Tekst źródłowy

[[Plik:kl.png|200px|left]][[Plik:Ue.png|200px|right]]






<center>
<math>\mathbf{TEORIA\;\; GIER\;\; W\;\; NEGOCJACJACH}</math> 

<math>\mathbf{I\;\; PODEJMOWANIU\;\; DECYZJI}</math>
</center>


<center> '''MAREK SZOPA'''</center>


<center> 
Skrypt dla studentów ekonofizyki sfinansowany w ramach projektu

Uniwersytet Partnerem Gospodarki Opartej na Wiedzy
</center>


<center>''Copyright 2010 by Marek Szopa ''</center>

#[[Teoria gier/Wstęp|Wstęp]]
#[[Teoria gier/Gry_dwuosobowe_suma_zero|Gry dwuosobowe o sumie zerowej]]
#* Gry oraz diagramy przesunięć
#* Punkty siodłowe oraz dominacje
#* Maksimin i minimaks
#* Strategie mieszane
#* Rozwiązania gier w strategiach mieszanych
#* Warunki istnienia punktów siodłowych
#* Ogólna metoda rozwiązania gier (2x2) w strategiach mieszanych
#* Rozwiązania gier typu (mx2) i (2xn)
#* Rozwiązania dowolnych gier o sumie zerowej
#[[Teoria gier/Gry_dwuosobowe_suma_niezero|Gry dwuosobowe o sumie niezerowej]]
#* Dominacje
#* Równowagi Nasha
#* Kooperacja czy zdrada: dylemat więźnia
#* Współpraca się opłaca – turnieje Axelroda
#* Strategie wyrównujące i twierdzenie Nasha
#* Optymalność w sensie Pareto
#[[Teoria gier/logika|Logika wnioskowania w podejmowaniu decyzji]]
#[[Teoria gier/podstawowe_zasady_negocjacji|Podstawowe zasady prowadzenia negocjacji]]
#* Harwardzki model negocjacji
#* Granica ustępstw i BATNA
#* Struktura procesu negocjacji
#* Cztery podstawowe zasady negocjacji
#* Wprawny negocjator
#[[Teoria gier/strategie_taktyki_negocjacji|Strategie i taktyki negocjacji]]
#* Zmienne negocjacyjne - manipulowanie ustępstwami
#* Strategia szachowa
#* Taktyki negocjacyjne



==Wstęp==

Wyobraź sobie, że wygrałeś główną nagrodę w teleturnieju. Prowadzący stawiają przed Tobą jeszcze jedno, ostatnie zadanie - wybór jednej z trzech zamkniętych kopert wewnątrz których zapisano, jaka jest Twoja nagroda. Wiadomo, że w jednej kopercie jest nazwa najnowszego, dobrze "wypasionego" modelu Mercedesa, w pozostałych dwóch zaś widnieje wizerunek nagrody pocieszenia, również dobrze wypasionego ...osła. Twój ostateczny wybór zadecyduje którą nagrodę dostaniesz. Wybierasz zatem jedną z kopert na "chybił trafił" - nie masz żadnych przesłanek, w której kopercie ukryto Mercedesa. Po Twoim wyborze prowadzący (który wie w której kopercie jest Mercedes) bierze inną kopertę i po jej otwarciu pokazuje Ci wizerunek osła. Następnie zadaje pytanie czy dalej obstajesz przy Twoim pierwszym wyborze, czy też decydujesz się na zmianę pierwotnie wybranej, na ostatnia - trzecią kopertę. Co będzie dla Ciebie lepszym rozwiązaniem?

Aby opisana historia była kompletna, a odpowiedź na postawione pytanie jednoznaczna, trzeba jeszcze kilka rzeczy uściślić. Wiadomo, że niezależnie od Twojego pierwszego wyboru prowadzący zawsze otwiera jedną z pozostałych dwu kopert, w której jest wizerunek osła. Wiesz również, że prowadzący nie rozdaje Mercedesów "lekką ręką". Nie wiadomo jednak, czy ważniejsze jest dla niego "zaoszczędzenie" samochodu czy też pozyskanie większej widowni poprzez budowanie dodatkowej dramaturgii teleturnieju. Gdyby założyć tą pierwszą opcję, można by pomyśleć, że pokazanie koperty z osłem ma na celu zmylenie nas i skłonienie do zmiany pierwotnie wybranej koperty z Mercedesem na inną. Tak też myśli wiele osób, które bardziej są skłonne do obstawania przy pierwotnym wyborze, niż do zmiany koperty.

Przeanalizujmy dokładniej zaistniałą sytuację. Prawdopodobieństwo, że pierwotny wybór był trafny (przez taki rozumiemy wybór Mercedesa) wynosi dokładnie <math>1/3</math>. Po otwarciu przez prowadzącego jednej z kopert z osłem, prawdopodobieństwo, że w dowolnej z pozostałych kopert jest Mercedes wydaje się wynosić dokładnie <math>1/2</math>. Takie rozumowanie jest jednak błędne. Okazuje się, że pomysł, żeby nie zmieniać koperty gdyż prowadzący prawdopodobnie chce nas do tego skłonić jest niewłaściwy. Wszak powiedzieliśmy, że prowadzący zawsze odkrywa jedną z pozostałych kopert niezależnie od tego, co pierwotnie wybraliśmy. Zauważmy zatem, że jeśli pierwotnie wybraliśmy kopertę z osłem t.j. w 2 przypadkach na 3 to prowadzący odkrywając drugą kopertę z osłem (bo takie są zasady) wskazuje nam pozostałą kopertę z Mercedesem, wystarczy jedynie zmienić pierwotny wybór. Zmiana koperty przyniesie nam porażkę (t.j. wybór osła) jedynie wtedy, kiedy pierwotnie wybraliśmy Mercedesa - ale taka sytuacja zdarzy się w <math>1/3</math> przypadków. Widzimy zatem, że ''strategia zmiany'' koperty podnosi prawdopodobieństwo sukcesu z <math>1/3</math> do <math>2/3</math>, choć nie widać tego na pierwszy rzut oka. ''Strategia pozostawienia'' pierwotnego wyboru przyniesie sukces jedynie w <math>1/3</math> przypadków. 

Opisana sytuacja znana jest w literaturze jako paradoks Monty Halla i wzięła swoją nazwę od pseudonimu artystycznego osoby prowadzącej telewizyjne widowisko "Let's make a deal" gdzie wykorzystywano ten paradoks. Paradoks doczekał się już bardzo bogatej literatury [http://en.wikipedia.org/wiki/Monty_Hall_problem]. Zwróćmy uwagę na użyte słowo "strategia". W teorii gier przez ''strategię'' będziemy rozumieli algorytm postępowania - przepis, który jednoznacznie określi wybieraną przez nas opcję lub ich sekwencję. Jedną z możliwych (i ważnych) jest ''strategia przypadkowa'', tj. taka, w której przed każdym wyborem opcji musimy się odwołać do "generatora przypadku", na przykład rzutu monetą.

Teoria gier jest stosunkowo młodą dziedziną matematyki, która powstała w połowie XX wieku, i bardzo szybko znalazła praktyczne zastosowania w wielu dziedzinach życia.
Poniżej przedstawiamy jedną z możliwych klasyfikacji teorii gier. W pierwszym rzędzie gry dzielimy na zręcznościowe (na przykład gra w cymbergaja), losowe (np. toto lotek) i strategiczne. Przez gry strategiczne, za Robertem Aumannem będziemy rozumieli ''"źródło struktur w obrębie których modelujemy i analizujemy zjawiska konfliktu i współpracy zachodzące pomiędzy podmiotami, z których każdy ma swój odrębny cel"''. Warto zauważyć, że niektóre gry należą do dwu kategorii tego podziału. Na przykład brydż jest grą strategiczną, która zawiera niemały element gry losowej - wszak karty rozdaje się w sposób losowy. Wiele gier zręcznościowych, szczególnie gry zespołowe (siatkówka, piłka nożna) też można analizować z punktu widzenia teorii gier strategicznych.


Rys. 1. Klasyfikacja Gier
[[Plik:KlasyfikacjaTG.png]]

Przechodząc w dół w obrębie przedstawionej klasyfikacji gry strategiczne dzielimy na dwuosobowe i wieloosobowe. Ten podział nie bierze się tylko z oczywistego nawiązania do ilości graczy, lecz przede wszystkim z pojawienia się w grach wieloosobowych możliwości tworzenia koalicji graczy, którzy między sobą mogą dokonywać redystrybucji wypłat. W grach superaddytywnych większe koalicje mogą uzyskać wyższe wypłaty niż ich mniejsze składowe. W obrębie gier dwuosobowych pierwotnym jest podział na gry o sumie zerowej (lub stałej) dla których suma wypłat obu graczy jest równa zero (stała) oraz gier o sumie niezerowej, które mogą być kooperacyjne lub mieszanych motywów, czyli rywalizacyjno-kooperacyjne. Wreszcie gry o sumie zerowej można podzielić że względu na to, czy ich rozwiązanie daje się wyrazić przy pomocy tzw. strategii prostych (gry z punktem siodłowym) czy strategii mieszanych (gry bez punktu siodłowego).

Celem niniejszego skryptu jest przybliżenie czytelnikowi podstawowych pojęć związanych z teorią gier strategicznych, ze szczególnym uwzględnieniem zastosowań tej teorii do bardzo praktycznych zagadnień jakimi są podejmowanie decyzji oraz negocjowanie. Okazuje się, że ścisłe rozważania matematyczne: definiowanie pojęć, formułowanie twierdzeń oraz ich dowodzenie - domena rozumowania matematycznego - nie musi być zamkniętym, niedostępnym dla zwykłego śmiertelnika obszarem rzeczywistości. Dowodzi tego właśnie teoria gier. Aby zrozumieć jej podstawowe pojęcia nie trzeba studiować matematyki, co więcej, nie ma w teorii gier nawet bardziej zaawansowanych metod matematycznych. Można zaryzykować twierdzenie, że matematyka wykorzystywana w obrębie teorii gier ogranicza się do zakresu edukacji szkolnej. Oczywiście sama teoria gier, tak jak każda inna dziedzina, wprowadza nowe pojęcia, których opanowanie jest niezbędne do jej zrozumienia. Wszystkie te pojęcia znajdzie jednak czytelnik w niniejszym opracowaniu. 

Niniejsze opracowanie podzielono na kilka części. Czytelnik, który wcześniej poznał podstawy teorii gier może opuścić początkowe rozdziały. W tych rozdziałach znajdziemy wszystkie definicje i pojęcia potrzebne do zrozumienia zagadnień zawartych w kolejnych częściach tego opracowania. Jeśli jednak interesują Cię przede wszystkim zastosowania, to czytanie "od końca" oraz odwoływanie się w razie potrzeby do definicji i twierdzeń zawartych w pierwszej części niniejszego opracowania też może być dobrym sposobem.

==Gry dwuosobowe o sumie zerowej==

===Gry oraz diagramy przesunięć===

;Gra
:Przez ''grę'' rozumiemy zespół ''zasad'' określający ''wypłatę'' dla graczy jako funkcje wybranych opcji, które są możliwe dla danej gry. 

Aby mówić o grze musimy wskazać co najmniej dwu graczy. Każdy z tych graczy ma możliwość wyboru spośród pewnej liczby możliwych opcji. Gracze podejmują swoje decyzję równocześnie lub, co na to samo wychodzi, nie znając wyborów pozostałych graczy - taką grę nazywamy ''symultaniczną''. Mogą też wybierać swoje opcje jako odpowiedź na wybór dokonany przez pozostałych graczy, w takim przypadku mówimy o grach ''sekwencyjnych''. Gra może składać się z jednej lub wielu ''rund'', w trakcie których gracze dokonują swoich wyborów. Przez ''strategię'', jak już to wspomnieliśmy we wstępie, rozumiemy przyjęty przez gracza sposób wybierania jednej z możliwych opcji. Strategie mogą być ''proste'', wówczas gracz po prostu wybiera jedną opcję lub ''mieszane'', wówczas gracz decyduje się na wybór kilku opcji z określeniem prawdopodobieństwa wyboru każdej z nich. 

Jeśli każdej możliwej kombinacji opcji wybranych przez graczy przyporządkujemy (jednoznacznie) wypłatę dla każdego z nich to taki przepis nazywamy ''zasadą gry''. ''Wypłatą'' gracza nazywamy mierzalny sposób określenia jego wyniku. Wypłaty zazwyczaj określamy w sposób liczbowy aby ułatwić ich sumowanie i podliczanie wyników gry. Można jednak definiować gry w których wypłaty są dobrami materialnymi, zobowiązaniem do wykonania jakiejś czynności (np. że gracz, który przegra stanie na głowie), etc. Zasady gry mogą być przedstawione w postaci macierzowej tzw. ''tabeli wypłat''. Poniżej przedstawiamy przykładową tabelę.

;Przykład 2.1 Tabela gry.

{|align=center border="1" cellpadding="4" cellspacing="0" style="margin: 1em 1em 1em 1em; background: #f9f9f9; border: 1px #aaa solid; border-collapse: collapse; font-size: 95%;"
|+ align=bottom | ''Przykład macierzy wypłat dla gry dwuosobowej''
|- class="wikitable"
|-
|align=center|'''2.1'''||colspan=3; style="color: #900; text-align:center;"| Basia (Kolumna) 
|-
|-
| rowspan=4; style="color: #009; text-align:center; width: 60px;"|Adam (Wiersz)
|style="background-color:#CCCCCC; text-align:center; width: 60px;"|
|style="background-color:#CCCCCC; color: #900; text-align:center; width: 60px;"|A  
|style="background-color:#CCCCCC; color: #900; text-align:center; width: 60px;"| B
|-
|style="background-color:#CCCCCC; color: #009; text-align:center; width: 60px;"| A
|align=center|<span style="color: #009">1</span>,<span style="color: #900"> -1</span>
|align=center|<span style="color: #009">-2</span>,<span style="color: #900"> 2</span>
|-
|style="background-color:#CCCCCC; color: #009; text-align:center; width: 60px;"| B 
|align=center|<span style="color: #009">-1</span>,<span style="color: #900"> 1</span>
|align=center|<span style="color: #009">0</span>,<span style="color: #900"> 0</span>
|-
|style="background-color:#CCCCCC; color: #009; text-align:center; width: 60px;"|C 
|align=center|<span style="color: #009">-4</span>,<span style="color: #900"> 4</span>
|align=center|<span style="color: #009">5</span>,<span style="color: #900"> -5</span>
|}

Graczami są Adam i Basia. W dalszej części odpersonalizujemy Adama i będziemy go nazywać (panem) Wierszem a Basię (panią) Kolumną. W grze 2.1 Adam ma do wybory trzy opcje (strategie proste): A, B oraz C a Basia dwie strategie: A oraz B. W zależności od dokonanych wyborów uzyskują wypłaty zapisane w tabeli. Wypłaty Adama są oznaczone kolorem niebieskim a wypłaty Basi kolorem czerwonym. Jak łatwo zauważyć wypłaty Adama są zawsze liczbami przeciwnymi do wypłat Basi. Tyle ile jedno z nich wygra drugie musi przegrać. Grę w której mamy do czynienia z taką sytuacją nazywamy grą o ''sumie zerowej''. Dla gier o sumie zerowej przyjmujemy upraszczające konwencję zapisu, w której tabela wypłat zawiera tylko wypłaty Wiersza, wypłaty Kolumny są przeciwne do wypłat wiersza. W przypadku gry 2.1. uproszczona tabela ma postać

{| align=center border="1" cellpadding="4" cellspacing="0" style="margin: 1em 1em 1em 1em; background: #f9f9f9; border: 1px #aaa solid; border-collapse: collapse; font-size: 95%;"
|+ align=bottom | ''Uproszczona macierz pokazująca tylko wypłaty Wiersza''
|- class="wikitable"
|-
|align=center|'''2.1'''||colspan=3; style="color: #900; text-align:center;"|Kolumna 
|-
|-
| rowspan=4; style="color: #009; text-align:center; width: 60px;"|Wiersz
|style="background-color:#CCCCCC; text-align:center; width: 60px;"|
|style="background-color:#CCCCCC; color: #900; text-align:center; width: 60px;"|A  
|style="background-color:#CCCCCC; color: #900; text-align:center; width: 60px;"| B
|-
|style="background-color:#CCCCCC; color: #009; text-align:center; width: 60px;"| A
|align=center|<span style="color: #009">1
|align=center|<span style="color: #009">-2
|-
|style="background-color:#CCCCCC; color: #009; text-align:center; width: 60px;"| B 
|align=center|<span style="color: #009">-1</span>
|align=center|<span style="color: #009">0</span>
|-
|style="background-color:#CCCCCC; color: #009; text-align:center; width: 60px;"|C 
|align=center|<span style="color: #009">-4</span>
|align=center|<span style="color: #009">5</span>
|}

Przeanalizujmy teraz, jak wygląda nasza przykładowa gra 2.1 z punktu widzenia opłacalności poszczególnych wyborów graczy. Jeśli Wiersz wybierze opcję A to kolumnie opłaca się wtedy wybrać B, gdyż dla opcji A Kolumna przegrywa <math>1</math> a w opcji B Kolumna wygrywa <math>2</math>. Na ''diagramie przesunięć'' poniżej oznaczono ten fakt przy pomocy strzałki w prawo w polu (A,A). Zauważmy, że strzałka ta jest skierowana od wartości większej <math>(1)</math> do mniejszej <math>(-2)</math> zgodnie z konwencją, że wygrane Kolumny są liczbami przeciwnymi do wygranych wiersza. A zatem ta strzałka, tak naprawdę wskazuje preferencje Kolumny: zakładając, że Wiersz pozostanie przy opcji A, wybór B Kolumny jest dla niej korzystniejszy niż A <math>(2 > -1)</math>. Można podsumować, że poziome strzałki diagramu przesunięć są zawsze skierowane od wartości większych do mniejszych oraz wskazują preferowane opcje Kolumny. 

;Diagram przesunięć

{| align=center border="1" cellpadding="4" cellspacing="0" style="margin: 1em 1em 1em 1em; background: #f9f9f9; border: 1px #aaa solid; border-collapse: collapse; font-size: 95%;"
|+ align=bottom | ''Macierzy pokazująca dla każdej pary wyborów preferencje graczy''
|- class="wikitable"
|-
|align=center|'''2.1'''||colspan=3; style="color: #900; text-align:center;"|Kolumna 
|-
|-
| rowspan=4; style="color: #009; text-align:center; width: 60px;"|Wiersz
|style="background-color:#CCCCCC; text-align:center; width: 60px;"|
|style="background-color:#CCCCCC; color: #900; text-align:center; width: 60px;"|A  
|style="background-color:#CCCCCC; color: #900; text-align:center; width: 60px;"| B
|-
|style="background-color:#CCCCCC; color: #009; text-align:center; width: 60px;"| A
|align=right|<math>\rightarrow</math>
|align=center|<math>\downarrow</math>
|-
|style="background-color:#CCCCCC; color: #009; text-align:center; width: 60px;"| B 
|align=center|<math>\uparrow</math>
|align=left|<math>\leftarrow \; \downarrow</math>
|-
|style="background-color:#CCCCCC; color: #009; text-align:center; width: 60px;"|C 
|align=center|</span><math>\uparrow</math>
|align=left|<math>\leftarrow</math>
|}

Preferowane opcje Wiersza wskazują strzałki pionowe, które są zawsze skierowane od wartości mniejszych do większych, zgodnie z preferencjami Wiersza. Strzałka skierowana w dół w polu (B,B) oznacza, że przy zadanym wyborze B Kolumny, opcja C jest dla Wiersza korzystniejsza niż B. Zauważmy, że w polu (B,B) znajduje się również strzałka skierowana w lewo. Oznacza ona, że przy zadanym wyborze B Wiersza, opcja A jest dla Kolumny korzystniejsza niż B. W każdym polu diagramu przesunięć gry '''2.1''' znajduje się jakaś strzałka. Oznacza to, że nie ma w tej grze pary wyborów, która byłaby korzystna dla oby graczy: dla każdej pary wyborów jeden z graczy może znaleźć opcję korzystniejszą, przy założeniu, że partner pozostanie przy swojej. Ta sytuacja jednak nie zawsze ma miejsce, zobaczmy bowiem kolejną grę:

;Przykład 2.2 Gra z punktem równowagi.

{| align=center border="1" cellpadding="4" cellspacing="0" style="margin: 1em 1em 1em 1em; background: #f9f9f9; border: 1px #aaa solid; border-collapse: collapse; font-size: 95%;"
|+ align=bottom | ''Macierz wypłat 2.2''
|- class="wikitable"
|-
|align=center|'''2.2'''||colspan=4; style="color: #900; text-align:center;"|Kolumna 
|-
|-
| rowspan=3; style="color: #009; text-align:center; width: 60px;"|Wiersz
|style="background-color:#CCCCCC; text-align:center; width: 60px;"|
|style="background-color:#CCCCCC; color: #900; text-align:center; width: 60px;"|A  
|style="background-color:#CCCCCC; color: #900; text-align:center; width: 60px;"|B
|style="background-color:#CCCCCC; color: #900; text-align:center; width: 60px;"|C
|-
|style="background-color:#CCCCCC; color: #009; text-align:center; width: 60px;"|A
|align=center|<span style="color: #009">-1
|align=center|<span style="color: #009">3
|align=center|<span style="color: #009">1
|-
|style="background-color:#CCCCCC; color: #009; text-align:center; width: 60px;"|B 
|align=center|<span style="color: #009">0
|align=center|<span style="color: #009">2
|align=center|<span style="color: #009">0
|}

Diagram przesunięć dla tej gry wygląda następująco:

{| align=center border="1" cellpadding="4" cellspacing="0" style="margin: 1em 1em 1em 1em; background: #f9f9f9; border: 1px #aaa solid; border-collapse: collapse; font-size: 95%;"
|+ align=bottom | ''Diagram przesunięć dla gry 2.2''
|- class="wikitable"
|-
|align=center|'''2.2'''||colspan=4; style="color: #900; text-align:center;"|Kolumna 
|-
|-
| rowspan=3; style="color: #009; text-align:center; width: 60px;"|Wiersz
|style="background-color:#CCCCCC; text-align:center; width: 60px;"|
|style="background-color:#CCCCCC; color: #900; text-align:center; width: 60px;"|A  
|style="background-color:#CCCCCC; color: #900; text-align:center; width: 60px;"|B
|style="background-color:#CCCCCC; color: #900; text-align:center; width: 60px;"|C
|-
|style="background-color:#CCCCCC; color: #009; text-align:center; width: 60px;"|A
|align=center|<math>\downarrow</math>
|align=left|<math>\leftarrow \; \; \; \; \rightarrow</math>
|align=center|
|-
|style="background-color:#CCCCCC; color: #009; text-align:center; width: 60px;"|B 
|align=center| 
|align=left|<math>\leftarrow \; \uparrow \; \rightarrow</math>
|align=center|<math>\uparrow</math>
|}

Jak widzimy w polach (B,A) i (A,C) nie ma żadnych strzałek. Oznacza to, że jeśli gracze znajdą się w jednym z tych punktów, to żadnemu z nich nie opłaca się jednostronnie zmieniać swojej opcji na sąsiednią. Takie miejsca nazywamy ''punktami równowagi''. Zauważmy, że punkty równowagi jest określony lokalnie, poprzez wartości wypłat pól sąsiednich. Jaką strategię powinni obrać graczy w tej grze? Dla Wiersza korzystniejszą jest równowaga (A,C) - wygrana <math>1</math> niż (B,A) - wygrana <math>0</math>. Załóżmy więc, że wybierze on opcję A. Wtedy jednak Kolumna szybko zauważy, że lepiej jej jest nie grać swojej opcji C dla równowagi (A,C) gdyż opcja A jest dla nie korzystniejsza. Jeśli Wiersz to zauważy to sam powinien zagrać B, co doprowadzi graczy do drugiej równowagi (B,A). Po osiągnięciu tej równowagi, żaden z graczy nie jest zainteresowany zmianą swojej strategii: wygrana <math>0</math> jest bowiem dla wiersza najwyższa w kolumnie A, natomiast dla Kolumny jest ona nie mniej korzystna niż inne w wierszu B. Żaden z graczy nie może wygrać więcej przez jednostonną zmianę swojej strategii.

=== Punkty siodłowe oraz dominacje ===

Rozpoczniemy od definicji punktu siodłowego

;Punkt siodłowy
:Punkt macierzy wypłat, którego wartość jest nie większa od innych wartości w jego wierszu oraz nie mniejsza od innych wartości w jego kolumnie nazywamy ''punktem siodłowym''. Na punkt siodłowy składa się para ''zawierających'' go strategii oraz odpowiadająca im wygrana <math> \nu </math>, którą nazywamy ''wartością gry''.  

W grze '''2.2''' punktem siodłowym jest równowaga (B,A). Wiersz grając należącą do punktu siodłowego strategię B może być pewien, że nie wygra mniej niż wynosi wartość gry <math>0</math> a Kolumna grając należącą do punktu siodłowego strategię A ma pewność, że Wiersz nie wygra więcej niż wynosi wartość gry.

Zauważmy, że niezależnie od strategii Wiersza, Kolumna może z góry wykluczyć swoją strategię B. Istotnie, Strategia B jest zawsze gorsza od strategii A i strategii C Kolumny. Obrazują to poziome strzałki na diagramie przesunięć gry '''2.2'''. Ten przypadek ilustruje ważne pojęcie ''strategii zdominowanej''.

;Strategia zdominowana
:Mówimy, że strategia X gracza jest ''zdominowana'' przez strategię Y tego gracza jeżeli X i Y nie są identyczne a niezależnie od strategii przeciwnika wypłata przy wyborze X jest niewiększa od wypłaty przy wyborze Y. W tym przypadku mówimy również, że strategia Y gracza ''dominuje'' strategię X.

Jak widzimy na przykładzie 2.2 strategia B Kolumny jest zdominowana przez strategię A oraz przez strategię C. Istotnie dla wypłaty Kolumny porównując B z A mamy <math>-3<1</math> i <math>-2<0</math>. Podobnie rzecz się ma przy porównaniu B z C. Jeśli jakaś strategia jest zdominowana przez inną to gracz może tej strategii nie brać pod uwagę w rozgrywce. Rzeczywiście zamiast tej strategii może zawsze wybrać inną, która ją dominuje a jego wygrana będzie co najmniej równa wygranej dla strategii zdominowanej. 

Załóżmy, że mamy do czynienia z ''racjonalnymi graczami'', którzy nie wybierają strategii dla siebie niekorzystnych. W tym przypadku analizując grę możemy ją uprościć usuwając z niej wszystkie strategie zdominowane. W przypadku gry '''2.2''' możemy spokojnie usunąć strategię B Kolumny. W tym przypadku gra przybierze postać
 

;Przykład 2.2' Gra 2.2 bez strategii zdominowanej.

