Tekst źródłowy

===Histogramy===

Ważną umiejętnością jest estymacja  funkcji gęstości z pewnej (dużej) liczby danych. Proces taki jest nazywany histogramowaniem. 

Histogram jest to sposób przedstawienia częstości występowania pewnej cechy w postaci wykresu słupkowego. Weźmy na przykład ciągłą zmienną losową. Podzielmy przestrzeń wartości przyjmowanych przez tą zmienna na N równych przedziałów. Przypuścmy, że dysponumemy M realizacjami zmiennej losowej. Na histogramie można umieścić liczbę realizacji, które należa do danego przedziału. Co więcej taki wykres bedzie w granicy <math>N,M\to \infty</math> taki sam jak wykres gęstości prawdopodobieństwa nasze zmiennej losowej. 
By  otrzymać dokładnie gęstość prawdopodobieństwa trzeba przeskalować liczbę zliczeń do gęstości. Niech <math>n_i, i=1..N</math> będą zliczeniami w kolejnych przedziałach.  
Gęstość prawdopodobieństwa  jest unormowana do jedności (bierzemy zmienną losową przyjmującą wartości między a i b):

<math>1=\int_a^b f(x) dx=\sum_{i=1}^N f(x_i) h</math>

gdzie h jest szerokością jednego przedziału <math>h=(x_i-x_{i-1})/(N-1)</math>.
Wynika z tego, że

<math>\sum_{i=1}^N f(x_i) =1/h</math>,

podczas gdy liczby zliczeń są unormowane do pewnej wartości <math>\sum_{i=1}^N n_i </math>.

Widać z tego, że formuła łącząca liczby zliczeń z wartościami gęstości wewnątrz odcinków 
wyraża się:

<math>f_i=f(x_i)=\frac{1}{h}\frac{n_i}{\sum_{i=1}^N n_i} </math>.

W systemie GNU Octave wbudowana funkcja '''hist''' umożliwia podanie drugiego argumentu, który jest czynnikiem normalizacyjnym sumy wszystkich zliczeń i w rozważanym przypadku powinien od wynosić 1/h.

===Histogramy 1D===

Jako przykład wykonajmy histogram 10000 liczb o rozkładzie normalnym i porównajmy go ze wzrorem analitycznym na funkcję Gaussa.  Najprostszy skrypt w GNU Octave realizujący to zadanie to:

<source lang='matlab'>
xmax=5;
h=0.1;
mydata=normrnd (0,1,10000,1);
hist(mydata,[-xmax:h:xmax],1/h);
</source>

Zauważmy, że:

Nie została zadana liczba przedziałow, ale szerokość. Liczba przedziałow w tym przypadku to: 
<source lang='matlab'>
octave:38> length( [xmin:h:xmax] )
ans =  101</source>

Pomimo, ze zmienna losowa przyjmuje wartości na całej osi rzeczywistej, to histogram wykonaliśmy na skończonym przedziale. Wybranie wartości x a przedziału -5..5 jest w przypadku rozkładu Gaussa dobrym wyborem. Zauważmy jest stosunek funkcji gęstości w punktach 0 i 5 wynosi
<source lang='matlab'>octave:42> normpdf(0,0,1)/normpdf(5,0,1)
ans =  2.6834e+05
</source> więc dla 10000 punktów możemy się spodziewać, że zaden z nim nie wyjdzie poza przedział -5...5.
:''Proszę sprawdzić jak będzie wyglądał histogram jeśli weżmiemy xmin=-1 i xmax=1
''
Funkcja '''hist''' została wywołana bez argumentów zwrotnych i zgodnie z dokumentacja narysowała ona wykres. Można postąpić inaczej: 

<source lang='matlab'>
xmax=5;
h=0.1;
mydata=normrnd (0,1,10000,1);
[NN,XX]=hist(mydata,[-xmax:h:xmax],1/h);
</source>
Podając argumenty zwrotne funkcja hist zamiast rysować wykres, zwraca wektor liczb zliczeń i wartość zmiennej w przedziałach. Można to wykorzystać:  
<source lang='matlab'>
plot(XX,NN,"-",XX,normpdf(XX,0,1),"r-")
bar(XX,NN)
</source>

====Jak działa funkcja hist?====

Poniższy kod ilustruje prostą implementacje funkcji histogramującej w GNU/Octave. Nie jest ona efektywna, gdyż wykorzystuje pętlę po wszystkich danych wejściowych (kod nie jest wektorowy). 
 
<source lang='matlab'>
xmax=5;
xmin=-5;
h=.1;
XX=[xmin:h:xmax];
mydata=normrnd (0,1,10000,1);
NN=zeros(1,101);
for i=1:length(mydata)
	idx=  ceil ( (mydata(i)-xmin)/(xmax-xmin) * length(NN)  ) ;
	if idx>0 && idx<=length(NN)
 		NN(idx)++;
	endif
endfor
plot(XX,NN)
</source>

===Histogramy 2D===

Podobnie jak w przypadku jednej zmiennej losowej, histogram można utworzyć dla wielu zmiennych losowych. Do celów wizualizacyjnych nadaje się jednak tylko przypadek dwuwymiarowy. W sysemie GNU/Octave nie ma bezpośrednio wbudowanej funkcji histogramującej dwie zmienne losowe, ale jest pakiet rozszerzający '''plot''' (dostępny z [http://octave.sourceforge.net/]). Po zciągnieciu pliku instalujemy go za pomocą
<source lang='matlab'>
pkg install 'plot-1.0.8.tar.gz' 
</source>


Z jego pomoca narysujemy histogram dwoch niezależnych gausowskich zmienych  losowych: 


<source lang='matlab'>
hist2d(normrnd(0,1,250000,2),60);
</source>

Podobnie jak w przypadku funkcji '''hist''' można dane zapisać do tablic by np. użyć innej procedury rysującej:

<source lang='matlab'>
[nn,x,y]=hist2d(normrnd(0,1,134100,2),60);
imagesc(nn)
</source>


[[Plik:Gauss2d.png|thumb|360px|Estymacja gęstości dla dwów nielależnych zmiennych losowych Gaussowskich za pomocą funkcji hist2d.]]

[[Plik:Gauss2da.png|thumb|360px|Estymacja gęstości dla dwów nielależnych zmiennych losowych Gaussowskich za pomocą funkcji hist2d, dane przedstawione za pomocą imagesc.]]


</source>