I. PODSTAWOWE WIADOMOŚCI Z MATEMATYKI ELEMENTARNEJ (powtórzenie i rozszerzenie poznanych wiadomości)
Elementy logiki. Rachunek zdań: alternatywa, koniunkcja, negacja, implikacja, równoważność, funktory zdaniotwórcze, tabelki zero-jedynkowe, podstawowe tautologie rachunku zdań. Rachunek kwantyfikatorów i funkcje zdaniowe: wyznaczanie zbiorów elementów spełniających dane funkcje zdaniowe.
Elementy teorii mnogości. Suma, część wspólna, różnica zbiorów, dopełnienie zbioru. Działania na zbiorach. Iloczyn kartezjański zbiorów. Prawa rachunku zbiorów.
Zbiór liczb rzeczywistych. Podzbiory zbioru liczb rzeczywistych. Prawa działań. Własności działań (potęgowanie, pierwiastkowanie). Definicja i własności wartości bezwzględnej. Równania i nierówności z wartością bezwzględną. Kresy. Indukcja matematyczna.
Wyrażenia algebraiczne. Rozkład na czynniki, wzory skróconego mnożenia, dwumian Newtona. Przekształcenia wyrażeń algebraicznych.
Wielomiany. Wykonywanie działań w zbiorze wielomianów, schemat Hornera. Rozkład wielomianu na czynniki. Twierdzenie o wymiernych pierwiastkach wielomianu. Twierdzenie Bézouta. Rozwiązywanie równań i nierówności wielomianowych. Krotność pierwiastka.
Pojęcie funkcji. Własności funkcji: dziedzina, zbiór wartości, monotoniczność, parzystość, wypukłość, okresowość, asymptoty. Określanie własności funkcji na podstawie wykresu funkcji. Funkcja odwrotna. Złożenie funkcji. Przekształcenia wykresu funkcji.
Przegląd funkcji elementarnych. Funkcja liniowa. Funkcja kwadratowa. Funkcja wielomianowa. Funkcja potęgowa. Funkcja wymierna: funkcja homograficzna, rozwiązywanie równań i nierówności wymiernych. Funkcja wykładnicza: podstawowe własności, wykresy, rozwiązywanie równań i nierówności wykładniczych. Funkcja logarytmiczna: własności, wykresy, rozwiązywanie równań i nierówności logarytmicznych, zagadnienie linearyzacji. Funkcje trygonometryczne: podstawowe własności, wykresy, miara łukowa kąta, podstawowe wzory redukcyjne, równania i nierówności trygonometryczne, podstawowe wzory trygonometryczne. Funkcje cyklometryczne: podstawowe własności, wykresy.
Wektory. Długość wektora, iloczyn skalarny wektorów.
II. LICZBY ZESPOLONE
Postać ogólna liczby zespolonej. Pojęcie liczby zespolonej. Płaszczyzna zespolona i interpretacja geometryczna liczby zespolonej. Sprzężenie, moduł liczby zespolonej. Własności. Działania na liczbach zespolonych.
Postać trygonometryczna. Mnożenie, dzielenie liczb zespolonych w postaci trygonometrycznej, wzór de Moivre’a. Pierwiastek liczby zespolonej.
Rozwiązywanie równań (przede wszystkim kwadratowych) w zbiorze liczb zespolonych.
III. ELEMENTY ALGEBRY LINIOWEJ
Macierze. Pojęcie. Działania na macierzach. Wyznacznik. Macierz odwrotna.
Układy równań. Twierdzenie Cramera. Rząd macierzy. Twierdzenie Kroneckera-Capelliego.
Przekształcenia liniowe. Przestrzeń, podprzestrzeń liniowa. Liniowo niezależny zbiór wektorów. Baza przestrzeni. Pojęcie przekształcenia liniowego. Kombinacja liniowa wektorów. Macierz przekształcenia liniowego.
Wartości i wektory własne.
IV. CIĄGI
Ciągi liczbowe. Wyraz ciągu, sposób zapisu wyrazów ciągu (za pomocą wzoru ogólnego, rekurencyjnie, opisowo). Własności: ograniczoność, monotoniczność. Działania na ciągach. Ciągi w R^n.
Granica ciągu. Zbieżność w zbiorze liczb rzeczywistych. Twierdzenia o zbieżności. Liczba e. Przegląd podstawowych granic. Granice niewłaściwe.
V. SZEREGI
Szeregi liczbowe. Suma częściowa. Warunek konieczny zbieżności szeregów. Kryteria zbieżności szeregów (Cauchy’ego, d’Alemberta, porównawcze, zagęszczające, Leibniza).
Szeregi potęgowe. Promień, przedział zbieżności. Twierdzenie Cauchy’ego-Hadamarda.
VI. GRANICA I CIĄGŁOŚĆ FUNKCJI
Granica funkcji. Ciągowa definicja granicy funkcji zmiennej rzeczywistej (z uogólnieniem na R^n). Własności granic. Przegląd podstawowych granic funkcji. Granice niewłaściwe. Asymptoty funkcji.
Ciągłość funkcji. Pojęcie ciągłości funkcji zmiennej rzeczywistej (z uogólnieniem na R^n). Własności funkcji ciągłych. Ciągłość funkcji elementarnych.
VII. RÓŻNICZKOWALNOŚĆ FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ
Pochodna funkcji. Pojęcia pochodnej i różniczki funkcji rzeczywistej. Różniczkowalność funkcji. Interpretacja geometryczna, fizyczna pochodnej. Działania na pochodnych.
Pochodna a własności funkcji. Monotoniczność funkcji. Ekstrema funkcji: warunek konieczny i warunki wystarczające. Wypukłość funkcji, punkty przegięcia wykresu funkcji. Twierdzenia o wartości średniej. Zadania optymalizacyjne.
Szereg Taylora. Twierdzenie Taylora. Szereg Taylora i Maclaurina. Rozwinięcia podstawowych funkcji elementarnych w szereg.
Reguła de l’Hospitala.
Badanie funkcji. Szkicowanie wykresów funkcji.
- Nauczyciel: Maslyuchenko Oleksandr