{| align=center border="1" cellpadding="4" cellspacing="0" style="margin: 1em 1em 1em 1em; background: #f9f9f9; border: 1px #aaa solid; border-collapse: collapse; font-size: 95%;"
|+ align=bottom | ''Macierz wypłat 2.2'''
|- class="wikitable"
|-
|align=center|'''2.2''''||colspan=3; style="color: #900; text-align:center;"|Kolumna 
|-
|-
| rowspan=3; style="color: #009; text-align:center; width: 60px;"|Wiersz
|style="background-color:#CCCCCC; text-align:center; width: 60px;"|
|style="background-color:#CCCCCC; color: #900; text-align:center; width: 60px;"|A  
|style="background-color:#CCCCCC; color: #900; text-align:center; width: 60px;"|C
|-
|style="background-color:#CCCCCC; color: #009; text-align:center; width: 60px;"|A
|align=center|<span style="color: #009">-1
|align=center|<span style="color: #009">1
|-
|style="background-color:#CCCCCC; color: #009; text-align:center; width: 60px;"|B 
|align=center|<span style="color: #009">0
|align=center|<span style="color: #009">0
|}

Na diagramie przesunięć dla tej gry znajdziemy jeden punkt równowagi (B,A):

{| align=center border="1" cellpadding="4" cellspacing="0" style="margin: 1em 1em 1em 1em; background: #f9f9f9; border: 1px #aaa solid; border-collapse: collapse; font-size: 95%;"
|+ align=bottom | ''Diagram przesunięć dla gry 2.2'''
|- class="wikitable"
|-
|align=center|'''2.2'''||colspan=3; style="color: #900; text-align:center;"|Kolumna 
|-
|-
| rowspan=3; style="color: #009; text-align:center; width: 60px;"|Wiersz
|style="background-color:#CCCCCC; text-align:center; width: 60px;"|
|style="background-color:#CCCCCC; color: #900; text-align:center; width: 60px;"|A  
|style="background-color:#CCCCCC; color: #900; text-align:center; width: 60px;"|C
|-
|style="background-color:#CCCCCC; color: #009; text-align:center; width: 60px;"|A
|align=center|<math>\downarrow</math>
|align=left|<math>\leftarrow</math>
|-
|style="background-color:#CCCCCC; color: #009; text-align:center; width: 60px;"|B 
|align=center| 
|align=center|<math> \uparrow</math>
|}

Zauważmy, że punkt równowagi (B,A) jest jednocześnie punktem siodłowym. Wyeliminowanie z gry strategii zdominowanej uprościło jej analizę i z dwu punktów równowagi pozostał tylko jeden - ten który jest jednocześnie punktem siodłowym. Przeanalizujmy teraz bardziej złożoną grę, w której każdy z graczy ma po 4 opcje wyboru. 

;Przykład 2.3 Gra z kilkoma punktami siodłowymi.

{| align=center border="1" cellpadding="4" cellspacing="0" style="margin: 1em 1em 1em 1em; background: #f9f9f9; border: 1px #aaa solid; border-collapse: collapse; font-size: 95%;"
|+ align=bottom | ''Macierz wypłat 2.3''
|- class="wikitable"
|-
|align=center|'''2.3'''||colspan=5; style="color: #900; text-align:center;"|Kolumna 
|-
|-
| rowspan=5; style="color: #009; text-align:center; width: 60px;"|Wiersz
|style="background-color:#CCCCCC; text-align:center; width: 60px;"|
|style="background-color:#CCCCCC; color: #900; text-align:center; width: 60px;"|A  
|style="background-color:#CCCCCC; color: #900; text-align:center; width: 60px;"|B
|style="background-color:#CCCCCC; color: #900; text-align:center; width: 60px;"|C
|style="background-color:#CCCCCC; color: #900; text-align:center; width: 60px;"|D
|-
|style="background-color:#CCCCCC; color: #009; text-align:center; width: 60px;"|A
|align=center|<span style="color: #009">2
|align=center|<span style="color: #009">1
|align=center|<span style="color: #009">3
|align=center|<span style="color: #009">1
|-
|style="background-color:#CCCCCC; color: #009; text-align:center; width: 60px;"|B 
|align=center|<span style="color: #009">-1
|align=center|<span style="color: #009">0
|align=center|<span style="color: #009">7
|align=center|<span style="color: #009">-5
|-
|style="background-color:#CCCCCC; color: #009; text-align:center; width: 60px;"|C
|align=center|<span style="color: #009">9
|align=center|<span style="color: #009">1
|align=center|<span style="color: #009">5
|align=center|<span style="color: #009">1
|-
|style="background-color:#CCCCCC; color: #009; text-align:center; width: 60px;"|D 
|align=center|<span style="color: #009">1
|align=center|<span style="color: #009">0
|align=center|<span style="color: #009">7
|align=center|<span style="color: #009">-2
|}

Diagram przesunięć dla tej gry wygląda następująco:

{| align=center border="1" cellpadding="4" cellspacing="0" style="margin: 1em 1em 1em 1em; background: #f9f9f9; border: 1px #aaa solid; border-collapse: collapse; font-size: 95%;"
|+ align=bottom | ''Diagram przesunięć dla gry 2.3''
|- class="wikitable"
|-
|align=center|'''2.3'''||colspan=5; style="color: #900; text-align:center;"|Kolumna 
|-
|-
| rowspan=5; style="color: #009; text-align:center; width: 60px;"|Wiersz
|style="background-color:#CCCCCC; text-align:center; width: 60px;"|
|style="background-color:#CCCCCC; color: #900; text-align:center; width: 60px;"|A  
|style="background-color:#CCCCCC; color: #900; text-align:center; width: 60px;"|B
|style="background-color:#CCCCCC; color: #900; text-align:center; width: 60px;"|C
|style="background-color:#CCCCCC; color: #900; text-align:center; width: 60px;"|D
|-
|style="background-color:#CCCCCC; color: #009; text-align:center; width: 60px;"|A
|align=right|<math>\rightarrow</math>
|align=center|
|align=left|<math>\leftarrow \; \downarrow \; \rightarrow</math>
|align=center|
|-
|style="background-color:#CCCCCC; color: #009; text-align:center; width: 60px;"|B 
|align=center|<math>\updownarrow</math>
|align=left|<math>\leftarrow \; \updownarrow</math>
|align=left|<math>\leftarrow \; \; \; \; \rightarrow</math>
|align=center|<math>\updownarrow</math>
|-
|style="background-color:#CCCCCC; color: #009; text-align:center; width: 60px;"|C
|align=right|<math>\rightarrow</math>
|align=center|
|align=left|<math>\leftarrow \; \updownarrow \; \rightarrow</math>
|align=center|
|-
|style="background-color:#CCCCCC; color: #009; text-align:center; width: 60px;"|D 
|align=right|<math>\uparrow \; \rightarrow</math>
|align=center|<math>\uparrow</math>
|align=left|<math>\leftarrow \; \; \; \; \rightarrow</math>
|align=center|<math>\uparrow</math>
|}

W tej grze można wyeliminować strategię C Kolumny, jest ona zdominowana zarówno przez strategię B jak i D a zatem racjonalny gracz nie powinien jej wybierać. Wiedząc o tym, Wiersz powinien więc planować swoje wybory uwzględniając, że Kolumna nie zagra strategii C. Po wyeliminowaniu jej uzyskamy grę:


;Przykład 2.3' Gra z kilkoma punktami siodłowymi.

{| align=center border="1" cellpadding="4" cellspacing="0" style="margin: 1em 1em 1em 1em; background: #f9f9f9; border: 1px #aaa solid; border-collapse: collapse; font-size: 95%;"
|+ align=bottom | ''Macierz wypłat 2.3'''
|- class="wikitable"
|-
|align=center|'''2.3'''||colspan=4; style="color: #900; text-align:center;"|Kolumna 
|-
|-
| rowspan=5; style="color: #009; text-align:center; width: 60px;"|Wiersz
|style="background-color:#CCCCCC; text-align:center; width: 60px;"|
|style="background-color:#CCCCCC; color: #900; text-align:center; width: 60px;"|A  
|style="background-color:#CCCCCC; color: #900; text-align:center; width: 60px;"|B
|style="background-color:#CCCCCC; color: #900; text-align:center; width: 60px;"|D
|-
|style="background-color:#CCCCCC; color: #009; text-align:center; width: 60px;"|A
|align=center|<span style="color: #009">2
|align=center|<span style="color: #009">1
|align=center|<span style="color: #009">1
|-
|style="background-color:#CCCCCC; color: #009; text-align:center; width: 60px;"|B 
|align=center|<span style="color: #009">-1
|align=center|<span style="color: #009">0
|align=center|<span style="color: #009">-5
|-
|style="background-color:#CCCCCC; color: #009; text-align:center; width: 60px;"|C
|align=center|<span style="color: #009">9
|align=center|<span style="color: #009">1
|align=center|<span style="color: #009">1
|-
|style="background-color:#CCCCCC; color: #009; text-align:center; width: 60px;"|D 
|align=center|<span style="color: #009">1
|align=center|<span style="color: #009">0
|align=center|<span style="color: #009">-2
|}

dla której diagram przesunięć jest

{| align=center border="1" cellpadding="4" cellspacing="0" style="margin: 1em 1em 1em 1em; background: #f9f9f9; border: 1px #aaa solid; border-collapse: collapse; font-size: 95%;"
|+ align=bottom | ''Diagram przesunięć dla gry 2.3'''
|- class="wikitable"
|-
|align=center|'''2.3''''||colspan=4; style="color: #900; text-align:center;"|Kolumna 
|-
|-
| rowspan=5; style="color: #009; text-align:center; width: 60px;"|Wiersz
|style="background-color:#CCCCCC; text-align:center; width: 60px;"|
|style="background-color:#CCCCCC; color: #900; text-align:center; width: 60px;"|A  
|style="background-color:#CCCCCC; color: #900; text-align:center; width: 60px;"|B
|style="background-color:#CCCCCC; color: #900; text-align:center; width: 60px;"|D
|-
|style="background-color:#CCCCCC; color: #009; text-align:center; width: 60px;"|A
|align=right|<math>\rightarrow</math>
|align=center|
|align=center|
|-
|style="background-color:#CCCCCC; color: #009; text-align:center; width: 60px;"|B 
|align=center|<math>\updownarrow</math>
|align=left|<math>\leftarrow \; \updownarrow \; \rightarrow</math>
|align=center|<math>\updownarrow</math>
|-
|style="background-color:#CCCCCC; color: #009; text-align:center; width: 60px;"|C
|align=right|<math>\rightarrow</math>
|align=center|
|align=center|
|-
|style="background-color:#CCCCCC; color: #009; text-align:center; width: 60px;"|D 
|align=right|<math>\uparrow \; \rightarrow</math>
|align=right|<math>\uparrow \; \rightarrow</math>
|align=center|<math>\uparrow</math>
|}

Zauważmy, że w zmodyfikowanej grze '''2.3'''' strategie B i D Wiersza również są zdominowane na przykład przez strategię C. Dla Wiersza oznacza to, że może tych strategii nie brać pod uwagę, co dodatkowo znacznie uprości grę do postaci


;Przykład 2.3<math>''</math> Gra z kilkoma punktami siodłowymi.

{| align=center border="1" cellpadding="4" cellspacing="0" style="margin: 1em 1em 1em 1em; background: #f9f9f9; border: 1px #aaa solid; border-collapse: collapse; font-size: 95%;"
|+ align=bottom | ''Macierz wypłat 2.3<math>''</math>''
|- class="wikitable"
|-
|align=center|'''2.3<math>''</math> '''||colspan=4; style="color: #900; text-align:center;"|Kolumna 
|-
|-
| rowspan=3; style="color: #009; text-align:center; width: 60px;"|Wiersz
|style="background-color:#CCCCCC; text-align:center; width: 60px;"|
|style="background-color:#CCCCCC; color: #900; text-align:center; width: 60px;"|A  
|style="background-color:#CCCCCC; color: #900; text-align:center; width: 60px;"|B
|style="background-color:#CCCCCC; color: #900; text-align:center; width: 60px;"|D
|-
|style="background-color:#CCCCCC; color: #009; text-align:center; width: 60px;"|A
|align=center|<span style="color: #009">2
|align=center|<span style="color: #009">1
|align=center|<span style="color: #009">1
|-
|style="background-color:#CCCCCC; color: #009; text-align:center; width: 60px;"|C
|align=center|<span style="color: #009">9
|align=center|<span style="color: #009">1
|align=center|<span style="color: #009">1
|}

dla której diagram przesunięć jest

{| align=center border="1" cellpadding="4" cellspacing="0" style="margin: 1em 1em 1em 1em; background: #f9f9f9; border: 1px #aaa solid; border-collapse: collapse; font-size: 95%;"
|+ align=bottom | ''Diagram przesunięć dla gry 2.3<math>''</math>''
|- class="wikitable"
|-
|align=center|'''2.3<math>''</math>'''||colspan=4; style="color: #900; text-align:center;"|Kolumna 
|-
|-
| rowspan=3; style="color: #009; text-align:center; width: 60px;"|Wiersz
|style="background-color:#CCCCCC; text-align:center; width: 60px;"|
|style="background-color:#CCCCCC; color: #900; text-align:center; width: 60px;"|A  
|style="background-color:#CCCCCC; color: #900; text-align:center; width: 60px;"|B
|style="background-color:#CCCCCC; color: #900; text-align:center; width: 60px;"|D
|-
|style="background-color:#CCCCCC; color: #009; text-align:center; width: 60px;"|A
|align=right|<math>\rightarrow</math>
|align=center|
|align=center|
|-
|style="background-color:#CCCCCC; color: #009; text-align:center; width: 60px;"|C
|align=right|<math>\rightarrow</math>
|align=center|
|align=center|
|}.

A teraz już tylko jeden krok do rozwiązania gry, które otrzymamy po wyeliminowaniu zdominowanej strategii A Kolumny (zauważmy, że Kolumna nie mogła wyeliminować swojej strategii A już w pierwszym kroku, gdyż w pierwotnej postaci gry '''2.3''' ta strategia nie jest zdominowana). Po tej trzystopniowej redukcji strategii zdominowanych gra 2.3 sprowadza się do prostej formy

;Przykład 2.3<math>'''</math> Gra z kilkoma punktami siodłowymi.

{| align=center border="1" cellpadding="4" cellspacing="0" style="margin: 1em 1em 1em 1em; background: #f9f9f9; border: 1px #aaa solid; border-collapse: collapse; font-size: 95%;"
|+ align=bottom | ''Macierz wypłat 2.3<math>'''</math>''
|- class="wikitable"
|-
|align=center|'''2.3<math>'''</math> '''||colspan=3; style="color: #900; text-align:center;"|Kolumna 
|-
|-
| rowspan=3; style="color: #009; text-align:center; width: 60px;"|Wiersz
|style="background-color:#CCCCCC; text-align:center; width: 60px;"|
|style="background-color:#CCCCCC; color: #900; text-align:center; width: 60px;"|B
|style="background-color:#CCCCCC; color: #900; text-align:center; width: 60px;"|D
|-
|style="background-color:#CCCCCC; color: #009; text-align:center; width: 60px;"|A
|align=center|<span style="color: #009">1
|align=center|<span style="color: #009">1
|-
|style="background-color:#CCCCCC; color: #009; text-align:center; width: 60px;"|C
|align=center|<span style="color: #009">1
|align=center|<span style="color: #009">1
|}

dla której diagram przesunięć jest oczywiście pusty. Rozwiązanie gry 2.3 mówi nam, że Wiersz powinien grać strategię A lub C a Kolumna strategię B lub D. Grając te strategie obaj gracze mają gwarancję, że ich wynik będzie nie gorszy niż wynosi wartość gry, którą jest w tym przypadku <math> \nu=1 </math>. Zauważmy, że pary strategii (A,B), (A,D), (C,B) i (C,D) są punktami siodłowymi gry w każdej jej postać od '''2.3''' do '''2.3<math>'''</math>'''. W pierwotnej postaci gry para strategii (D,A) również dawała wygraną równą wartości gry <math> \nu=1 </math> ale para ta nie jest punktem siodłowym. Istotnie, gdyby na przykład wiersz zdecydował się zagrać strategię D to Kolumna mogłaby zagrać również D uzyskując dla siebie wynik <math>2</math> dużo korzystniejszy niż wartość gry.

;Rozwiązanie gry
:Rozwiązaniem gry o sumie zerowej nazywamy parę strategii optymalnych oraz wartość gry <math>\nu\,</math> czyli wypłatę, odpowiadającą tym strategiom. Strategia gracza jest ''optymalna'', jeżeli jego wygrana będzie równa co najmniej <math>\nu\,</math>, niezależnie od strategii przyjętej przez drugiego gracza.

Zauważmy, że każdy punkt siodłowy jest rozwiązaniem gry. Gra 2.3 ma zatem 4 rozwiązania, odpowiadające wartości gry <math> \nu=1\,</math>. Czy możliwa jest sytuacja w której gra ma kilka punktów siodłowych odpowiadających różnym wartościom wygranej? Gdyby tak było, to nie można by jednoznacznie określić wartości gry. Na szczęście taka sytuacja nie może mieć miejsca. Zachodzi bowiem twierdzenie

;Twierdzenie. Każde dwa punkty siodłowe tej samej gry odpowiadają tej samej wypłacie.
;Dowód: załóżmy, że para strategii (X<math>_{1}</math>,Y<math>_{1}</math>) odpowiada wypłacie <math> \nu_{1,1}\,</math> a para strategii (X<math>_{2}</math>,Y<math>_{2}</math>) odpowiada wypłacie <math> \nu_{2,2}\,</math> oraz (X<math>_{1}</math>,Y<math>_{1}</math>) i (X<math>_{2}</math>,Y<math>_{2}</math>) są punktami siodłowymi. Pokażemy, że <math> \nu_{1,1}=\nu_{2,2}\,</math>. Gdyby X<math>_{1}</math> = X<math>_{2}</math> to <math> \nu_{1,1}=\nu_{2,2}\,</math> gdyż z definicji żaden z dwu punktów siodłowych w jednym wierszu nie może być większy od drugiego. Podobnie pokazujemy tezę dla Y<math>_{1}</math> = Y<math>_{2}</math>. Możemy więc założyć, że strategie X<math>_{1}</math> i X<math>_{2}</math> są różne podobnie jak Y<math>_{1}</math> i Y<math>_{2}</math>. Rozważmy dodatkowe pary strategii (X<math>_{1}</math>,Y<math>_{2}</math>) i (X<math>_{2}</math>,Y<math>_{1}</math>), oraz odpowiadające im wypłaty <math> \nu_{1,2}\,</math> i <math> \nu_{2,1}\,</math> (por. tabela 2.4). Zauważmy, że z definicji punktu siodłowego wynika, że wszystkie wartości w wierszu są nie mniejsze od <math> \nu_{1,1} \,</math> i <math> \nu_{2,2}\,</math> więc 
:{| align=center border="1" cellpadding="4" cellspacing="0" style="margin: 1em 1em 1em 1em; background: #f9f9f9; border: 1px #aaa solid; border-collapse: collapse; font-size: 95%;"
|+ align=bottom | ''Tabela 2.4''
|- class="wikitable"
|-
|align=center|'''2.4'''||colspan=6; style="color: #900; text-align:center;"|Kolumna 
|-
|-
| rowspan=6; style="color: #009; text-align:center; width: 40px;"|Wiersz
|style="background-color:#CCCCCC; text-align:center; width: 40px;"|
|style="background-color:#CCCCCC; color: #900; text-align:center; width: 40px;"|...  
|style="background-color:#CCCCCC; color: #900; text-align:center; width: 40px;"|Y<math>_{1}</math>
|style="background-color:#CCCCCC; color: #900; text-align:center; width: 40px;"|...
|style="background-color:#CCCCCC; color: #900; text-align:center; width: 40px;"|Y<math>_{2}</math>
|style="background-color:#CCCCCC; color: #900; text-align:center; width: 40px;"|...
|-
|style="background-color:#CCCCCC; color: #009; text-align:center; width: 40px;"|...
|align=center|<span style="color: #009">...
|align=center|<span style="color: #009">...
|align=center|<span style="color: #009">...
|align=center|<span style="color: #009">...
|align=center|<span style="color: #009">...
|-
|style="background-color:#CCCCCC; color: #009; text-align:center; width: 40px;"|X<math>_{1}</math>
|align=center|<span style="color: #009">...
|align=center|<span style="color: #009"><math>\nu_{1,1}</math>
|align=center|<span style="color: #009">...
|align=center|<span style="color: #009"><math>\nu_{1,2}</math>
|align=center|<span style="color: #009">...
|-
|style="background-color:#CCCCCC; color: #009; text-align:center; width: 40px;"|...
|align=center|<span style="color: #009">...
|align=center|<span style="color: #009">...
|align=center|<span style="color: #009">...
|align=center|<span style="color: #009">...
|align=center|<span style="color: #009">...
|-
|style="background-color:#CCCCCC; color: #009; text-align:center; width: 40px;"|X<math>_{2}</math>
|align=center|<span style="color: #009">...
|align=center|<span style="color: #009"><math>\nu_{2,1}</math>
|align=center|<span style="color: #009">...
|align=center|<span style="color: #009"><math>\nu_{2,2}</math>
|align=center|<span style="color: #009">...
|-
|style="background-color:#CCCCCC; color: #009; text-align:center; width: 40px;"|...
|align=center|<span style="color: #009">...
|align=center|<span style="color: #009">...
|align=center|<span style="color: #009">...
|align=center|<span style="color: #009">...
|align=center|<span style="color: #009">...
|}
:<math> \nu_{1,1} \leqslant \nu_{1,2} </math> oraz <math> \nu_{2,2} \leqslant \nu_{2,1} </math>. 
:Podobnie z definicji punktu siodłowego wynika, że wszystkie wartości w kolumnie są nie większe od <math> \nu_{1,1}</math> i <math> \nu_{2,2}</math> więc 
:<math> \nu_{2,1}\leqslant\nu_{1,1} </math> oraz <math> \nu_{1,2} \leqslant \nu_{2,2} </math>. 
:Z nierówności tych wynika bezpośrednio, że 
:<math> \nu_{1,1}=\nu_{1,2}=\nu_{2,2}=\nu_{2,1} \;</math>
:A zatem udowodniliśmy twierdzenie pokazując ponadto dodatkowe dwa punkty siodłowe, które wraz z pierwotnie wybranymi tworzą prostokąt w tabeli wypłat.

=== Maksimin i minimaks ===

Poszukiwanie punktów siodłowych metodą redukcji strategii zdominowanych tak jak to pokazaliśmy w przykładzie '''2.3''' udaje się tylko dla niektórych gier. W ogólnym przypadku taka metoda jest nieskuteczna. W tym rozdziale zajmiemy się ogólną metodą poszukiwania punktów siodłowych za pomocą wyznaczania ''maksiminu'' i ''minimaksu''. 
Aby to zrobić ponownie odwołamy się do przekładu gry podobnej do '''2.3''' tyle, że zmienimy w niej jedną wypłatę, odpowiadającą strategii (C,C) - wartość 5 zamienimy na 0. Jak widać z przedstawionej poniżej tabeli wypłat po takiej zmianie żaden a wierszy ani żadna z kolumn nie jest zdominowana przez inne. 

;Przykład 2.5 Wyznaczanie punktów siodłowych metodą maksiminu i minimaksu.

{| align=center border="1" cellpadding="4" cellspacing="0" style="margin: 1em 1em 1em 1em; background: #f9f9f9; border: 1px #aaa solid; border-collapse: collapse; font-size: 95%;"
|+ align=bottom | ''Maksimin jest maksymalną spośród wypłat minimalnych w wierszach a minimaks jest minimalną spośród wypłat maksymalnych w kolumnach macierzy''
|- class="wikitable"
|-
|align=center|'''2.5'''||colspan=5; style="color: #900; text-align:center;"|Kolumna
|rowspan=2; style="background-color:Maroon; color:White; text-align:center; width: 60px;"|minima <br/>wierszy
|rowspan=2; style="text-align:center; width: 60px;"|maksimin
|-
|rowspan=5; style="color: #009; text-align:center; width: 60px;"|Wiersz
|style="background-color:#CCCCCC; text-align:center; width: 60px;"|
|style="background-color:#CCCCCC; color: #900; text-align:center; width: 60px;"|A  
|style="background-color:#CCCCCC; color: #900; text-align:center; width: 60px;"|B
|style="background-color:#CCCCCC; color: #900; text-align:center; width: 60px;"|C
|style="background-color:#CCCCCC; color: #900; text-align:center; width: 60px;"|D
|-
|style="background-color:#CCCCCC; color: #009; text-align:center; width: 60px;"|A
|align=center|<span style="color: #009">2
|align=center|<span style="color: #009">1
|align=center|<span style="color: #009">3
|align=center|<span style="color: #009">1
|align=center; style="background-color:Maroon; color:White; text-align:center;"|1
|align=center|'''1'''
|-
|style="background-color:#CCCCCC; color: #009; text-align:center; width: 60px;"|B 
|align=center|<span style="color: #009">-1
|align=center|<span style="color: #009">0
|align=center|<span style="color: #009">7
|align=center|<span style="color: #009">-5
|align=center; style="background-color:Maroon; color:White; text-align:center;"|-5
|align=center|
|-
|style="background-color:#CCCCCC; color: #009; text-align:center; width: 60px;"|C
|align=center|<span style="color: #009">9
|align=center|<span style="color: #009">1
|align=center|<span style="color: #009">0
|align=center|<span style="color: #009">1
|align=center; style="background-color:Maroon; color:White; text-align:center;"|0
|align=center|
|-
|style="background-color:#CCCCCC; color: #009; text-align:center; width: 60px;"|D 
|align=center|<span style="color: #009">1
|align=center|<span style="color: #009">0
|align=center|<span style="color: #009">7
|align=center|<span style="color: #009">-2
|align=center; style="background-color:Maroon; color:White; text-align:center;"|-2
|align=center|
|-
|colspan=2; style="background-color:Maroon; color:White; text-align:center;"|maksima kolumn
|align=center; style="background-color:Maroon; color:White; text-align:center;"|9
|align=center; style="background-color:Maroon; color:White; text-align:center;"|1
|align=center; style="background-color:Maroon; color:White; text-align:center;"|7
|align=center; style="background-color:Maroon; color:White; text-align:center;"|1
|align=center; style="background-color:Maroon; color:White; text-align:center;"|
|align=center|
|-
|colspan=2; style="text-align:center;"|minimaks
|align=center|
|align=center|'''1'''
|align=center|
|align=center|'''1'''
|align=center|
|align=center|
|}

Z definicji punkt siodłowy ta taki, którego wartość jest nie większa on innych w jego wierszu. Poszukajmy zatem najmniejszych wartości w każdym wierszu. W przykładzie '''2.5''' pokazano je jako "minima wierszy", jeśli gra miałaby punkt siodłowy to musiałby on znaleźć się na tej liście. Z drugiej jednak strony punkt siodłowy to taki, którego wartość jest nie mniejsza od innych w jego kolumnie. Poszukajmy więc największych wartości w poszczególnych kolumnach. W tabeli '''2.5''' pokazano je jako "maksima kolumn". Teraz jest jasne, że aby gra miała punkt siodłowy, musi on należeć do obu tych list. Ale maksima kolumn są nie mniejsze niż minima wierszy dlatego jedyną możliwością znalezienia części wspólnej obu tych list jest porównanie minimalnego maksimum kolumn i maksymalnego minimum wierszy. Jeśli te dwie liczby są równe to ich wspólna wartość jest punktem siodłowym oraz wartością gry <math> \nu </math>. Minimalne maksimum kolumn  nazywamy ''minimaksem'' a maksymalne minimum wierszy nazywamy ''maksiminem''. Udowodniliśmy zatem twierdzenie

;Twierdzenie o maksiminie i minimaksie
:Jeśli maksimin i minimaks gry macierzowej są równe to gra posiada punkt lub punkty siodłowe o tej wartości. Punkty te leżą na przecięciu wierszy i kolumn których minima i maksima są równe tej wartości. Jeśli maksimin jest mniejszy od minimaksu to gra nie posiada punktów siodłowych.

