Z Skrypty dla studentów Ekonofizyki UPGOW

Wersja z 15:35, 14 wrz 2010 (pokaż źródło) MarekSzopa (dyskusja | edycje) (→Rozwiązania gier typu (mx2) i (2xn)) ← poprzednia edycja		Aktualna wersja na dzień 11:05, 4 lis 2012 (pokaż źródło) MarekSzopa (dyskusja | edycje) (→Spis treści)
(Nie pokazano 302 wersji pomiędzy niniejszymi.)
Linia 1:		Linia 1:
-	[[Plik:kl.png|200px|left]][[Plik:Ue.png|200px|right]]	+	__NOTOC__
-		+
-		+
-		+
-		+
-		+
-		+
	<center>		<center>
-	<math>\mathbf{TEORIA\;\; GIER\;\; W\;\; NEGOCJACJACH\;\; I\;\; PODEJMOWANIU\;\; DECYZJI}</math></center>	+	<span style="font-size: 20pt">'''Teoria gier w negocjacjach'''</span>
-		+
-		+
-	<center> '''MAREK SZOPA'''</center>	+
-		+
-		+
-	Skrypt dla studentów ekonofizyki sfinansowany w ramach projektu	+
-	Uniwersytet Partnerem Gospodarki Opartej na Wiedzy	+
-		+
-		+
-	<center>''Copyright 2010 by Marek Szopa ''</center>	+
-		+
-		+
-	==Wstęp==	+
-		+
-	Wyobraź sobie, że wygrałeś główną nagrodę w teleturnieju. Aby jednak jeszcze bardziej przyciągnąć uwagę widzów, prowadzący stawiają przed Tobą ostatnie zadanie - wybór jednej z trzech zamkniętych kopert wewnątrz których znajduje się kartka, na której zapisano jaka jest Twoja nagroda. Wiadomo, że na jednej kartce jest nazwa najnowszego, dobrze "wypasionego" modelu Mercedesa, na pozostałych dwóch zaś widnieje wizerunek nagrody pocieszenia, również dobrze wypasionego ...osła. Twój ostateczny wybór zadecyduje którą nagrodę dostaniesz. Wybierasz zatem jedną z kopert na "chybił trafił" - nie masz żadnych przesłanek, gdzie zapisano nazwę Mercedesa. Po Twoim wyborze prowadzący (który wie w której kopercie jest Mercedes) bierze inną kopertę i po jej otwarciu pokazuje Ci wizerunek osła. Następnie zadaje pytanie czy dalej obstajesz przy Twoim pierwszym wyborze, czy też decydujesz się na zmianę pierwotnie wybranej, na ostatnia - trzecią kopertę. Co będzie dla Ciebie lepszym wyjściem?	+
-		+
-	Aby opisana historia była kompletna, a odpowiedź na postawione pytanie jednoznaczna trzeba jeszcze kilka rzeczy uściślić. Wiadomo, że niezależnie od Twojego pierwszego wyboru prowadzący zawsze otwiera jedną z pozostałych dwu kopert, w której jest wizerunek osła. Wiesz również, że prowadzący nie rozdaje Mercedesów "lekką ręką". Nie wiadomo jednak, czy ważniejsze jest dla niego "zaoszczędzenie" samochodu czy też pozyskanie większej widowni poprzez budowanie dodatkowej dramaturgii teleturnieju. Gdyby założyć tą pierwszą opcję, można by pomyśleć, że pokazanie koperty z osłem ma na celu zmylenie nas i skłonienie do zmiany pierwotnie wybranej koperty z Mercedesem na inną. Tak też myśli wiele osób, które bardziej są skłonne do obstawania przy pierwotnym wyborze, niż do zmiany koperty.	+
-		+
-	Przeanalizujmy dokładniej zaistniałą sytuację. Prawdopodobieństwo, że pierwotny wybór był trafny (przez taki rozumiemy wybór Mercedesa) wynosi dokładnie <math>1/3</math>. Po otwarciu przez prowadzącego jednej z kopert z osłem, prawdopodobieństwo, że w dowolnej z pozostałych kopert jest Mercedes wydaje się wynosić dokładnie <math>1/2</math>. Takie rozumowanie jest jednak błędne. Okazuje się, że pomysł, żeby nie zmieniać koperty gdyż prowadzący prawdopodobnie chce nas do tego skłonić jest niewłaściwy. Wszak powiedzieliśmy, że prowadzący zawsze odkrywa jedną z pozostałych kopert niezależnie od tego, co pierwotnie wybraliśmy. Zauważmy zatem, że jeśli pierwotnie wybraliśmy kopertę z osłem t.j. w 2 przypadkach na 3 to prowadzący odkrywając drugą kopertę z osłem (bo takie są zasady) wskazuje nam pozostałą kopertę z Mercedesem, wystarczy jedynie zmienić pierwotny wybór. Zmiana koperty przyniesie nam porażkę (t.j. wybór osła) jedynie wtedy, kiedy pierwotnie wybraliśmy Mercedesa - ale taka sytuacja zdarzy się w <math>1/3</math> przypadków. Widzimy zatem, że ''strategia zmiany'' koperty podnosi prawdopodobieństwo sukcesu z <math>1/3</math> do <math>2/3</math>, choć nie widać tego na pierwszy rzut oka. ''Strategia pozostawienia'' pierwotnego wyboru przyniesie sukces jedynie w <math>1/3</math> przypadków.	+
-		+
-	Opisana sytuacja znana jest w literaturze jako paradoks Monty Halla i wzięła swoją nazwę od pseudonimu artystycznego osoby prowadzącej telewizyjne widowisko "Let's make a deal" gdzie wykorzystywano ten paradoks. Paradoks doczekał się już bardzo bogatej literatury [http://en.wikipedia.org/wiki/Monty_Hall_problem]. Zwróćmy uwagę na użyte słowo "strategia". W teorii gier przez ''strategię'' będziemy rozumieli algorytm postępowania - przepis, który jednoznacznie określi wybieraną przez nas opcję lub ich sekwencję. Jedną z możliwych (i ważnych) jest ''strategia przypadkowa'', tj. taka, w której przed każdym wyborem opcji musimy się odwołać do "generatora przypadku", na przykład rzutu monetą.	+
-		+
-	Teoria gier jest stosunkowo młodą dziedziną matematyki, która powstała w połowie XX wieku, i bardzo szybko znalazła praktyczne zastosowania w wielu dziedzinach życia.	+
-		+
-	Celem niniejszego skryptu jest przybliżenie czytelnikowi podstawowych pojęć związanych z teorią gier, ze szczególnym uwzględnieniem zastosowań tej teorii do bardzo praktycznych zagadnień jakimi są podejmowanie decyzji oraz negocjowanie. Okazuje się, że ścisłe rozważania matematyczne: definiowanie pojęć, formułowanie twierdzeń oraz ich dowodzenie - domena rozumowania matematycznego - nie musi być zamkniętym, niedostępnym dla zwykłego śmiertelnika obszarem rzeczywistości. Dowodzi tego właśnie teoria gier. Aby zrozumieć jej podstawowe pojęcia nie trzeba studiować matematyki, co więcej, nie ma w teorii gier nawet bardziej zaawansowanych metod matematycznych stosowanych w szkole średniej. Można zaryzykować twierdzenie, że matematyka wykorzystywana w obrębie teorii gier ogranicza się do zakresu szkoły podstawowej. Oczywiście sama teoria gier, tak jak każda inna dziedzina, wprowadza nowe pojęcia, których opanowanie jest niezbędne do jej zrozumienia. Wszystkie te pojęcia znajdzie jednak czytelnik w niniejszym opracowaniu.	+
-		+
-	Skrypt podzielono na kilka części. Czytelnik, który wcześniej poznał podstawy teorii gier może opuścić początkowe rozdziały. W tych rozdziałach znajdziemy wszystkie definicje i pojęcia potrzebne do zrozumienia zagadnień zawartych w kolejnych częściach tego opracowania. Jeśli jednak interesują Cię przede wszystkim zastosowania, to czytanie "od końca" oraz odwoływanie się w razie potrzeby do definicji i twierdzeń zawartych w pierwszej części niniejszego opracowania też może być dobrym sposobem.	+
-		+
-		+
-	==Gry dwuosobowe o sumie zerowej==	+
-		+
-	===Gry oraz diagramy przesunięć===	+
-		+
-	;Gra	+
-	:Przez ''grę'' rozumiemy zespół ''zasad'' określający ''wypłatę'' dla graczy jako funkcje wybranych opcji, które są możliwe dla danej gry.	+
-		+
-	Aby mówić o grze musimy wskazać co najmniej dwu graczy. Każdy z tych graczy ma możliwość wyboru spośród pewnej liczby możliwych opcji. Gracze podejmują swoje decyzję równocześnie lub, co na to samo wychodzi, nie znając wyborów pozostałych graczy - taką grę nazywamy ''symultaniczną''. Mogą też wybierać swoje opcje jako odpowiedź na wybór dokonany przez pozostałych graczy, w takim przypadku mówimy o grach 'sekwencyjnych'. Gra może składać się z jednej lub wielu ''rund'', w trakcie których gracze dokonują swoich wyborów. Przez ''strategię'', jak już to wspomnieliśmy we wstępie, rozumiemy przyjęty przez gracza sposób wybierania jednej z możliwych opcji. Strategie mogą być ''proste'', wówczas gracz po prostu wybiera jedną opcję lub ''mieszane'', wówczas gracz decyduje się na wybór kilku opcji z określeniem prawdopodobieństwa wyboru każdej z nich.	+
-		+
-	Jeśli każdej możliwej kombinacji opcji wybranych przez graczy przyporządkujemy (jednoznacznie) wypłatę dla każdego z nich to taki przepis nazywamy ''zasadą gry''. ''Wypłatą'' gracza nazywamy mierzalny sposób określenia jego wyniku. Wypłaty zazwyczaj określamy w sposób liczbowy aby ułatwić ich sumowanie i podliczanie wyników gry. Można jednak definiować gry w których wypłaty są dobrami materialnymi, zobowiązaniem do wykonania jakiejś czynności (np. że gracz, który przegra stanie na głowie), etc. Zasady gry mogą być przedstawione w postaci macierzowej tzw. ''tabeli wypłat''. Poniżej przedstawiamy przykładową tabelę.	+
-		+
-	;Przykład 2.1 Tabela gry.	+
-		+
-	{|align=center border="1" cellpadding="4" cellspacing="0" style="margin: 1em 1em 1em 1em; background: #f9f9f9; border: 1px #aaa solid; border-collapse: collapse; font-size: 95%;"	+
-	|+ align=bottom | ''Przykład macierzy wypłat dla gry dwuosobowej''	+
-	|- class="wikitable"	+
-	|-	+
-	|align=center|'''2.1'''||colspan=3; style="color: #900; text-align:center;"| Basia (Kolumna)	+
-	|-	+
-	|-	+
-	| rowspan=4; style="color: #009; text-align:center; width: 60px;"|Adam (Wiersz)	+
-	|style="background-color:#CCCCCC; text-align:center; width: 60px;"|	+
-	|style="background-color:#CCCCCC; color: #900; text-align:center; width: 60px;"|A	+
-	|style="background-color:#CCCCCC; color: #900; text-align:center; width: 60px;"| B	+
-	|-	+
-	|style="background-color:#CCCCCC; color: #009; text-align:center; width: 60px;"| A	+
-	|align=center|<span style="color: #009">1</span>,<span style="color: #900"> -1</span>	+
-	|align=center|<span style="color: #009">-2</span>,<span style="color: #900"> 2</span>	+
-	|-	+
-	|style="background-color:#CCCCCC; color: #009; text-align:center; width: 60px;"| B	+
-	|align=center|<span style="color: #009">-1</span>,<span style="color: #900"> 1</span>	+
-	|align=center|<span style="color: #009">0</span>,<span style="color: #900"> 0</span>	+
-	|-	+
-	|style="background-color:#CCCCCC; color: #009; text-align:center; width: 60px;"|C	+
-	|align=center|<span style="color: #009">-4</span>,<span style="color: #900"> 4</span>	+
-	|align=center|<span style="color: #009">5</span>,<span style="color: #900"> -5</span>	+
-	|}	+
-		+
-	Graczami są Adam i Basia. W dalszej części odpersonalizujemy Adama i będziemy go nazywać (panem) Wierszem a Basię (panią) Kolumną. W grze 2.1 Adam ma do wybory trzy opcje (strategie proste): A, B oraz C a Basia dwie strategie: A oraz B. W zależności od dokonanych wyborów uzyskują wypłaty zapisane w tabeli. Wypłaty Adama są oznaczone kolorem niebieskim a wypłaty Basi kolorem czerwonym. Jak łatwo zauważyć wypłaty Adama są zawsze liczbami przeciwnymi do wypłat Basi. Tyle ile jedno z nich wygra drugie musi przegrać. Grę w której mamy do czynienia z taką sytuacją nazywamy grą o ''sumie zerowej''. Dla gier o sumie zerowej przyjmujemy upraszczające konwencję zapisu, w której tabela wypłat zawiera tylko wypłaty Wiersza, wypłaty Kolumny są przeciwne do wypłat wiersza. W przypadku gry 2.1. uproszczona tabela ma postać	+
-		+
-	{| align=center border="1" cellpadding="4" cellspacing="0" style="margin: 1em 1em 1em 1em; background: #f9f9f9; border: 1px #aaa solid; border-collapse: collapse; font-size: 95%;"	+
-	|+ align=bottom | ''Uproszczona macierz pokazująca tylko wypłaty Wiersza''	+
-	|- class="wikitable"	+
-	|-	+
-	|align=center|'''2.1'''||colspan=3; style="color: #900; text-align:center;"|Kolumna	+
-	|-	+
-	|-	+
