Tekst źródłowy

==Stochastyczne równania różniczkowe==

W tym rozdziale zostaną opisane  metody numeryczne, które służa do rozwiązywania  [[PIZL:Stochastyczne_równania_różniczkowe|stochastycznych równań różniczkowych]] typu:

<math>\frac{dX(t)}{dt} = F(X(t), t) + G(X(t), t)\Gamma(t)</math>

gdzie F i G to dowolne funkcje, a <math>\Gamma(t)</math> jest procesem losowym.
Najczęstszym przypadek to taki w którym <math>\Gamma(t)</math> to biały szum Gaussowski. Tak zapisane równanie nie jest precyzyjnie określone ze względu na [[PIZL:Stochastyczne_równania_różniczkowe#Dylemat_Stratonowicza-Ito|dylemat Stratonowicza-Ito]].
Dlatego poprawne jest zapisanie równanie Ito w postaci:

<math>dX(t)= F(X(t), t)dt + G(X(t), t) dW(t)\;</math>

Nie zmienia to ogólności, gdyż jak wiadomo każde równanie zapisane w interpretacji Stratonowicza ma swój odpowiednik Ito. Dla potrzeb metod numerycznych będziemy rozpatrywać zawsze równania Ito, a jeśli pojawią się równania Stratonowicza to będziemy je transpormować do postaci Ito. 




=== Schemat Eulera dla równań stochastycznych  ===

Najprostszą metodą aproksymacji numerycznej równania stochastycznego jest podobnie jak w przypadku równań różniczkowych zwyczajnych jest schemat Eulera. Część deterministyczną równania stochastycznego traktujemy w taki sam sposób jak w schemacie Eulera dla równań różniczkowych zwyczajnych. Niech h oznacza krok  całkowania i oś czasowa będzie zdyskretyzowana na przedzialy <math>t_{i-1},t_{i},t_{i+1}</math> oraz <math>h=t_{i}-t_{i-1}</math>.  Wtedy część deterministyczna równania stochastycznego przyjmuje postać:

<math>X(t_i) = X(t_{i-1}) + \int_{t_{i-1}}^{t_{i}} F(X(t), t) dt \simeq X(t_{i-1}) + F(X(t_{i-1}, t_{i-1}) h  </math>


Aby całkować część stochastyczną potrzebujemy formuły na przyrost skończony procesu Wienera:

<math> \int_{t_{i-1}}^{t_{i}} \Gamma(t) dt =\;\int_{t_{i-1}}^{t_{i}} dW(t) = W(t_{i})-W(t_{i-1})</math>

Wiemy, że proces Wienera jest procesem o [[PIZL:Proces_Wienera_i_proces_dyfuzji#PROCES_WIENERA_W.28t.29|przyrostach niezależnych]], które są  gaussowską zmienna losową o zerowej wartości średniej i wariancji  
<math>2(t_{i} − t_{i-1})=2  h</math>. 

Tak więc widać, że w schemacie Eulera całkę typu <math> \int_{t_{i-1}}^{t_{i}} \Gamma(t) dt </math> należy zastąpić w każdym kroku całkowania gaussowską zmienną losową o wariancji proporcjonalnej do kroku całkowania h. Ponieważ z reguły dysponujemy gaussowskich generatorem liczb losowych  o jednostkowej wariancji N(0,1), można zapisać:

<math> \int_{t_{i-1}}^{t_{i}} \Gamma(t) dt = \sqrt{2 h} N(0,1) </math>

Ten zapis pokazuje też ważną cechę przy obliczaniu aproksymacji rozwiązań stochastycznych - najniższy rząd w h jest nie O(h) ale <math>O(h^{1/2})</math>.

Ponadto z takiego sformułowania widać też, że zmiany procesu Wienera w stosunku do przyrostów czasu są [[PIZL:Proces_Wienera_i_proces_dyfuzji#PROCES_WIENERA_W.28t.29|rozbieżne]] w granicy <math>h\to 0</math>.


Korzystając w powyższych faktów, możemy zapisać pełny schemat Eulera dla równania stochastycznego (Ito):

 <math>X(t_i) = X(t_{i-1}) + F(X(t_{i-1}, t_{i-1}) h  + \sqrt{h}G(X(t_{t-1}), t_{t-1})  N(0,1)</math>.


Gaussowskie zmienne losowe możemy otrzymać np. korzystając z [[MKZR:Liczby_losowe#Algorytm_Boxa-Mullera|algorytmu Box-a Mullera]].

=== Schemat Eulera dla układu równań stochastycznych  ===


Schemat Eulera można uogólnić na układy równań stochastycznych. Niech <math>\mathbf X(t)</math> będzie wektorem o składowych  
:<math>\mathbf X(t)=( X^1(t),X^2(t),...,X^n(t))</math>. 
Układ równań stochastycznych (Ito) można zapisać w ogólnej postaci:

:<math>d X^i(t)= \mathbf F^i(\mathbf X(t), t)dt + \sum_{j=1}^{n}\mathbf G^{i,j}(\mathbf X(t), t) dW^j(t)\;</math>,

gdzie <math>W^i(t),\;W^j(t)</math>  są niezależnymi procesami Wienera dla <math>i\neq j</math>


<math>\mathbf X(t_i) = X(t_{i-1}) + \int_{t_{i-1}}^{t_{i}} F(X(t), t) dt \simeq X(t_{i-1}) + F(X(t_{i-1}, t_{i-1}) h  </math>

=== Proces Wienera ===

Proces Wienera jest rozwiązaniem następującego stochastycznego równania różniczkowego: 

<math>dX(t)= dW(t)\;</math>.


Jego realizacja jest funkcją ciągłą, ale jednocześnie nigdzie nie jest różniczkowalna. 
Przyrost <math>W(t_2) - W(t_1)</math> jest zmienna losową gaussowską o zerowej wartości średniej i wariancji <math> = 2D(t_2 - t_1) </math>. 

Całkując powy