Jak widać w przypadku gry '''2.5''' ma ona dwa punkty siodłowe (A,B) i (A,D) o wartości wspólnej maksiminu i minimaksu <math> \nu=1 </math>. Inne pary strategii o wartości 1, t.j (C,B), (C,D) i (A,E) nie są punktami siodłowymi gdyż nie leżą na przecięciu wierszy i kolumn których zarówno minima jak i maksima są równe 1.

=== Strategie mieszane ===
W poprzednim rozdziale pokazaliśmy, że poszukiwanie punktów siodłowych jest wygodnym sposobem poszukiwania rozwiązań gier o sumie zerowej. Zauważyliśmy również, że aby gra miała punkt siodłowy musi zachodzić równość minimaksu i maksiminu dla tabeli tej gry. Powróćmy jeszcze raz do pierwszego rozważanego przykładu '''2.1'''. Jak widzimy dla tej gry taka równość nie zachodzi bo maksimin=1 a minimaks=-1.

;Przykład 2.6 Gra bez punktów siodłowych.

{| align=center border="1" cellpadding="4" cellspacing="0" style="margin: 1em 1em 1em 1em; background: #f9f9f9; border: 1px #aaa solid; border-collapse: collapse; font-size: 95%;"
|+ align=bottom | ''W tej grze maksimin=1 a minimaks=-1 więc nie ma punktu siodłowego''
|- class="wikitable"
|-
|align=center|'''2.6'''||colspan=3; style="color: #900; text-align:center;"|Kolumna
|rowspan=2; style="background-color:Maroon; color:White; text-align:center; width: 60px;"|minima <br/>wierszy
|rowspan=2; style="text-align:center; width: 60px;"|maksimin
|-
|rowspan=4; style="color: #009; text-align:center; width: 60px;"|Wiersz
|style="background-color:#CCCCCC; text-align:center; width: 60px;"|
|style="background-color:#CCCCCC; color: #900; text-align:center; width: 60px;"|A  
|style="background-color:#CCCCCC; color: #900; text-align:center; width: 60px;"|B
|-
|style="background-color:#CCCCCC; color: #009; text-align:center; width: 60px;"|A
|align=center|<span style="color: #009">1
|align=center|<span style="color: #009">-2
|align=center; style="background-color:Maroon; color:White; text-align:center;"|-2
|align=center|
|-
|style="background-color:#CCCCCC; color: #009; text-align:center; width: 60px;"|B 
|align=center|<span style="color: #009">-1
|align=center|<span style="color: #009">0
|align=center; style="background-color:Maroon; color:White; text-align:center;"|-1
|align=center|'''-1'''
|-
|style="background-color:#CCCCCC; color: #009; text-align:center; width: 60px;"|C
|align=center|<span style="color: #009">-4
|align=center|<span style="color: #009">5
|align=center; style="background-color:Maroon; color:White; text-align:center;"|-4
|align=center|
|-
|colspan=2; style="background-color:Maroon; color:White; text-align:center;"|maksima kolumn
|align=center; style="background-color:Maroon; color:White; text-align:center;"|1
|align=center; style="background-color:Maroon; color:White; text-align:center;"|5
|align=center; style="background-color:Maroon; color:White; text-align:center;"|
|align=center|
|-
|colspan=2; style="text-align:center;"|minimaks
|align=center|'''1'''
|align=center|
|align=center|
|align=center|
|}

Na diagramie przesunięć [[Teoria gier#Gry oraz diagramy przesunięć|gry '''2.1''']] nie ma żadnego punktu równowagi. Oznacza to, że nie istnieje taka para opcji dla Wiersza i Kolumny która, gdyby była wybrana, zapewniłaby im wygraną równą wartości gry. Wszak taka para musiałaby być równowagą, której w naszej grze brak. Czyżby zatem gra '''2.1''' nie miała rozwiązania? Okazuje się, że takie rozwiązanie istnieje, tyle, że oparte jest o tzw. ''strategie mieszane''.

;Strategia mieszana
:''Strategią mieszaną'' nazywamy taki sposób gry w którym gracz Wiersz wybiera dostępne opcje A, B, C,... w sposób losowy w prawdopodobieństwem <math>pW_X >0\,</math> oraz <math>\sum\limits_{X=A,B,\ldots} pW_X = 1\,</math> . Taką strategię oznaczamy symbolem <math>[pW_A, pW_B, pW_C...]_W \,</math>. Analogicznie definiujemy strategię mieszaną Kolumny

A zatem strategia mieszana jest sposobem na gry, które są rozgrywane wielokrotnie - dopiero wtedy nabiera znaczenia to, że poszczególnym opcjom gracza odpowiada prawdopodobieństwo ich wybrania. Strategią mieszaną będzie na przykład użycie przez Wiersz monety do losowania jednej z dwu opcji A i B. W tym przypadku odpowiednie prawdopodobieństwa powinny wynosić <math>pW_A=pW_B=1/2\,</math>. Przy stosowaniu strategii mieszanej wygraną gracza da się określić tylko jako jej wartość oczekiwana.

;Wartość oczekiwana wypłaty
:Jeżeli prawdopodobieństwa uzyskania wypłat <math>a_1, a_2,...a_k \,</math> wynoszą odpowiednio <math>p_1, p_2,...p_k, (p_1 + p_2+...+ p_k=1 \,</math>) to ''wartością oczekiwaną wypłaty'' <math>\mathbb E\,</math> jest

:<math>\mathbb E =a_1 p_1 + a_2 p_2 +...+ a_k p_k\,</math>

;Przykład
:Jeśli w grze '''2.6''' Kolumna zagra opcję A z prawdopodobieństwem <math>pK_A=1/2\,</math> i B z prawdopodobieństwem <math>pK_B=1/2\,</math> czyli wybierze strategię <math>[1/2, 1/2]_K\,</math> to ''wartość oczekiwana wypłaty Wiersza przy wyborze opcji A'', którą oznaczamy <math>WOW_A\,</math>, wynosi

:<math>\mathbb EW_A=\frac {1}{2} \cdot 1 + \frac {1}{2} \cdot(-2) = -\frac {1}{2}</math>,

podobnie wartość oczekiwana wypłaty Wiersza przy wyborze opcji B (<math>\mathbb EW_B\,</math>) wynosi

:<math>\mathbb EW_B=\frac {1}{2}\cdot (-1) + \frac {1}{2} \cdot 0 = -\frac {1}{2}</math>.

Zauważmy, że granie według strategii mieszanej jest jakościowo różne od strategii prostej. W przypadku tej pierwszej nie mamy jednoznacznej recepty którą opcję należy przy danym wyborze wybrać, wiemy tylko z jakim prawdopodobieństwem mamy ją wybrać. Sytuacja nieco przypomina opis świata fizycznego przy pomocy mechaniki klasycznej i kwantowej. W tej pierwszej, mamy dokładną informację co do "parametrów gry": położeń, prędkości poszczególnych cząstek. W mechanice kwantowej wiemy jedynie, lub obserwujemy, jakie są prawdopodobieństwa przyjęcia poszczególnych wartości przez te "parametry". W tym miejscu nie będziemy bardziej rozwijać tej analogii, zainteresowanych odsyłam do prac Sładkowskiego i Piotrowskiego.

Osobnym tematem pozostaje sposób realizacji strategii mieszanej. Sprawę wyjaśnijmy na przykładzie. Gdyby Kolumna mając do wyboru dwie opcje A i B jak w przykładzie '''2.6''' miała zagrać strategią <math>[2/3, 1/3]_K\,</math> to jak ją zrealizuje? Można by przypuszczać, że powinna grać B w co trzeciej grze, tzn. wybierając A,A,B,A,A,B,... , gdyż w ten sposób zrealizowałaby żądany rozkład prawdopodobieństwa. Przypuszczamy jednak, że Wiersz, gdyby to zauważył natychmiast wykorzystałaby tą wiedzę i dopasował swoją strategię grając sekwencję: A,A,C,A,A,C,... w której jego wypłata po każdej sekwencji trzech wyborów wynosiłaby 7. Byłby to najgorszy z możliwych scenariuszy dla Kolumny. Aby zagrać strategią <math>[2/3, 1/3]_K\,</math> Kolumna powinna to zrobić w sposób losowy. Można w tym celu wykorzystać np rzut kostką i wybierać B tylko gdy wypadnie "5" lub "6", losować "z kapelusza", można w losowy sposób otwierać kartki książki i wybierać "B" gdy numer strony jest podzielny przez 3, spoglądać na sekundnik zegarka i stosować tę samą zasadę dla zaobserwowanej akurat sekundy. (Lepiej jednak spojrzenie na zegarek ukryć przed Wierszem bo może odgadnąć zasadę i wykorzystać swój zegarek.) Można wykorzystać jakikolwiek inny ""generator"" losowy.

===Rozwiązania gier w strategiach mieszanych===

Poszukamy teraz metody znajdywania rozwiązań gier, które nie mają punktów siodłowych przy pomocy strategii mieszanych. Rozważmy następującą grę bez punktów siodłowych

;Przykład 2.7 Gra bez rozwiązań w strategiach prostych

{| align=center border="1" cellpadding="4" cellspacing="0" style="margin: 1em 1em 1em 1em; background: #f9f9f9; border: 1px #aaa solid; border-collapse: collapse; font-size: 95%;"
|+ align=bottom | ''W tej grze maksimin=0 a minimaks=1 więc nie ma punktu siodłowego''
|- class="wikitable"
|-
|align=center|'''2.7'''||colspan=3; style="color: #900; text-align:center;"|Kolumna
|rowspan=2; style="background-color:Maroon; color:White; text-align:center; width: 60px;"|minima <br/>wierszy
|rowspan=2; style="text-align:center; width: 60px;"|maksimin
|-
|rowspan=3; style="color: #009; text-align:center; width: 60px;"|Wiersz
|style="background-color:#CCCCCC; text-align:center; width: 60px;"|
|style="background-color:#CCCCCC; color: #900; text-align:center; width: 60px;"|A  
|style="background-color:#CCCCCC; color: #900; text-align:center; width: 60px;"|B
|-
|style="background-color:#CCCCCC; color: #009; text-align:center; width: 60px;"|A
|align=center|<span style="color: #009">2
|align=center|<span style="color: #009">-3
|align=center; style="background-color:Maroon; color:White; text-align:center;"|-3
|align=center|
|-
|style="background-color:#CCCCCC; color: #009; text-align:center; width: 60px;"|B 
|align=center|<span style="color: #009">0
|align=center|<span style="color: #009">1
|align=center; style="background-color:Maroon; color:White; text-align:center;"|0
|align=center|'''0'''
|-
|colspan=2; style="background-color:Maroon; color:White; text-align:center;"|maksima kolumn
|align=center; style="background-color:Maroon; color:White; text-align:center;"|2
|align=center; style="background-color:Maroon; color:White; text-align:center;"|1
|align=center; style="background-color:Maroon; color:White; text-align:center;"|
|align=center|
|-
|colspan=2; style="text-align:center;"|minimaks
|align=center|
|align=center|'''1'''
|align=center|
|align=center|
|}

Załóżmy że Kolumna w tej grze gra strategią <math>[pK_A, pK_B]_K\,</math>. Wówczas wartość oczekiwana wygranych Wiersza będzie:

<equation id="eqn:uklad_rown">
<math>\mathbb EW_A=pK_A \cdot 2 + (1-pK_A)\cdot(-3) = -3 + 5 pK_A\,</math>,
:<math>\mathbb EW_B=pK_A \cdot 0 + (1-pK_A)\cdot 1 = 1 - pK_A\,</math>,
</equation>

Zauważmy, że jeżeli zechcemy aby <math>\mathbb EW_A=\mathbb EW_B\,</math>, tzn.

:<math>-3 + 5 pK_A = 1 - pK_A\,</math>,

to wyliczona stąd wartość <math>pK_A=2/3\,</math> wyznacza strategię Kolumny <math>[2/3, 1/3]_K\,</math> taką, dla której wartość oczekiwana wypłaty Wiersza nie będą zależały od wybranej przezeń opcji. Taką strategię nazywamy ''strategią wyrównującą'' Kolumny. Jeśli Kolumna ją zastosuje to ta wartość oczekiwana będzie równa 
:<math>\mathbb EW_A=\mathbb EW_B=1/3,\,</math>
niezależnie od zastosowanej przez Wiersz strategii. Ale Wiersz również ma swoją strategię wyrównującą, którą obliczymy zakładając, że <math>\mathbb EK_A=\mathbb EK_B\,</math>, gdzie

:<math>\mathbb EK_A=pW_A\cdot 2 + (1-pW_A)\cdot 0 = 2pW_A,\,</math>
:<math>\mathbb EW_B=pW_A\cdot(-3) + (1-pW_A)\cdot1 = 1 - 4pW_A,\,</math>

czyli <math>pW_A=1/6\,</math>, co daję strategię wyrównującą Wiersza <math>[1/6, 5/6]_W\,</math>. Wartość oczekiwana wygranej Kolumny przy tej strategii jest taka sama <math>\mathbb EK_A=\mathbb EK_B=1/3\,</math>. 

Można więc powiedzieć, że strategie wyrównujące dają nam parę strategii optymalnych dla obu graczy <math>[2/3, 1/3]_K, [1/6, 5/6]_W\,</math> oraz wartość gry wyrażoną jako wartość oczekiwaną wygranej obu graczy <math>\nu=1/3\,</math> czyli rozwiązanie gry '''2.7''' wyrażone w strategiach mieszanych.

Na uzyskane rozwiązanie składają się dwie strategie optymalne obu gracz, jeśli wiersz zastosuje swoją strategię <math>[1/6, 5/6]_W\,</math> to niezależnie od tego, jak będzie grała Kolumna to wartość oczekiwana jej wypłaty będzie równa <math>\nu=-1/3\,</math>. Podobnie jeśli Kolumna zagra swoją strategię optymalną <math>[2/3, 1/3]_K\,</math> to niezależnie od tego co zrobi Wiersz, jego wartość oczekiwana wypłaty będzie równa <math>\nu=-1/3\,</math>. Sytuacja odzwierciedla parę strategii punktu siodłowego z tą różnicą, że wygrane zostały zastąpione ich wartościami oczekiwanymi. To jest jednak nieuniknione jeśli mówimy o strategiach mieszanych.

===Warunki istnienia punktów siodłowych===

Gra posiadająca punkty siodłowe ma swoje rozwiązania w strategiach prostych. Czy można podać ogólną receptę na rozwiązania gry, która tak jak gra '''2.8''' nie posiada punktów siodłowych? Okazuje się że odpowiedź na to pytanie jest pozytywna. Zanim jednak podamy ogólna rozwiązania skupimy się na najprostszym przypadku gry typu (2x2) (po dwie dostępne opcje dla Wiersza i Kolumny) i jej macierzy wypłat kiedy nie ma ona punktów siodłowych. Ogólną grę można zapisać w postaci macierzy wypłat <math>\mathcal{W}=\{w_{X,Y}\}\,</math>

;Przykład 2.8 Ogólna gra typy (2x2)

{| align=center border="1" cellpadding="4" cellspacing="0" style="margin: 1em 1em 1em 1em; background: #f9f9f9; border: 1px #aaa solid; border-collapse: collapse; font-size: 95%;"
|+ align=bottom | ''Gra (2x2) opisana przy pomocy macierzy wypłat <math>\mathcal{W}=\{w_{X,Y}\}\,</math>''
|- class="wikitable"
|-
|align=center|'''2.8'''||colspan=3; style="color: #900; text-align:center;"|Kolumna
|-
|rowspan=3; style="color: #009; text-align:center; width: 60px;"|Wiersz
|style="background-color:#CCCCCC; text-align:center; width: 60px;"|
|style="background-color:#CCCCCC; color: #900; text-align:center; width: 60px;"|A  
|style="background-color:#CCCCCC; color: #900; text-align:center; width: 60px;"|B
|-
|style="background-color:#CCCCCC; color: #009; text-align:center; width: 60px;"|A
|align=center|<span style="color: #009"><math>w_{A,A}\,</math>
|align=center|<span style="color: #009"><math>w_{A,B\,}</math>
|-
|style="background-color:#CCCCCC; color: #009; text-align:center; width: 60px;"|B 
|align=center|<span style="color: #009"><math>w_{B,A}\,</math>
|align=center|<span style="color: #009"><math>w_{B,B}\,</math>
|}

;Twierdzenie 2.8
:Gra typu '''2.8''' nie ma punktów siodłowych wtedy i tylko wtedy gdy

:<equation id="eqn:war-siod1">
<math>
\begin{array}c
 rK_B \cdot rK_A <0\,\\
 rW_B \cdot rW_A <0\,
\end{array}
</math>
</equation>

:oraz

:<equation id="eqn:war-siod2">
<math>
\begin{array}c
 rK_A \cdot rW_A >0\,\\
 rK_B \cdot rW_B >0\,
\end{array}
</math>
</equation>

:gdzie:

:<math>rK_A=w_{A,A}-w_{B,A}\,</math>
:<math>rK_B=w_{A,B}-w_{B,B}\,</math>
:<math>rW_A=w_{A,A}-w_{A,B}\,</math>
:<math>rW_B=w_{B,A}-w_{B,B}\,</math>

:Dowód: Zauważmy, że pierwsze dwie nierówności <xr id="eqn:war-siod1">(%i</xr>) oznaczają, że powyższa gra nie ma strategii zdominowanych. Pierwsza z nich oznacza, że żaden z wierszy '''2.8''' nie jest zdominowany - rzeczywiście znaki <math>rK_A\,</math> oraz <math>rK_B\,</math> wyznaczają kierunki pionowych strzałek diagramu przesunięć a ujemny znak ich iloczynu świadczy, że są skierowane przeciwnie. Drugi warunek <xr id="eqn:war-siod1">(%i</xr>) oznacza, że poziome strzałki, których kierunki wyznaczają <math>rW_A\,</math> i <math>rW_B\,</math> są skierowane przeciwnie.

:Jeśli, jak w tych dwu pierwszych nierównościach, iloczyn dwu czynników jest ujemny, to czynniki te muszą być liczbami niezerowymi o przeciwnych znakach, można to osiągnąć na cztery sposoby: <math>(+-)</math>, <math>(+-)</math> lub <math>(+-)</math>, <math>(-+)</math> lub  <math>(-+)</math>, <math>(-+)</math> lub <math>(-+)</math>, <math>(+-)</math>. Odpowiada to czterem postaciom diagramu przesunięć:

:Diagramy przesunięć '''2.8'''

:{| align=left border="1" cellpadding="4" cellspacing="0" style="margin: 1em 1em 1em 1em; background: #f9f9f9; border: 1px #aaa solid; border-collapse: collapse; font-size: 95%;"
|+ align=bottom | ''postać 1''
|- class="wikitable"
|-
|style="color: #900; text-align:center; width: 60px;"|<math>\downarrow</math>
|style="color: #900; text-align:center; width: 60px;"|<math>\leftarrow</math>
|-
|align=center|<span style="color: #009"><math>\rightarrow</math>
|align=center|<span style="color: #009"><math>\uparrow</math>
|}

{| align=center border="1" cellpadding="4" cellspacing="0" style="margin: 1em 1em 1em 1em; background: #f9f9f9; border: 1px #aaa solid; border-collapse: collapse; font-size: 95%;"
|+ align=bottom | ''postać 2''
|- class="wikitable"
|-
|style="color: #900; text-align:center; width: 60px;"|<math>\downarrow \rightarrow</math>
|style="color: #900; text-align:left; width: 60px;"|
|-
|align=right|<span style="color: #009">
|align=center|<span style="color: #009"><math>\leftarrow \uparrow</math>
|}

:{| align=left border="1" cellpadding="4" cellspacing="0" style="margin: 1em 1em 1em 1em; background: #f9f9f9; border: 1px #aaa solid; border-collapse: collapse; font-size: 95%;"
|+ align=bottom | ''postać 3''
|- class="wikitable"
|-
|style="color: #900; text-align:center; width: 60px;"|<math>\rightarrow</math>
|style="color: #900; text-align:center; width: 60px;"|<math>\downarrow</math>
|-
|align=center|<span style="color: #009"><math>\uparrow</math>
|align=center|<span style="color: #009"><math>\leftarrow</math>
|}

{| align=center border="1" cellpadding="4" cellspacing="0" style="margin: 1em 1em 1em 1em; background: #f9f9f9; border: 1px #aaa solid; border-collapse: collapse; font-size: 95%;"
|+ align=bottom | ''postać 4''
|- class="wikitable"
|-
|style="color: #900; text-align:center; width: 60px;"|
|style="color: #900; text-align:left; width: 60px;"|<math>\leftarrow \downarrow</math>
|-
|align=right|<span style="color: #009"><math>\uparrow \rightarrow</math>
|align=center|<span style="color: #009">
|}

:Zwróćmy jednak uwagę, że diagram przesunięć w postaci 2 jest niemożliwy gdyż prowadzi do zestawu sprzecznych nierówności <math>w_{A,A} < w_{B,A} < w_{B,B} < w_{A,B} < w_{A,A} \,</math>. Podobnie nie istnieje macierz odpowiadająca diagramowi w postaci 4. Oznacza to jednak, że z czterech możliwych wariantów znakozmienności powyższych wyrażeń pozostają tylko dwa odpowiadające postaciom 1 i 3 diagramu przesunięć: <math>(+-)</math>, <math>(+-)</math> lub <math>(-+)</math>, <math>(-+)</math> a to prowadzi do kolejnych dwu nierówności <xr id="eqn:war-siod2">(%i</xr>) naszego twierdzenia. Pokazaliśmy zatem że spełnienie wszystkich czterech nierówności jest równoważne, że diagramy przesunięć przybierają postać 1 lub 3 a to jest równoważne temu, że gra nie ma punktów siodłowych.

===Ogólna metoda rozwiązania gier (2x2) w strategiach mieszanych===

Wiedząc jakie warunki spełnia macierz wypłat <math>\mathcal{W}=\{w_{X,Y}\}\,</math> gry (2x2) która nie ma punktów siodłowych podamy teraz jej rozwiązania w strategiach mieszanych.
Układ równań <xr id="eqn:uklad_rown">równań (%i</xr>), który zapisaliśmy w przykładzie '''2.7''' można zapisać w postaci ogólnej jako

<equation id="eqn:strat-miesz">
<math>
\begin{bmatrix} w_{A,A} & w_{A,B} \\ w_{B,A} & w_{B,B}\end{bmatrix}
\begin{bmatrix} pK_{A} \\ 1-pK_{A}\end{bmatrix}=
\begin{bmatrix} \mathbb EW_A \\ \mathbb EW_B\end{bmatrix}
</math>,
</equation>

ale <math>\mathbb EW_A = \mathbb EW_B \,</math> więc rozwiązując <xr id="eqn:strat-miesz">układ równań (%i</xr>) dostaniemy wzory na strategię wyrównującą Kolumny

<equation id="eqn:pka">
<math> pK_A= \frac{rK_B}{rK_B - rK_A},\,\,\,\,\,pK_B = 1 - pK_A = \frac{-rK_A}{rK_B - rK_A}</math>
</equation>

oraz

<equation id="eqn:ewa">
<math> \mathbb EW_A=\mathbb EW_B=w_{B,B} + \frac{rW_B \cdot rK_B}{rW_B - rW_A}</math>.
</equation>

W analogiczny sposób wyznaczamy strategię wyrównującą wiersza, która wyraża się symetrycznymi wzorami w których jednak macierz <math>\mathcal{W}\,</math> zastąpiono jej macierzą transponowaną <math>\mathcal{W}^{T}=\{w_{Y,X}\}</math> a w związku z tym w równaniach <xr id="eqn:pka">(%i</xr>) i <xr id="eqn:ewa">(%i</xr>) należy dokonać zamiany wiersza na kolumnę i odwrotnie: 

<equation id="eqn:pwa">
<math> pW_A= \frac{rW_B}{rW_B - rW_A},\,\,\,\,\,pW_B = 1 - pW_A = \frac{-rW_A}{rW_B - rW_A}</math>
</equation>

wartość oczekiwana wygranej Kolumny ma taką samą wartość, jak wygrana Wiersza, tu przedstawiamy jej równoważną, wynikającą z symetrii postać

<equation id="eqn:eka">
<math> \mathbb EK_A=\mathbb EK_B=w_{B,B} + \frac{rK_B \cdot rW_B}{rK_B - rK_A}</math>.
</equation>

Zauważmy, że z twierdzenia '''2.8''' wynika, że dla gier, które nie mają punktów siodłowych wszystkie różnice <math>rK_A\,</math>, <math>rK_B\,</math>, <math>rW_A\,</math> i <math>rW_B\,</math> w licznikach i mianownikach wyrażeń na <xr id="eqn:pka">(%i</xr>) i <xr id="eqn:pwa">(%i</xr>) są jednocześnie tego samego znaku - dodatnie lub ujemne. Jest to ważne ponieważ oznacza, że są spełnione warunki <math> 0 < pK_A < 1\,</math> i <math> 0 < pW_A < 1\,</math> niezbędne aby <math> pK_A \,</math> i <math> pK_B \,</math> oraz <math> pW_A \,</math> i <math> pW_B \,</math> były odpowiednimi prawdopodobieństwami. W związki z tym wzory te można przedstawić w równoważnej postaci:

<equation id="eqn:pka-mod">
<math> pK_A= \frac{|rK_B|}{|rK_B| + |rK_A|},\,\,\,\,\,pK_B  = \frac{|rK_A|}{|rK_B| + |rK_A|}</math>
</equation>

oraz

<equation id="eqn:pwa-mod">
<math> pW_A= \frac{|rW_B|}{|rW_B| + |rW_A|},\,\,\,\,\,pW_B  = \frac{|rW_A|}{|rW_B| + |rW_A|}</math>
</equation>


W związku z powyższymi wzorami można wskazać praktyczną metodę wyznaczania strategii mieszanych dla gier (2x2) bez punktu siodłowego.