-	| rowspan=4; style="color: #009; text-align:center; width: 60px;"|Wiersz	+
-	|style="background-color:#CCCCCC; text-align:center; width: 60px;"|	+
-	|style="background-color:#CCCCCC; color: #900; text-align:center; width: 60px;"|A	+
-	|style="background-color:#CCCCCC; color: #900; text-align:center; width: 60px;"| B	+
-	|-	+
-	|style="background-color:#CCCCCC; color: #009; text-align:center; width: 60px;"| A	+
-	|align=center|<span style="color: #009">1	+
-	|align=center|<span style="color: #009">-2	+
-	|-	+
-	|style="background-color:#CCCCCC; color: #009; text-align:center; width: 60px;"| B	+
-	|align=center|<span style="color: #009">-1</span>	+
-	|align=center|<span style="color: #009">0</span>	+
-	|-	+
-	|style="background-color:#CCCCCC; color: #009; text-align:center; width: 60px;"|C	+
-	|align=center|<span style="color: #009">-4</span>	+
-	|align=center|<span style="color: #009">5</span>	+
-	|}	+
-		+
-	Przeanalizujmy teraz, jak wygląda nasza przykładowa gra 2.1 z punktu widzenia opłacalności poszczególnych wyborów graczy. Jeśli Wiersz wybierze opcję A to kolumnie opłaca się wtedy wybrać B, gdyż dla opcji A Kolumna przegrywa <math>1</math> a w opcji B Kolumna wygrywa <math>2</math>. Na ''diagramie przesunięć'' poniżej oznaczono ten fakt przy pomocy strzałki w prawo w polu (A,A). Zauważmy, że strzałka ta jest skierowana od wartości większej <math>(1)</math> do mniejszej <math>(-2)</math> zgodnie z konwencją, że wygrane Kolumny są liczbami przeciwnymi do wygranych wiersza. A zatem ta strzałka, tak naprawdę wskazuje preferencje Kolumny: zakładając, że Wiersz pozostanie przy opcji A, wybór B Kolumny jest dla niej korzystniejszy niż A <math>(2 > -1)</math>. Można podsumować, że poziome strzałki diagramu przesunięć są zawsze skierowane od wartości większych do mniejszych oraz wskazują preferowane opcje Kolumny.	+
-		+
-	;Diagram przesunięć	+
-		+
-	{| align=center border="1" cellpadding="4" cellspacing="0" style="margin: 1em 1em 1em 1em; background: #f9f9f9; border: 1px #aaa solid; border-collapse: collapse; font-size: 95%;"	+
-	|+ align=bottom | ''Macierzy pokazująca dla każdej pary wyborów preferencje graczy''	+
-	|- class="wikitable"	+
-	|-	+
-	|align=center|'''2.1'''||colspan=3; style="color: #900; text-align:center;"|Kolumna	+
-	|-	+
-	|-	+
-	| rowspan=4; style="color: #009; text-align:center; width: 60px;"|Wiersz	+
-	|style="background-color:#CCCCCC; text-align:center; width: 60px;"|	+
-	|style="background-color:#CCCCCC; color: #900; text-align:center; width: 60px;"|A	+
-	|style="background-color:#CCCCCC; color: #900; text-align:center; width: 60px;"| B	+
-	|-	+
-	|style="background-color:#CCCCCC; color: #009; text-align:center; width: 60px;"| A	+
-	|align=right|<math>\rightarrow</math>	+
-	|align=center|<math>\downarrow</math>	+
-	|-	+
-	|style="background-color:#CCCCCC; color: #009; text-align:center; width: 60px;"| B	+
-	|align=center|<math>\uparrow</math>	+
-	|align=left|<math>\leftarrow \; \downarrow</math>	+
-	|-	+
-	|style="background-color:#CCCCCC; color: #009; text-align:center; width: 60px;"|C	+
-	|align=center|</span><math>\uparrow</math>	+
-	|align=left|<math>\leftarrow</math>	+
-	|}	+
-		+
-	Preferowane opcje Wiersza wskazują strzałki pionowe, które są zawsze skierowane od wartości mniejszych do większych, zgodnie z preferencjami Wiersza. Strzałka skierowana w dół w polu (B,B) oznacza, że przy zadanym wyborze B Kolumny, opcja C jest dla Wiersza korzystniejsza niż B. Zauważmy, że w polu (B,B) znajduje się również strzałka skierowana w lewo. Oznacza ona, że przy zadanym wyborze B Wiersza, opcja A jest dla Kolumny korzystniejsza niż B. W każdym polu diagramu przesunięć gry '''2.1''' znajduje się jakaś strzałka. Oznacza to, że nie ma w tej grze pary wyborów, która byłaby korzystna dla oby graczy: dla każdej pary wyborów jeden z graczy może znaleźć opcję korzystniejszą, przy założeniu, że partner pozostanie przy swojej. Ta sytuacja jednak nie zawsze ma miejsce, zobaczmy bowiem kolejną grę:	+
-		+
-	;Przykład 2.2 Gra z punktem równowagi.	+
-		+
-	{| align=center border="1" cellpadding="4" cellspacing="0" style="margin: 1em 1em 1em 1em; background: #f9f9f9; border: 1px #aaa solid; border-collapse: collapse; font-size: 95%;"	+
-	|+ align=bottom | ''Macierz wypłat 2.2''	+
-	|- class="wikitable"	+
-	|-	+
-	|align=center|'''2.2'''||colspan=4; style="color: #900; text-align:center;"|Kolumna	+
-	|-	+
-	|-	+
-	| rowspan=3; style="color: #009; text-align:center; width: 60px;"|Wiersz	+
-	|style="background-color:#CCCCCC; text-align:center; width: 60px;"|	+
-	|style="background-color:#CCCCCC; color: #900; text-align:center; width: 60px;"|A	+
-	|style="background-color:#CCCCCC; color: #900; text-align:center; width: 60px;"|B	+
-	|style="background-color:#CCCCCC; color: #900; text-align:center; width: 60px;"|C	+
-	|-	+
-	|style="background-color:#CCCCCC; color: #009; text-align:center; width: 60px;"|A	+
-	|align=center|<span style="color: #009">-1	+
-	|align=center|<span style="color: #009">3	+
-	|align=center|<span style="color: #009">1	+
-	|-	+
-	|style="background-color:#CCCCCC; color: #009; text-align:center; width: 60px;"|B	+
-	|align=center|<span style="color: #009">0	+
-	|align=center|<span style="color: #009">2	+
-	|align=center|<span style="color: #009">0	+
-	|}	+
-		+
-	Diagram przesunięć dla tej gry wygląda następująco:	+
-		+
-	{| align=center border="1" cellpadding="4" cellspacing="0" style="margin: 1em 1em 1em 1em; background: #f9f9f9; border: 1px #aaa solid; border-collapse: collapse; font-size: 95%;"	+
-	|+ align=bottom | ''Diagram przesunięć dla gry 2.2''	+
-	|- class="wikitable"	+
-	|-	+
-	|align=center|'''2.2'''||colspan=4; style="color: #900; text-align:center;"|Kolumna	+
-	|-	+
-	|-	+
-	| rowspan=3; style="color: #009; text-align:center; width: 60px;"|Wiersz	+
-	|style="background-color:#CCCCCC; text-align:center; width: 60px;"|	+
-	|style="background-color:#CCCCCC; color: #900; text-align:center; width: 60px;"|A	+
-	|style="background-color:#CCCCCC; color: #900; text-align:center; width: 60px;"|B	+
-	|style="background-color:#CCCCCC; color: #900; text-align:center; width: 60px;"|C	+
-	|-	+
-	|style="background-color:#CCCCCC; color: #009; text-align:center; width: 60px;"|A	+
-	|align=center|<math>\downarrow</math>	+
-	|align=left|<math>\leftarrow \; \; \; \; \rightarrow</math>	+
-	|align=center|	+
-	|-	+
-	|style="background-color:#CCCCCC; color: #009; text-align:center; width: 60px;"|B	+
-	|align=center|	+
-	|align=left|<math>\leftarrow \; \uparrow \; \rightarrow</math>	+
-	|align=center|<math>\uparrow</math>	+
-	|}	+
-		+
-	Jak widzimy w polach (B,A) i (A,C) nie ma żadnych strzałek. Oznacza to, że jeśli gracze znajdą się w jednym z tych punktów, to żadnemu z nich nie opłaca się jednostronnie zmieniać swojej opcji na sąsiednią. Takie miejsca nazywamy ''punktami równowagi''. Zauważmy, że punkty równowagi jest określony lokalnie, poprzez wartości wypłat pól sąsiednich. Jaką strategię powinni obrać graczy w tej grze? Dla Wiersza korzystniejszą jest równowaga (A,C) - wygrana <math>1</math> niż (B,A) - wygrana <math>0</math>. Załóżmy więc, że wybierze on opcję A. Wtedy jednak Kolumna szybko zauważy, że lepiej jej jest nie grać swojej opcji C dla równowagi (A,C) gdyż opcja A jest dla nie korzystniejsza. Jeśli Wiersz to zauważy to sam powinien zagrać B, co doprowadzi graczy do drugiej równowagi (B,A). Po osiągnięciu tej równowagi, żaden z graczy nie jest zainteresowany zmianą swojej strategii: wygrana <math>0</math> jest bowiem dla wiersza najwyższa w kolumnie A, natomiast dla Kolumny jest ona nie mniej korzystna niż inne w wierszu B. Żaden z graczy nie może wygrać więcej przez jednostonną zmianę swojej strategii.	+
-		+
-	=== Punkty siodłowe oraz dominacje ===	+
-		+
-	Rozpoczniemy od definicji punktu siodłowego	+
-		+
-	;Punkt siodłowy	+
-	:Punkt macierzy wypłat, którego wartość jest nie większa od innych wartości w jego wierszu oraz nie mniejsza od innych wartości w jego kolumnie nazywamy ''punktem siodłowym''. Na punkt siodłowy składa się para ''zawierających'' go strategii oraz odpowiadająca im wygrana <math> \nu </math>, którą nazywamy ''wartością gry''.	+
-		+
-	W grze '''2.2''' punktem siodłowym jest równowaga (B,A). Wiersz grając należącą do punktu siodłowego strategię B może być pewien, że nie wygra mniej niż wynosi wartość gry <math>0</math> a Kolumna grając należącą do punktu siodłowego strategię A ma pewność, że Wiersz nie wygra więcej niż wynosi wartość gry.	+
-		+
-	Zauważmy, że niezależnie od strategii Wiersza, Kolumna może z góry wykluczyć swoją strategię B. Istotnie, Strategia B jest zawsze gorsza od strategii A i strategii C Kolumny. Obrazują to poziome strzałki na diagramie przesunięć gry '''2.2'''. Ten przypadek ilustruje ważne pojęcie ''strategii zdominowanej''.	+
-		+
-	;Strategia zdominowana	+
-	:Mówimy, że strategia X gracza jest ''zdominowana'' przez strategię Y tego gracza jeżeli X i Y nie są identyczne a niezależnie od strategii przeciwnika wypłata przy wyborze X jest niewiększa od wypłaty przy wyborze Y. W tym przypadku mówimy również, że strategia Y gracza ''dominuje'' strategię X.	+
-		+
-	Jak widzimy na przykładzie 2.2 strategia B Kolumny jest zdominowana przez strategię A oraz przez strategię C. Istotnie dla wypłaty Kolumny porównując B z A mamy <math>-3<1</math> i <math>-2<0</math>. Podobnie rzecz się ma przy porównaniu B z C. Jeśli jakaś strategia jest zdominowana przez inną to gracz może tej strategii nie brać pod uwagę w rozgrywce. Rzeczywiście zamiast tej strategii może zawsze wybrać inną, która ją dominuje a jego wygrana będzie co najmniej równa wygranej dla strategii zdominowanej.	+
-		+
-	Załóżmy, że mamy do czynienia z ''racjonalnymi graczami'', którzy nie wybierają strategii dla siebie niekorzystnych. W tym przypadku analizując grę możemy ją uprościć usuwając z niej wszystkie strategie zdominowane. W przypadku gry '''2.2''' możemy spokojnie usunąć strategię B Kolumny. W tym przypadku gra przybierze postać	+
-		+
-		+
-	;Przykład 2.2' Gra 2.2 bez strategii zdominowanej.	+
-		+
-	{| align=center border="1" cellpadding="4" cellspacing="0" style="margin: 1em 1em 1em 1em; background: #f9f9f9; border: 1px #aaa solid; border-collapse: collapse; font-size: 95%;"	+
-	|+ align=bottom | ''Macierz wypłat 2.2'''	+
-	|- class="wikitable"	+
-	|-	+
-	|align=center|'''2.2''''||colspan=3; style="color: #900; text-align:center;"|Kolumna	+
-	|-	+
-	|-	+
-	| rowspan=3; style="color: #009; text-align:center; width: 60px;"|Wiersz	+
-	|style="background-color:#CCCCCC; text-align:center; width: 60px;"|	+
-	|style="background-color:#CCCCCC; color: #900; text-align:center; width: 60px;"|A	+
-	|style="background-color:#CCCCCC; color: #900; text-align:center; width: 60px;"|C	+
-	|-	+
-	|style="background-color:#CCCCCC; color: #009; text-align:center; width: 60px;"|A	+
-	|align=center|<span style="color: #009">-1	+
-	|align=center|<span style="color: #009">1	+
-	|-	+
-	|style="background-color:#CCCCCC; color: #009; text-align:center; width: 60px;"|B	+
-	|align=center|<span style="color: #009">0	+
