Tekst źródłowy

=== Literatura === 
#[http://www.maths.ox.ac.uk/system/files/coursematerial/2010/2142/9/trefbau.pdf NUMERICAL LINEAR ALGEBRA Lloyd N. Trefethen and David Bau, III]
#[http://www.math.siu.edu/matlab/tutorial3.pdf Tutorial]
#[http://pl.wikibooks.org/wiki/GNU_Octave wikibooks.org/wiki/GNU_Octave ]

=== Wektory ===

Wektor w przestrzeni euklidesowej N wymiarowej jest reprezentowany przez N liczb. 
Iloczyn skalarny dwóch wektorów <math>\mathbf a</math> oraz <math>\mathbf b</math> o   oznaczany symbolem <math>\mathbf a \cdot \mathbf b</math> określony jest jako:
: <math>\mathbf a \cdot \mathbf b = \sum_{i=1}^{N}a_i b_i</math>,
gdzie <math>a_i</math> to i-ty element wektora a. 
Można pokazać, że iloczyn ten jest też dany przez 
: <math>\mathbf a \cdot \mathbf b = \|\mathbf a\| \|\mathbf b\| \cos \theta</math>,
gdzie <math>\theta</math> jest kątem między <math>\mathbf a</math> a <math>\mathbf b</math>.

Jeśli jeden wektorów jest wektorem o długości jeden to mnoże go przez dowolny inny wektor może być interpretowane jako rzutowanie na kierunek wyznaczony przez pierwszy wektor. 

Baza 

Zmiana bazy

===  Zmiana bazy i iloczyn skalarny===
Mamy <math>(x,y)=\sum_{i=1}^{N}x_i y_j</math>
<source lang='matlab'>
b1=[1;1;1]
b2=[1;0;1]
b3=[1;0;-1]
C=[b1,b2,b3]
C'*C
M=[b1'*b1,b1'*b2,b1'*b3;b2'*b1,b2'*b2,b2'*b3;b3'*b1,b3'*b2,b3'*b3]
</source>

=== Ortogonalizacja Grama-Schmidta ===

Operator rzutowania ortogonalnego wektora <math>\mathbf{v}</math> na wektor <math>\mathbf{u}</math> definiujemy jako:


Wówczas dla układu k wektorów <math>\{\mathbf{v}_1, \ldots,\mathbf{v}_k\}</math> proces przebiega następująco:
:<math>\mathbf{u}_1 = \mathbf{v}_1,</math> 
:<math>\mathbf{u}_2 = \mathbf{v}_2-\frac{(\mathbf{u}_1,\mathbf{v}_2)}{\|\mathbf{u}_1 \|}\mathbf{u}_1, </math>
:<math>\vdots</math>
:<math>\mathbf{u}_k = \mathbf{v}_k-\sum_{j=1}^{k-1}\frac{(\mathbf{u}_j,\mathbf{v}_k)}{\| \mathbf{u}_j \|} \mathbf{u}_j, </math>


Wektory można zortonormalizować
:<math>\mathbf{u}_k = \frac{\mathbf{u}_k}{\| \mathbf{u}_k\|},</math>  dla <math>k=1..N</math>






<source lang="matlab">
e1=b1
e2=b2-(e1'*b2)/(e1'*e1)*e1
e3=b3-( (e1'*b3)/(e1'*e1)*e1 + (e2'*b3)/(e2'*e2)*e2 )
</source>

<source lang='matlab'>
E=[e1,e2,e3]
quiver3([0,0,0],[0,0,0],[0,0,0], C(1,:), C(2,:), C(3,:), 0,'r')
hold on
quiver3([0,0,0],[0,0,0],[0,0,0], E(1,:), E(2,:), E(3,:), 0,'b')
xlim([-1,1])
ylim([-1,1])
zlim([-1,1])
hold off

</source>

===Wartości i wektory własne===
<source lang="matlab">
phi=linspace(0, 2*pi, 30);

X=cos(phi);
Y=sin(phi);

A=[X; Y];

plot(A(1,:),A(2,:),'bo');
hold on
B=rand(2);
B=B+B'
A=B*A;
plot(A(1,:),A(2,:),'ro');

[E,v]=eig(B)

quiver([0,0],[0,0], E(1,:), E(2,:), 0,'g')

hold off

xlim([-3,3])
ylim([-3,3])
</source>

<source lang="matlab">
[phi,theta]=meshgrid (linspace(0, 2*pi, 30), linspace(0,pi,20) );

X=sin(theta).*cos(phi);
Y=sin(theta).*sin(phi);
Z=cos(theta);
X=reshape(X,[prod(size(X)),1]) ;
Y=reshape(Y,[prod(size(Y)),1]) ;
Z=reshape(Z,[prod(size(Z)),1]) ;

A=[X Y Z]';

plot3(A(1,:),A(2,:),A(3,:),'bo');
hold on
B=rand(3);
A=B*A;
plot3(A(1,:),A(2,:),A(3,:),'ro');

quiver3([0,0,0],[0,0,0],[0,0,0], E(1,:), E(2,:), E(3,:), 0,'g')

hold off

xlim([-1,1])
ylim([-1,1])
zlim([-1,1])
</source>

 Ćwiczenia: 

*obliczyć współrzędne wektora <math>a=(1,2,3)</math> w bazie <math>(e_1+e_2...</math>
*obliczyc rząd macierzy