;Przykład 2.9 Metoda Williamsa

{| align=center border="1" cellpadding="4" cellspacing="0" style="margin: 1em 1em 1em 1em; background: #f9f9f9; border: 1px #aaa solid; border-collapse: collapse; font-size: 95%;"
|+ align=bottom | ''Graficzna metoda obliczania mieszanych strategii optymalnych Wiersza i Kolumny oraz wartości gry dla gier (2x2) bez punktu siodłowego.''
|- class="wikitable"
|-
|align=center|'''2.9'''||colspan=3; style="color: #900; text-align:center;"|Kolumna
|rowspan=2; style="text-align:center; width: 60px;"|różnice <br/>w wierszach
|rowspan=2; style="text-align:center; width: 60px;"|<math> pW_A \,</math> i <math> pW_B \,</math> dla strategii optymalnej Wiersza
|-
|rowspan=3; style="color: #009; text-align:center; width: 60px;"|Wiersz
|style="background-color:#CCCCCC; text-align:center; width: 60px;"|
|style="background-color:#CCCCCC; color: #900; text-align:center; width: 60px;"|A  
|style="background-color:#CCCCCC; color: #900; text-align:center; width: 60px;"|B
|-
|style="background-color:#CCCCCC; color: #009; text-align:center; width: 60px;"|A
|align=center|<span style="color: #009"><math>w_{A,A}\,</math>
|align=center|<span style="color: #009"><math>w_{A,B}\,</math>
|align=center; style="text-align:center;"|<math>rW_A \,</math>
|style="color: #009; text-align:center; width: 60px;"|<math>\frac{|rW_B|}{|rW_B| + |rW_A|}</math>
|-
|style="background-color:#CCCCCC; color: #009; text-align:center; width: 60px;"|B 
|align=center|<span style="color: #009"><math>w_{B,A}\,</math>
|align=center|<span style="color: #009"><math>w_{B,B}\,</math>
|align=center; style="text-align:center;"|<math>rW_B\,</math>
|style="color: #009; text-align:center; width: 60px;"|<math>\frac{|rW_A|}{|rW_B| + |rW_A|}</math>
|-
|colspan=2; style="text-align:center;"|różnice w kolumnach
|align=center; style="text-align:center;"|<math>rK_A\,</math>
|align=center; style="text-align:center;"|<math>rK_B\,</math>
|colspan=2; rowspan=2; style="text-align:center;"|<math> \mathbb EW=\mathbb EK=w_{B,B} + \frac{|rW_B| \cdot |rK_B|}{|rW_B| + |rW_A|}</math>
|-
|colspan=2; style="text-align:center;"|<math> pK_A \,</math> i <math> pK_B \,</math> dla strategii optymalnej Kolumny
|align=center|<math>\frac{|rK_B|}{|rK_B| + |rK_A|}</math>
|align=center|<math>\frac{|rK_A|}{|rK_B| + |rK_A|}</math>
|}

===Rozwiązania gier typu (mx2) i (2xn)===

Jak pokazaliśmy w poprzednich rozdziałach istnieją rozwiązania dowolnych gier o sumie zerowej o wymiarze (2x2). O grach dla których gracze mają więcej niż dwie opcje do wyboru, t.j. np. (mxn), gdzie przynajmniej jedna z tych liczb jest większa od dwójki wiemy tyle, że uda się nam je rozwiązać jeżeli mają punkty siodłowe. Metodę poszukiwania takich punktów opisaliśmy w rozdziale [[Teoria_gier#Maksimin i minimaks|''Maksimin i minimaks'']]. Jeśli gra nie posiada takich punktów to można próbować zredukować jej wymiar poprzez poszukiwanie strategii zdominowanych. Jak zobaczyliśmy w rozdziale [[Teoria_gier#Punkty_siodłowe_oraz_dominacje|''Punkty siodłowe oraz dominacje'']] redukcja taka może się wieloetapowa, poprzez kolejne eliminowanie zdominowanych wierszy i kolumn. Końcowym etapem redukcji gry '''2.3''' była gra (2x2) posiadająca punkty siodłowe. Co jednak jeśli omawiane wyżej kroki nie doprowadzą do rozwiązania gry? Obecny rozdział poświęcimy takim przypadkom, w których nieredukowalne i nie posiadające punktów siodłowych gry mają wymiar (mx2) lub (2xn). Rozważmy na przykład grę typu (2x4), która nie posiada punktów siodłowych ani strategii zdominowanych. Załóżmy, że Kolumna gra strategią mieszaną <math>[pK_A, pK_B, pK_C, pK_D] \,</math>. Zwróćmy uwagę, że taką strategia mieszana można zapisać jako wektor

<equation id="eqn:otoczka">
<math>
\begin{bmatrix} w_{A,A} & w_{A,B} & w_{A,C} & w_{A,D} \\ w_{B,A} & w_{B,B} & w_{B,C} & w_{B,D}\end{bmatrix}
\begin{bmatrix} pK_{A} \\ pK_{B} \\ pK_{C} \\pK_{D} \end{bmatrix}=
\begin{bmatrix} \mathbb EW_A \\ \mathbb EW_B\end{bmatrix}
</math>,
</equation>


w dwuwymiarowej przestrzeni wartości oczekiwanych wygranej Wiersza odpowiadających wyborom opcji A i B. Wszystkie strategie mieszane Kolumny tworzą tzw. otoczkę wypukłą rozpiętą na wektorach będących kolumnami macierzy wypłat. Żeby nasze rozważania były jaśniejsze zilustrujemy to przykładem konkretnej gry (2x4) (zobacz rysunek 2)

;Przykład 2.10 Rozwiązanie gry typu (2x4)

{| align=center border="1" cellpadding="4" cellspacing="0" style="margin: 1em 1em 1em 1em; background: #f9f9f9; border: 1px #aaa solid; border-collapse: collapse; font-size: 95%;"
|+ align=bottom | ''Gra (2x4) bez punktów siodłowych i strategii zdominowanych''
|- class="wikitable"
|-
|align=center|'''2.1'''||colspan=5; style="color: #900; text-align:center;"|Kolumna 
|-
|-
| rowspan=3; style="color: #009; text-align:center; width: 60px;"|Wiersz
|style="background-color:#CCCCCC; text-align:center; width: 60px;"|
|style="background-color:#CCCCCC; color: #900; text-align:center; width: 60px;"|A  
|style="background-color:#CCCCCC; color: #900; text-align:center; width: 60px;"|B
|style="background-color:#CCCCCC; color: #900; text-align:center; width: 60px;"|C  
|style="background-color:#CCCCCC; color: #900; text-align:center; width: 60px;"|D
|-
|style="background-color:#CCCCCC; color: #009; text-align:center; width: 60px;"| A
|align=center|<span style="color: #009">-4
|align=center|<span style="color: #009">0
|align=center|<span style="color: #009">2
|align=center|<span style="color: #009">3
|-
|style="background-color:#CCCCCC; color: #009; text-align:center; width: 60px;"| B 
|align=center|<span style="color: #009">2
|align=center|<span style="color: #009">1
|align=center|<span style="color: #009">0
|align=center|<span style="color: #009">-3
|}

Rys. 2.  
[[Plik:Rys1swm.png]]

Na rysunku przedstawiono cztery punkty odpowiadające strategiom czystym A, B, C i D Kolumny. Tym strategiom odpowiadają wektory wygranych

:<math>
\begin{bmatrix} -4 \\ 2\end{bmatrix},\;\;
\begin{bmatrix} 0\\ 1\end{bmatrix},\;\;
\begin{bmatrix} 2\\ 0\end{bmatrix},\;\;
\begin{bmatrix} 3\\ -3\end{bmatrix}.
</math>

Każda strategia mieszana jest, jak wynika z <xr id="eqn:otoczka">(%i</xr>), wyznaczona przez kombinację liniową tych wektorów o współczynnikach nieujemnych sumujących się do jedności. Takie kombinacje tworzą otoczkę liniową zilustrowaną na rysunku a każdy punkt tej otoczki (poza wierzchołkami) odpowiada pewnej strategii mieszanej Kolumny. Tak jak w rozdziale [[Teoria gier#Rozwiązania gier w strategiach mieszanych|Rozwiązania gier w strategiach mieszanych]] poszukamy teraz strategii wyrównujących Kolumny. Takie strategie powinny spełniać równanie

:<math>\mathbb EW_A=\mathbb EW_B=\mathbb EW \,</math>

czyli leżeć na prostej o tym równaniu nachylonej pod kątem <math>\pi/2</math> do osi <math>\mathbb EW_A\,</math> (czerwona przerywana linia). Wszystkie punkty otoczki leżące na tej prostej są strategiami wyrównującymi Kolumny. Ona jednak jest zainteresowana minimalizacją wygranej Wiersza a zatem wybierze strategię oznaczoną literą "S". Ta strategia leży na krawędzi otoczki wyznaczonej przez wypłaty opcji A i D Kolumny. Jak zatem widać z rysunku Kolumna powinna całkowicie odrzucić strategie B oraz C, które dają wyższe wygrane Wierszowi i powinna zagrać strategię mieszaną "S" wyznaczoną przez równanie

:<math>
\begin{bmatrix} -4 & 3 \\ 2 & -3\end{bmatrix}
\begin{bmatrix} pK_{A} \\pK_{D}\end{bmatrix}=
\begin{bmatrix} \mathbb EW \\ \mathbb EW\end{bmatrix},
\,\,\,\,\,\,\,pK_{D}=1-pK_{A}\,</math>

co prowadzi, na podstawie wzorów [[Teoria gier#Ogólna metoda rozwiązania gier w strategiach mieszanych|ogólnej metody]], do

:<math> pK_{A}=pK_{D}=\frac{1}{2},\;\;\;\; pK_{B}=pK_{C}=0,\;\;\;\;\mathbb EW=-\frac{1}{2}.</math>

W ten sposób Kolumna zapewni sobie, że niezależnie od strategii Wiersza nie będzie on w stanie wygrać więcej niż <math>\mathbb EW</math>. Strategie A oraz D Kolumny nazywamy jej ''strategiami aktywnymi'' natomiast strategie B i C, których Kolumna nie powinna grać w ogóle - jej ''strategiami nieaktywnymi''.
 
Z kolei Wiersz powinien założyć, że Kolumna gra racjonalnie i wybrać ze swojej strony strategię będącą najlepszą odpowiedzią na wyrównującą strategię kolumny. Obliczając opisaną wyżej [[Teoria gier#Ogólna metoda rozwiązania gier w strategiach mieszanych|metodą]] strategię Wiersza uzyskamy

:<math> pW_{A}=\frac{5}{12},\;\;\;\;pW_{B}=\frac{7}{12},\;\;\;\; \mathbb EK=-\frac{1}{2}.</math>
W ten sposób Wiersz zapewni sobie, że niezależnie od strategii wybranej przez Kolumnę nie wygra ona więcej niż wynosi wartość gry. Zauważmy, że poszukując rozwiązania gry typu (2x4) bez punktów siodłowych i dominacji tak naprawdę zredukowaliśmy tę grę do podgry typu (2x2) poprzez wyeliminowanie strategii, które są mniej korzystne dla Kolumny. 

Jak się można domyśleć zastosowana metoda eliminowania dodatkowych wymiarów może być zastosowana do dowolnej gry typy (2xn). Rzeczywiście punkt "S" zawsze leży na jednej krawędzi otoczki wypukłej zbudowanej na punktach macierzy wypłat odpowiadających kolejnym strategiom Kolumny. Redukcja dowolnej macierzy wypłat typu (2xn) polega na znalezieniu tych punktów metodą graficzną a następnie rozwiązaniu gry (2x2) zredukowanej du tych punktów. Podobną zasadę można zastosować do gier typu (mx2). Tym razem jednak redukować będziemy nadmiarowe strategie Wiersza a punktu "S" będziemy poszukiwać wśród najwyższych wygranych Wiersza a więc w prawym górnym punkcie przecięcia otoczki wypukłej z czerwoną linią <math>\mathbb EW_A=\mathbb EW_B\,</math> (por. [[Teoria gier#Zad. 2.|zadanie 2]]).

===Rozwiązania dowolnych gier o sumie zerowej===

Zapisana w rozdziale [[Teoria gier#Punkty siodłowe oraz dominacje|Punkty siodłowe oraz dominacje]] definicja rozwiązania gry odwołuje się do pary strategii optymalnych oraz liczby <math>\nu\,</math> zwanej wartością gry. Jak dotychczas pokazaliśmy, że rozwiązania gier istnieją w przypadku, kiedy istnieją jej punkty siodłowe (lub da się ją zredukować do tej postaci drogą redukcji strategii zdominowanych) oraz kiedy gra jest typu (2x2), (mx2) lub (2xn). Pozostaje do rozpatrzenia problem ogólny dwuosobowych gier o sumie zerowej typu (mxn). Ten przypadek został rozwiązany przez Johna von Neumanna, który w 1928 roku udowodnił twierdzenie

;Twierdzenie (J. von Neumann)
:Każda dwuosobowa gra (mxn) o sumie zerowej ma rozwiązanie.

W tym miejscu nie będziemy dowodzić tego twierdzenia ale pokażemy sposób postępowania prowadzący do znajdywania rozwiązań. Sposób ten jest w dużej mierze powieleniem metody którą zastosowaliśmy do gier typu (mx2) lub (2xn). Polega on na tym, że dowolną grę typy (mxn) najpierw sprowadzamy do postaci kwadratowej (kxk). Taką grę (kxk) którą otrzymujemy z gry (mxn) drogą redukcji strategii zdominowanych i/lub eliminacji strategii nieaktywnych nazywamy ''podgrą'' gry oryginalnej. O grze tej zakładamy, że nie da sie jej dalej zredukować w opisany wyżej sposób. Pokazany w poprzednim rozdziale sposób redukcji do postaci kwadratowej metodą eliminacji strategii nieaktywnych, w przypadku gier o wymiarze trzy lub większym, może być trudny do wykonania. Zawsze jednak możemy przeprowadzić taką redukcję drogą rozważania wszystkich podgier kwadratowych a następnie wybranie przez gracza dysponującego większą liczbą opcji jako strategie aktywne, tylko tych, które dają mu najwyższą wygraną. Jeśli tak zrobi to sprowadzi grę do postaci kwadratowej. Pozostaje nam zatem  pokazanie efektywnej metody rozwiązywania gier kwadratowych. W tym przypadku ogólna metoda nie różni się zanadto od metody pokazanej dla gier [[Teoria gier#Ogólna metoda rozwiązania gier (2x2) w strategiach mieszanych|typu (2x2)]], zamiast układu równań 2x2 rozwiążemy jedynie układ o większym wymiarze. 

W przypadku ogólnej gry typu (3x3) mamy do rozwiązania, analogicznie do gry [[Teoria gier#Ogólna metoda rozwiązania gier (2x2) w strategiach mieszanych|typu (2x2)]], następujący układ równań

<equation id="eqn:otoczka3x3">
<math>
\begin{bmatrix} w_{A,A} & w_{A,B} & w_{A,C} \\ w_{B,A} & w_{B,B} & w_{B,C}\\ w_{C,A} & w_{C,B} & w_{C,C}\end{bmatrix}
\begin{bmatrix} pK_{A} \\ pK_{B} \\ pK_{C}\end{bmatrix}=
\begin{bmatrix} \mathbb EW \\ \mathbb EW\\ \mathbb EW\end{bmatrix},
\,\,\,\, pK_{A}+ pK_{B} + pK_{C}=1.
</math>
</equation>

Rozwiązaniem tego układu jest punkt przecięcia otoczki wypukłej trójwymiarowych wektorów kolumnowych macierzy gry z prostą <math>\mathbb E W_{A}= \mathbb EW_B= \mathbb EW_C \,</math>. Istnienie takiego rozwiązania, o ile macierz gry nie da się zredukować do gry (2x2) lub (1x1) jest zagwarantowane przez twierdzenie Von Neumanna. Rozważmy dla przykładu grę 

;Przykład 2.11 Gra (3x3).

{| align=center border="1" cellpadding="4" cellspacing="0" style="margin: 1em 1em 1em 1em; background: #f9f9f9; border: 1px #aaa solid; border-collapse: collapse; font-size: 95%;"
|+ align=bottom | ''Macierz wypłat gry (3x3) bez punktów siodłowych i dominacji ''
|- class="wikitable"
|-
|align=center|'''2.11'''||colspan=4; style="color: #900; text-align:center;"|Kolumna 
|-
|-
| rowspan=4; style="color: #009; text-align:center; width: 60px;"|Wiersz
|style="background-color:#CCCCCC; text-align:center; width: 60px;"|
|style="background-color:#CCCCCC; color: #900; text-align:center; width: 60px;"|A  
|style="background-color:#CCCCCC; color: #900; text-align:center; width: 60px;"|B
|style="background-color:#CCCCCC; color: #900; text-align:center; width: 60px;"|C
|-
|style="background-color:#CCCCCC; color: #009; text-align:center; width: 60px;"|A
|align=center|<span style="color: #009">2
|align=center|<span style="color: #009">0
|align=center|<span style="color: #009">1
|-
|style="background-color:#CCCCCC; color: #009; text-align:center; width: 60px;"|B 
|align=center|<span style="color: #009">0
|align=center|<span style="color: #009">2
|align=center|<span style="color: #009">2
|-
|style="background-color:#CCCCCC; color: #009; text-align:center; width: 60px;"|C
|align=center|<span style="color: #009">1
|align=center|<span style="color: #009">2
|align=center|<span style="color: #009">0
|}

Graficzną reprezentację rozwiązania można znaleźć (rys. 3) 

Rys. 3.
[[Plik:Rys2swm.png]]

rysując trzy trójwymiarowe wektory odpowiadających strategiom A, B i C Kolumny

:<math>
\begin{bmatrix} 2 \\ 0\\1\end{bmatrix},\;\;
\begin{bmatrix} 0\\ 2\\2\end{bmatrix},\;\;
\begin{bmatrix} 1\\ 2\\0\end{bmatrix}
</math>

oraz otoczkę wypukłą generowaną przez te trzy wektory jako niebieski trójkąt rozpięty pomiędzy nimi. Z rysunku widzimy, że rozwiązaniem równania <xr id="eqn:otoczka3x3">(%i</xr>) jest przecięcie tego trójkąta z prostą o równaniu :<math>\mathbb EW_A=\mathbb EW_B=\mathbb EW_C \,</math>, narysowaną jako czerwona przerywana linia. Rozwiązaniem gry jest więc strategia mieszana odpowiadająca zaznaczonemu na rys. 3 czerwonemu punktowi.

Jak łatwo sprawdzić, rozwiązując układ trzech równań liniowych o trzech niewiadomych, rozwiązaniem tym jest strategia mieszana
:<math>
pK_{A} = \frac{4}{9},\,\,\,\, pK_{B} = \frac{3}{9},\,\,\,\, pK_{C}=\frac{2}{9}
</math>
a wartością gry jest <math> \nu = \frac{10}{9}.</math>. Jako, że macierz gry jest symetryczna ze względu na transpozycję to rozwiązanie dla Wiersza będzie identyczne

:<math>
pW_{A} = \frac{4}{9},\,\,\,\, pW_{B} = \frac{3}{9},\,\,\,\, pW_{C}=\frac{2}{9}.
</math>

W podobny sposób można rozwiązać dowolną grę typu (3x3). W przypadku gier kwadratowych o większej ilości wymiarów rozwiązanie może wymagać większego wysiłku ale zawsze można go uzyskać stosując znane wzory Kramera na rozwiązania układu równań liniowych niejednorodnych.

==Gry dwuosobowe o sumie niezerowej==

===Dominacje===

Jak zauważyliśmy w poprzednim rozdziale niektóre gry o sumie niezerowej mogą być równoważne grom o sumie zerowej innymi słowy poszukując ich rozwiązań, sprowadzamy te gry do jednej z gier o sumie zerowej. Na ogół jednak rozwiązywanie gier dwuosobowych o sumie niezerowej nie da się sprowadzić do gier o sumie zerowej. Co więcej, gry o sumie niezerowej cechuje dużo większa różnorodność oraz, co najważniejsze, dużo szersze zastosowanie do zagadnień z życia codziennego. Postaramy się to w niniejszym rozdziale wykazać.

Na początek przyjrzymy się kilku przykładom gier o sumie niezerowej i możliwym typom [[Teoria gier#Punkty siodłowe oraz dominacje|''dominacji'']] lub jej braku. Rozpatrzmy następującą grę

;Przykład 3.1 Gra "w kółko".

{|align=center border="1" cellpadding="4" cellspacing="0" style="margin: 1em 1em 1em 1em; background: #f9f9f9; border: 1px #aaa solid; border-collapse: collapse; font-size: 120%;"
|+ align=bottom | ''<span style="font-size: 80%">Gra bez dominacji i równowag</span>''
|- class="wikitable"
|-
|rowspan=2; colspan=2; style="text-align:center"|'''3.1'''
|style="background-color:#CCCCCC; color: #900; text-align:center; width: 90px;"|A  
|style="background-color:#CCCCCC; color: #900; text-align:center; width: 90px;"|B
|rowspan=2; style="color: #009; text-align:center; width: 30px;"|
|-
|colspan=2; style="text-align:center"|<math>\longleftarrow</math>
|-
|style="background-color:#CCCCCC; color: #009; text-align:center; width: 70px;"| A
|rowspan=2; style="color: #009; text-align:center; width: 30px;"|<math>\downarrow</math>
|align=center|<span style="color: #009">1</span>,<span style="color: #900"> 2</span>
|align=center|<span style="color: #009">2</span>,<span style="color: #900"> 1</span>
|rowspan=2; style="color: #009; text-align:center; width: 30px;"|<math>\uparrow</math>
|-
|style="background-color:#CCCCCC; color: #009; text-align:center; width: 70px;"| B 
|align=center|<span style="color: #009">2</span>,<span style="color: #900"> 1</span>
|align=center|<span style="color: #009">1</span>,<span style="color: #900"> 2</span>
|-
|colspan=2; style="text-align:center"|
|colspan=2; style="text-align:center"|<math>\longrightarrow</math>
|}

Gdzie do tabeli wypłat wpisaliśmy strzałki pokazujące preferencje graczy. Dla zaoszczędzenie miejsca opuściliśmy też oczywiste oznaczenie "Wiersz" i "Kolumna". Zauważmy, że strzałki pionowe są skierowane w kierunku wyższych wypłat Wiersza a nie zależą od wypłat Kolumny. Strzałki poziome zaś są skierowane w kierunku wyższych wypłat Kolumny a nie zależą od wypłat Wiersza. Warto przy tej okazji zauważyć, że takie zdefiniowanie kierunków strzałek niekoniecznie musi odpowiadać rzeczywistym preferencjom graczy, nawet przy założeniu ich pełnej racjonalności. Może się zdarzyć, że Wiersz bardziej niż maksymalizacją swojej wygranej, bardziej będzie zainteresowany minimalizacją wygranej Kolumny i vice versa, strategie typu [http://pl.wikipedia.org/wiki/Pies_ogrodnika "pies ogrodnika"] który "sam nie zje i drugiemu nie da" nie są rzadkie w naszej rzeczywistości, tego typu przykłady podamy jednak później.

Wracając do gry '''3.1''' widzimy, że nie ma na ta grę sposobu. Jeśli Wiersz wybierze A to Kolumna dokona również wyboru A. Wtedy jednak Wiersz wybierze jako bardziej korzystną opcję B. To jednak skłoni kolumnę do wyboru również B. Wiedząc o tym Wiersz jednak wybierze A. I tak "w kółko"..., gra ta przypomina pogoń kota za własnym ogonem. Można również znaleźć analogię do znanej gry w "papier, nożyce i kamień". Żaden z graczy nie znajdzie strategii lepszej od drugiego, najbezpieczniej dla obu będzie grać w sposób przypadkowy, wtedy wyniki graczy będą średnio takie same. Diagram przesunięć tej gry jest analogiczny do gry o sumie zerowej '''2.7'''.

Rozpatrzmy wobec tego kolejną grę, w której zauważymy wyraźną dominację strategii

;Przykład 3.2 Gra z podwójną dominacją.

{|align=center border="1" cellpadding="4" cellspacing="0" style="margin: 1em 1em 1em 1em; background: #f9f9f9; border: 1px #aaa solid; border-collapse: collapse; font-size: 120%;"
|+ align=bottom | ''<span style="font-size: 80%">W tej grze A Wiersza i B Kolumny są zdominowane</span>''
|- class="wikitable"
|-
|rowspan=2; colspan=2; style="text-align:center"|'''3.2'''
|style="background-color:#CCCCCC; color: #900; text-align:center; width: 90px;"|A  
|style="background-color:#CCCCCC; color: #900; text-align:center; width: 90px;"|B
|rowspan=2; style="color: #009; text-align:center; width: 30px;"|
|-
|colspan=2; style="text-align:center"|<math>\longleftarrow</math>
|-
|style="background-color:#CCCCCC; color: #009; text-align:center; width: 70px;"| A
|rowspan=2; style="color: #009; text-align:center; width: 30px;"|<math>\downarrow</math>
|align=center|<span style="color: #009">1</span>,<span style="color: #900"> 2</span>
|align=center|<span style="color: #009">1</span>,<span style="color: #900"> 1</span>
|rowspan=2; style="color: #009; text-align:center; width: 30px;"|<math>\downarrow</math>
|-
|style="background-color:#CCCCCC; color: #009; text-align:center; width: 70px;"| B 
|align=center|<span style="color: #009">2</span>,<span style="color: #900"> 2</span>
|align=center|<span style="color: #009">2</span>,<span style="color: #900"> 1</span>
|-
|colspan=2; style="text-align:center"|
|colspan=2; style="text-align:center"|<math>\longleftarrow</math>
|}

W tej grze widzimy wyraźną preferencję Wiersza do opcji B oraz preferencję Kolumny do opcji A. Racjonalni gracze tak właśnie powinni zagrać, co dla obojga oznacza maksymalną możliwą wygraną (2,2). Trudno przypuszczać by racjonalni gracze mogli wybrać inne opcje.

;Przykład 3.3 Gra z pojedynczą dominacją.