-	|align=center|<span style="color: #009">0	+
-	|}	+
-		+
-	Na diagramie przesunięć dla tej gry znajdziemy jeden punkt równowagi (B,A):	+
-		+
-	{| align=center border="1" cellpadding="4" cellspacing="0" style="margin: 1em 1em 1em 1em; background: #f9f9f9; border: 1px #aaa solid; border-collapse: collapse; font-size: 95%;"	+
-	|+ align=bottom | ''Diagram przesunięć dla gry 2.2'''	+
-	|- class="wikitable"	+
-	|-	+
-	|align=center|'''2.2'''||colspan=3; style="color: #900; text-align:center;"|Kolumna	+
-	|-	+
-	|-	+
-	| rowspan=3; style="color: #009; text-align:center; width: 60px;"|Wiersz	+
-	|style="background-color:#CCCCCC; text-align:center; width: 60px;"|	+
-	|style="background-color:#CCCCCC; color: #900; text-align:center; width: 60px;"|A	+
-	|style="background-color:#CCCCCC; color: #900; text-align:center; width: 60px;"|C	+
-	|-	+
-	|style="background-color:#CCCCCC; color: #009; text-align:center; width: 60px;"|A	+
-	|align=center|<math>\downarrow</math>	+
-	|align=left|<math>\leftarrow</math>	+
-	|-	+
-	|style="background-color:#CCCCCC; color: #009; text-align:center; width: 60px;"|B	+
-	|align=center|	+
-	|align=center|<math> \uparrow</math>	+
-	|}	+
-		+
-	Zauważmy, że punkt równowagi (B,A) jest jednocześnie punktem siodłowym. Wyeliminowanie z gry strategii zdominowanej uprościło jej analizę i z dwu punktów równowagi pozostał tylko jeden - ten który jest jednocześnie punktem siodłowym. Przeanalizujmy teraz bardziej złożoną grę, w której każdy z graczy ma po 4 opcje wyboru.	+
-		+
-	;Przykład 2.3 Gra z kilkoma punktami siodłowymi.	+
-		+
-	{| align=center border="1" cellpadding="4" cellspacing="0" style="margin: 1em 1em 1em 1em; background: #f9f9f9; border: 1px #aaa solid; border-collapse: collapse; font-size: 95%;"	+
-	|+ align=bottom | ''Macierz wypłat 2.3''	+
-	|- class="wikitable"	+
-	|-	+
-	|align=center|'''2.3'''||colspan=5; style="color: #900; text-align:center;"|Kolumna	+
-	|-	+
-	|-	+
-	| rowspan=5; style="color: #009; text-align:center; width: 60px;"|Wiersz	+
-	|style="background-color:#CCCCCC; text-align:center; width: 60px;"|	+
-	|style="background-color:#CCCCCC; color: #900; text-align:center; width: 60px;"|A	+
-	|style="background-color:#CCCCCC; color: #900; text-align:center; width: 60px;"|B	+
-	|style="background-color:#CCCCCC; color: #900; text-align:center; width: 60px;"|C	+
-	|style="background-color:#CCCCCC; color: #900; text-align:center; width: 60px;"|D	+
-	|-	+
-	|style="background-color:#CCCCCC; color: #009; text-align:center; width: 60px;"|A	+
-	|align=center|<span style="color: #009">2	+
-	|align=center|<span style="color: #009">1	+
-	|align=center|<span style="color: #009">3	+
-	|align=center|<span style="color: #009">1	+
-	|-	+
-	|style="background-color:#CCCCCC; color: #009; text-align:center; width: 60px;"|B	+
-	|align=center|<span style="color: #009">-1	+
-	|align=center|<span style="color: #009">0	+
-	|align=center|<span style="color: #009">7	+
-	|align=center|<span style="color: #009">-5	+
-	|-	+
-	|style="background-color:#CCCCCC; color: #009; text-align:center; width: 60px;"|C	+
-	|align=center|<span style="color: #009">9	+
-	|align=center|<span style="color: #009">1	+
-	|align=center|<span style="color: #009">5	+
-	|align=center|<span style="color: #009">1	+
-	|-	+
-	|style="background-color:#CCCCCC; color: #009; text-align:center; width: 60px;"|D	+
-	|align=center|<span style="color: #009">1	+
-	|align=center|<span style="color: #009">0	+
-	|align=center|<span style="color: #009">7	+
-	|align=center|<span style="color: #009">-2	+
-	|}	+
-		+
-	Diagram przesunięć dla tej gry wygląda następująco:	+
-		+
-	{| align=center border="1" cellpadding="4" cellspacing="0" style="margin: 1em 1em 1em 1em; background: #f9f9f9; border: 1px #aaa solid; border-collapse: collapse; font-size: 95%;"	+
-	|+ align=bottom | ''Diagram przesunięć dla gry 2.3''	+
-	|- class="wikitable"	+
-	|-	+
-	|align=center|'''2.3'''||colspan=5; style="color: #900; text-align:center;"|Kolumna	+
-	|-	+
-	|-	+
-	| rowspan=5; style="color: #009; text-align:center; width: 60px;"|Wiersz	+
-	|style="background-color:#CCCCCC; text-align:center; width: 60px;"|	+
-	|style="background-color:#CCCCCC; color: #900; text-align:center; width: 60px;"|A	+
-	|style="background-color:#CCCCCC; color: #900; text-align:center; width: 60px;"|B	+
-	|style="background-color:#CCCCCC; color: #900; text-align:center; width: 60px;"|C	+
-	|style="background-color:#CCCCCC; color: #900; text-align:center; width: 60px;"|D	+
-	|-	+
-	|style="background-color:#CCCCCC; color: #009; text-align:center; width: 60px;"|A	+
-	|align=right|<math>\rightarrow</math>	+
-	|align=center|	+
-	|align=left|<math>\leftarrow \; \downarrow \; \rightarrow</math>	+
-	|align=center|	+
-	|-	+
-	|style="background-color:#CCCCCC; color: #009; text-align:center; width: 60px;"|B	+
-	|align=center|<math>\updownarrow</math>	+
-	|align=left|<math>\leftarrow \; \updownarrow</math>	+
-	|align=left|<math>\leftarrow \; \; \; \; \rightarrow</math>	+
-	|align=center|<math>\updownarrow</math>	+
-	|-	+
-	|style="background-color:#CCCCCC; color: #009; text-align:center; width: 60px;"|C	+
-	|align=right|<math>\rightarrow</math>	+
-	|align=center|	+
-	|align=left|<math>\leftarrow \; \updownarrow \; \rightarrow</math>	+
-	|align=center|	+
-	|-	+
-	|style="background-color:#CCCCCC; color: #009; text-align:center; width: 60px;"|D	+
-	|align=right|<math>\uparrow \; \rightarrow</math>	+
-	|align=center|<math>\uparrow</math>	+
-	|align=left|<math>\leftarrow \; \; \; \; \rightarrow</math>	+
-	|align=center|<math>\uparrow</math>	+
-	|}	+
-		+
-	W tej grze można wyeliminować strategię C Kolumny, jest ona zdominowana zarówno przez strategię B jak i D a zatem racjonalny gracz nie powinien jej wybierać. Wiedząc o tym, Wiersz powinien więc planować swoje wybory uwzględniając, że Kolumna nie zagra strategii C. Po wyeliminowaniu jej uzyskamy grę:	+
-		+
-		+
-	;Przykład 2.3' Gra z kilkoma punktami siodłowymi.	+
-		+
-	{| align=center border="1" cellpadding="4" cellspacing="0" style="margin: 1em 1em 1em 1em; background: #f9f9f9; border: 1px #aaa solid; border-collapse: collapse; font-size: 95%;"	+
-	|+ align=bottom | ''Macierz wypłat 2.3'''	+
-	|- class="wikitable"	+
-	|-	+
-	|align=center|'''2.3'''||colspan=4; style="color: #900; text-align:center;"|Kolumna	+
-	|-	+
-	|-	+
-	| rowspan=5; style="color: #009; text-align:center; width: 60px;"|Wiersz	+
-	|style="background-color:#CCCCCC; text-align:center; width: 60px;"|	+
-	|style="background-color:#CCCCCC; color: #900; text-align:center; width: 60px;"|A	+
-	|style="background-color:#CCCCCC; color: #900; text-align:center; width: 60px;"|B	+
-	|style="background-color:#CCCCCC; color: #900; text-align:center; width: 60px;"|D	+
-	|-	+
-	|style="background-color:#CCCCCC; color: #009; text-align:center; width: 60px;"|A	+
-	|align=center|<span style="color: #009">2	+
-	|align=center|<span style="color: #009">1	+
-	|align=center|<span style="color: #009">1	+
-	|-	+
-	|style="background-color:#CCCCCC; color: #009; text-align:center; width: 60px;"|B	+
-	|align=center|<span style="color: #009">-1	+
-	|align=center|<span style="color: #009">0	+
-	|align=center|<span style="color: #009">-5	+
-	|-	+
-	|style="background-color:#CCCCCC; color: #009; text-align:center; width: 60px;"|C	+
-	|align=center|<span style="color: #009">9	+
-	|align=center|<span style="color: #009">1	+
-	|align=center|<span style="color: #009">1	+
-	|-	+
-	|style="background-color:#CCCCCC; color: #009; text-align:center; width: 60px;"|D	+
-	|align=center|<span style="color: #009">1	+
-	|align=center|<span style="color: #009">0	+
-	|align=center|<span style="color: #009">-2	+
-	|}	+
-		+
-	dla której diagram przesunięć jest	+
-		+
-	{| align=center border="1" cellpadding="4" cellspacing="0" style="margin: 1em 1em 1em 1em; background: #f9f9f9; border: 1px #aaa solid; border-collapse: collapse; font-size: 95%;"	+
-	|+ align=bottom | ''Diagram przesunięć dla gry 2.3'''	+
-	|- class="wikitable"	+
-	|-	+
-	|align=center|'''2.3''''||colspan=4; style="color: #900; text-align:center;"|Kolumna	+
-	|-	+
-	|-	+
-	| rowspan=5; style="color: #009; text-align:center; width: 60px;"|Wiersz	+
-	|style="background-color:#CCCCCC; text-align:center; width: 60px;"|	+
-	|style="background-color:#CCCCCC; color: #900; text-align:center; width: 60px;"|A	+
-	|style="background-color:#CCCCCC; color: #900; text-align:center; width: 60px;"|B	+
-	|style="background-color:#CCCCCC; color: #900; text-align:center; width: 60px;"|D	+
-	|-	+
-	|style="background-color:#CCCCCC; color: #009; text-align:center; width: 60px;"|A	+
-	|align=right|<math>\rightarrow</math>	+
-	|align=center|	+
-	|align=center|	+
-	|-	+
-	|style="background-color:#CCCCCC; color: #009; text-align:center; width: 60px;"|B	+
-	|align=center|<math>\updownarrow</math>	+
-	|align=left|<math>\leftarrow \; \updownarrow \; \rightarrow</math>	+
-	|align=center|<math>\updownarrow</math>	+
-	|-	+
-	|style="background-color:#CCCCCC; color: #009; text-align:center; width: 60px;"|C	+
-	|align=right|<math>\rightarrow</math>	+
-	|align=center|	+
-	|align=center|	+
-	|-	+
-	|style="background-color:#CCCCCC; color: #009; text-align:center; width: 60px;"|D	+
-	|align=right|<math>\uparrow \; \rightarrow</math>	+
-	|align=right|<math>\uparrow \; \rightarrow</math>	+
-	|align=center|<math>\uparrow</math>	+
-	|}	+
-		+
-	Zauważmy, że w zmodyfikowanej grze '''2.3'''' strategie B i D Wiersza również są zdominowane na przykład przez strategię C. Dla Wiersza oznacza to, że może tych strategii nie brać pod uwagę, co dodatkowo znacznie uprości grę do postaci	+
-		+
-		+
-	;Przykład 2.3<math>''</math> Gra z kilkoma punktami siodłowymi.	+
-		+
-	{| align=center border="1" cellpadding="4" cellspacing="0" style="margin: 1em 1em 1em 1em; background: #f9f9f9; border: 1px #aaa solid; border-collapse: collapse; font-size: 95%;"	+
-	|+ align=bottom | ''Macierz wypłat 2.3<math>''</math>''	+
-	|- class="wikitable"	+
-	|-	+
-	|align=center|'''2.3<math>''</math> '''||colspan=4; style="color: #900; text-align:center;"|Kolumna	+
-	|-	+
-	|-	+
-	| rowspan=3; style="color: #009; text-align:center; width: 60px;"|Wiersz	+
-	|style="background-color:#CCCCCC; text-align:center; width: 60px;"|	+
-	|style="background-color:#CCCCCC; color: #900; text-align:center; width: 60px;"|A	+
-	|style="background-color:#CCCCCC; color: #900; text-align:center; width: 60px;"|B	+
-	|style="background-color:#CCCCCC; color: #900; text-align:center; width: 60px;"|D	+
-	|-	+
-	|style="background-color:#CCCCCC; color: #009; text-align:center; width: 60px;"|A	+
-	|align=center|<span style="color: #009">2	+
-	|align=center|<span style="color: #009">1	+
-	|align=center|<span style="color: #009">1	+
-	|-	+
-	|style="background-color:#CCCCCC; color: #009; text-align:center; width: 60px;"|C	+
-	|align=center|<span style="color: #009">9	+
-	|align=center|<span style="color: #009">1	+
-	|align=center|<span style="color: #009">1	+
-	|}	+
-		+
-	dla której diagram przesunięć jest	+
-		+
