Podstawowe pojęcia i fakty z ogólnej teorii procesów stochastycznych
Skończenie wymiarowe i całościowe rozkłady procesów stochastycznych. Procesy gaussowskie.
Twierdzenie Kołmogorowa o istnieniu procesu.
Twierdzenie Kołmogorowa o istnieniu ciągłej (stochastycznej) modyfikacji.
Filtracje, momenty stopu i progresywna mierzalność. Własność niezależności przyrostów.
Proces Wienera (ruch Browna)
Aksjomatyczna definicja procesu Wienera i jego charakteryzacje.
Konstrukcja procesu Wienera.
Własności trajektorii procesu Wienera: lokalna holderowska ciągłość, nieróżniczkowalność, niemonotoniczność, nieskończone wahanie.
Mocna własność (Markowa) niezależności przyrostów (tw. Dynkina-Hunta).
Zasada odbicia.
Twierdzenia graniczne: prawo wielkich liczb oraz iterowanego logarytmu.
Martyngały z czasem ciągłym
Pojęcie (pod-/nad-) martyngału.
Przykłady martyngałów związanych z procesem Wienera.
Kryterium martyngałowe operte na pojęciu momentu stopu.
Maksymalne nierówności martyngałowe Dooba i twierdzenia o zbieżności.
Twierdzenie Dooba-Meyera o rozkładzie martyngału.
Całki stochastyczne względem procesu Wienera
Procesy elementarne oraz lemat o Izometrii Ito.
Konstrukcja i podstawowe własności całki Ito.
Całka Ito jako ciągły martyngał.
Twierdzenie o zatrzymaniu całki Ito i jego konsekwencje.
Całka Paleya-Wienera (jako szczególny przypadek całki Ito) i jej własności.
Całka Stratonowicza jako alternatywa całki Ito.
Jednowymiarowa formuła Ito dla procesu Ito i jej zastosowanie w wyznaczaniu całek Stochastycznych i rozwiązywaniu stochastycznych równań różniczkowych.
Proces Poissona (opcjonalnie)
Aksjomatyczna definicja procesu Poissona i jego charakteryzacja.
Elementy teorii odnowy (pojęcie strumienia i procesu odnowy, elementarne twierdzenie odnowy, związek między rozkładem warunkowym strumienia o przyrostach wykładniczych i rozkładem statystyk pozycyjnych).
Procesu Poissona jako szczególny przypadek procesu odnowy.