{|align=center border="1" cellpadding="4" cellspacing="0" style="margin: 1em 1em 1em 1em; background: #f9f9f9; border: 1px #aaa solid; border-collapse: collapse; font-size: 120%;"
|+ align=bottom | ''<span style="font-size: 80%">Kolumna wybierze B więc Wiersz powinien wybrać A</span>''
|- class="wikitable"
|-
|rowspan=2; colspan=2; style="text-align:center"|'''3.3'''
|style="background-color:#CCCCCC; color: #900; text-align:center; width: 90px;"|A  
|style="background-color:#CCCCCC; color: #900; text-align:center; width: 90px;"|B
|rowspan=2; style="color: #009; text-align:center; width: 30px;"|
|-
|colspan=2; style="text-align:center"|<math>\longrightarrow</math>
|-
|style="background-color:#CCCCCC; color: #009; text-align:center; width: 70px;"| A
|rowspan=2; style="color: #009; text-align:center; width: 30px;"|<math>\downarrow</math>
|align=center|<span style="color: #009">1</span>,<span style="color: #900"> 1</span>
|align=center|<span style="color: #009">2</span>,<span style="color: #900"> 2</span>
|rowspan=2; style="color: #009; text-align:center; width: 30px;"|<math>\uparrow</math>
|-
|style="background-color:#CCCCCC; color: #009; text-align:center; width: 70px;"| B 
|align=center|<span style="color: #009">2</span>,<span style="color: #900"> 1</span>
|align=center|<span style="color: #009">1</span>,<span style="color: #900"> 2</span>
|-
|colspan=2; style="text-align:center"|
|colspan=2; style="text-align:center"|<math>\longrightarrow</math>
|}

W tej grze żadna ze strategii Wiersza nie dominuje drugiej. Wiersz jednak powinien popatrzeć na tę grę z punktu widzenia Kolumny. Wtedy zobaczy, że dla Kolumny strategia B dominuje A więc Kolumna z pewnością zagra właśnie B. Wobec tego oczywiste staje się, że Wiersz powinien też zagrać strategię B. Podejmowanie decyzji w oparciu o przewidywanie tego co mogą zrobić inni jest podstawą tzw. myślenia strategicznego. Wiele ciekawych przykładów tego typu myślenia można znaleźć w książce A. K. Dixit i B.J. Nalebuff "Sztuka strategii"".

===Równowagi Nasha===

Pokażemy teraz grę, w której nie ma dominacji ale pomimo tego gra nie przypomina pogoni kota za ogonem jak to było w przypadku przykładu '''3.1'''. 

;Przykład 3.4 Gra z podwójną równowagą.

{|align=center border="1" cellpadding="4" cellspacing="0" style="margin: 1em 1em 1em 1em; background: #f9f9f9; border: 1px #aaa solid; border-collapse: collapse; font-size: 120%;"
|+ align=bottom | ''<span style="font-size: 80%">Ta gra ma dwie równowagi w punktach (B,A) oraz (A,B)</span>''
|- class="wikitable"
|-
|rowspan=2; colspan=2; style="text-align:center"|'''3.4'''
|style="background-color:#CCCCCC; color: #900; text-align:center; width: 90px;"|A  
|style="background-color:#CCCCCC; color: #900; text-align:center; width: 90px;"|B
|rowspan=2; style="color: #009; text-align:center; width: 30px;"|
|-
|colspan=2; style="text-align:center"|<math>\longrightarrow</math>
|-
|style="background-color:#CCCCCC; color: #009; text-align:center; width: 70px;"| A
|rowspan=2; style="color: #009; text-align:center; width: 30px;"|<math>\downarrow</math>
|align=center|<span style="color: #009">2</span>,<span style="color: #900"> 3</span>
|align=center|<span style="color: #009">8</span>,<span style="color: #900"> 6</span>
|rowspan=2; style="color: #009; text-align:center; width: 20px;"|<math>\uparrow</math>
|-
|style="background-color:#CCCCCC; color: #009; text-align:center; width: 70px;"| B 
|align=center|<span style="color: #009">5</span>,<span style="color: #900"> 4</span>
|align=center|<span style="color: #009">2</span>,<span style="color: #900"> 1</span>
|-
|colspan=2; style="text-align:center"|
|colspan=2; style="text-align:center"|<math>\longleftarrow</math>
|}

Załóżmy, że graczy zagrają w tej grze opcję (A,A). Każdy z nich zobaczy, że byłoby dla niego lepiej gdyby zmienił swoja opcję na B podczas gdy przeciwnik pozostanie przy swojej opcji A. Wyniki odpowiadające wyborowi opcji (A,B) oraz (B,A) są [[Teoria gier#Gry oraz diagramy przesunięć|punktami równowagi]], co oznacza że żadnemu z graczy nie opłaca się zmieniać swojego wyboru podczas, gdy drugi pozostaje przy swoim. Grając w te grę więcej niż jeden raz racjonalni gracze prawdopodobnie wykorzystają ten fakt i po osiągnięciu punktu równowagi nie będą chcieli go szybko zmienić. Tego typu punkty w Teorii gier mają ogromne znaczenie i są nazywane [http://pl.wikipedia.org/wiki/R%C3%B3wnowaga_Nasha równowagami Nasha] od nazwiska znanego badacza Teorii gier [http://pl.wikipedia.org/wiki/John_Nash_Jr Johna Forbesa Nasha], laureata nagrody Nobla z ekonomii.

;Równowaga Nasha
:Równowaga Nasha nazywamy taką parę strategii graczy, dla której żaden z nich nie może zyskać przez zmianę swojej strategii podczas gdy drugi gracz swojej nie zmieni.

Zauważmy, że w grze '''3.4''' istnieją dwie równowagi Nasha i gracze w nią grający powinni zauważyć, że równowaga (A,B) jest dla obojga korzystniejsza niż (B,A). Nie zawsze jednak tak bywa. W wielu grach w których istnieją równowagi Nasha gracze nie  wybór nie jest oczywisty ani jednoznacznie określony, co więcej w niektórych grach równowagi Nasha są bardzo niekorzystnymi wynikami gry. Tego typu przykłady - niepożądanych własności równowag Nasha zobaczymy na przykład w znanej grze [[Teoria gier#Kooperacja czy zdrada: dylemat więźnia|"Dylemat więźnia"]].

Kolejna gra jest pozornie bardzo podoba do '''3.4''', jest między nimi jednak jedna istotna różnica

;Przykład 3.5 Gra z podwójną równowagą i zagrożeniem.

{|align=center border="1" cellpadding="4" cellspacing="0" style="margin: 1em 1em 1em 1em; background: #f9f9f9; border: 1px #aaa solid; border-collapse: collapse; font-size: 120%;"
|+ align=bottom | ''<span style="font-size: 80%">Ta gra ma dwie równowagi w punktach (B,A) oraz (A,B) ale groźba wysokiej przegranej przy zagraniu opcji (B,B) może skłonić do bezpiecznej gry (A,A)</span>''
|- class="wikitable"
|-
|rowspan=2; colspan=2; style="text-align:center"|'''3.5'''
|style="background-color:#CCCCCC; color: #900; text-align:center; width: 90px;"|A  
|style="background-color:#CCCCCC; color: #900; text-align:center; width: 90px;"|B
|rowspan=2; style="color: #009; text-align:center; width: 30px;"|
|-
|colspan=2; style="text-align:center"|<math>\longrightarrow</math>
|-
|style="background-color:#CCCCCC; color: #009; text-align:center; width: 70px;"| A
|rowspan=2; style="color: #009; text-align:center; width: 30px;"|<math>\downarrow</math>
|align=center|<span style="color: #009">2</span>,<span style="color: #900"> 3</span>
|align=center|<span style="color: #009">8</span>,<span style="color: #900"> 6</span>
|rowspan=2; style="color: #009; text-align:center; width: 30px;"|<math>\uparrow</math>
|-
|style="background-color:#CCCCCC; color: #009; text-align:center; width: 50px;"| B 
|align=center|<span style="color: #009">5</span>,<span style="color: #900"> 4</span>
|align=center|<span style="color: #009">-200</span>,<span style="color: #900"> -100</span>
|-
|colspan=2; style="text-align:center"|
|colspan=2; style="text-align:center"|<math>\longleftarrow</math>
|}

Różnica polega na wysokości niekorzystnego wyniku przy wyborze opcji (B,B). W poprzednim przypadku wynik ten (2,1) był niekorzystny ale mógł być przez graczy zaakceptowany w przypadku gdyby "wypadek przy pracy" sprawił, ze gracze nie zagrają strategii równowagi. W grze '''3.5''' potencjalna "wpadka" przy zagraniu (B,B) jest zbyt wysoka i nie do zaakceptowania dla graczy. Prawdopodobnie więc, każdy z nich chcąc zabezpieczyć się przed wysoką przegraną zagra opcję A, a zatem, mimo, że opcja (A,A) nie jest równowagą, będzie ona najlepszą alternatywą dla graczy. Zauważmy, że gdyby tylko jeden z graczy był zagrożony wysoka przegraną, t.j. np. wygrana Wiersza była taka jak w grze '''3.4''' a wygrane Kolumny takie jak w grze '''3.5''' to tylko Kolumna miałaby powody aby zagrać "bezpiecznie" unikając swojej strategii B. Przewidując takie myślenie Kolumny Wiersz jednak powinien to zrozumieć i nie upierać się przy swojej opcji A (aby osiągnąć wyższą równowagę) lecz powinien zaakceptować nieco niższą wygraną ale dużo bezpieczniejszą dla Kolumny wygraną równowagi (B,A). Zauważmy, że rozumowanie Wiersza jest w tym przypadku nieco paradoksalne. "Muszę zagrać na niższą równowagę (B,A) bo Kolumna może się bać, że zagram opcję B wtedy gdy ona również zagra B".

Może się również zdarzyć, że dwie równowagi, takie jak w grze '''3.4''' będą asymetryczne ze względy na wypłaty graczy. Ten ciekawy przypadek pokazano w przykładzie '''3.6'''

;Przykład 3.6 Gra z asymetrycznymi równowagami.

{|align=center border="1" cellpadding="4" cellspacing="0" style="margin: 1em 1em 1em 1em; background: #f9f9f9; border: 1px #aaa solid; border-collapse: collapse; font-size: 120%;"
|+ align=bottom | ''<span style="font-size: 80%">Ta tej grze dużo zależy od tego który gracz "postawi na swoim" i skłoni drugiego do grania równowagi korzystniejszej dla siebie</span>''
|- class="wikitable"
|-
|rowspan=2; colspan=2; style="text-align:center"|'''3.6'''
|style="background-color:#CCCCCC; color: #900; text-align:center; width: 90px;"|A  
|style="background-color:#CCCCCC; color: #900; text-align:center; width: 90px;"|B
|rowspan=2; style="color: #009; text-align:center; width: 30px;"|
|-
|colspan=2; style="text-align:center"|<math>\longrightarrow</math>
|-
|style="background-color:#CCCCCC; color: #009; text-align:center; width: 70px;"| A
|rowspan=2; style="color: #009; text-align:center; width: 30px;"|<math>\downarrow</math>
|align=center|<span style="color: #009">-1</span>,<span style="color: #900"> -1</span>
|align=center|<span style="color: #009">1</span>,<span style="color: #900"> 2</span>
|rowspan=2; style="color: #009; text-align:center; width: 30px;"|<math>\uparrow</math>
|-
|style="background-color:#CCCCCC; color: #009; text-align:center; width: 70px;"| B 
|align=center|<span style="color: #009">2</span>,<span style="color: #900"> 1</span>
|align=center|<span style="color: #009">0</span>,<span style="color: #900"> 0</span>
|-
|colspan=2; style="text-align:center"|
|colspan=2; style="text-align:center"|<math>\longleftarrow</math>
|}

W tej grze mamy dwie równowagi (A,B) oraz (B,A). W odróżnieniu jednak od gry '''3.4''' nie ma jednaj równowagi, która byłaby "lepsza" od drugiej. Co więcej opinie graczy będę podzielone. Wiersz z pewnością preferuje równowagę (B,A) w której wygrywa 2 do 1 z Kolumną a Kolumna Równowagę (A,B) bo tu ona wygrywa w tym samym stosunku. Rozwiązania (A,A) i (B,B) są dla obojga równie niekorzystne. Jak zatem powinien postąpić racjonalny gracz w tej sytuacji? Ilościowe rozważania nie są w stanie przybliżyć nas do udzielenia odpowiedzi na to pytanie. Zamiast tego przytoczmy pewną historyjkę.

''Dwie ciężarówki pędzą naprzeciw siebie po wąskiej drodze. Droga jest na tyle wąska, że nie są w stanie się wyminąć a zjazd na pobocze grozi zakopaniem się w grząskim gruncie. Kierowcy świadomi tego nie zamierzają ustąpić - każdy liczy na to, że to ten drugi zjedzie na pobocze. Obaj są na tyle zdeterminowani aby nie ustąpić, że zderzenie wydaje się nieuchronne. W pewnym momencie, kiedy są już bardzo blisko, jeden z nich wyrywa w swoim samochodzie kierownicę i wyrzuca ją przez okno...''

Ta historyjka podpowiada nam jak wygrać grając w grę typu '''3.6'''. Opcja A to "jechać prosto" opcja B to "zjechać na pobocze" Dwie nieekwiwalentne równowagi Nasha to sytuacje (A,B) i (B,A) kiedy kierowca ustępuje drugiemu i obaj przejeżdżają wąską drogą, choć jeden włoży w to większy wysiłek. Rozwiązania nierównowagowe to sytuacja w której obaj decydują się jechać prosto (A,A) i dochodzi do zderzenia albo obaj skręcają w grząskie pole (ta sytuacja jest gorsza niż gdyby tylko jeden zjechał bo obaj utopieni w błocie nie mogą sobie wzajemnie pomóc). Wygrywa ten, który w czasie negocjacji jako pierwszy zakomunikuje: "Rób co chcesz ale ja nie ustąpię..." Tego typu postawienie sprawy stawia tego drugiego w niezwykle trudnej sytuacji, chcąc uniknąć najgorszego często ustępuje. Choć teoretycznie może powiedzieć to samo to jego przekaz, jako drugi, nie będzie już tak wiarygodny. Jeszcze skuteczniejszy może być tego typu komunikat kiedy zaraz po nim zerwiemy komunikacją. Na przykład powiemy to przez telefon i nie czekając na odpowiedź rzucimy słuchawkę.

===Kooperacja czy zdrada: dylemat więźnia===

Najszerzej spopularyzowana gra teorii gier jest opatrzono obrazową nazwą nasuwającą skojarzenie z procesem sądowym. W istocie zastosowanie tej gry wykracza znacznie poza sytuację dylematu dwóch podejrzanych o przestępstwo. Gracze, nie kontaktując się z sobą, mają do wyboru: lojalność wobec towarzysza (nie przyznanie się przy założeniu, że on też się nie przyzna) lub zdradę: przyznanie się i wrobienie kolegi w zamian za złagodzenie kary. Posługując się ogólnymi terminami ''współpraca'' - ''zdrada'' możemy schemat ten odnieść do różnych sytuacji, w których wynik zależy od posunięć obu stron, a wybór każdego posunięcia dokonywany jest w oparciu o przewidywanie ruchu partnera. Popatrzmy na tabelę wypłat, dla której - wyjątkowo - im wyższa wypłata tym gorzej dla gracza - wszak przez "wypłaty" rozumiemy to lat odsiadki w więzieniu,

;Przykład 3.7 Dylemat więźnia

{|align=center border="1" cellpadding="4" cellspacing="0" style="margin: 1em 1em 1em 1em; background: #f9f9f9; border: 1px #aaa solid; border-collapse: collapse; font-size: 120%;"
|+ align=bottom | ''<span style="font-size: 80%">Równowagą Nasha jest po 10 lat odsiadki dla ubu, jednak znacznie korzystniejszym wynikiem jest odsiadka jednoroczna.</span>''
|- class="wikitable"
|-
|rowspan=2; colspan=2; style="text-align:center"|'''3.7''' <br> lata odsiadki'''
|style="background-color:#CCCCCC; color: #900; text-align:center; width: 90px;"|nie przyzna  
|style="background-color:#CCCCCC; color: #900; text-align:center; width: 90px;"|przyzna
|rowspan=2; style="color: #009; text-align:center; width: 30px;"|
|-
|colspan=2; style="text-align:center"|<math>\longrightarrow</math>
|-
|style="background-color:#CCCCCC; color: #009; text-align:center; width: 90px;"| nie przyzna
|rowspan=2; style="color: #009; text-align:center; width: 30px;"|<math>\downarrow</math>
|align=center|<span style="color: #009">1</span>,<span style="color: #900"> 1</span>
|align=center|<span style="color: #009">25</span>,<span style="color: #900"> 0</span>
|rowspan=2; style="color: #009; text-align:center; width: 30px;"|<math>\downarrow</math>
|-
|style="background-color:#CCCCCC; color: #009; text-align:center; width: 50px;"|przyzna 
|align=center|<span style="color: #009">0</span>,<span style="color: #900"> 25</span>
|align=center|<span style="color: #009">10</span>,<span style="color: #900"> 10</span>
|-
|colspan=2; style="text-align:center"|
|colspan=2; style="text-align:center"|<math>\longrightarrow</math>
|}

W omawianej historyjce mogą wystąpić cztery sytuacje, bowiem obaj aresztowani mają dwie opcje: przyznać się (zdrada towarzysza) lub nie przyznać się (konsekwentna współpraca). Jeśli każdemu rozwiązaniu przypiszemy ilość lat odsiadki, uzyskamy następujący obraz:
*Obaj nie przyznają się i, z powodu braku dowodów, otrzymują symboliczny wyrok, będący w ich sytuacji nagrodą obopólną (N) za wzajemną współpracę (kara dla obu 1 rok);
*Obaj przyznają się, otrzymają więc złagodzony (na mocy umowy z prokuratorem) wyrok, stanowiący karę (K) za wzajemną zdradę (kara 10 lat); 
*Jeden się przyzna, lecz drugi nie; wówczas ten pierwszy zostanie wynagrodzony całkowitym uwolnieniem (kara 0), a drugi otrzyma wysoki wyrok (kara 25 lat). Ta asymetryczna sytuacja staje się pokusą do zdrady (P), kto jej nie ulegnie i chce być nadal lojalny, ponosi klęskę i zostaje "frajerem" (F).
Nazwy tych rozwiązań, mających różny wydźwięk dla obu partnerów, podkreślają faktyczny dylemat, przed którym stoją: czy starać się zminimalizować straty i uzyskać nagrodę, zakładając, że drugi również będzie tak rozumował? Ale przecież on także wystawiony jest na pokusę uzyskania jeszcze lepszego rozwiązania, jeżeli dopuści się jednostronnej zdrady. Wie on jednakże, że druga osoba myśli w podobny sposób, a zatem nie można zakładać, że zaryzykuje pójściem na współpracę. Efekt jest taki, że z punktu widzenia własnego interesu obaj "gracze" skłonni są wybrać posunięcie "zdrada" i każdy z nich uzyska wynik dla siebie niekorzystny (K), choć nie tak tragiczny, jakim ryzykowałby idąc na współpracę i zostając zdradzony (F). Wynik obopólnej zdrady (K) jest równowagą Nasha tej gry. Paradoks polega na tym, że w obawie przed zdradą (F) obaj gracze są w stanie zaakceptować to "bezpieczne" rozwiązanie (K) podczas, gdy do ich dyspozycji pozostaje jednoznacznie najkorzystniejsze rozwiązanie (N). 

Kwestią decydującą o zachowanie graczy w tym przypadku okazuje się być pojęcie, który pozostaje poza stricte matematycznym podejściem do teorii gier. Pojęciem tym jest ''zaufanie'' do siebie graczy. Przestępcy, zanim popełnili czyn karalny umówili się, że w razie problemów z wymiarem sprawiedliwości nie wydadzą siebie wzajemnie, będą konsekwentnie wobec siebie lojalni. W takim przypadku wybór rozwiązania kooperacyjnego (N) jest uwarunkowany zaufaniem do siebie obu graczy ufając sobie częściej wybiorą rozwiązanie kooperacyjne. Gracze, którzy z natury dążą da maksymalizacji swojej korzyści widzą jednocześnie, że opłaca im się współpraca z konkurentem/partnerem, dzięki której obaj "per saldo" zyskają w świecie pełnym innych konkurentów. W ten sposób, dylemat więźnia wpisany jest konflikt między racjonalnością indywidualną i grupową. Jak zauważa Straffin: "''Jednostki racjonalnie dbające o swoje interesy doprowadzają do wyniku niekorzystnego dla wszystkich, w tym i dla nich samych''".

Dylemat więźnia modeluje wiele zjawisk zachodzących w realnych sytuacjach społecznych, gospodarczych a nawet globalnych problemach ekologicznych świata, w których dwie strony mogą uzyskać obopólnie korzystny wynik przy zachowaniu kooperacyjnym, jednakże obawa przed egoistycznym zachowaniem partnera i chęć maksymalizacji własnych korzyści skłania je często do wyboru opcji niekooperacyjnej ("zdrady" w przyjętej tu terminologii) i uzyskaniu kiepskiego rezultatu. Przykładami są negocjacje, podział zasobów, konfrontacja związki zawodowe - zarząd firmy, rywalizacja departamentów w firmie, relacje pracownik - przełożony, relacje między współpracownikami i wiele innych.

===Współpraca się opłaca – turnieje Axelroda===

Jednorazowe rozegranie dylematu zdrada-współpraca nie ma, jak widzieliśmy, "naturalnego", czyli dającego się uzasadnić drogą dedukcji rozwiązania. Ze względów psychologicznych obie strony skłonne są wybrać niekorzystny dla siebie wynik będący ceną ochrony przed rezultatem najgorszym. Sytuacje konfrontacji czy sprzeczności interesów mają jednak tendencję do powtarzania się i, choć zmieniać się będzie kontekst i partnerzy, zasadne staje się pytanie, jakich skutków możemy oczekiwać w dłuższej skali czasowej. Innymi słowy, czy konsekwentne stosowanie jakiegoś rodzaju strategii, np. współpracy lub bezwzględnego zdradzania da nam w ogólnym rozrachunku więcej korzyści.
Dobrze uzasadnioną odpowiedź na to pytanie uzyskał politolog Robert Axelrod dokonując symulacji komputerowych działania rozmaitych strategii podczas wielokrotnego rozgrywania dylematu więźnia. Wiele razy powtarzana (czyli iterowana) sytuacja daje możliwość zobaczenia, co staje się z rachunkiem zysków i strat partnerów stosujących różne podejścia. Axelrod ogłosił wśród fachowców zajmujących się teorią gier turniej na najlepszą strategię będącą kombinacją posunięć Współpraca - Zdrada w iteracji dylematu więźnia. Nadesłane strategie, a były wśród nich bardzo proste i niezwykle wymyślne, dało się z grubsza poklasyfikować według pewnych kryteriów. Były więc strategie ''uprzejme'', czyli takie, które nigdy nie zdradzały jako pierwsze i ''wredne'', które notorycznie lub od czasu do czasu dopuszczały się zdrady. Inne kryterium, to ''pamiętliwość'' - wielokrotne karanie przeciwnika za zdradę. Dla kontrastu, ''wielkoduszne'' strategie nie odpowiadają na atak serią odwetów. W turnieju, w którym każda strategia walczyła po kolei z wszystkimi innymi, zwyciężyło - ku zdziwieniu uczestników - proste, nadesłane przez psychologa Anatola Rapoporta rozwiązanie o nazwie wet za wet. Zawsze zaczyna od współpracy, a następnie powiela posunięcia drugiej strony. Jest to strategia uprzejma (nigdy pierwsza nie posuwa się do zdrady) i jednocześnie nie pamiętliwa - na atak odpowiada atakiem, ale "wybacza" zdradę i nie stosuje dalszych akcji "prewencyjnych". Wynik ten przeczy obiegowym opiniom o potrzebie twardej postawy i stosowania siły w sytuacjach konfrontacyjnych; nawet dla specjalistów biorących udział w turnieju Axelroda strategia ta wydawała się zbyt "miękka". "Ta niemal utopijnie brzmiąca konkluzja" - jak określił to autor - że uprzejmość i wielkoduszność są cechami efektywnej strategii wyprowadzona została, podkreślmy to, nie z humanistycznych założeń filozofów czy psychologów, lecz z analizy rozgrywek "bezdusznych" programów komputerowych.
Jak z analiz tych wynika, w otoczeniu zdominowanym przez działanie w stylu "wet za wet" osobnikowi stosującemu inne, bardziej "wredne" strategie, nie powiedzie się najlepiej. Strategia "wet za wet" wykazuje się zatem "odpornością na zdradę od wewnątrz" - czego, jak pamiętamy, nie da się powiedzieć ani o konsekwentnie napastliwym, agresywnym zachowaniu, ani o asekuranckiej taktyce.

Gdy w grze uczestniczą obdarzone świadomością jednostki, pojawia się możliwość ustalania posunięć przed ich wykonaniem i stosowania nacisku psychologicznego w postaci'' obietnic'' lub ''gróźb''. W grze o schemacie dylematu więźnia dla pojedynczej rozgrywki "groźba" nie ma sensu (bo posunięcie "Zdrada" jest i tak racjonalne dla obu partnerów), ale sensowna jest "obietnica": "Odpowiem Współpracą na twoją Współpracę", dająca szansę na uzyskanie obopólnych korzyści. Jednakże nawet wtedy wizja egoistycznego, jednostronnie korzystnego rozwiązania i chęć zdominowania partnera mogą spowodować, że ulegniemy pokusie zdrady. Zdarza się to i w praktyce (nie wywiązanie się z ustaleń, niedotrzymanie ustnej umowy, torpedowanie współpracy) i w kontrolowanych sytuacjach eksperymentalnych. 
Pomimo tych komplikacji, na dłuższą metę korzystniejsze jest stosowanie strategii zasadniczo kooperacyjnych: nie "wrednych" i skrajnie egoistycznych, lecz zarazem nie naiwnych (rewanżujących się za nieczyste zagranie). Ta konkluzja wynikająca z analizy rozpatrywanych przez teorię gier modeli wykazuje zbieżność z postulatami psychologów składającymi się na partnerski model relacji międzyludzkich w kontaktach zawodowych: partycypacyjny styl zarządzania, wzorzec obopólnej wygranej w negocjacjach, zasady marketingu relacyjnego w kontaktach z klientami, postawa asertywna wobec szefa i współpracowników. Teoria gier dostarcza poparcia tezie, iż postulaty te oparte są na racjonalnych podstawach, jednakże w jakiej formie zostaną one wprowadzone w życie i czy staną się trwałym rysem naszego postępowania zależeć będzie od splotu czynników składających się na kruchą i nie w pełni przewidywalną materię ludzkich charakterów, dążeń, emocji.


===Strategie wyrównujące i twierdzenie Nasha===

Rozważmy teraz grę, która nie ma równowag Nasha w strategiach czystych a której diagram przesunięć jest analogiczny do tego z gry '''3.1'''

;Przykład 3.8 Gra "w kółko" .

