperty podnosi prawdopodobieństwo sukcesu z \(1/3\) do \(2/3\), choć nie widać tego na pierwszy rzut oka. Strategia pozostawienia pierwotnego wyboru przyniesie sukces jedynie w \(1/3\) przypadków.

Opisana sytuacja znana jest w literaturze jako paradoks Monty Halla i wzięła swoją nazwę od pseudonimu artystycznego osoby prowadzącej telewizyjne widowisko "Let's make a deal" gdzie wykorzystywano ten paradoks. Paradoks doczekał się już bardzo bogatej literatury [1]. Zwróćmy uwagę na użyte słowo "strategia". W teorii gier przez strategię będziemy rozumieli algorytm postępowania - przepis, który jednoznacznie określi wybieraną przez nas opcję lub ich sekwencję. Jedną z możliwych (i ważnych) jest strategia przypadkowa, tj. taka, w której przed każdym wyborem opcji musimy się odwołać do "generatora przypadku", na przykład rzutu monetą.

Teoria gier jest stosunkowo młodą dziedziną matematyki, która powstała w połowie XX wieku, i bardzo szybko znalazła praktyczne zastosowania w wielu dziedzinach życia. Poniżej przedstawiamy jedną z możliwych klasyfikacji teorii gier. W pierwszym rzędzie gry dzielimy na zręcznościowe (na przykład gra w cymbergaja), losowe (np. toto lotek) i strategiczne. Przez gry strategiczne, za Robertem Aumannem będziemy rozumieli "źródło struktur w obrębie których modelujemy i analizujemy zjawiska konfliktu i współpracy zachodzące pomiędzy podmiotami, z których każdy ma swój odrębny cel". Warto zauważyć, że niektóre gry należą do dwu kategorii tego podziału. Na przykład brydż jest grą strategiczną, która zawiera niemały element gry losowej - wszak karty rozdaje się w sposób losowy. Wiele gier zręcznościowych, szczególnie gry zespołowe (siatkówka, piłka nożna) też można analizować z punktu widzenia teorii gier strategicznych.

Rys. 1. Klasyfikacja Gier

Przechodząc w dół w obrębie przedstawionej klasyfikacji gry strategiczne dzielimy na dwuosobowe i wieloosobowe. Ten podział nie bierze się tylko z oczywistego nawiązania do ilości graczy, lecz przede wszystkim z pojawienia się w grach wieloosobowych możliwości tworzenia koalicji graczy, którzy między sobą mogą dokonywać redystrybucji wypłat. W grach superaddytywnych większe koalicje mogą uzyskać wyższe wypłaty niż ich mniejsze składowe. W obrębie gier dwuosobowych pierwotnym jest podział na gry o sumie zerowej (lub stałej) dla których suma wypłat obu graczy jest równa zero (stała) oraz gier o sumie niezerowej, które mogą być kooperacyjne lub mieszanych motywów, czyli rywalizacyjno-kooperacyjne. Wreszcie gry o sumie zerowej można podzielić że względu na to, czy ich rozwiązanie daje się wyrazić przy pomocy tzw. strategii prostych (gry z punktem siodłowym) czy strategii mieszanych (gry bez punktu siodłowego).

Celem niniejszego skryptu jest przybliżenie czytelnikowi podstawowych pojęć związanych z teorią gier strategicznych, ze szczególnym uwzględnieniem zastosowań tej teorii do bardzo praktycznych zagadnień jakimi są podejmowanie decyzji oraz negocjowanie. Okazuje się, że ścisłe rozważania matematyczne: definiowanie pojęć, formułowanie twierdzeń oraz ich dowodzenie - domena rozumowania matematycznego - nie musi być zamkniętym, niedostępnym dla zwykłego śmiertelnika obszarem rzeczywistości. Dowodzi tego właśnie teoria gier. Aby zrozumieć jej podstawowe pojęcia nie trzeba studiować matematyki, co więcej, nie ma w teorii gier nawet bardziej zaawansowanych metod matematycznych. Można zaryzykować twierdzenie, że matematyka wykorzystywana w obrębie teorii gier ogranicza się do zakresu edukacji szkolnej. Oczywiście sama teoria gier, tak jak każda inna dziedzina, wprowadza nowe pojęcia, których opanowanie jest niezbędne do jej zrozumienia. Wszystkie te pojęcia znajdzie jednak czytelnik w niniejszym opracowaniu.

Niniejsze opracowanie podzielono na kilka części. Czytelnik, który wcześniej poznał podstawy teorii gier może opuścić początkowe rozdziały. W tych rozdziałach znajdziemy wszystkie definicje i pojęcia potrzebne do zrozumienia zagadnień zawartych w kolejnych częściach tego opracowania. Jeśli jednak interesują Cię przede wszystkim zastosowania, to czytanie "od końca" oraz odwoływanie się w razie potrzeby do definicji i twierdzeń zawartych w pierwszej części niniejszego opracowania też może być dobrym sposobem.