-	{| align=center border="1" cellpadding="4" cellspacing="0" style="margin: 1em 1em 1em 1em; background: #f9f9f9; border: 1px #aaa solid; border-collapse: collapse; font-size: 95%;"	+
-	|+ align=bottom | ''Diagram przesunięć dla gry 2.3<math>''</math>''	+
-	|- class="wikitable"	+
-	|-	+
-	|align=center|'''2.3<math>''</math>'''||colspan=4; style="color: #900; text-align:center;"|Kolumna	+
-	|-	+
-	|-	+
-	| rowspan=3; style="color: #009; text-align:center; width: 60px;"|Wiersz	+
-	|style="background-color:#CCCCCC; text-align:center; width: 60px;"|	+
-	|style="background-color:#CCCCCC; color: #900; text-align:center; width: 60px;"|A	+
-	|style="background-color:#CCCCCC; color: #900; text-align:center; width: 60px;"|B	+
-	|style="background-color:#CCCCCC; color: #900; text-align:center; width: 60px;"|D	+
-	|-	+
-	|style="background-color:#CCCCCC; color: #009; text-align:center; width: 60px;"|A	+
-	|align=right|<math>\rightarrow</math>	+
-	|align=center|	+
-	|align=center|	+
-	|-	+
-	|style="background-color:#CCCCCC; color: #009; text-align:center; width: 60px;"|C	+
-	|align=right|<math>\rightarrow</math>	+
-	|align=center|	+
-	|align=center|	+
-	|}.	+
-		+
-	A teraz już tylko jeden krok do rozwiązania gry, które otrzymamy po wyeliminowaniu zdominowanej strategii A Kolumny (zauważmy, że Kolumna nie mogła wyeliminować swojej strategii A już w pierwszym kroku, gdyż w pierwotnej postaci gry '''2.3''' ta strategia nie jest zdominowana). Po tej trzystopniowej redukcji strategii zdominowanych gra 2.3 sprowadza się do prostej formy	+
-		+
-	;Przykład 2.3<math>'''</math> Gra z kilkoma punktami siodłowymi.	+
-		+
-	{| align=center border="1" cellpadding="4" cellspacing="0" style="margin: 1em 1em 1em 1em; background: #f9f9f9; border: 1px #aaa solid; border-collapse: collapse; font-size: 95%;"	+
-	|+ align=bottom | ''Macierz wypłat 2.3<math>'''</math>''	+
-	|- class="wikitable"	+
-	|-	+
-	|align=center|'''2.3<math>'''</math> '''||colspan=3; style="color: #900; text-align:center;"|Kolumna	+
-	|-	+
-	|-	+
-	| rowspan=3; style="color: #009; text-align:center; width: 60px;"|Wiersz	+
-	|style="background-color:#CCCCCC; text-align:center; width: 60px;"|	+
-	|style="background-color:#CCCCCC; color: #900; text-align:center; width: 60px;"|B	+
-	|style="background-color:#CCCCCC; color: #900; text-align:center; width: 60px;"|D	+
-	|-	+
-	|style="background-color:#CCCCCC; color: #009; text-align:center; width: 60px;"|A	+
-	|align=center|<span style="color: #009">1	+
-	|align=center|<span style="color: #009">1	+
-	|-	+
-	|style="background-color:#CCCCCC; color: #009; text-align:center; width: 60px;"|C	+
-	|align=center|<span style="color: #009">1	+
-	|align=center|<span style="color: #009">1	+
-	|}	+
-		+
-	dla której diagram przesunięć jest oczywiście pusty. Rozwiązanie gry 2.3 mówi nam, że Wiersz powinien grać strategię A lub C a Kolumna strategię B lub D. Grając te strategie obaj gracze mają gwarancję, że ich wynik będzie nie gorszy niż wynosi wartość gry, którą jest w tym przypadku <math> \nu=1 </math>. Zauważmy, że pary strategii (A,B), (A,D), (C,B) i (C,D) są punktami siodłowymi gry w każdej jej postać od '''2.3''' do '''2.3<math>'''</math>'''. W pierwotnej postaci gry para strategii (D,A) również dawała wygraną równą wartości gry <math> \nu=1 </math> ale para ta nie jest punktem siodłowym. Istotnie, gdyby na przykład wiersz zdecydował się zagrać strategię D to Kolumna mogłaby zagrać również D uzyskując dla siebie wynik <math>2</math> dużo korzystniejszy niż wartość gry.	+
-		+
-	;Rozwiązanie gry	+
-	:Rozwiązaniem gry nazywamy parę strategii optymalnych oraz jej wartość <math>\nu\,</math> czyli wypłatę, odpowiadającą tym strategiom. Strategia gracza jest ''optymalna'', jeżeli jego wygrana będzie równa co najmniej <math>\nu\,</math>, niezależnie od strategii przyjętej przez drugiego gracza.	+
-		+
-	Zauważmy, że każdy punkt siodłowy jest rozwiązaniem gry. Gra 2.3 ma zatem 4 rozwiązania, odpowiadające wartości gry <math> \nu=1\,</math>. Czy możliwa jest sytuacja w której gra ma kilka punktów siodłowych odpowiadających różnym wartościom wygranej? Gdyby tak było, to nie można by jednoznacznie określić wartości gry. Na szczęście taka sytuacja nie może mieć miejsca. Zachodzi bowiem twierdzenie	+
-		+
-	;Twierdzenie. Każde dwa punkty siodłowe tej samej gry odpowiadają tej samej wypłacie.	+
-	;Dowód: załóżmy, że para strategii (X<math>_{1}</math>,Y<math>_{1}</math>) odpowiada wypłacie <math> \nu_{1,1}\,</math> a para strategii (X<math>_{2}</math>,Y<math>_{2}</math>) odpowiada wypłacie <math> \nu_{2,2}\,</math> oraz (X<math>_{1}</math>,Y<math>_{1}</math>) i (X<math>_{2}</math>,Y<math>_{2}</math>) są punktami siodłowymi. Pokażemy, że <math> \nu_{1,1}=\nu_{2,2}\,</math>. Gdyby X<math>_{1}</math> = X<math>_{2}</math> to <math> \nu_{1,1}=\nu_{2,2}\,</math> gdyż z definicji żaden z dwu punktów siodłowych w jednym wierszu nie może być większy od drugiego. Podobnie pokazujemy tezę dla Y<math>_{1}</math> = Y<math>_{2}</math>. Możemy więc założyć, że strategie X<math>_{1}</math> i X<math>_{2}</math> są różne podobnie jak Y<math>_{1}</math> i Y<math>_{2}</math>. Rozważmy dodatkowe pary strategii (X<math>_{1}</math>,Y<math>_{2}</math>) i (X<math>_{2}</math>,Y<math>_{1}</math>), oraz odpowiadające im wypłaty <math> \nu_{1,2}\,</math> i <math> \nu_{2,1}\,</math> (por. tabela 2.4). Zauważmy, że z definicji punktu siodłowego wynika, że wszystkie wartości w wierszu są nie mniejsze od <math> \nu_{1,1} \,</math> i <math> \nu_{2,2}\,</math> więc	+
-	:{| align=center border="1" cellpadding="4" cellspacing="0" style="margin: 1em 1em 1em 1em; background: #f9f9f9; border: 1px #aaa solid; border-collapse: collapse; font-size: 95%;"	+
-	|+ align=bottom | ''Tabela 2.4''	+
-	|- class="wikitable"	+
-	|-	+
-	|align=center|'''2.4'''||colspan=6; style="color: #900; text-align:center;"|Kolumna	+
-	|-	+
-	|-	+
-	| rowspan=6; style="color: #009; text-align:center; width: 40px;"|Wiersz	+
-	|style="background-color:#CCCCCC; text-align:center; width: 40px;"|	+
-	|style="background-color:#CCCCCC; color: #900; text-align:center; width: 40px;"|...	+
-	|style="background-color:#CCCCCC; color: #900; text-align:center; width: 40px;"|Y<math>_{1}</math>	+
-	|style="background-color:#CCCCCC; color: #900; text-align:center; width: 40px;"|...	+
-	|style="background-color:#CCCCCC; color: #900; text-align:center; width: 40px;"|Y<math>_{2}</math>	+
-	|style="background-color:#CCCCCC; color: #900; text-align:center; width: 40px;"|...	+
-	|-	+
-	|style="background-color:#CCCCCC; color: #009; text-align:center; width: 40px;"|...	+
-	|align=center|<span style="color: #009">...	+
-	|align=center|<span style="color: #009">...	+
-	|align=center|<span style="color: #009">...	+
-	|align=center|<span style="color: #009">...	+
-	|align=center|<span style="color: #009">...	+
-	|-	+
-	|style="background-color:#CCCCCC; color: #009; text-align:center; width: 40px;"|X<math>_{1}</math>	+
-	|align=center|<span style="color: #009">...	+
-	|align=center|<span style="color: #009"><math>\nu_{1,1}</math>	+
-	|align=center|<span style="color: #009">...	+
-	|align=center|<span style="color: #009"><math>\nu_{1,2}</math>	+
-	|align=center|<span style="color: #009">...	+
-	|-	+
-	|style="background-color:#CCCCCC; color: #009; text-align:center; width: 40px;"|...	+
-	|align=center|<span style="color: #009">...	+
-	|align=center|<span style="color: #009">...	+
-	|align=center|<span style="color: #009">...	+
-	|align=center|<span style="color: #009">...	+
-	|align=center|<span style="color: #009">...	+
-	|-	+
-	|style="background-color:#CCCCCC; color: #009; text-align:center; width: 40px;"|X<math>_{2}</math>	+
-	|align=center|<span style="color: #009">...	+
-	|align=center|<span style="color: #009"><math>\nu_{2,1}</math>	+
-	|align=center|<span style="color: #009">...	+
-	|align=center|<span style="color: #009"><math>\nu_{2,2}</math>	+
-	|align=center|<span style="color: #009">...	+
-	|-	+
-	|style="background-color:#CCCCCC; color: #009; text-align:center; width: 40px;"|...	+
-	|align=center|<span style="color: #009">...	+
-	|align=center|<span style="color: #009">...	+
-	|align=center|<span style="color: #009">...	+
-	|align=center|<span style="color: #009">...	+
-	|align=center|<span style="color: #009">...	+
-	|}	+
-	:<math> \nu_{1,1} \leqslant \nu_{1,2} </math> oraz <math> \nu_{2,2} \leqslant \nu_{2,1} </math>.	+
-	:Podobnie z definicji punktu siodłowego wynika, że wszystkie wartości w kolumnie są nie większe od <math> \nu_{1,1}</math> i <math> \nu_{2,2}</math> więc	+
-	:<math> \nu_{2,1}\leqslant\nu_{1,1} </math> oraz <math> \nu_{1,2} \leqslant \nu_{2,2} </math>.	+
-	:Z nierówności tych wynika bezpośrednio, że	+
-	:<math> \nu_{1,1}=\nu_{1,2}=\nu_{2,2}=\nu_{2,1} \;</math>	+
-	:A zatem udowodniliśmy twierdzenie pokazując ponadto dodatkowe dwa punkty siodłowe, które wraz z pierwotnie wybranymi tworzą prostokąt w tabeli wypłat.	+
-		+
-	=== Maksimin i minimaks ===	+
-		+
-	Poszukiwanie punktów siodłowych metodą redukcji strategii zdominowanych tak jak to pokazaliśmy w przykładzie '''2.3''' udaje się tylko dla niektórych gier. W ogólnym przypadku taka metoda jest nieskuteczna. W tym rozdziale zajmiemy się ogólną metodą poszukiwania punktów siodłowych za pomocą wyznaczania ''maksiminu'' i ''minimaksu''.	+
-	Aby to zrobić ponownie odwołamy się do przekładu gry podobnej do '''2.3''' tyle, że zmienimy w niej jedną wypłatę, odpowiadającą strategii (C,C) - wartość 5 zamienimy na 0. Jak widać z przedstawionej poniżej tabeli wypłat po takiej zmianie żaden a wierszy ani żadna z kolumn nie jest zdominowana przez inne.	+
-		+
-	;Przykład 2.5 Wyznaczanie punktów siodłowych metodą maksiminu i minimaksu.	+
-		+
-	{| align=center border="1" cellpadding="4" cellspacing="0" style="margin: 1em 1em 1em 1em; background: #f9f9f9; border: 1px #aaa solid; border-collapse: collapse; font-size: 95%;"	+
-	|+ align=bottom | ''Maksimin jest maksymalną spośród wypłat minimalnych w wierszach a minimaks jest minimalną spośród wypłat maksymalnych w kolumnach macierzy''	+
-	|- class="wikitable"	+
-	|-	+
-	|align=center|'''2.5'''||colspan=5; style="color: #900; text-align:center;"|Kolumna	+
-	|rowspan=2; style="background-color:Maroon; color:White; text-align:center; width: 60px;"|minima <br/>wierszy	+
-	|rowspan=2; style="text-align:center; width: 60px;"|maksimin	+
-	|-	+
-	|rowspan=5; style="color: #009; text-align:center; width: 60px;"|Wiersz	+
-	|style="background-color:#CCCCCC; text-align:center; width: 60px;"|	+
-	|style="background-color:#CCCCCC; color: #900; text-align:center; width: 60px;"|A	+
-	|style="background-color:#CCCCCC; color: #900; text-align:center; width: 60px;"|B	+
-	|style="background-color:#CCCCCC; color: #900; text-align:center; width: 60px;"|C	+
-	|style="background-color:#CCCCCC; color: #900; text-align:center; width: 60px;"|D	+
-	|-	+
-	|style="background-color:#CCCCCC; color: #009; text-align:center; width: 60px;"|A	+
-	|align=center|<span style="color: #009">2	+
-	|align=center|<span style="color: #009">1	+
-	|align=center|<span style="color: #009">3	+
-	|align=center|<span style="color: #009">1	+