{|align=center border="1" cellpadding="4" cellspacing="0" style="margin: 1em 1em 1em 1em; background: #f9f9f9; border: 1px #aaa solid; border-collapse: collapse; font-size: 120%;"
|+ align=bottom | ''<span style="font-size: 80%">Gra bez równowag Nasha w strategiach czystych</span>''
|- class="wikitable"
|-
|rowspan=2; colspan=2; style="text-align:center"|'''3.8'''
|style="background-color:#CCCCCC; color: #900; text-align:center; width: 90px;"|A  
|style="background-color:#CCCCCC; color: #900; text-align:center; width: 90px;"|B
|rowspan=2; style="color: #009; text-align:center; width: 30px;"|
|-
|colspan=2; style="text-align:center"|<math>\longleftarrow</math>
|-
|style="background-color:#CCCCCC; color: #009; text-align:center; width: 70px;"| A
|rowspan=2; style="color: #009; text-align:center; width: 30px;"|<math>\downarrow</math>
|align=center|<span style="color: #009">2</span>,<span style="color: #900"> 3</span>
|align=center|<span style="color: #009">1</span>,<span style="color: #900"> 2</span>
|rowspan=2; style="color: #009; text-align:center; width: 30px;"|<math>\uparrow</math>
|-
|style="background-color:#CCCCCC; color: #009; text-align:center; width: 70px;"| B 
|align=center|<span style="color: #009">3</span>,<span style="color: #900"> 0</span>
|align=center|<span style="color: #009">0</span>,<span style="color: #900"> 2</span>
|-
|colspan=2; style="text-align:center"|
|colspan=2; style="text-align:center"|<math>\longrightarrow</math>
|}

Omawiając o grę '''3.1''' zauważyliśmy, że nie ma w niej dominacji ani równowag. Na pierwszy rzut oka, gracze mogą się czuć bezradni nie znajdując sposobu na tę grę. Okazuje się jednak, że dla gier tego typu można znaleźć równowagę Nasha. Aby to zrobić przeanalizujmy osobna grę Wiersza i Kolumny dla przykładu '''3.8'''.

;Przykład 3.8' Metoda Williamsa dla gry Wiersza '''3.8<math>''</math> '''

{| align=center border="1" cellpadding="4" cellspacing="0" style="margin: 1em 1em 1em 1em; background: #f9f9f9; border: 1px #aaa solid; border-collapse: collapse; font-size: 95%;"
|+ align=bottom | ''Obliczanie strategii wyrównującej Kolumny przez rozwiązanie gry Wiersza''
|- class="wikitable"
|-
|align=center|'''3.8''''||colspan=3; style="color: #900; text-align:center;"|Kolumna
|-
|rowspan=3; style="color: #009; text-align:center; width: 60px;"|Wiersz
|style="background-color:#CCCCCC; text-align:center; width: 60px;"|
|style="background-color:#CCCCCC; color: #900; text-align:center; width: 60px;"|A  
|style="background-color:#CCCCCC; color: #900; text-align:center; width: 60px;"|B
|-
|style="background-color:#CCCCCC; color: #009; text-align:center; width: 60px;"|A
|align=center|<span style="color: #009">2
|align=center|<span style="color: #009">1
|-
|style="background-color:#CCCCCC; color: #009; text-align:center; width: 60px;"|B 
|align=center|<span style="color: #009">3
|align=center|<span style="color: #009">0
|-
|colspan=2; style="text-align:center;"|różnice w kolumnach
|align=center; style="text-align:center;"|-1
|align=center; style="text-align:center;"|1
|-
|colspan=2; style="text-align:center;"|<math>pK_A</math> i <math> pK_B</math> 
|align=center|1/2
|align=center|1/2
|}

Dla gry Wiersza z przykładu '''3.8''' możemy wyznaczyć strategię wyrównującą Kolumny <math>[pK_A, pK_B]=[1/2, 1/2]\,</math>. Jeżeli Kolumna zastosuję tą strategię, to wygrana Wiersza będzie równa wartości tej gry niezależnie od wyboru Wiersza. W przykładzie '''3.8<math>'</math>''' pokazano obliczenie tej strategii  [[Teoria gier#Ogólna metoda rozwiązania gier (2x2) w strategiach mieszanych|metodą Williamsa]]. Wartość gry Wiersza wynosi <math>\nu_W=3/2\,</math>. Wyznaczmy teraz strategię wyrównującą Wiersza w grze Kolumny,

;Przykład 3.8<math>''</math> Metoda Williamsa dla gry Wiersza '''3.8'''

{| align=center border="1" cellpadding="4" cellspacing="0" style="margin: 1em 1em 1em 1em; background: #f9f9f9; border: 1px #aaa solid; border-collapse: collapse; font-size: 95%;"
|+ align=bottom | ''Obliczanie strategii wyrównującej Wiersza przez rozwiązanie gry Kolumny''
|- class="wikitable"
|-
|align=center|'''3.8<math>''</math>'''||colspan=3; style="color: #900; text-align:center;"|Kolumna
|rowspan=2; style="text-align:center; width: 60px;"|różnice w <br/> wierszach
|rowspan=2; style="text-align:center; width: 60px;"|<math> pW_A </math> i <math> pW_B</math>
|-
|rowspan=3; style="color: #009; text-align:center; width: 60px;"|Wiersz
|style="background-color:#CCCCCC; text-align:center; width: 60px;"|
|style="background-color:#CCCCCC; color: #900; text-align:center; width: 60px;"|A  
|style="background-color:#CCCCCC; color: #900; text-align:center; width: 60px;"|B
|-
|style="background-color:#CCCCCC; color: #009; text-align:center; width: 60px;"|A
|align=center|<span style="color: #900">3
|align=center|<span style="color: #900">2
|align=center; style="text-align:center;"|1
|style="text-align:center; width: 60px;"|2/3
|-
|style="background-color:#CCCCCC; color: #009; text-align:center; width: 60px;"|B 
|align=center|<span style="color: #900">0
|align=center|<span style="color: #900">2
|align=center; style="text-align:center;"|-2
|style="text-align:center; width: 60px;"|1/3
|}

Strategia ta <math>[pW_A, pW_B]=[2/3, 1/3]\,</math> daje wartość oczekiwaną wygranej Kolumny lub wartość gry Kolumny <math>\nu_K=2\,</math>. Wyznaczyliśmy zatem parę strategii wyrównujących Wiersza w grze Kolumny oraz Kolumny w grze Wiersza wraz z wartościami obu gier. Ta para strategii, zgodnie z definicją strategii wyrównujących, ma tę własność, że żaden z graczy nie może podwyższyć swojej wygranej (jej wartości oczekiwanej) poprzez jednostronną zmianę swojej strategii. A zatem znaleźliśmy równowagę Nasha dla gry o sumie niezerowej wyrażoną w strategiach mieszanych. Istnienie takiego rozwiązania nie jest niczym szczególnym w świetle twierdzenia Nasha

;Twierdzenie (J. Nash)
:Każda dwuosobowa gra o sumie niezerowej ma równowagę w strategiach prostych lub mieszanych.

Można by odnieść wrażenie, że równowagi Nasha są czymś w rodzaju rozwiązań gier o sumie zerowej w wersji dla gier o sumie niezerowej gdyż podobnie jak rozwiązania są strategiami wyrównującymi. Niestety, jak już mówiliśmy o tym definiując [[Teoria gier#Równowagi Nasha|równowagę Nasha]] na ogół tak nie jest. Jak widzieliśmy w przykładach '''3.3-3.6''' równowagi gra może mieć kilka, w przeciwieństwie do rozwiązań gier o sumie zerowej, nierównoważnych równowag Nasha. Omawiając dylemat więźnia zauważyliśmy, że równowaga Nasha, jako rezultat obopólnej zdrady (K) jest wynikiem niekorzystnym dla graczy - istnieje wynik korzystniejszy dla obojga graczy. Również w przykładzie '''3.8''' widzimy, że równowaga Nasha prowadzi do wygranej <math>[\nu_W, \nu_K]=[3/2, 2]\,</math>, wyniku gorszego np. od <math>[2,3]\,</math>, które gracze mogliby uzyskać grając strategię prostą (A,A). W kolejnym rozdziale wprowadzimy pojęcie, które precyzyjnie zdefiniuje co to znaczy "rozwiązanie korzystne dla graczy"

===Optymalność w sensie Pareto===

;Paretooptymalność
:Wynik gry jest optymalny w sensie Pareto (paretooptymalny) jeżeli nie ma w tej grze innego wyniku (wypłaty), który byłby dla jednego gracza wyższy a dla drugiego nie niższy.

Uwaga. Jeżeli wynik gry nie jest paretooptymalny to znaczy, że istnieje inny wynik, nie niższy dla żadnego z nich a przynajmniej dla jednego wyższy.

Optymalność w sensie Pareto najlepiej zilustrować wykorzystując tzw. diagram użyteczności, czyli graficzne przedstawienie wypłat graczy. Diagram taki jest szczególnie przydatny w przypadku gier dwuosobowych, gdzie wygrane graczy przedstawiamy na dwu osiach układu współrzędnych. Na rysunku 4 przedstawiono dla przykładu diagram użyteczności gry 3.8. Oś pozioma diagramu wskazuje wygrane Wiersza a oś pionowa wygrane Kolumny.

Rys. 4. Diagram użyteczności gry 3.8. Rozwiązania optymalne w sensie Pareto a równowaga Nasha
[[Plik:NashPareto.png]]

Wygrane graczy odpowiadające przyjętej parze strategii (A,A) będziemy oznaczali

:<math>{\mu }_W(A,A)=2,\ \ \ {\mu }_K(A,A)=3\,</math>,

gdzie <math>{\mu }_W\,</math> to wygrana Wiersza a <math>{\mu }_K\,</math> to wygrana Kolumny. Parę wygranych oznaczamy poprzez

:<math>\mu (A,A)=(2,3),\,</math> 

podobnie <math>\mu(A,B)=(1,2)\,</math>, <math>\mu (B,A)=(3,0)\,</math>, <math>\ \mu (B,B)=(0,2)\,</math>. Diagram użyteczności gry 3.8 przedstawia wszystkie te punkty i odpowiadające im pary strategii. Punkty, pomiędzy którymi wybór należy do Wiersza połączono ''odcinkami wyboru Wiersza'' o kolorze niebieskim (od (A,A) do (B,A) i od (B,B) do (A,B)) a punkty, pomiędzy którymi wybór należy do Kolumny połączono ''odcinkami wyboru Kolumny'' o kolorze czerwonym (od (A,B) do (A,A) i od (B,A) do (B,B)). Strzałki odzwierciedlają preferencje z diagramu przesunięć 3.8. Zauważmy, że podobnie jak na diagramie przesunięć strzałki nie są zbieżne w żadnym punkcie diagramu użyteczności.  Jak pokazaliśmy powyżej rozwiązanie gry da się wyrazić w strategie mieszanych. Możliwe strategie mieszane odpowiadają rozważanym odcinkom wyboru diagramu użyteczności. Rzeczywiście, równanie 

:<math>{pK}_A(2,3)+(1-{pK}_A)(1,2),\ \ \ \ {pK}_A\in [0,1]\,</math> 

jest równaniem odcinka wyboru Kolumny łączącego punkty <math>\mu (A,B)=(1,2)\,</math> i <math>\mu (A,A)=(2,3)\,</math>. Podobnie 

:<math>{pK}_A(3,0)+(1-{pK}_A)(0,2),\ \ \ \ {pK}_A\in [0,1]\,</math> 

Jest równaniem odcinka wyboru Kolumny łączącego punkty <math>\mu (B,A)=(3,0)\,</math> i <math>\mu (B,B)=(0,2)\,</math>.

Strategia wyrównująca Kolumny w grze Wiersza to taki dobór punktów na odcinkach wyboru Kolumny, który zapewnia, że wygrane Wiersza nie zależą od jego wyboru. Kolumna dobierając swoje prawdopodobieństwa <math>{pK}_A\,</math> i <math>{pK}_B=1-{pK}_A\,</math> de facto poszukuje takiego punktu na (czerwonych) odcinkach wyboru Kolumny aby wygrane Wiersza były nie zależały od jego wyboru.

Dobór strategii wyrównującej Kolumny oznacza więc znalezienie takiego  <math>\,{pK}_A</math>, że odpowiadające mu punkty na obu odcinkach wyboru Kolumny będą leżały jeden nad drugim tak aby ich współrzędna pozioma - wygrana Wiersza była ustalona. Taki punkt, jak pokazaliśmy wcześniej, istnieje. Pionowa linią przerywaną na rysunku 4 przecinającą oba odcinki wyboru Kolumny w punktach odpowiadających  <math>{pK}_A={pK}_B=1/2\,</math>, odpowiadająca jej wygrana Wiersza, zgodnie ze znalezionym wcześniej  rozwiązaniem gry 3.8 wynosi <math>{\mu }_W[\frac{1}{2} (3,0)+ \frac{1}{2}(0,2)]={\nu }_W=\frac{3}{2}\,</math>.

Podobnie pozioma linią przerywaną na rysunku 4  przecina oba odcinki wyboru Wiersza 

:<math>{pW}_A(2,3)+(1-{pW}_A)(3,0),\ \ \ \ {pW}_A\in [0,1]\,</math> 

oraz

:<math>{pW}_A(1,2)+(1-{pW}_A)(0,2),\ \ \ \ {pW}_A\in [0,1]\,</math> 



w punktach odpowiadających <math>{pW}_A=\frac{2}{3}\,</math> i <math>{pW}_B=\frac{1}{3}\,</math>. Odpowiadająca tym punktom wygrana Kolumny, wynosi <math>{\mu}_K[\frac{2}{3}\ (2,3)+\frac{1}{3}\ (3,0)]={\nu }_K=2\,</math>.

Obie przerywane linie przecinają się w punkcie równowagi Nasha tej gry <math>[{\nu }_W,{\nu }_K]=(\frac{3}{2},2)\,</math>.

Z definicji optymalności w sensie Pareto wynikiem takim możemy nazwać każdy punkt diagramu użyteczności dla którego nie można powiększyć wygranej jednego gracza bez pogarszanie wygranej drugiego. Oznacza to, że jeśli wynik ma być Paretooptymalny to na prawo ani powyżej niego nie moga istnieć żadne inne wyniki gry. Dla diagramu z rysunku 4 własność taką mają wszystkie punkty leżące na odcinku od (A,A) do (B,A).  Jak widać na tym przykładzie równowaga Nasha leży daleko od tego odcinka a zatem nie jest optymalna w sensie Pareto.


==Logika wnioskowania w podejmowaniu decyzji==

W niniejszym rozdziale poddamy się próbie sprawdzenia naszej umiejętności wnioskowania logicznego. Na ogół każdy z nas sądzi, że potrafi kierować się regułami logiki. Niestety czasami nasze intuicje zawodzą i dlatego warto zastanowić się, czy wypowiadane przez nas zdania, twierdzenia czy wnioski są rzeczywiście poprawne na gruncie logiki. Aby czytelnik nie nudził się czytając abstrakcyjne reguły wnioskowania (tautologie logiczne) założymy, że są nam one a priori znane oraz zadamy kilkanaście pytań mających ma celu zbadanie tej znajomości. Jeśli z jakimiś pytaniami pojawią się problemy, czytelnik będzie miał okazję zapoznać się z ich omówieniem i w ten sposób lepiej zrozumieć leżące u ich podstaw reguły. 

Proszę zatem przeczytać i odpowiedzieć na poniższe pytania wypisując na kartce papieru wszystkie możliwe opcje odpowiedzi, np. 1.1, 1.2, 1.3 i 1.4 oraz zakreślając te, które naszym zdaniem są prawidłowe a skreślając nieprawidłowe. W jednym pytaniu może być kilka prawidłowych i kilka nieprawidłowych odpowiedzi. Odpowiadając na pytania należy wykorzystywać jedynie reguły logicznego wnioskowania. Nie należy sugerować się inną wiedzą, którą posiadamy na tematy w nich poruszane. Nie należy się spieszyć i warto dobrze zastanowić się nad każdym pytaniem. Niektóre z nich mogą ci się wydać łatwe ale niekoniecznie pierwsza, narzucająca się odpowiedź jest prawidłowa. 


1. Wszystkie kangury są torbaczami, wszystkie torbacze są ssakami. Istnieją ssaki żyjące w Australii i niektóre kangury żyją na drzewach. Można z tego wywnioskować, że:
:a) kangury nadrzewne żyją w Australii,
:b) wszystkie torbacze żyją na drzewach,
:c) kangury australijskie są torbaczami,
:d) wszystkie ssaki torbacze są kangurami.


2. Jeśli nie jest prawdą, że w Banku Melmańskim odsetki są kapitalizowane tygodniowo i stopa procentowa lokat jest większa od stopy procentowej kredytów, to znaczy to dokładnie tyle, że w Banku Melmańskim:
:a) odsetki nie są kapitalizowane tygodniowo i stopa procentowa lokat nie jest większa od stopy procentowej kredytów,
:b) odsetki nie są kapitalizowane tygodniowo lub stopa procentowa lokat nie jest większa od stopy procentowej kredytów,
:c)odsetki są kapitalizowane tygodniowo ale stopa procentowa lokat nie jest większa od stopy procentowej kredytów,
:d) dyrektor banku zwariował.


3.	Jeśli nie jest prawdą, że ten czek jest potwierdzony lub sfałszowany to znaczy dokładnie tyle co:

:a)	ten czek nie jest ani potwierdzony ani sfałszowany,
:b)	ten czek nie jest potwierdzony lub nie jest sfałszowany,
:c)	ten czek jest potwierdzony i nie sfałszowany,
:d)	ten czek ma sfałszowane potwierdzenie.


4.	Zdanie - jeśli przeczytałeś Kubusia Puchatka to poznałeś Prosiaczka - oznacza dokładnie tyle co:

:a)	jeśli nie przeczytałeś Kubusia Puchatka to nie poznałeś Prosiaczka,
:b)	jeśli nie przeczytałeś Kubusia Puchatka to poznałeś Prosiaczka,
:c)	jeśli nie poznałeś Prosiaczka to znaczy, że nie przeczytałeś Kubusia Puchatka,
:d)	Jeśli poznałeś Prosiaczka to znaczy, że przeczytałeś Kubusia Puchatka.


5.	Jeśli nie jest prawdą że Jaś nie lubi szpinaku to znaczy to że:

:a)	Jaś lubi rzodkiewkę,
:b)	Jaś lubi szpinak,
:c)	Jaś lubi wszystkie warzywa.


6.	Wybierz zdanie(a), które niezależnie od daty urodzenia Jasia są zawsze prawdziwe:

:a)	Jaś Fasola urodził się w czwartek,
:b)	Jaś Fasola urodził się we wtorek lub w inny dzień tygodnia,
:c)	Jaś Fasola urodził się w szpitalu lub na ulicy,
:d)	Jaś Fasola urodził się w środę albo się w ogóle nie urodził.


7.	Wiedząc, że w kartach kiery i kara to kolory czerwone, trefle i piki czarne a blotki to wszystkie karty poza figurami, wybierz zdania prawdziwe:

:a)	jeśli ta karta jest kierem to jest kolorem czerwonym,
:b)	jeśli ta karta jest kierem to jest kolorem czerwonym lub czarnym,
:c)	jeśli ta karta jest kierem to jest figurą lub blotką (nie figurą).


8.	Zdanie: Jasiu, jeśli będziesz grzeczny to Mikołaj przyniesie Ci rower, znaczy dokładnie tyle co zdanie:

:a)	Jasiu, będziesz grzeczny lub Mikołaj nie przyniesie Ci roweru,
:b)	Jasiu, będziesz niegrzeczny i Mikołaj przyniesie Ci rózgę,
:c)	Jasiu, będziesz niegrzeczny lub Mikołaj przyniesie Ci rower,
:d)	Jasiu, będziesz grzeczny i Mikołaj przyniesie Ci rower.

 
9.	Jeśli nie jest prawdą, że każdy napotkany dziś przechodzień nosił okulary, to znaczy dokładnie że:
:a)	każdy napotkany dziś przechodzień był krótkowidzem,
:b)	każdy napotkany dziś przechodzień był bez okularów,
:c)	spotkałem dziś przechodnia w okularach,
:d)	spotkałem dziś przechodnia bez okularów.


10.	Poniższe zdania są implikacjami, pierwsza ich część, po słowie jeśli..., jest założeniem z którego ma wynikać część druga, po słowie to... . Niezależnie od Twojej wiedzy na temat ryb powiedz czy następujące zdania są prawdziwe:

:a)	jeśli założymy, że istnieją latające rybki i, że istnieją złote rybki to wynika z tego, że istnieją złote rybki które latają,
:b)	jeśli założymy, że istnieją złote rybki które latają to wynika z tego, że istnieją latające rybki i istnieją złote rybki.


11.	Niezależnie od Twojej wiedzy na temat lwów, powiedz czy te implikacje są prawdziwe:

:a)	jeśli założymy, że każdy lew ma grzywę lub, że każdy lew nie ma grzywy to każdy lew ma grzywę lub jej nie ma,
:b)	jeśli założymy, że każdy lew ma grzywę lub jej nie ma to każdy lew ma grzywę lub każdy lew nie ma grzywy.


12.	Czy są prawdziwe implikacje:

:a)	jeśli założymy, że każdy dalekowidz może sobie dobrać odpowiednie okulary to istnieje para okularów odpowiednia dla każdego dalekowidza,
:b)	jeśli założymy, że istnieje para okularów odpowiednia dla każdego dalekowidza to każdy dalekowidz może sobie dobrać odpowiednie okulary.


13.	Wybierz zdania prawdziwe:
	
:a)	jeśli każdy koń mówi to istnieje koń który mówi,
:b)	jeśli istnieje koń który mówi to każdy koń mówi.


ODPOWIEDZI I WYJAŚNIENIA

Jak już zapisałeś wszystkie swoje odpowiedzi porównaj je z odpowiedziami prawidłowymi.
Jeśli miałeś jakieś kłopoty, warto będzie przeczytać podane uzasadnienie odpowiedzi prawidłowych.


1. <del>a)</del>, <del>b)</del>, <u>c)</u>, <del>d)</del> 
:a) Odp. nieprawidłowa bo z przytoczonych zdań wynika tylko, że w Australii żyją jakieś ssaki, niekoniecznie kangury nadrzewne, które mogą żyć gdzie indziej. 
:b) Nieprawidłowa gdyż tylko niektóre torbacze są kangurami a niektóre spośród kangurów żyją na drzewach. 
:c) Prawidłowa bo wszystkie kangury są torbaczami więc w szczególności australijskie. 
:d) Nieprawidłowa gdyż to wszystkie kangury są ssakami torbaczami ale niekoniecznie odwrotnie.


2. <del>a)</del>, <u>b)</u>, <del>c)</del>, <del>d)</del>
:Zdanie w pyt.2 jest koniunkcją dwu zdań (tzn. oba zdania są połączone spójnikiem „i”): "odsetki są kapitalizowane tygodniowo i stopa procentowa lokat jest większa od stopy procentowej kredytów." Zaprzeczenie koniunkcji jest alternatywą zaprzeczeń (tzn. sumą zaprzeczeń połączonych spójnikiem „lub”). Jeśli zaprzeczymy temu zdaniu to nie znaczy to, że ani jedno ani drugie zdania są nieprawdziwe (odp a)). Nie można również powiedzieć że co prawda pierwsze jest prawdziwe ale drugie nie (odp. c).  Co do zdrowia psychicznego dyrektora mamy pewne poszlaki ale czysto logiczna analiza zdania wyjściowego nie upoważnia nas do takiej konkluzji. Oczywiście sytuacje a), c) lub d) mogą się zdarzyć ale logiczne zaprzeczenia zdania w pytaniu 2. o tym nie przesądza . Jedyne co wiemy na pewno to odp. b). W języku logiki matematycznej powyższa zasada nosi nazwę prawa de Morgana a zapisujemy ją w postaci wzoru:

:<math>\neg(p\wedge q) \Leftrightarrow \neg p \vee \neg q</math>

:gdzie: p oznacza zdanie: odsetki są kapitalizowane tygodniowo, q oznacza zdanie: stopa procentowa lokat jest większa od stopy procentowej kredytów, 
:<math>\neg p</math> to zaprzeczenie zdania p
:<math>p\wedge q</math> to koniunkcja zdań (p i q)
:<math>p\vee q</math> to alternatywa zdań (p lub q)
:<math>p \Leftrightarrow q</math> oznacza, że zdania p i q są równoważne.


3. <u>a)</u>, <del>b)</del>, <del>c)</del>, <del>d)</del>
:Zdanie któremu tu zaprzeczamy jest alternatywą. Zaprzeczenie alternatywy jest koniunkcją zaprzeczeń. Jeśli nieprawdą jest, że ten czek jest potwierdzony lub sfałszowany to oznacza to, że ani nie jest on potwierdzony ani sfałszowany. Gdyby bowiem zachodziła jedna z tych możliwości to zdanie wyjściowe, że ten czek jest potwierdzony lub sfałszowany byłoby prawdą. Odpowiedzią prawidłową jest zatem a). Zdanie b) wynika ze zdania wyjściowego lecz oznacza ono coś mniej niż to zdanie, nie wiemy bowiem czy zachodzą obie części tej alternatywy. Zdania c) i d) są nieprawdziwe bo omawiany czek nie może być ani potwierdzony ani sfałszowany. Przykład ten ilustruje kolejne prawo de Morgana

:<math>\neg(p\vee q) \Leftrightarrow \neg p \wedge \neg q</math>

:znaczenia zdań p i q są tu oczywiste.


4. <del>a)</del>, <del>b)</del>, <u>c)</u>, <del>d)</del>
:Wyjściowe zdanie oznacza, że po przeczytaniu Kubusia Puchatka poznaliśmy Prosiaczka. Odpowiedź a) jest nieprawidłowa bo nawet jeśli nie przeczytam Kubusia Puchatka to przecież mogę poznać Prosiaczka z innych książek, np. z Chatki Puchatka lub z telewizji. Z tego powodu również odp. d) jest nieprawidłowa. Odp. b) jest nieprawidłowa z oczywistych powodów. Odp. c) jest prawidłowa bo jeśli nie poznałem Prosiaczka to z pewnością nie przeczytałem Kubusia Puchatka . Przykład ten ilustruje prawidłowość (tautologię) logiczną:

:<math>(p\Rightarrow q) \Leftrightarrow (\neg p\Rightarrow \neg q) </math>

:gdzie <math>p \Rightarrow q</math> oznacza implikację: ze zdania p wynika q lub inaczej p implikuje q.


5. <del>a)</del>, <u>b)</u>, <del>c)</del>
:a) i c) są nieprawidłowe gdyż nic nie wiemy o Jasia stosunku do rzodkiewki czy innych warzyw, b) jest odpowiedzią prawidłową, jest to tzw. prawo podwójnego zaprzeczenia

:<math>\neg(\neg p) \Leftrightarrow p</math>.


6) <del>a)</del>, <u>b)</u>, <del>c)</del>, <del>d)</del>
:Zdanie, które jest zawsze prawdziwe nie może zależeć od tego kiedy się urodził Jaś Fasola, w szczególności nie musi być prawdą, że urodził się w czwartek (zdanie a)). Również zdanie c), że urodził się w szpitalu lub na ulicy nie musi być prawdą gdyż mógł urodzić się np. w domu. Zdanie d) nie jest prawdą gdyż Jaś mógł się urodzić np. we wtorek. Zdanie b) nie daje nam żadnej informacji kiedy urodził się Jasio ale za to jest zawsze prawdziwe. Ilustruje ono tautologię:

:<math>p \vee \neg p</math>

:gdzie p jest dowolnym zdaniem.


7. <u>a)</u>, <u>b)</u>, <u>c)</u>
:Zdanie a) jest prawdziwe bo kiery są czerwone, c) jest zawsze prawdziwe z zasady omówionej w pytaniu 6. Odpowiedź b) jest prawdziwe bo jeśli karta jest czerwona to można również powiedzieć, że jest czerwona lub czarna, zdanie to ilustruje tautologię:

:<math>p\Rightarrow (p \vee q)</math>,

:gdzie p i q są dowolnymi zdaniami.


8. <del>a)</del>, <del>b)</del>, <u>c)</u>, <del>d)</del>
:c) Odp. prawidłowa. Zawsze prawdziwe jest zdanie: Jasiu będziesz niegrzeczny lub będziesz grzeczny, poro zadanie 6. Jeśli nagrodą za bycie grzecznym będzie rower to powyższe zdanie można przeformułować: Jasiu będziesz niegrzeczny lub Mikołaj przyniesie Ci rower. 
:a) Odp. nieprawidłowa bo ze zdania głównego nie wynika co będzie jeśli Jasiu będzie niegrzeczny (por. pyt.3), w szczególności może wówczas dostać rower. Odpowiedzi b) i d) są nieprawidłowe bo nie wiemy czy Jasiu będzie grzeczny czy nie a oba te zdania orzekają, że któraś z tych sytuacji zajdzie. W zapisie logiki zdanie c) ilustruje tautologię:

:<math> p\Rightarrow q \Leftrightarrow \neg p\vee q </math>

:gdzie p i q są dowolnymi zdaniami.


9. <del>a)</del>, <del>b)</del>, <del>c)</del>, <u>d)</u>
:a) Odp. nieprawidłowa bo nic nie wiemy n/t wad wzroku napotkanych przechodniów,
:b) Odp. nieprawidłowa bo jeśli nie wszyscy nosili okulary to ktoś mógł je przecież nosić,
:c) Odp. nieprawidłowa bo jednak nie musiał się znaleźć ktoś noszący okulary. 
:d) Odp. prawidłowa bo fakt, że nie wszyscy nosili okulary znaczy dokładnie tyle, że ktoś ich nie nosił. W zapisie logiki:

:<math> \neg \forall_{x} \Phi(x) \Leftrightarrow \exists_{x} \neg \Phi(x)</math>

:gdzie <math>\Phi(x)</math> oznacza zdanie: napotkany przechodzień x nosił okulary, <math>\forall_{x} \Phi(x)</math>, że wszyscy napotkani przechodnie nosili okulary a <math>\exists_{x} \Phi(x)</math>, że istniał (był choćby jeden) przechodzień noszący okulary.


10. <del>a)</del>, <u>b)</u>
:a) Implikacja jest fałszywa bo jeśli są złote rybki i są latające rybki to wcale nie muszą istnieć złote rybki które jednocześnie latają; b) implikacja jest prawdziwa bo jeśli byłyby złote rybki które latają to oznacza, że byłyby rybki latające i złote rybki. Zadanie b) to ilustruje tautologię:

:<math> \exists_{x} [\Phi(x) \wedge \Theta(x)] \Rightarrow [\exists_{x} \Phi(x) \wedge \exists_{x}\Theta(x)]</math>

:gdzie <math>\Phi(x)</math> oznacza zdanie: rybka x jest złota,
:<math>\Theta(x)</math> oznacza zdanie: rybka x jest latająca.
:odpowiedź a) jest nieprawidłowa gdyż implikacja przeciwna nie zachodzi.


11. <u>a)</u>, <del>b)</del>
:a) Implikacja jest prawdziwa; b) implikacja jest fałszywa bo z tego, że każdy lew ma grzywę lub jej nie ma (czyli że są lwy z grzywami (samce) i bez nich (samice)) nie wynika ani, że wszystkie lwy mają grzywę ani, że wszystkie jej nie maja. Zadanie to ilustruje tautologię:

:<math> [\forall_{x} \Phi(x) \vee \forall_{x}\Theta(x)] \Rightarrow \forall_{x} [\Phi(x) \vee \Theta(x)]</math>

:gdzie <math>\Phi(x)</math> oznacza zdanie: lew x ma grzywę,
:<math>\Theta(x)</math> oznacza zdanie: lew x nie ma grzywy;
:odpowiedź b) jest nieprawidłowa gdyż implikacja przeciwna nie zachodzi.


12.  <del>a)</del>, <u>b)</u>
:a) Implikacja jest fałszywa bo z tego, że każdy może sobie dobrać okulary nie wynika, że istnieje para okularów dobra dla wszystkich. 
:b) Implikacja jest prawdziwa bo gdyby istniała para okularów dobra dla wszystkich to oczywiście każdy mógłby sobie dobrać te właśnie okulary dla siebie. Fakt ten ilustruje tautologię:

:<math> \exists_{x} \forall_{y} \Phi(x,y) \Rightarrow \forall_{y} \exists_{x} \Phi(x,y) </math>

:gdzie <math>\Phi(x,y)</math> oznacza zdanie: okulary x są dobre dla dalekowidza y,


13.  <u>a)</u>, <del>b)</del>
:a) Zdanie jest prawdziwe bo z tego, że wszystkie konie mówią wynika, że istnieje jakiś koń który mówi. 
:b) Zdanie nieprawdziwe bo nawet gdyby jakiś koń potrafił mówić to nie znaczyłoby to, że wszystkie konie opanowały tę sztukę. Zdanie to ilustruje fakt, że zachodzi tylko następujące wynikanie z lewej w prawą stronę:

:<math> \forall_{x} \Phi(x) \Rightarrow \exists_{x} \Phi(x) </math>

:gdzie <math>\Phi(x)</math> oznacza zdanie: koń x potrafi mówić.

==Podstawowe zasady prowadzenia negocjacji==

===Harwardzki model negocjacji===

Współczesne podejście do negocjacji, aby mogło okazać się pomocne dla uczestników rozmów, musi uwzględnić szereg dylematów, wobec których stajemy przystępując do rozmów:

#Co jest zasadniczym celem negocjacji: porozumienie, kompromis czy zwycięstwo - wykazanie swojej przewagi? 
#Czy drugą stronę traktujemy jako partnera czy przeciwnika?
#Przyjąć miękki czy twardy styl negocjowania?
#Być szczerym i otwartym czy manipulować rozmówcą ukrywając przed nim jak najwięcej informacji? 
#Czy drugiej stronie powinniśmy ufać czy nie?   

Istotą odpowiedzi, jaką na powyższe pytania proponują współcześni badacze jest stwierdzenie, że negocjacje nie powinny być terenem ścierania się i walki stron, lecz próbą wspólnego rozwiązania problemów. Należy sobie uświadomić, że niekoniecznie nasz sukces musi oznaczać porażkę innych (i odwrotnie), lecz że możliwe jest doprowadzenie do sytuacji obopólnej wygranej - wyniku satysfakcjonującego zaangażowane strony. Już to stwierdzenie sugeruje, że aby uzyskać ten efekt, będziemy stosowali opis przy pomocy [[Teoria gier#Gry dwuosobowe o sumie niezerowej|teorii gier o sumie niezerowej]]. Uzasadnienie tego podejścia znajdziemy również w analizie tradycyjnego i nowoczesnego modelu negocjowania.

Przyjęcie takiego kooperacyjnego modelu pociąga za sobą konieczność traktowania przedstawicieli drugiej strony jako partnerów. Pozostałe z powyższych dylematów nie są już tak oczywiste i ich rozwiązanie zależy od analizy konkretnej sytuacji. Na ogół uważa się, że rezygnacja z konfrontacyjnego podejścia do negocjacji wymaga odejścia od stosowania ciągłej presji (twardy styl negocjatora) przy jednoczesnym okazaniu szczerej postawy (co nie znaczy, że należy wyjawić drugiej stronie wszystko!) i, przy zachowaniu należytej czujności, zaufania wobec partnerów.

Niedoskonałość tradycyjnego podejścia do negocjacji wynika z tego, że prezentuje ono model negocjacji, w  którym strony zajmujące sprzeczne pozycje wypracowują kompromis, traktowany  jako mechaniczne wypośrodkowanie między różnymi stanowiskami. Efekt negocjacji przedstawiony zostaje wówczas jako sytuacja, w której zysk jednej ze stron pociągać musi stratę dla drugiej. Jest to jednowymiarowe rozumienie bilansu zysków i strat obu stron, które ilustruje następujący diagram:

<center> Rys.3. Tradycyjny model negocjacji </center> 

<center> [[Plik:Przeciaganie liny swm.png]]</center> 

Inny rozkład możliwych rezultatów otrzymamy traktując negocjacje jako poszukiwanie twórczych rozwiązań - takich wyników gry, które dają możliwość osiągnięcia korzyści obu stronom. Jako memento dla tych wszystkich, którzy uważają, że coś zyskać można jedynie kosztem kogoś innego, przytoczmy prostą, ale pouczającą anegdotę: 

''Dwie siostry spierały się o pomarańczę - każda z nich uważała, że to jej należy się cały owoc. Kiedy wreszcie zgodziły się podzielić pomarańczę po połowie, jedna z nich zjadła ze smakiem swoją część i wyrzuciła skórkę, a druga, która pomarańcz nie lubiła, wyrzuciła miąższ a dodała skórkę do ciasta.''

Współczesne podejście reprezentuje model wypracowany w ramach Harwardzkiego Programu Negocjacyjnego [http://www.pon.harvard.edu/| Program on Negotiation at Harvard Law School],  przyjęty przez niemal wszystkich autorów nowoczesnych podręczników jako podstawa prezentacji sensu i rezultatów negocjowania. Jak pokazuje poniższy diagram, opiera się on na rozdzieleniu dwóch osi: jedna reprezentuje stopień zaspokojenia „moich” interesów, druga - „ich” interesów. 

<center> Rys.4. Model Harwardzki</center> 

<center> [[Plik:Model harwardzki swm.png]]</center> 


Tradycyjne podejście ograniczałoby się do przekątnej od prawego dolnego do lewego górnego wierzchołka - albo ja osiągam wszystko „ich” kosztem ("wygrany-przegrany"), albo „oni” moim ("przegrany-wygrany"), albo znajdujemy rozwiązanie pośrednie kompromisowe  w okolicach środka. Istnieje jeszcze - spotykany, niestety, w rzeczywistości - rezultat "przegrany-przegrany" niekorzystny dla obu stron. Jest on najczęściej wynikiem nieprzejednanej, nieustępliwej postawy wszystkich zaangażowanych i może polegać albo na zerwaniu rozmów, albo realizacji porozumienia „za wszelką cenę”, choćby dla wszystkich niekorzystnego.

Pozostaje jednak możliwość wykroczenia poza rozwiązania jednostronnie korzystne lub kompromisowe. Nazywamy to rozwiązaniem twórczym, oznaczonym jako "wygrany-wygrany". Realistycznie rzecz ujmując, niezwykle rzadko istnieje możliwość pełnego zaspokojenia interesów obu stron. Można jednak - jak poucza nas cytowana dykteryjka o pomarańczy - dążyć do rozwiązań lepszych, niż mechaniczny kompromis. Wymaga to spełnienia dwóch warunków:

*dogłębnego rozpoznania interesów obu stron (a to nie jest możliwe bez pewnej dozy szczerości i zaufania);
*zerwania z przekonaniem, że w negocjacjach sukces polega na wykazaniu swojej wyższości.

===Granica ustępstw i BATNA===

Przed przystąpieniem do negocjacji powinniśmy ustalić swoją granicę ustępstw. 
Przez granicę ustępstw rozumiemy ostatni, możliwy jeszcze do zaakceptowania, poziom negocjowanego porozumienia. Przekroczenie granicy ustępstw uznajemy za niekorzystne i niemożliwe do zaakceptowania. Dla sprzedawcy na przykład takim minimum może być np.  poziom poniesionych przez niego kosztów związanych z pozyskaniem, magazynowaniem etc. sprzedawanego towaru. Sprzedając poniżej swojego minimum sprzedawca traci. Ustalając swoją granicę ustępstw pamiętajmy, że:

*granicę ustępstw określamy przed przystąpieniem do negocjacji; chodzi o to aby proces negocjowania nie zaburzał naszej percepcji
*nasza granica jest naszą tajemnicą, nie musimy jej zdradzać chyba, że zrobimy to świadomie jako element stawianego ultimatum
*granica najczęściej da się wyrazić jako pewne ekstremum, na przykład jako cena minimalna dla sprzedawcy lub cena maksymalna dla kupującego

Granice ustępstw obu negocjatorów wyznaczają ZOPA czyli obszar możliwego porozumienia. Nazwa jest akronimem z języka angielskiego: 
*Z one
*O f
*P ossible
*A greement
czyli ZOPA to nic innego jak strefa kompromisu według [[Teoria gier#Harwardzki model negocjacji|tradycyjnego modelu negocjacji]]. Co jednak zrobić, jeżeli w wyniku negocjacji druga strona żąda od nas przekroczenia naszej granicy ustępstw?  Jeśli jesteśmy dobrze przygotowani do negocjacji to oprócz swojej granicy ustępstw mamy „plan B” – sposób postępowania w przypadku gdyby nie doszło do porozumienia z druga stroną. Takim „planem B” bez którego trudno myśleć o udanych negocjacjach jest BATNA. Nazwa pochodzi od akronimu:
*B est
*A lternative
*T o a
*N egotiated
*A greement

Chodzi o to aby każdy, kto przystępuje do negocjacji miał świadomość, że jego celem nie jest osiągnięcie porozumienia za wszelką cenę, lecz tylko takiego, które leży w granicach rozsądku. Dlatego też tak ważną rolę odgrywa alternatywne rozwiązanie - opcja „B”, którą przyjdzie nam wykorzystać, gdyby nie udało się wynegocjować satysfakcjonującego porozumienia. Daje to komfort psychiczny negocjatorowi, który nie będąc zmuszony do osiągnięcia porozumienia wykaże się odpowiednią stanowczością w bronieniu swoich pozycji. 
Pojęcia BATNY wiąże się granicą ustępstw negocjatora [[Teoria gier#Struktura procesu negocjacji|(por. przygotowanie negocjacji)]]. Można powiedzieć, że BATNA rozciąga się już za tą granicą, której nie można przekroczyć, wobec tego należy zastosować rozwiązanie alternatywne. Często wiąże się to oczywiście z  przerwaniem negocjacji z powodu braku możliwości dojścia do akceptowalnego dla nas porozumienia.

Przykład Batny:  (za www.sciaga.pl/tekst/84189-85-batna)

Negocjujący wynagrodzenie pracownik, który dostał ofertę pracy z konkurencyjnej firmy, ma bardzo silną BATNA. Udaje się on na rozmowę o podwyżce, zdając sobie sprawę z tego, iż może negocjować bardziej korzystne warunki. Gdyby bowiem porozumienie z pracodawcą okazało się niemożliwe, może złożyć wymówienie i odejść z pracy. Natomiast pracodawca, który zdaje sobie sprawę z tego, iż może stracić dobrego pracownika i nie znając jego roszczeń finansowych, zastanawia się co zrobi, jeśli zaproponowana przez niego podwyżka, przekraczać będzie granice rozsądku. Pracodawca wie, o asie w rękawie pracownika jakim jest oferta konkurencyjnej firmy. Zdaje sobie sprawę z kosztów, jakie musiałby ponieść, gdyby faktycznie musiał poszukać kogoś na jego miejsce. Po obliczeniu kosztów rekrutacji i szkoleń nowego pracownika, ryzyka związanego z zatrudnieniem nowej osoby, pracodawca stwierdza, że firmy nie stać na taki wydatek. Obmyśla więc swoją BATNA. Dochodzi do wniosku, że dobrym rozwiązaniem byłoby awansowanie na to miejsce kogoś już zatrudnionego w firmie. Zredukowałoby to koszty rekrutacji oraz ryzyko związane z zatrudnieniem nowej, nie sprawdzonej osoby.

W opisanej sytuacji obie strony wydają się mieć silne BATNA. To jednak czy strony dojdą do porozumienia, zależy od kilku innych czynników. Ujawnienie mocnych alternatyw drugiej stronie, z reguły wzmacnia pozycję negocjatora. Aby więc pracownik nie czuł się zbyt pewnie, pracodawca powinien w trakcie rozmowy wspomnieć o swojej BATNA. Mogłoby się to przyczynić na przykład do tego, że z pobudek czysto ambicjonalnych, pracownik obniży swoje roszczenia.

===Struktura procesu negocjacji===

Negocjacje są procesem, który w typowym przypadku, przebiega w sześciu etapach. Sekwencja ta z punktu widzenia skuteczności rozmów powinna zawierać wszystkie wyszczególnione elementy:

;Przygotowanie
:etap poprzedzający spotkanie negocjacyjne, nie mniej ważny, niż sama rozmowa. Na tym etapie musi zostać określony cel negocjacji i ich przedmiot: musimy wiedzieć po co i na jaki temat będziemy rozmawiać. Następnie gromadzimy niezbędne informacje na temat przedmiotu negocjacji i naszego partnera. Truizmem jest stwierdzenie, że im więcej wiemy zawczasu, tym lepiej przygotujemy argumentację i unikniemy przykrych niespodzianek.
:Zgromadzone dane pozwolą nam na ustalenie następujących kwestii:
:*określenie terminu i miejsca spotkania (pamiętajmy, że na ogół własny teren jest silnym atutem, ale - z drugiej strony - wizyta u partnera może dać nam dodatkowe informacje);
:*wybór negocjatora z naszej strony;
:*określenie stanowiska wyjściowego i identyfikację wszelkich zmiennych negocjacyjnych - punktów, które mogą podlegać dyskusji;
:*przygotowanie rozwiązań alternatywnych wobec stanowiska wyjściowego - zawsze należy mieć przynajmniej kilka takich rozwiązań, nigdy nie poprzestać na jednym, nawet gdybyśmy uważali je za idealne;
:*ustalenie wiążącej dla nas granicy ustępstw - poziomu realizacji naszych interesów, poniżej którego nie można zejść (np. maksymalna cena, którą zapłacimy za dany towar). Obowiązuje tu zasada :”Mierz wysoko!” - zbyt niskie aspiracje stawiają nas na pozycji z góry przegranej;
:*nastawienie się na styl negocjowania odpowiedni do sytuacji (raczej twardy czy raczej ugodowy itp.), pamiętajmy jednak, że przebieg rozmowy i reakcje partnera mogą nas zaskoczyć;
:*ustalenie taktyki negocjowania (kolejność poruszanych tematów, typ argumentacji, tempo odsłaniania swoich pozycji, wyczekiwanie na propozycje drugiej strony itd.)


;Dyskusja wstępna
:pierwsza faza właściwych negocjacji. Błędem byłoby zaczynanie rozmowy od złożenia propozycji. Najpierw należy stworzyć klimat sprzyjający porozumieniu. Wymiana grzeczności, komplementów, poruszenie neutralnych tematów pomogą przełamać lody i przejść do omawiania meritum. Na tym etapie staramy się zrozumieć partnera, rozpoznać jego potrzeby i sprawdzić, czy oparte na zebranych informacjach założenia na temat jego osoby, zachowania i reprezentowanych interesów potwierdzają się. Upewniamy się także, czy właściwie odczytaliśmy intencje partnera, czy nadal obie strony są zainteresowane przedmiotem transakcji czy wspólnym problemem. Warto najpierw podkreślić to, co nas łączy - zanim przejdziemy do nieuchronnych rozbieżności. Warto zwrócić uwagę na następujące zasady tworzenia konstruktywnego klimatu: 
:*Słuchaj innych, okazuj szacunek dla ich racji, nawet jeśli się z nimi nie zgadzasz 
:*Jeśli to tylko możliwe, okazuj drugiej stronie aprobatę
:*Unikaj zachowań, które stwarzają wzajemne napięcia np. grożą utratą twarzy
:*Bądź mniej oficjalny, kiedy to stosowne
:*Poszukuj nieformalnych kontaktów, najlepiej na poziomie osobistym; porozmawiaj o rzeczach nie związanych z interesami
:*Wykaż się poczuciem humoru, zdobądź się na patrzenie z dystansem na siebie
:*Miej świadomość tego jak stoisz i jak siadasz; unikaj nadmiernej sztywności
:*Bądź w ruchu, postaraj się pozdrowić kilka osób i porozmawiać z nimi
:*Odwołuj się do współzależności; pokazuj wspólne interesy


;Proponowanie
:prezentowanie stanowisk, wysuwanie propozycji i kontrpropozycji. W tej fazie zostaje określone pole możliwych ustępstw - punktów, które mogą podlegać dalszej dyskusji. Należy dać do zrozumienia, że jesteśmy gotowi pomóc partnerowi, ale jednocześnie trzeba pokazać, że będziemy stanowczo bronili swoich interesów. Charakterystyczny dla tej fazy jest tryb warunkowy: rozpatrujemy wszelkie „gdyby”, „może”, ale nic nie ustalamy, nie zgadzamy się na żadne rozwiązanie, choćby nam odpowiadało. W dalszym ciągu negocjacji mogłoby się okazać, że popełniliśmy ogromny błąd. W tej fazie trzeba wykorzystać wiele zmiennych negocjacyjnych i skłonić partnera, by on także podał alternatywne rozwiązania.


;Targowanie się
:to dla niektórych negocjacje właściwe. Każda ze stron stara się uzyskać dla siebie jak największe korzyści kosztem ustępstw ze strony partnera. Faza ta wymaga odporności psychicznej i panowania nad sobą, bardzo łatwo przetarg może przerodzić się w otwarty konflikt. Wtedy właśnie stosowane są rozmaite chwyty mające wyprowadzić w pole partnera: stosowanie presji, bluff, mówienie półprawdy, pokazywanie urażonej miny, pozorne zrywanie rozmów, wycofanie się z podjętych już ustaleń itd. Postępowaniem w tej fazie rządzi zasada wzajemności - obie strony oczekują, że za udzielane przez siebie ustępstwa otrzymają coś w zamian. Aby nie przegrać negocjacji, musimy trzymać się reguły „„Nie oddawaj niczego za darmo”. Nawet jeśli coś, co zamierzamy oddać partnerowi nic nas nie kosztuje, naciskamy, by zaoferowano nam coś korzystnego dla nas. W grę wchodzą sposoby manipulowania ustępstwami: 
:*Procesy percepcji powodują, że ludzie nigdy nie widzą rzeczy w taki sam sposób  i przypisują im odmienną wartość;
:*Myśląc o ustępstwach starajmy się wyszukać rzeczy o małej dla nas wartości, lecz znacznej wartości dla drugiej strony;
:*Starajmy się nie proponować ustępstw jako pierwsi;
:*Nigdy nie czyń ustępstw bez wytargowania czegoś w zamian.
:*To, co wytargujesz, nie musi mieć tej samej „obiektywnej” wartości, co ustępstwa.
:*Trzy czwarte ustępstw udzielanych jest w końcowej fazie przetargu. Wniosek: przygotujmy się na eskalację żądań drugiej strony pod koniec negocjacji i nie ulegajmy im.


;Porozumienie
:W tej fazie podejmowane są wiążące decyzje co do zgody na konkretne propozycje. Omówione punkty traktujemy jako ustalenia, których nie będzie się zmieniać. Ewentualne rozbieżności, o ile nie mają kluczowego charakteru, pozostawia się do odrębnego rozpatrzenia , albo usuwa poza obszar zainteresowania partnerów. Obie strony zwykle zdają sobie sprawę z tego, co osiągnęły: rezultat jest więc znany, rozstrzygnięcia poczynione, emocje opadają. Typowe jest końcowe wahanie negocjatorów („Czy dobrze zrobiliśmy?”; „Czy nie za szybko ustąpiliśmy w sprawie...?”). Z czasem ten dysonans zostanie zniwelowany, ale właśnie w ty momencie często uczestnicy oczekują dowartościowania. Wprawni negocjatorzy karmią więc rozmówców komplementami w stylu: „Ciężko się z Wami rozmawiało, ale...” ; „Jednak wywalczyliście od nas ....”.


;Zamknięcie
:Zamknięcie zasługuje na wyodrębnienie jako oddzielna faza, bowiem często się ją zaniedbuje. Podstawowe znaczenie ma upewnienie się, że obie strony rozumieją warunki kontraktu tak samo (pamiętajmy o zróżnicowanej percepcji!). Bywa, że brak podsumowania ustaleń staje się powodem renegocjacji, a obie strony oskarżają się wzajemnie o nierzetelność, złamanie danego słowa itd. Umowa w postaci spisanego kontraktu eliminuje takie nieporozumienia w znacznym stopniu, ale nawet litera dokumentu może być interpretowana niejednoznacznie.
:Psychologiczne znaczenie, także z perspektywy przyszłych kontaktów, ma oprawa symboliczna - uroczysty charakter zamknięcia negocjacji jest zachętą dla podtrzymania długotrwałych relacji i spełnia potrzebę uznania oddziałując na samoocenę negocjatorów. Ustalenia traktujmy poważnie. Nie przychylamy się do zdania, że każda rzecz, która jest efektem osiągniętego porozumienia, może być poddana powtórnym negocjacjom. Niefortunnym elementem polskiej kultury biznesu jest skłonność do ciągłego zmieniania wcześniejszych ustaleń lub zaakceptowanych reguł gry.

Opisane zasady postępowania pomagają nam zrozumieć, co to znaczy odnieść sukces w negocjacjach. Możemy zatem podać definicję udanych negocjacji:
"Udane negocjacje, to proces w którym dwie lub więcej stron dochodzą do przyjęcia decyzji, która jest zadowalająca dla wszystkich stron, a której ustalenia zostaną wcielone w życie w uzgodnionym czasie".