-	|align=center; style="background-color:Maroon; color:White; text-align:center;"|1	+
-	|align=center|'''1'''	+
-	|-	+
-	|style="background-color:#CCCCCC; color: #009; text-align:center; width: 60px;"|B	+
-	|align=center|<span style="color: #009">-1	+
-	|align=center|<span style="color: #009">0	+
-	|align=center|<span style="color: #009">7	+
-	|align=center|<span style="color: #009">-5	+
-	|align=center; style="background-color:Maroon; color:White; text-align:center;"|-5	+
-	|align=center|	+
-	|-	+
-	|style="background-color:#CCCCCC; color: #009; text-align:center; width: 60px;"|C	+
-	|align=center|<span style="color: #009">9	+
-	|align=center|<span style="color: #009">1	+
-	|align=center|<span style="color: #009">0	+
-	|align=center|<span style="color: #009">1	+
-	|align=center; style="background-color:Maroon; color:White; text-align:center;"|0	+
-	|align=center|	+
-	|-	+
-	|style="background-color:#CCCCCC; color: #009; text-align:center; width: 60px;"|D	+
-	|align=center|<span style="color: #009">1	+
-	|align=center|<span style="color: #009">0	+
-	|align=center|<span style="color: #009">7	+
-	|align=center|<span style="color: #009">-2	+
-	|align=center; style="background-color:Maroon; color:White; text-align:center;"|-2	+
-	|align=center|	+
-	|-	+
-	|colspan=2; style="background-color:Maroon; color:White; text-align:center;"|maksima kolumn	+
-	|align=center; style="background-color:Maroon; color:White; text-align:center;"|9	+
-	|align=center; style="background-color:Maroon; color:White; text-align:center;"|1	+
-	|align=center; style="background-color:Maroon; color:White; text-align:center;"|7	+
-	|align=center; style="background-color:Maroon; color:White; text-align:center;"|1	+
-	|align=center; style="background-color:Maroon; color:White; text-align:center;"|	+
-	|align=center|	+
-	|-	+
-	|colspan=2; style="text-align:center;"|minimaks	+
-	|align=center|	+
-	|align=center|'''1'''	+
-	|align=center|	+
-	|align=center|'''1'''	+
-	|align=center|	+
-	|align=center|	+
-	|}	+
-		+
-	Z definicji punkt siodłowy ta taki, którego wartość jest nie większa on innych w jego wierszu. Poszukajmy zatem najmniejszych wartości w każdym wierszu. W przykładzie '''2.5''' pokazano je jako "minima wierszy", jeśli gra miałaby punkt siodłowy to musiałby on znaleźć się na tej liście. Z drugiej jednak strony punkt siodłowy to taki, którego wartość jest nie mniejsza od innych w jego kolumnie. Poszukajmy więc największych wartości w poszczególnych kolumnach. W tabeli '''2.5''' pokazano je jako "maksima kolumn". Teraz jest jasne, że aby gra miała punkt siodłowy, musi on należeć do obu tych list. Ale maksima kolumn są nie mniejsze niż minima wierszy dlatego jedyną możliwością znalezienia części wspólnej obu tych list jest porównanie minimalnego maksimum kolumn i maksymalnego minimum wierszy. Jeśli te dwie liczby są równe to ich wspólna wartość jest punktem siodłowym oraz wartością gry <math> \nu </math>. Minimalne maksimum kolumn  nazywamy ''minimaksem'' a maksymalne minimum wierszy nazywamy ''maksiminem''. Udowodniliśmy zatem twierdzenie	+
-		+
-	;Twierdzenie o maksiminie i minimaksie	+
-	:Jeśli maksimin i minimaks gry macierzowej są równe to gra posiada punkt lub punkty siodłowe o tej wartości. Punkty te leżą na przecięciu wierszy i kolumn których minima i maksima są równe tej wartości. Jeśli maksimin jest mniejszy od minimaksu to gra nie posiada punktów siodłowych.	+
-		+
-	Jak widać w przypadku gry '''2.5''' ma ona dwa punkty siodłowe (A,B) i (A,D) o wartości wspólnej maksiminu i minimaksu <math> \nu=1 </math>. Inne pary strategii o wartości 1, t.j (C,B), (C,D) i (A,E) nie są punktami siodłowymi gdyż nie leżą na przecięciu wierszy i kolumn których zarówno minima jak i maksima są równe 1.	+
-		+
-	=== Strategie mieszane ===	+
-	W poprzednim rozdziale pokazaliśmy, że poszukiwanie punktów siodłowych jest wygodnym sposobem poszukiwania rozwiązań gier o sumie zerowej. Zauważyliśmy również, że aby gra miała punkt siodłowy musi zachodzić równość minimaksu i maksiminu dla tabeli tej gry. Powróćmy jeszcze raz do pierwszego rozważanego przykładu '''2.1'''. Jak widzimy dla tej gry taka równość nie zachodzi bo maksimin=1 a minimaks=-1.	+
-		+
-	;Przykład 2.6 Gra bez punktów siodłowych.	+
-		+
-	{| align=center border="1" cellpadding="4" cellspacing="0" style="margin: 1em 1em 1em 1em; background: #f9f9f9; border: 1px #aaa solid; border-collapse: collapse; font-size: 95%;"	+
-	|+ align=bottom | ''W tej grze maksimin=1 a minimaks=-1 więc nie ma punktu siodłowego''	+
-	|- class="wikitable"	+
-	|-	+
-	|align=center|'''2.6'''||colspan=3; style="color: #900; text-align:center;"|Kolumna	+
-	|rowspan=2; style="background-color:Maroon; color:White; text-align:center; width: 60px;"|minima <br/>wierszy	+
-	|rowspan=2; style="text-align:center; width: 60px;"|maksimin	+
-	|-	+
-	|rowspan=4; style="color: #009; text-align:center; width: 60px;"|Wiersz	+
-	|style="background-color:#CCCCCC; text-align:center; width: 60px;"|	+
-	|style="background-color:#CCCCCC; color: #900; text-align:center; width: 60px;"|A	+
-	|style="background-color:#CCCCCC; color: #900; text-align:center; width: 60px;"|B	+
-	|-	+
-	|style="background-color:#CCCCCC; color: #009; text-align:center; width: 60px;"|A	+
-	|align=center|<span style="color: #009">1	+
-	|align=center|<span style="color: #009">-2	+
-	|align=center; style="background-color:Maroon; color:White; text-align:center;"|-2	+
-	|align=center|	+
-	|-	+
-	|style="background-color:#CCCCCC; color: #009; text-align:center; width: 60px;"|B	+
-	|align=center|<span style="color: #009">-1	+
-	|align=center|<span style="color: #009">0	+
-	|align=center; style="background-color:Maroon; color:White; text-align:center;"|-1	+
-	|align=center|'''-1'''	+
-	|-	+
-	|style="background-color:#CCCCCC; color: #009; text-align:center; width: 60px;"|C	+
-	|align=center|<span style="color: #009">-4	+
-	|align=center|<span style="color: #009">5	+
-	|align=center; style="background-color:Maroon; color:White; text-align:center;"|-4	+
-	|align=center|	+
-	|-	+
-	|colspan=2; style="background-color:Maroon; color:White; text-align:center;"|maksima kolumn	+
-	|align=center; style="background-color:Maroon; color:White; text-align:center;"|1	+
-	|align=center; style="background-color:Maroon; color:White; text-align:center;"|5	+
-	|align=center; style="background-color:Maroon; color:White; text-align:center;"|	+
-	|align=center|	+
-	|-	+
-	|colspan=2; style="text-align:center;"|minimaks	+
-	|align=center|'''1'''	+
-	|align=center|	+
-	|align=center|	+
-	|align=center|	+
-	|}	+
-		+
-	Na diagramie przesunięć [[Teoria gier#Gry dwuosobowe o sumie zerowej#Gry oraz diagramy przesunięć|gry '''2.1''']] nie ma żadnego punktu równowagi. Oznacza to, że nie istnieje taka para opcji dla Wiersza i Kolumny która, gdyby była wybrana, zapewniłaby im wygraną równą wartości gry. Wszak taka para musiałaby być równowagą, której w naszej grze brak. Czyżby zatem gra '''2.1''' nie miała rozwiązania? Okazuje się, że takie rozwiązanie istnieje, tyle, że oparte jest o tzw. ''strategie mieszane''.	+
-		+
-	;Strategia mieszana	+
-	:''Strategią mieszaną'' nazywamy taki sposób gry w którym gracz Wiersz (Kolumna) wybiera dostępne opcje A, B, C,... w sposób losowy w prawdopodobieństwem <math>pW_A, pW_B, pW_C,...\;(pK_A, pK_B, pK_C,...)\,</math>. Taką strategię oznaczamy symbolem <math>[pW_A, pW_B, pW_C...]_W \;([pK_A, pK_B, pK_C...]_K)\,</math> odpowiednio.	+
-		+
-	A zatem strategia mieszana jest sposobem na gry, które są rozgrywane wielokrotnie - dopiero wtedy nabiera znaczenia to, że poszczególnym opcjom gracza odpowiada prawdopodobieństwo ich wybrania. Strategią mieszaną będzie na przykład użycie przez Wiersz monety do losowania jednej z dwu opcji A i B. W tym przypadku odpowiednie prawdopodobieństwa powinny wynosić <math>pW_A=pW_B=1/2\,</math>. Przy stosowaniu strategii mieszanej wygraną gracza da się określić tylko jako jej wartość oczekiwana.	+
-		+
-	;Wartość oczekiwana wypłaty	+
-	:Jeżeli prawdopodobieństwa uzyskania wypłat <math>a_1, a_2,...a_k \,</math> wynoszą odpowiednio <math>p_1, p_2,...p_k, (p_1 + p_2+...+ p_k=1 \,</math>) to ''wartością oczekiwaną wypłaty'' <math>\mathbb E\,</math> jest	+
-		+
-	:<math>\mathbb E =a_1 p_1 + a_2 p_2 +...+ a_k p_k\,</math>	+
-		+
-	;Przykład	+
-	:Jeśli w grze '''2.6''' Kolumna zagra opcję A z prawdopodobieństwem <math>pK_A=1/2\,</math> i B z prawdopodobieństwem <math>pK_B=1/2\,</math> czyli wybierze strategię <math>[1/2, 1/2]_K\,</math> to ''wartość oczekiwana wypłaty Wiersza przy wyborze opcji A'', którą oznaczamy <math>WOW_A\,</math>, wynosi	+
-		+
-	:<math>\mathbb EW_A=\frac {1}{2} 2 + \frac {1}{2} (-3) = -\frac {1}{2}</math>,	+
-		+
-	podobnie wartość oczekiwana wypłaty Wiersza przy wyborze opcji B (<math>\mathbb EW_B\,</math>) wynosi	+
-		+
-	:<math>\mathbb EW_A=\frac {1}{2} 0 + \frac {1}{2} 1 = \frac {1}{2}</math>.	+
-		+
-	Zauważmy, że granie według strategii mieszanej jest jakościowo różne od strategii prostej. W przypadku tej pierwszej nie mamy jednoznacznej recepty którą opcję należy przy danym wyborze wybrać, wiemy tylko z jakim prawdopodobieństwem mamy ją wybrać. Sytuacja nieco przypomina opis świata fizycznego przy pomocy mechaniki klasycznej i kwantowej. W tej pierwszej, mamy dokładną informację co do "parametrów gry": położeń, prędkości poszczególnych cząstek. W mechanice kwantowej wiemy jedynie, lub obserwujemy, jakie są prawdopodobieństwa przyjęcia poszczególnych wartości przez te "parametry". W tym miejscu nie będziemy bardziej rozwijać tej analogii, zainteresowanych odsyłam do prac Sładkowskiego i Piotrowskiego.	+
-		+
-	Osobnym tematem pozostaje sposób realizacji strategii mieszanej. Sprawę wyjaśnijmy na przykładzie. Gdyby Kolumna mając do wyboru dwie opcje A i B jak w przykładzie '''2.6''' miała zagrać strategią <math>[2/3, 1/3]_K\,</math> to jak ją zrealizuje? Można by przypuszczać, że powinna grać B w co trzeciej grze, tzn. wybierając A,A,B,A,A,B,... , gdyż w ten sposób zrealizowałaby żądany rozkład prawdopodobieństwa. Przypuszczamy jednak, że Wiersz, gdyby to zauważył natychmiast wykorzystałaby tą wiedzę i dopasował swoją strategię grając sekwencję: A,A,C,A,A,C,... w której jego wypłata po każdej sekwencji trzech wyborów wynosiłaby 7. Byłby to najgorszy z możliwych scenariuszy dla Kolumny. Aby zagrać strategią <math>[2/3, 1/3]_K\,</math> Kolumna powinna to zrobić w sposób losowy. Można w tym celu wykorzystać np rzut kostką i wybierać B tylko gdy wypadnie "5" lub "6", losować "z kapelusza", można w losowy sposób otwierać kartki książki i wybierać "B" gdy numer strony jest podzielny przez 3, spoglądać na sekundnik zegarka i stosować tę samą zasadę dla zaobserwowanej akurat sekundy. (Lepiej jednak spojrzenie na zegarek ukryć przed Wierszem bo może odgadnąć zasadę i wykorzystać swój zegarek.) Można wykorzystać jakikolwiek inny ""generator"" losowy.	+
-		+
-	===Rozwiązania gier w strategiach mieszanych===	+
-		+
-	Poszukamy teraz metody znajdywania rozwiązań gier, które nie mają punktów siodłowych przy pomocy strategii mieszanych. Rozważmy następującą grę bez punktów siodłowych	+
-		+
-	;Przykład 2.7 Gra bez rozwiązań w strategiach prostych	+
-		+
-	{| align=center border="1" cellpadding="4" cellspacing="0" style="margin: 1em 1em 1em 1em; background: #f9f9f9; border: 1px #aaa solid; border-collapse: collapse; font-size: 95%;"	+
-	|+ align=bottom | ''W tej grze maksimin=0 a minimaks=1 więc nie ma punktu siodłowego''	+
-	|- class="wikitable"	+
-	|-	+
-	|align=center|'''2.7'''||colspan=3; style="color: #900; text-align:center;"|Kolumna	+
-	|rowspan=2; style="background-color:Maroon; color:White; text-align:center; width: 60px;"|minima <br/>wierszy	+
-	|rowspan=2; style="text-align:center; width: 60px;"|maksimin	+
-	|-	+
-	|rowspan=3; style="color: #009; text-align:center; width: 60px;"|Wiersz	+
-	|style="background-color:#CCCCCC; text-align:center; width: 60px;"|	+
-	|style="background-color:#CCCCCC; color: #900; text-align:center; width: 60px;"|A	+
-	|style="background-color:#CCCCCC; color: #900; text-align:center; width: 60px;"|B	+
-	|-	+
-	|style="background-color:#CCCCCC; color: #009; text-align:center; width: 60px;"|A	+
-	|align=center|<span style="color: #009">2	+
-	|align=center|<span style="color: #009">-3	+
-	|align=center; style="background-color:Maroon; color:White; text-align:center;"|-3	+
-	|align=center|	+
-	|-	+
-	|style="background-color:#CCCCCC; color: #009; text-align:center; width: 60px;"|B	+
-	|align=center|<span style="color: #009">0	+
-	|align=center|<span style="color: #009">1	+
-	|align=center; style="background-color:Maroon; color:White; text-align:center;"|0	+
-	|align=center|'''0'''	+
-	|-	+
-	|colspan=2; style="background-color:Maroon; color:White; text-align:center;"|maksima kolumn	+
-	|align=center; style="background-color:Maroon; color:White; text-align:center;"|2	+
-	|align=center; style="background-color:Maroon; color:White; text-align:center;"|1	+
-	|align=center; style="background-color:Maroon; color:White; text-align:center;"|	+
-	|align=center|	+
-	|-	+
-	|colspan=2; style="text-align:center;"|minimaks	+
-	|align=center|	+
-	|align=center|'''1'''	+
-	|align=center|	+
-	|align=center|	+
-	|}	+
-		+
-	Załóżmy że Kolumna w tej grze gra strategią <math>[pK_A, pK_B]_K\,</math>. Wówczas wartość oczekiwana wygranych Wiersza będzie:	+
-		+
-	<equation id="eqn:uklad_rown">	+
-	<math>\mathbb EW_A=pK_A \cdot 2 + (1-pK_A)\cdot(-3) = -3 + 5 pK_A\,</math>,	+
-	:<math>\mathbb EW_B=pK_A \cdot 0 + (1-pK_A)\cdot 1 = 1 - pK_A\,</math>,	+
-	</equation>	+
-		+
-	Zauważmy, że jeżeli zechcemy aby <math>\mathbb EW_A=\mathbb EW_B\,</math>, tzn.	+
-		+
-	:<math>-3 + 5 pK_A = 1 - pK_A\,</math>,	+
-		+
-	to wyliczona stąd wartość <math>pK_A=2/3\,</math> wyznacza strategię Kolumny <math>[2/3, 1/3]_K\,</math> taką, dla której wartość oczekiwana wypłaty Wiersza nie będą zależały od wybranej przezeń opcji. Taką strategię nazywamy ''strategią wyrównującą'' Kolumny. Jeśli Kolumna ją zastosuje to ta wartość oczekiwana będzie równa	+
-	:<math>\mathbb EW_A=\mathbb EW_B=1/3,\,</math>	+
-	niezależnie od zastosowanej przez Wiersz strategii. Ale Wiersz również ma swoją strategię wyrównującą, którą obliczymy zakładając, że <math>\mathbb EK_A=\mathbb EK_B\,</math>, gdzie	+
-		+
-	:<math>\mathbb EK_A=pW_A\cdot 2 + (1-pW_A)\cdot 0 = 2pW_A,\,</math>	+
-	:<math>\mathbb EW_B=pW_A\cdot(-3) + (1-pW_A)\cdot1 = 1 - 4pW_A,\,</math>	+
-		+
-	czyli <math>pW_A=1/6\,</math>, co daję strategię wyrównującą Wiersza <math>[1/6, 5/6]_W\,</math>. Wartość oczekiwana wygranej Kolumny przy tej strategii jest taka sama <math>\mathbb EK_A=\mathbb EK_B=1/3\,</math>.	+
-		+
-	Można więc powiedzieć, że strategie wyrównujące dają nam parę strategii optymalnych dla obu graczy <math>[2/3, 1/3]_K, [1/6, 5/6]_W\,</math> oraz wartość gry wyrażoną jako wartość oczekiwaną wygranej obu graczy <math>\nu=1/3\,</math> czyli rozwiązanie gry '''2.7''' wyrażone w strategiach mieszanych.	+
-		+
-	Na uzyskane rozwiązanie składają się dwie strategie optymalne obu gracz, jeśli wiersz zastosuje swoją strategię <math>[1/6, 5/6]_W\,</math> to niezależnie od tego, jak będzie grała Kolumna to wartość oczekiwana jej wypłaty będzie równa <math>\nu=-1/3\,</math>. Podobnie jeśli Kolumna zagra swoją strategię optymalną <math>[2/3, 1/3]_K\,</math> to niezależnie od tego co zrobi Wiersz, jego wartość oczekiwana wypłaty będzie równa <math>\nu=-1/3\,</math>. Sytuacja odzwierciedla parę strategii punktu siodłowego z tą różnicą, że wygrane zostały zastąpione ich wartościami oczekiwanymi. To jest jednak nieuniknione jeśli mówimy o strategiach mieszanych.	+
-		+
-	===Warunki istnienia punktów siodłowych===	+
-		+
-	Gra posiadająca punkty siodłowe ma swoje rozwiązania w strategiach prostych. Czy można podać ogólną receptę na rozwiązania gry, która tak jak gra '''2.8''' nie posiada punktów siodłowych? Okazuje się że odpowiedź na to pytanie jest pozytywna. Zanim jednak podamy ogólna rozwiązania skupimy się na najprostszym przypadku gry typu (2x2) (po dwie dostępne opcje dla Wiersza i Kolumny) i jej macierzy wypłat kiedy nie ma ona punktów siodłowych. Ogólną grę można zapisać w postaci macierzy wypłat <math>\mathcal{W}=\{w_{X,Y}\}\,</math>	+
-		+
-	;Przykład 2.8 Ogólna gra typy (2x2)	+
-		+
-	{| align=center border="1" cellpadding="4" cellspacing="0" style="margin: 1em 1em 1em 1em; background: #f9f9f9; border: 1px #aaa solid; border-collapse: collapse; font-size: 95%;"	+
-	|+ align=bottom | ''Gra (2x2) opisana przy pomocy macierzy wypłat <math>\mathcal{W}=\{w_{X,Y}\}\,</math>''	+
-	|- class="wikitable"	+
-	|-	+
-	|align=center|'''2.8'''||colspan=3; style="color: #900; text-align:center;"|Kolumna	+
-	|-	+
-	|rowspan=3; style="color: #009; text-align:center; width: 60px;"|Wiersz	+
-	|style="background-color:#CCCCCC; text-align:center; width: 60px;"|	+
-	|style="background-color:#CCCCCC; color: #900; text-align:center; width: 60px;"|A	+
-	|style="background-color:#CCCCCC; color: #900; text-align:center; width: 60px;"|B	+
-	|-	+
-	|style="background-color:#CCCCCC; color: #009; text-align:center; width: 60px;"|A	+
-	|align=center|<span style="color: #009"><math>w_{A,A}\,</math>	+
-	|align=center|<span style="color: #009"><math>w_{A,B\,}</math>	+
-	|-	+
-	|style="background-color:#CCCCCC; color: #009; text-align:center; width: 60px;"|B	+
-	|align=center|<span style="color: #009"><math>w_{B,A}\,</math>	+
-	|align=center|<span style="color: #009"><math>w_{B,B}\,</math>	+
-	|}	+
-		+
-	;Twierdzenie 2.8	+
-	:Gra typu '''2.8''' nie ma punktów siodłowych wtedy i tylko wtedy gdy	+
-		+
-	:<equation id="eqn:war-siod1">	+
-	<math>	+
-	\begin{array}c	+
-	rK_B \cdot rK_A <0\,\\	+
-	rW_B \cdot rW_A <0\,	+
-	\end{array}	+
-	</math>	+
-	</equation>	+
-		+
-	:oraz	+
-		+
-	:<equation id="eqn:war-siod2">	+
-	<math>	+
-	\begin{array}c	+
-	rK_A \cdot rW_A >0\,\\	+
-	rK_B \cdot rW_B >0\,	+
-	\end{array}	+
-	</math>	+
-	</equation>	+
-		+
-	:gdzie:	+
-		+
-	:<math>rK_A=w_{A,A}-w_{B,A}\,</math>	+
-	:<math>rK_B=w_{A,B}-w_{B,B}\,</math>	+
-	:<math>rW_A=w_{A,A}-w_{A,B}\,</math>	+
-	:<math>rW_B=w_{B,A}-w_{B,B}\,</math>	+
-		+
-	:Dowód: Zauważmy, że pierwsze dwie nierówności <xr id="eqn:war-siod1">(%i</xr>) oznaczają, że powyższa gra nie ma strategii zdominowanych. Pierwsza z nich oznacza, że żaden z wierszy '''2.8''' nie jest zdominowany - rzeczywiście znaki <math>rK_A\,</math> oraz <math>rK_B\,</math> wyznaczają kierunki pionowych strzałek diagramu przesunięć a ujemny znak ich iloczynu świadczy, że są skierowane przeciwnie. Drugi warunek <xr id="eqn:war-siod1">(%i</xr>) oznacza, że poziome strzałki, których kierunki wyznaczają <math>rW_A\,</math> i <math>rW_B\,</math> są skierowane przeciwnie.	+
-		+
-	:Jeśli, jak w tych dwu pierwszych nierównościach, iloczyn dwu czynników jest ujemny, to czynniki te muszą być liczbami niezerowymi o przeciwnych znakach, można to osiągnąć na cztery sposoby: <math>(+-)</math>, <math>(+-)</math> lub <math>(+-)</math>, <math>(-+)</math> lub  <math>(-+)</math>, <math>(-+)</math> lub <math>(-+)</math>, <math>(+-)</math>. Odpowiada to czterem postaciom diagramu przesunięć:	+
-		+
-	:Diagramy przesunięć '''2.8'''	+
-		+
-	:{| align=left border="1" cellpadding="4" cellspacing="0" style="margin: 1em 1em 1em 1em; background: #f9f9f9; border: 1px #aaa solid; border-collapse: collapse; font-size: 95%;"	+
-	|+ align=bottom | ''postać 1''	+
-	|- class="wikitable"	+
-	|-	+
-	|style="color: #900; text-align:center; width: 60px;"|<math>\downarrow</math>	+
-	|style="color: #900; text-align:center; width: 60px;"|<math>\leftarrow</math>	+
-	|-	+
-	|align=center|<span style="color: #009"><math>\rightarrow</math>	+
-	|align=center|<span style="color: #009"><math>\uparrow</math>	+
-	|}	+
-		+
-	{| align=center border="1" cellpadding="4" cellspacing="0" style="margin: 1em 1em 1em 1em; background: #f9f9f9; border: 1px #aaa solid; border-collapse: collapse; font-size: 95%;"	+
-	|+ align=bottom | ''postać 2''	+
-	|- class="wikitable"	+
-	|-	+
-	|style="color: #900; text-align:center; width: 60px;"|<math>\downarrow \rightarrow</math>	+
-	|style="color: #900; text-align:left; width: 60px;"|	+
-	|-	+
-	|align=right|<span style="color: #009">	+
-	|align=center|<span style="color: #009"><math>\leftarrow \uparrow</math>	+
-	|}	+
-		+
-	:{| align=left border="1" cellpadding="4" cellspacing="0" style="margin: 1em 1em 1em 1em; background: #f9f9f9; border: 1px #aaa solid; border-collapse: collapse; font-size: 95%;"	+
-	|+ align=bottom | ''postać 3''	+
-	|- class="wikitable"	+
-	|-	+
-	|style="color: #900; text-align:center; width: 60px;"|<math>\rightarrow</math>	+
-	|style="color: #900; text-align:center; width: 60px;"|<math>\downarrow</math>	+
-	|-	+
-	|align=center|<span style="color: #009"><math>\uparrow</math>	+
-	|align=center|<span style="color: #009"><math>\leftarrow</math>	+
-	|}	+
-		+
-	{| align=center border="1" cellpadding="4" cellspacing="0" style="margin: 1em 1em 1em 1em; background: #f9f9f9; border: 1px #aaa solid; border-collapse: collapse; font-size: 95%;"	+
-	|+ align=bottom | ''postać 4''	+
-	|- class="wikitable"	+
-	|-	+
-	|style="color: #900; text-align:center; width: 60px;"|	+
-	|style="color: #900; text-align:left; width: 60px;"|<math>\leftarrow \downarrow</math>	+
-	|-	+
-	|align=right|<span style="color: #009"><math>\uparrow \rightarrow</math>	+
-	|align=center|<span style="color: #009">	+
-	|}	+
-		+
-	:Zwróćmy jednak uwagę, że diagram przesunięć w postaci 2 jest niemożliwy gdyż prowadzi do zestawu sprzecznych nierówności <math>w_{A,A} < w_{B,A} < w_{B,B} < w_{A,B} < w_{A,A} \,</math>. Podobnie nie istnieje macierz odpowiadająca diagramowi w postaci 4. Oznacza to jednak, że z czterech możliwych sposobów znakozmienności powyższych wyrażeń pozostają tylko dwa odpowiadające postaciom 1 i 3 diagramu przesunięć: <math>(+-)</math>, <math>(+-)</math> lub <math>(-+)</math>, <math>(-+)</math> a to prowadzi do kolejnych dwu nierówności <xr id="eqn:war-siod2">(%i</xr>) naszego twierdzenia. Pokazaliśmy zatem że spełnienie wszystkich czterech nierówności jest równoważne, że diagramy przesunięć przybierają postać 1 lub 3 a to jest równoważne temu, że gra nie ma punktów siodłowych.	+
-		+
-	===Ogólna metoda rozwiązania gier w strategiach mieszanych===	+
-		+
-	Wiedząc jakie warunki spełnia macierz wypłat <math>\mathcal{W}=\{w_{X,Y}\}\,</math> gry (2x2) która nie ma punktów siodłowych podamy teraz jej rozwiązania w strategiach mieszanych.	+
-	Układ równań <xr id="eqn:uklad_rown">równań (%i</xr>), który zapisaliśmy w przykładzie '''2.7''' można zapisać w postaci ogólnej jako	+
-		+
-	<equation id="eqn:strat-miesz">	+
-	<math>	+
-	\begin{bmatrix} w_{A,A} & w_{A,B} \\ w_{B,A} & w_{B,B}\end{bmatrix}	+
-	\begin{bmatrix} pK_{A} \\ 1-pK_{A}\end{bmatrix}=	+
-	\begin{bmatrix} \mathbb EW_A \\ \mathbb EW_B\end{bmatrix}	+
-	</math>,	+
-	</equation>	+
-		+
-	ale <math>\mathbb EW_A = \mathbb EW_B \,</math> więc rozwiązując <xr id="eqn:strat-miesz">układ równań (%i</xr>) dostaniemy	+
-		+
-	<equation id="eqn:pka">	+
-	<math> pK_A= \frac{rK_B}{rK_B - rK_A},\,\,\,\,\,pK_B = 1 - pK_A = \frac{-rK_A}{rK_B - rK_A}</math>	+
-	</equation>	+
-		+
-	oraz	+
-		+
-	<equation id="eqn:ewa">	+
-	<math> \mathbb EW_A=\mathbb EW_B=w_{B,B} + \frac{rW_B \cdot rK_B}{rW_B - rW_A}</math>.	+
-	</equation>	+
-		+
-	W analogiczny sposób wyznaczamy strategię mieszaną wiersza, która wyraża się symetrycznymi wzorami w których jednak macierz <math>\mathcal{W}\,</math> zastąpiono jej macierzą transponowaną <math>\mathcal{W}^{T}=\{w_{Y,X}\}</math> a w związku z tym w równaniach <xr id="eqn:pka">(%i</xr>) i <xr id="eqn:ewa">(%i</xr>) należy dokonać zamiany wiersza na kolumnę i odwrotnie:	+
-		+
-	<equation id="eqn:pwa">	+
-	<math> pW_A= \frac{rW_B}{rW_B - rW_A},\,\,\,\,\,pW_B = 1 - pW_A = \frac{-rW_A}{rW_B - rW_A}</math>	+
-	</equation>	+
-		+
-	wartość oczekiwana wygranej Kolumny ma taką samą wartość, jak wygrana Wiersza, tu przedstawiamy jej równoważną, wynikającą z symetrii postać	+
-		+
-	<equation id="eqn:eka">	+
-	<math> \mathbb EK_A=\mathbb EK_B=w_{B,B} + \frac{rK_B \cdot rW_B}{rK_B - rK_A}</math>.	+
-	</equation>	+
-		+
-	Zauważmy, że z twierdzenia '''2.8''' wynika, że dla gier, które nie mają punktów siodłowych wszystkie różnice <math>rK_A\,</math>, <math>rK_B\,</math>, <math>rW_A\,</math> i <math>rW_B\,</math> w licznikach i mianownikach wyrażeń na <xr id="eqn:pka">(%i</xr>) i <xr id="eqn:pwa">(%i</xr>) są jednocześnie tego samego znaku - dodatnie lub ujemne. Jest to ważne ponieważ oznacza, że są spełnione warunki <math> 0 < pK_A < 1\,</math> i <math> 0 < pW_A < 1\,</math> niezbędne aby <math> pK_A \,</math> i <math> pK_B \,</math> oraz <math> pW_A \,</math> i <math> pW_B \,</math> były odpowiednimi prawdopodobieństwami. W związki z tym wzory te można przedstawić w równoważnej postaci:	+
-	<equation id="eqn:pka-mod">	+	'''''[http://prac.us.edu.pl/~ekonofiz/index.php/wykladowcy Marek Szopa]'''''
-	<math> pK_A= \frac{|rK_B|}{|rK_B| + |rK_A|},\,\,\,\,\,pK_B  = \frac{|rK_A|}{|rK_B| + |rK_A|}</math>	+
-	</equation>	+
-	oraz	+	</center>
-	<equation id="eqn:pwa-mod">	+	[[Image:Jądro.png|thumb|Jądro negocjacji trójstronnych.]]
-	<math> pW_A= \frac{|rW_B|}{|rW_B| + |rW_A|},\,\,\,\,\,pW_B  = \frac{|rW_A|}{|rW_B| + |rW_A|}</math>	+
-	</equation>	+
-	W związku z powyższymi wzorami można wskazać praktyczną metodę wyznaczania strategii mieszanych dla gier (2x2) bez punktu siodłowego.	+	===Wstęp===
		+	''Życie ludzkie jest jak gra w kości. Jeśli nam się nie dostała do rąk ta kość, którą chcemy, trzeba się starać jak najlepiej wyzyskać tę, która nam była przez los sądzona.
-	;Przykład 2.9 Metoda Williamsa	+	Terencjusz''
-	{| align=center border="1" cellpadding="4" cellspacing="0" style="margin: 1em 1em 1em 1em; background: #f9f9f9; border: 1px #aaa solid; border-collapse: collapse; font-size: 95%;"	+	<br />
-	|+ align=bottom | ''Graficzna metoda obliczania mieszanych strategii optymalnych Wiersza i Kolumny oraz wartości gry dla gier (2x2) bez punktu siodłowego.''	+
-	|- class="wikitable"	+
-	|-	+
-	|align=center|'''2.9'''||colspan=3; style="color: #900; text-align:center;"|Kolumna	+
-	|rowspan=2; style="text-align:center; width: 60px;"|różnice <br/>w wierszach	+
-	|rowspan=2; style="text-align:center; width: 60px;"|<math> pW_A \,</math> i <math> pW_B \,</math> dla strategii optymalnej Wiersza	+
-	|-	+
-	|rowspan=3; style="color: #009; text-align:center; width: 60px;"|Wiersz	+
-	|style="background-color:#CCCCCC; text-align:center; width: 60px;"|	+
-	|style="background-color:#CCCCCC; color: #900; text-align:center; width: 60px;"|A	+
-	|style="background-color:#CCCCCC; color: #900; text-align:center; width: 60px;"|B	+
-	|-	+
-	|style="background-color:#CCCCCC; color: #009; text-align:center; width: 60px;"|A	+
-	|align=center|<span style="color: #009"><math>w_{A,A}\,</math>	+
-	|align=center|<span style="color: #009"><math>w_{A,B}\,</math>	+
-	|align=center; style="text-align:center;"|<math>rW_A \,</math>	+
-	|style="color: #009; text-align:center; width: 60px;"|<math>\frac{|rW_B|}{|rW_B| + |rW_A|}</math>	+
-	|-	+
-	|style="background-color:#CCCCCC; color: #009; text-align:center; width: 60px;"|B	+
-	|align=center|<span style="color: #009"><math>w_{B,A}\,</math>	+
-	|align=center|<span style="color: #009"><math>w_{B,B}\,</math>	+
-	|align=center; style="text-align:center;"|<math>rW_B\,</math>	+
-	|style="color: #009; text-align:center; width: 60px;"|<math>\frac{|rW_A|}{|rW_B| + |rW_A|}</math>	+
-	|-	+
-	|colspan=2; style="text-align:center;"|różnice w kolumnach	+
-	|align=center; style="text-align:center;"|<math>rK_A\,</math>	+
-	|align=center; style="text-align:center;"|<math>rK_B\,</math>	+
-	|colspan=2; rowspan=2; style="text-align:center;"|<math> \mathbb EW=\mathbb EK=w_{B,B} + \frac{|rW_B| \cdot |rK_B|}{|rW_B| + |rW_A|}</math>	+
-	|-	+
-	|colspan=2; style="text-align:center;"|<math> pK_A \,</math> i <math> pK_B \,</math> dla strategii optymalnej Kolumny	+
-	|align=center|<math>\frac{|rK_B|}{|rK_B| + |rK_A|}</math>	+
-	|align=center|<math>\frac{|rK_A|}{|rK_B| + |rK_A|}</math>	+
-	|}	+
-	===Rozwiązania gier typu (mx2) i (2xn)===	+	===Wymagania===
		+	* znajomość matematyki na poziomie szkoły średniej
		+	* umiejętność czytania
		+	* chęć zrozumienia
-	Jak pokazaliśmy w poprzednich rozdziałach istnieją rozwiązania dowolnych gier o sumie zerowej o wymiarze (2x2). O grach dla których gracze mają więcej niż dwie opcje do wyboru, t.j. np. (mxn), gdzie przynajmniej jedna z tych liczb jest większa od dwójki wiemy tyle, że uda się nam je rozwiązać jeżeli mają punkty siodłowe. Metodę poszukiwania takich punktów opisaliśmy w rozdziale [[Teoria_gier#Maksimin i minimaks|''Maksimin i minimaks'']]. Jeśli gra nie posiada takich punktów to można próbować zredukować jej wymiar poprzez poszukiwanie strategii zdominowanych. Jak zobaczyliśmy w rozdziale [[Teoria_gier#Punkty_siodłowe_oraz_dominacje|''Punkty siodłowe oraz dominacje'']] redukcja taka może się wieloetapowa, poprzez kolejne eliminowanie zdominowanych wierszy i kolumn. Końcowym etapem redukcji gry '''2.3''' była gra (2x2) posiadająca punkty siodłowe. Co jednak jeśli omawiane wyżej kroki nie doprowadzą do rozwiązania gry? Obecny rozdział poświęcimy takim przypadkom, w których nieredukowalne i nie posiadające punktów siodłowych gry mają wymiar (mx2) lub (2xn).	+	===Spis treści===
-	Rozważmy następującą grę typu (2x3)	+	#[[Teoria gier/Wstęp|Wstęp]]
		+	#[[Teoria gier/Gry_dwuosobowe_suma_zero|Gry dwuosobowe o sumie zerowej]]
		+	#* Gry oraz diagramy przesunięć
		+	#* Punkty siodłowe oraz dominacje
		+	#* Maksimin i minimaks
		+	#* Strategie mieszane
		+	#* Rozwiązania gier w strategiach mieszanych
		+	#* Warunki istnienia punktów siodłowych
		+	#* Ogólna metoda rozwiązania gier (2x2) w strategiach mieszanych
		+	#* Rozwiązania gier typu (mx2) i (2xn)
		+	#* Rozwiązania dowolnych gier o sumie zerowej
		+	#[[Teoria gier/Gry_dwuosobowe_suma_niezero|Gry dwuosobowe o sumie niezerowej]]
		+	#* Dominacje
		+	#* Równowagi Nasha
		+	#* Kooperacja czy zdrada: dylemat więźnia
		+	#* Współpraca się opłaca – turnieje Axelroda
		+	#* Strategie wyrównujące i twierdzenie Nasha
		+	#* Optymalność w sensie Pareto
		+	#[[Teoria gier/podstawowe_zasady_negocjacji|Podstawowe zasady prowadzenia negocjacji]]
		+	#* Harwardzki model negocjacji
		+	#* Granica ustępstw i BATNA
		+	#* Struktura procesu negocjacji
		+	#* Cztery podstawowe zasady negocjacji
		+	#* Wprawny negocjator
		+	#[[Teoria gier/strategie_taktyki_negocjacji|Strategie i taktyki negocjacji]]
		+	#* Zmienne negocjacyjne - manipulowanie ustępstwami
		+	#* Strategia szachowa
		+	#* Taktyki negocjacyjne
		+	#[[Teoria gier/negocjacje_wielostronne|Negocjacje wielostronne]]
		+	#* Wieloosobowy dylemat więźnia
		+	#* Poszukiwanie sprawiedliwego podziału
		+	#[[Teoria gier/bibliografia|Bibliografia]]
-	==Gry dwuosobowe o sumie niezerowej==	+	===Literatura===
-	==Gry wieloosobowe==	+	# J. von Neumann and O. Morgenstern ''Theory of Games and Economic Behaviour.'' John Wiley and Sons, 1944
-	gry wieloosobowe	+	#Philip D. Straffin ''Teoria Gier'' WN Scholar W-wa 2001
		+	#Z. Nęcki ''Negocjacje w biznesie'' Wyd. Profesjonalnej Szkoły Biznesu, Kraków 1991
		+	#R. Fischer, W. Ury ''Dochodząc do TAK''. PWE. Warszawa 1990
		+	#W. Mastenbroek ''Negocjowanie'' PWN, Warszawa 1997
		+	#R. Perrotin, P. Heusschen ''Kupić z zyskiem. Negocjacje handlowe'', Poltext, Warszawa 1994
		+	#R. Dawkins ''Samolubny Gen'', Prószyński i S-ka, 1996
		+	#A.K. Dixit, B.J. Nalebuff ''Sztuka Strategii'', MT Biznes 2008, ISBN 978-83-61732-25-9
		+	#L. Shapley, M. Shubik ''On the core of an economic system with externalities'', American Economic Review '''59''' (1969) 678-684
-	==Podejmowanie decyzji==
-	[[Teoria gier#Gry dwuosobowe o sumie zerowej]]	+	===Zasoby www===
		+	* [http://books.google.pl/books?id=3TB3m3RvAlcC&printsec=frontcover&dq=game+theory+straffin&source=bl&ots=hUIeRTOdK9&sig=VRpKOFtdMXagHLfQ1YcXlDzvp9c&hl=pl&ei=1nnMS4CtC4X3Obmk1aUG&sa=X&oi=book_result&ct=result&resnum=2&ved=0CBQQ6AEwAQ#v=onepage&q&f=false Game theory and strategy, Philip D. Straffin ]
		+	* [http://books.google.com/books?hl=pl&lr=&id=5ntdaYX4LPkC&oi=fnd&pg=PR11&dq=game+theory+osborne&ots=kAGFie9pxy&sig=MdAaFSHbdKIcgqLbrURO89PmQEw#v=onepage&q&f=false A course in game theory, Martin J. Osborne,Ariel Rubinstein]
		+	* [http://books.google.com/books?id=pFPHKwXro3QC&printsec=frontcover&dq=game+theory+osborne&lr=&hl=pl&source=gbs_similarbooks_s&cad=1#v=onepage&q=game%20theory%20osborne&f=false Game theory, Drew Fudenberg, Jean Tirole]
		+	* [http://books.google.com/books?id=XuqhzQb3pmgC&printsec=frontcover&dq=game+theory+osborne&lr=&hl=pl&source=gbs_similarbooks_s&cad=1#v=onepage&q=game%20theory%20osborne&f=false Game theory evolving: a problem-centered introduction to modeling strategic... Autorzy Herbert Gintis]
		+	* [http://users.auth.gr/~kehagiat/GameTheory/12CombBiblio/General_Game%20Theory.htm#Top General Game Theory]
-	==Teoria gier w negocjacjach==	+	===Podziękowania===
-	==Zadania==	+	* Za otwarcie na społeczny aspekt "gry zwanej życiem" dziękuje moim wspólnikom i przyjaciołom Bogdanowi Siewierskiemu i Andrzejowi Szóstakowi z Exbisu. Bogdan był również współautorem części rozdziałów 4 i 5.
-	==Bibliografia==	+

---

Aktualna wersja na dzień 11:05, 4 lis 2012

Teoria gier w negocjacjach

Marek Szopa

Wstęp

Życie ludzkie jest jak gra w kości. Jeśli nam się nie dostała do rąk ta kość, którą chcemy, trzeba się starać jak najlepiej wyzyskać tę, która nam była przez los sądzona.

Terencjusz

Wymagania

• znajomość matematyki na poziomie szkoły średniej
• umiejętność czytania
• chęć zrozumienia

Spis treści

1. Wstęp
2. Gry dwuosobowe o sumie zerowej
   • Gry oraz diagramy przesunięć
   • Punkty siodłowe oraz dominacje
   • Maksimin i minimaks
   • Strategie mieszane
   • Rozwiązania gier w strategiach mieszanych
   • Warunki istnienia punktów siodłowych
   • Ogólna metoda rozwiązania gier (2x2) w strategiach mieszanych
   • Rozwiązania gier typu (mx2) i (2xn)
   • Rozwiązania dowolnych gier o sumie zerowej
3. Gry dwuosobowe o sumie niezerowej
   • Dominacje
   • Równowagi Nasha
   • Kooperacja czy zdrada: dylemat więźnia
   • Współpraca się opłaca – turnieje Axelroda
   • Strategie wyrównujące i twierdzenie Nasha
   • Optymalność w sensie Pareto
4. Podstawowe zasady prowadzenia negocjacji
   • Harwardzki model negocjacji
   • Granica ustępstw i BATNA
   • Struktura procesu negocjacji
   • Cztery podstawowe zasady negocjacji
   • Wprawny negocjator
5. Strategie i taktyki negocjacji
   • Zmienne negocjacyjne - manipulowanie ustępstwami
   • Strategia szachowa
   • Taktyki negocjacyjne
6. Negocjacje wielostronne
   • Wieloosobowy dylemat więźnia
   • Poszukiwanie sprawiedliwego podziału
7. Bibliografia

Literatura

1. J. von Neumann and O. Morgenstern Theory of Games and Economic Behaviour. John Wiley and Sons, 1944
2. Philip D. Straffin Teoria Gier WN Scholar W-wa 2001
3. Z. Nęcki Negocjacje w biznesie Wyd. Profesjonalnej Szkoły Biznesu, Kraków 1991
4. R. Fischer, W. Ury Dochodząc do TAK. PWE. Warszawa 1990
5. W. Mastenbroek Negocjowanie PWN, Warszawa 1997
6. R. Perrotin, P. Heusschen Kupić z zyskiem. Negocjacje handlowe, Poltext, Warszawa 1994
7. R. Dawkins Samolubny Gen, Prószyński i S-ka, 1996
8. A.K. Dixit, B.J. Nalebuff Sztuka Strategii, MT Biznes 2008, ISBN 978-83-61732-25-9
9. L. Shapley, M. Shubik On the core of an economic system with externalities, American Economic Review 59 (1969) 678-684

Zasoby www

• Game theory and strategy, Philip D. Straffin
• A course in game theory, Martin J. Osborne,Ariel Rubinstein
• Game theory, Drew Fudenberg, Jean Tirole
• Game theory evolving: a problem-centered introduction to modeling strategic... Autorzy Herbert Gintis
• General Game Theory

Podziękowania

• Za otwarcie na społeczny aspekt "gry zwanej życiem" dziękuje moim wspólnikom i przyjaciołom Bogdanowi Siewierskiemu i Andrzejowi Szóstakowi z Exbisu. Bogdan był również współautorem części rozdziałów 4 i 5.