===Cztery podstawowe zasady negocjacji===

Uzyskanie wyników przewidywanych przez model harwardzki umożliwia konsekwentne stosowanie zbioru podstawowych zasad. Oto one:

#'''ODDZIEL LUDZI OD PROBLEMU'''. Pamiętajmy, że nigdy nie negocjują abstrakcyjne grupy czy instytucje: negocjują reprezentujący je konkretni ludzie, obdarzeni swoistymi cechami charakteru, odczuwający emocje, kierujący się różnymi wartościami. Od tego emocjonalnego aspektu nie potrafimy całkowicie uciec: zawsze w kontaktach z innymi jakąś osobę polubimy lub nie, ktoś będzie przez nas akceptowany, inny - wywoła naszą niechęć. Każdy negocjator ma zatem do czynienia z dwoma zagadnieniami: merytorycznym i międzyludzkim, a skuteczność rokowań wymaga, aby umieć odróżnić jeden aspekt od drugiego. Musimy nauczyć się rozpatrywać meritum negocjowanego problemu niezależnie od tego, że drugą stronę reprezentują tacy czy inni ludzie. Jak to zrobić? Po pierwsze, nie dopuścić aby nasze własne problemy i emocje wpływały na postawę wobec innych uczestników negocjacji. Po drugie, nie można pozwolić by nasze, nieuchronnie się pojawiające, odczucia sympatii lub antypatii w stosunku do partnerów rzutowały na to, jak potraktujemy problem - przedmiot rozmów. Uczestnicy powinni zatem traktować się jak ludzie, którzy wspólnie atakują problemy, a nie siebie nawzajem. Reguła brzmi: ''"Bądź miękki wobec partnerów, twardy wobec problemu"''. Stosowanie jej wymaga, aby dbając o przyjazny klimat rozmowy i starając się nie urazić godności i odczuć partnera, twardo bronić swojej sprawy.
#'''SKONCENTRUJ SIĘ NA INTERESACH A NIE NA STANOWISKACH'''. Sens negocjacji polega na dążeniu do osiągnięcia określonego celu wyznaczającego interesy każdej ze stron. Środkiem do realizacji owych celów są wypowiadane przez negocjatorów stanowiska, np. propozycje ceny, warunki, jakie partner powinien spełnić itd. Jest rzeczą oczywistą, że ten sam cel można osiągnąć przy pomocy różnych środków. Zatem interesy są niezmiennym elementem negocjacji - ich zmiana oznaczałaby rezygnację lub przewartościowanie celu. Stanowiska natomiast mogą ulegać zmianie - wyjściowe stanowisko możemy zastąpić innym, które lepiej będzie dopasowane do sytuacji. Anegdota o pomarańczy ilustruje nam tę różnicę: każda z sióstr miała swój cel, ale twarda obrona stanowiska („Ja chcę cały owoc”) doprowadziła do kompromisu (podział po połowie) i zmarnowania części zasobów. Stanowiska należy  zatem traktować elastycznie jako możliwe sposoby realizacji wyznaczonych celów w postaci proponowanych rozwiązań. Uchroni nas to przed typowym, jakże często w praktyce negocjowania występującym negatywnym zjawiskiem „okopywania się na swoich pozycjach”.
#'''STARAJ SIĘ WYPRACOWAĆ ROZWIĄZANIA KORZYSTNE DLA OBU STRON'''. Jeśli uznamy, że celem negocjacji jest realizacja interesów na drodze porozumienia, a nie zwycięstwo nad partnerem traktowanym jako przeciwnik, naturalne stają się starania, aby obie strony wyniosły z negocjacji korzyść. Należy także uwzględnić czynnik psychologiczny rzutujący na przyjęcie rezultatu negocjacji. Jeśli negocjacje zakończą się wynikiem świadczącym wyraźnie o twojej wygranej, to oddaj coś drugiej stronie, aby i oni widzieli jakąś korzyść dla siebie. Istotnym elementem jest tu kwestia „zachowania twarzy”. Aby utrzymać możliwość porozumienia w przyszłych kontaktach, nie warto wykorzystywać własnej przewagi dla okazania partnerowi wyższości i pozostawienia go w poczuciu całkowitej klęski. Z tej psychologicznej prawdy zdawali sobie od wieków nawet dowódcy zwycięskich armii wyznaczając honorowe warunki kapitulacji pokonanym. 
#'''KORZYSTAJ Z OBIEKTYWNYCH KRYTERIÓW'''. Propozycje - zarówno swoje jak i drugiej strony - powinniśmy odnosić do kryteriów niezależnych od obu stron i uzasadnionych. Oznacza to, że nie należy stosować kryteriów subiektywnych, wyrażających nasze własne osądy i mniemania. Negocjowane kwestie powinny być prezentowane przy użyciu obiektywnych kryteriów, najlepiej opartych na standardach ilościowych. Gdy brak jest takich wymiernych odniesień, jak np. wskaźniki liczbowe, należy wspólnie uzgodnić, co będzie akceptowaną przez obie strony miarą porównań. Przykładowo, takim przyjętym kryterium ceny jest średnia cena rynkowa; kryterium jakości - standardy wyznaczone przez normy ISO itd. Czasami przy braku porozumienia w sprawie kryteriów pomocne jest rozpatrzenie precedensów - powołanie się na rozwiązania przyjęte przez innych w podobnych sytuacjach.


===Wprawny negocjator===

Brytyjscy badacze, Rackham i Carlisle, przeprowadzili analizę czynników wpływających na odniesienie sukcesu w negocjacjach. Na podstawie przeglądu materiałów pochodzących z archiwów negocjacji rozmaitych typów doszli do wniosku, że na powodzenie w pertraktacjach w dużej mierze rzutują cechy postępowania osób reprezentujących daną stronę. Chodzi tu zarówno  o podejście do planowania swojej strategii, a więc o fazę przygotowań, jak i o to, jak faktycznie negocjatorzy zachowują się podczas spotkania. Oto zestawienie pokazujące wynikające z tych badań charakterystyczne cechy postępowania wprawnych negocjatorów wraz z komentarzem odnoszącym się do proponowanego przez nas modelu.

;Na etapie planowania negocjacji:
:*'''Wprawny negocjator częściej niż przeciętny poszukuje WSPÓLNEJ PŁASZCZYZNY łączącej obie strony.''' Fakt, że potrzeba negocjacji wynika z różnicy zdań czy interesów stron powoduje skierowanie uwagi na to, co ich dzieli, przy czym często zapomina się o punktach, co do których występuje zgoda partnerów. Dobry negocjator nie ulegając tej tendencji stara się zbudować argumentację w oparciu o to, co otwiera drogę do porozumienia i, docelowo, uzyskania wyniku obopólnej wygranej.

:*'''Rozpatruje SZERSZY ZAKRES PRZETARGU, mniej koncentruje się na sztywnym stanowisku.''' Zgodnie z zasadą nakazującą koncentrację na interesach, a nie na wyjściowych stanowiskach, lepiej jest opracować wiele alternatywnych rozwiązań, niż przygotować obronę niepodważalnego stanowiska. Im więcej "zmiennych" wprowadzimy do negocjacji, im szersze pole możliwych ustępstw, tym większe szanse i na porozumienie i na uzyskanie korzystnego dla siebie wyniku. Potwierdzają to wyniki innych badań:  analiza zagospodarowania czasu w okresie przygotowawczym pokazuje, że "nowicjusz" poświęca na opracowanie wariantów zaledwie 8% czasu, natomiast "ekspert" - 25% [Dupont 1982].

:*'''Przygotowuje ODDZIELNE rozwiązania poszczególnych kwestii.''' To niezupełnie zbieżna z intuicją prawidłowość - przecież podkreśla się całościowy charakter procesu negocjacji. Jednakże opracowanie osobnych rozwiązań różnych spraw ma poważną zaletę: chroni przed nieoczekiwanymi zwrotami w przebiegu rozmów i umożliwia elastyczne reagowanie. Tak więc mając na uwadze całość problemu, lepiej NIE zakładać, że z góry zaplanowana sekwencja zdarzeń na pewno się pojawi.


;Zachowanie podczas negocjacji:
:'''Wprawny negocjator częściej niż przeciętny poszukuje informacji zadając PYTANIA.''' Doświadczony negocjator nie ulega pokusie dominowania w rozmowie aktywnością werbalną (chyba że "potok słów" ma być świadomym chwytem stwarzającym presję). Zamiast tego przede wszystkim dąży do kontrolowania sytuacji i weryfikacji swoich założeń w oparciu o uzyskiwane na bieżąco informacje.

:*'''REKAPITULUJE i sprawdza stopień zrozumienia.''' Zamykanie pewnych etapów rozmowy podsumowaniem i stosowaniem parafrazy (np. "Jeśli dobrze rozumiem, Waszym warunkiem jest ...") nie jest zbędnym powtarzaniem się, lecz bardzo skutecznym środkiem zwiększającym skuteczność komunikowania się i eliminowania nieporozumień.

:*'''Unika IRYTUJĄCYCH sformułowań''' (np. "Nasza wspaniałomyślna propozycja..."; "Tylko zatwardziała postawa Waszej strony uniemożliwia...:). Istnieje cała gama drażniących, agresywnych wypowiedzi, w których używa się sformułowań, które nazwaliśmy "parzącymi". O ile nie chcemy świadomie stosować inwazyjnych technik nacisku, lecz prowadzić rozmowy w sposób partnerski, musimy oprzeć się pokusie używania takich zwrotów. Doświadczeni negocjatorzy doskonale panują nad językiem.

:*'''Komentuje i wyraża ODCZUCIA''' (np. "Jestem pod wrażeniem ..."). Stereotyp "kamiennej" czy "pokerowej" twarzy mistrza negocjacji źle przysłużył się rozwojowi umiejętności negocjacyjnych. Oczywiście niektóre nasze reakcje będziemy się starali ukryć (np. w przypadku nadzwyczaj korzystnej propozycji), ale większość wypowiedzi, zwłaszcza o wydźwięku pozytywnym, możemy szczerze skomentować.

:*'''Unika błędnego koła obrony i ataku.''' Znajomość mechanizmu eskalacji konfliktu przestrzega nas przed ostrym reagowaniem na każdą (czasami niepoważną lub sondującą naszą odporność) zaczepkę. Doświadczeni negocjatorzy nie wpadają w tę pułapkę i starają się przywrócić równowagę nadając rozmowie charakter dyskusji nad problemem.

:*'''Przechodząc do ataku, robi to zdecydowanie ("twardo") i szybko.''' Jeśli już trzeba zaatakować, należy uczynić to w sposób zdecydowany, ale jednocześnie nie inwazyjny wobec osoby partnera. Zachowanie wprawnego negocjatora ma w tym przypadku charakter asertywny, lecz nie agresywny. Błędem byłby atak zbyt łagodny ("rozmyta" argumentacja, okazane wahanie "W zasadzie, to jednak ...") lub zbyt ostry, odnoszący się do cech osobowych partnerów ("Tak dalej z Wami rozmawiać nie będziemy!").

:*'''Podaje MNIEJ powodów odrzucenia stanowiska partnera.''' To tylko pozornie paradoks. Zbyt wiele podawanych w takim przypadku uzasadnień może znacznie stępić ostrze naszej argumentacji. Staje się ona ponadto bardziej podatna na kontrargumenty ze strony oponenta: wśród wielu naszych argumentów zapewne znajdą się słabsze, łatwiejsze do podważenia. A zatem: jeden, dwa powody odrzucenia propozycji, ale za to niepodważalne.

:*'''Znacznie RZADZIEJ wysuwa natychmiastowe kontrpropozycje wobec stanowiska drugiej strony.''' Kolejny stereotyp zaciążył na popularnym wizerunku negocjacji jako efektownej szermierki słownej. Tymczasem dobrzy negocjatorzy wiedzą, że ich celem jest uzyskanie porozumienia, a nie popisywanie się błyskotliwymi tyradami. Pamiętają, że padające propozycje wymagają uważnej analizy i odniesienia do całości problemu. Dlatego nawet wtedy, gdy propozycje te wydają się od razu niekorzystne lub mało sensowne, z ich odrzuceniem wstrzymują się do momentu, gdy uzyskają pełniejszy wgląd w rozwój wydarzeń.

:*'''Najpierw podaje POWÓD, dopiero wtedy odrzuca nie zaakceptowaną propozycję.''' Dobry negocjator tocząc rozgrywkę zarówno na poziomie merytorycznym, jak i psychologicznym (międzyludzkim) zdaje sobie sprawę z psychologicznych skutków odrzucenia propozycji partnera czy podważenia jego opinii. Sformułowanie "Nie ..." natychmiast uruchomiłoby reakcję obronną autora odrzucanej propozycji; dalszej wypowiedzi zawierającej argumentację zapewne już by nie słuchał przetrawiając porażkę i przygotowując ripostę. Prezentując na początku powody naszej dezaprobaty zwiększamy szansę na utrzymanie równowagi.
 

==Strategie i taktyki negocjacji==

===Zmienne negocjacyjne - manipulowanie ustępstwami===

Trzon spotkania negocjacyjnego stanowi prezentacja stanowisk dokonywana przez strony w postaci składanych propozycji, a następnie próba uzyskania dla siebie korzyści poprzez skłonienie partnera do ustępstw, czyli uczynienia zmiany w wyjściowym stanowisku lub zaproponowania rozwiązania alternatywnego. Każdą kwestię, która może stanowić treść takiej wymiany zdań nazywamy zmienną negocjacyjną. Umiejętność generowania (w fazie przygotowań) i operowania (podczas fazy proponowania i przetargu) dużą ilością takich zmiennych, co warunkuje posiadanie licznych rozwiązań alternatywnych, znamionuje wytrawnego negocjatora. 
Zmienne negocjacyjne wyznaczają pole możliwych ustępstw, bez których trudno wyobrazić sobie jakiekolwiek pertraktacje. Gdyby żadna ze stron nie zakładała możliwości ustąpienia na rzecz drugiej, negocjacje byłyby praktycznie niemożliwe. Relacje między partnerami wyznacza zasada wzajemności - obie strony oczekują, że za udzielane przez siebie ustępstwa otrzymają coś w zamian. A zatem przystępując do rozmów musimy się liczyć z możliwością ustępstw. Cała sztuka polega jednak na tym, aby nasze ustępstwa były przemyślane i przynosiły nam możliwie jak najmniej strat a jak najwięcej korzyści. Aby tak się stało należy kierować się pewnymi regułami. Przyjrzyjmy się następującym zasadom pozwalającym wprowadzać ustępstwa w przemyślany sposób:

*'''Zwróć uwagę na możliwy zakres ustępstw z Twojej strony i ze strony partnera'''. Zdaj sobie sprawę jakie są Twoje oczekiwania wobec drugiej strony oraz czy i jakich ustępstw to z ich strony wymaga. Nie licz np. na ustępstwa, które byłyby dla Twojego partnera upokarzające czy ośmieszające. Równocześnie zastanów się, czego może chcieć od ciebie partner w negocjacjach i na jakie ustępstwa Ty jesteś w stanie pójść.
*'''Ustępstwa na ogół nie są równoważne''', uwaga wydaje się dość oczywista, warto jednak zdać sobie sprawę z ważności możliwych ustępstw z Twojej strony i przewidywanej skłonności do ustępstw w poszczególnych kwestiach Twojego partnera.
*'''Ta sama sprawa ma na ogół inną wagę dla Ciebie a inną dla partnera''', tu trzeba się poważnie zastanowić. Rzeczywiście waga spraw zależy od punktu widzenia obu stron na ogół jest różna: coś o dużej wartości dla Ciebie nie musi być bardzo ważne dla partnera i odwrotnie. Warto zatem pamiętać o zasadzie: 
*'''poszukuj ustępstw o małej wartości dla ciebie, lecz znacznej wartości dla drugiej strony'''. Te ustępstwa będą Twoimi atutami. Będziesz mógł je wykorzystać tak, aby niewiele tracąc dużo zyskać, pamiętaj jednak, że:
*'''jeśli ustępujesz, zwróć uwagę aby druga strona to dostrzegła''', innymi słowy, nawet jeśli jakieś ustępstwo nie stanowi dla Ciebie większego problemu, to przecież nie musisz tego przyznawać. Mądrzej będzie jeśli zamienisz to na coś, na czym ci zależy, gdyż:
*'''to, co wytargujesz może mieć dla ciebie większą wartości, niż ustępstwo'''. Pamiętaj również o żelaznej zasadzie: 
*'''nigdy nie czyń ustępstw bez wytargowania czegoś w zamian'''. Aby nie przegrać negocjacji, musimy trzymać się reguły „Nie oddawaj niczego za darmo”. Nawet jeśli coś, co zamierzamy oddać partnerowi nic nas nie kosztuje, naciskamy, by zaoferowano nam coś dla nas korzystnego.
*'''Staraj się nie proponować ustępstw jako pierwszy''' (zwłaszcza w kwestiach istotnych), bowiem ten, który ustępuje jako pierwszy może w dalszym ciągu negocjacji być postrzegany jako osoba o słabszym charakterze, którą można wykorzystać po zastosowaniu odpowiedniego nacisku psychicznego.
*'''Nie ulegajmy żądaniom i rozważnie ustępujmy w ostatniej fazie negocjacji'''. Praktyka pokazuje, że trzy czwarte ustępstw udzielanych jest w końcowej fazie przetargu, jest to wynikiem strategii zmasowanego nacisku, wywieranego, gdy osiągnięcie porozumienia wydaje się bliskie. Wniosek: przygotujmy się na eskalację żądań drugiej strony pod koniec negocjacji i nie ulegajmy im.
 

===Strategia szachowa===

Po uświadomieniu sobie fundamentalnych zasad dotyczących ustępstw nasuwa się następujący problem. Rozumiem, że od czasu do czasu muszę ustępować, aby osiągnąć coś w zamian. Załóżmy również, że przeanalizowałem w jakich punktach i na ile mogę ustąpić. Nie wiem jednak jak do tego podejść, przecież nie mogę po prostu zgłosić chęci oddania czegoś drugiej stronie. Negocjacje są procesem psychologicznym i wiele zależy od tego, w jakim momencie zacznę ustępować, które sprawy omawialiśmy na początku, do których przeszliśmy pod koniec spotkania. Czy korzystniej będzie najpierw rozmawiać o trudnych zasadniczych tematach a na końcu ustalić łatwe, czy odwrotnie? A może trzeba to jeszcze jakoś inaczej rozegrać. "Strategia szachowa" wprowadzona przez Rogera Perrotin i Pierre'a Heusschena (1994) stanowi próbę odpowiedzi na te pytania.

Przystępując do zastosowania tej techniki podzielmy wszystkie sprawy, które strony prawdopodobnie będą chciały omówić, na trzy kategorie:
*sprawa zasadnicza,
*temat do dyskusji,
*duży margines manewru.

Można powiedzieć, że grupa pierwsza to te sprawy, na których nam najbardziej zależy, grupa druga - sprawy mniejszej wagi i grupa trzecia - sprawy najmniej dla nas ważne. Pamiętając jednak o zasadzie ustępstw, że te same sprawy mogą mieć dla nas różnych ludzi różną wartość, uszeregujmy je również uwzględniając punkt widzenia naszego partnera. Prawdopodobnie uzyskamy całkiem inny podział. Następnym krokiem będzie przypisanie poszczególnych spraw do jednego z pól tabeli

[[Plik:Szachy1 swm.png]]

	W ten sposób wszystkie sprawy do omówienia znajdą się w jakimś polu. Niektóre pola mogą pozostać puste, w innych może pojawić się kilka spraw. Ze względu na spodziewane trudności poszczególne kwestie można podzielić na kategorie. Spójrzmy na kwadrat C1 naszej tabeli. Znajdują się tam sprawy bardzo ważne dla nas, ale o znikomym znaczeniu dla naszego partnera. W tych sprawach negocjacje nie będą trudne. Prawdopodobnie to druga strona zgodzi się w nich na ustępstwo. Podobnie rzecz się ma w kwadracie A3. Oba te kwadraty nazywamy obszarem ''negocjacji łatwych''. Pozostałe pola, które nie leżą na przekątnej kwadratu, zawierają sprawy, których waga nie jest jednakowa dla obu partnerów i nazwiemy je polami ''negocjacji wykonalnych''. Pole C3 to sprawy o małej wadze dla obu stron, które nazywamy ''jokerem'' - jego znaczenie polega na możliwości sprowokowania partnera do ustąpienia w kwestii ważnej (zgodnie z zasadą wzajemności, strona która coś uzyskała, odczuwa dyskomfort ostro broniąc swego często skłonna jest ulec). Pole B2 to sprawy średniej wagi dla obu stron -  ''obszar wzajemnej wymiany''. Pole A1 czyli sprawy zasadnicze dla obu stron to ''punkt blokady''. 

Zauważmy, że w sprawach leżących poniżej przekątnej tj. B1 oraz C1 i C2 łatwiej będzie ustąpić naszemu partnerowi, natomiast w sprawach powyżej przekątnej tj. A2, A3 oraz B3 zazwyczaj my mamy większe pole manewru. Zasadnicze negocjacje toczą się w sprawach: strefa wzajemnej wymiany oraz punkt blokady. W tych sprawach żadna ze stron nie jest raczej skłonna do ustępstw.


;Zasady dobierania drogi 
Sztuka prowadzenia negocjacji polega na umiejętnym dobieraniu drogi poprzez pola macierzy zmiennych. Istnieją zasady dobierania tej drogi które, jeśli potrafimy je wykorzystać, dadzą nam szansę osiągnięcia najbardziej korzystnego wyniku. Zasady te oparte są na pewnych prawidłowościach psychologicznych i dlatego mają raczej charakter wskazówek. Wskazówki te należy stosować elastycznie dopasowując się do tego, na co pozwala nam druga strona w negocjacjach. A oto najważniejsze zasady:
	
#'''Staramy się aby to druga strona ustąpiła jako pierwsza'''. Zasada ta była już omówiona w jednym z punktów [[Teoria gier#Zmienne negocjacyjne - manipulowanie ustępstwami|zasad ustępowania]]. W praktyce oznacza ona, że odpowiednim tematem do rozpoczęcia negocjacji będzie sprawa znajdująca się w polu C1 gdyż w tej sprawie Twojemu partnerowi najłatwiej będzie ustąpić. Drugą ważną zasadą dobierania drogi w strategii szachowej jest, że
#'''Należy przewidywać naprzemienne ustępstwa'''. Chodzi o to, aby nie starać się uzyskać zbyt dużo na raz. Jeśli partner ustąpił jako pierwszy, to prawdopodobnie oczekuje teraz, że i my ustąpimy w jakiejś kwestii. Jeśli tego nie zrobimy, nasze wzajemne relacje ulegną zachwianiu i doprowadzimy do wzrostu napięcia i negatywnego odbioru nas jako o osób nieskłonnych do ustępstw. Nie o to nam przecież chodzi. Podobna prawidłowość działa w druga stronę: nie ustępujmy nie uzyskawszy niczego w zamian. Praktycznie powyższa reguła sprowadza się do tego, że poruszając się po macierzy zmiennych będziemy omawiać naprzemiennie tematy ponad i poniżej przekątnej. Kolejna zasada dobierania drogi to:
#'''Negocjacje prowadzimy według wzrastającego stopnia trudności'''. Chodzi o to, aby rozpoczynać od spraw łatwiejszych i stopniowo dochodzić do trudniejszych a nie odwrotnie. Sprawa A1 w macierzy zmiennych nazywa się punktem blokady, gdyż rozpoczęcie negocjacji od niej grozi impasem. Lepiej rozpocząć od spraw łatwiejszych i stopniowo dochodzić do trudniejszych. Czasem bywa tak, że w negocjacjach występują dwa lub więcej punktów kulminacyjnych, do których dochodzi się drogą wzrastającego stopnia trudności, po czym trudność znów opada do niskiego poziomu. Omawiana zasada dopuszcza takie sytuacje.


;Przykład negocjacji z wykorzystaniem strategii szachowej

W omawianym przykładzie jedną ze stron jest bank X udzielający kredytów, a drugą jego klient - firma, która chce taki kredyt uzyskać. Zmienne negocjacyjne, czyli sprawy, które pozostają do uzgodnienia w czasie rozmów to:
*wysokość kredytu,
*udział własny klienta w kredytowanej inwestycji,
*stopa procentowa kredytu,
*prowizja do zapłacenia przez klienta,
*zabezpieczenie kredytu,
*warunki spłaty (ewentualna karencja),
*przeniesienie przez klienta swojego rachunku do banku X,
*umieszczenie klienta na liście VIP-ów banku X.

Załóżmy, że bank ocenił ważność poszczególnych spraw dla siebie i oszacował ich wagę dla klienta a następnie naniósł je na macierz zmiennych:

[[Plik:Szachy2 swm.png]]

W omawianym przykładzie, występując jako bank będziemy, zgodnie z zasadami dobierania drogi 1 i 3, starali się rozpocząć od tematu zabezpieczenia kredytu. Oceniliśmy bowiem, że dla klienta nie stanowi to większego problemu. Po uzyskaniu od klienta tego ustępstwa zgodnie z zasadą 2 zgodzimy się na wysokość kredytu proponowaną przez niego stawiając warunek, żeby zapłacił interesującą nas prowizję. Prowizja jest pierwszym punktem kulminacyjnym tych negocjacji. Dzięki odpowiedniemu doborowi drogi uzyskaliśmy od klienta ustępstwo z obszaru trudnego - strefy wzajemnej wymiany. W drugim etapie zgadzamy się na proponowaną przez klienta karencję w spłacie kredytu w zamian za przeniesienie przez niego swojego rachunku do naszego banku! W tej chwili następują dwa kolejne ustępstwa z naszej strony. Najpierw zgadzamy się na zmniejszenie udziału własnego klienta w proponowanej inwestycji, a na dodatek obiecujemy mu umieszczenie go na liście naszych najważniejszych klientów (VIP) - jest to nasz joker (dla banku to drobnostka, dla klienta rzecz głównie prestiżowa, ale nie zasadnicza). W zamian za to uzyskujemy zgodę klienta na proponowaną przez nas stopę procentową, czyli najważniejszy punkt negocjacji z obszaru punkt blokady uzgodniliśmy po naszej myśli!

Negocjacje nie zawsze toczą się tak, jakbyśmy sobie tego życzyli. Niezależnie jednak od tego przygotowanie się do rozmów według zasad dobierania drogi w strategii szachowej spowoduje, że będziemy lepiej panować nad sytuacją oraz uzyskamy możliwość sterowania przebiegiem negocjacji w pożądanym przez nas kierunku.


===Taktyki negocjacyjne===

W trakcie negocjacji możesz spotkać się z pewnymi działaniami drugiej strony, które wykorzystując niektóre ludzkie słabości lub prawidła psychologiczne, potrafią przekonać nas do propozycji, której w innym przypadku nie przyjęlibyśmy. Niektóre z nich można polecić do zastosowania, innych - ze względu na ich nieetyczny charakter - raczej nie wykorzystujmy.  Wprawny negocjator powinien jednak poznać możliwie najwięcej takich "chwytów" choćby  po to, aby nie dać wywieść się w pole. Poniższe zestawienie prezentuje wybór dwunastu najważniejszych taktyk i forteli negocjacyjnych wraz z propozycjami sposobów przeciwdziałania im.

;1.Kij i marchewka
:'''Taktyka.''' Znana również jako "dobry - zły policjant". Negocjatorzy występują w parze. Jeden z nich gra rolę twardziela, który nie jest skłonny do ustępstw a nawet posuwa się do gróźb. Drugi, którego gra zazwyczaj bardziej doświadczona osoba, jest dla nas dobry. On "chciałby" pójść na ustępstwa ale nie pozwala mu na to "zły" partner. Ten drugi faktycznie prowadzi negocjacje. Przedstawia nam propozycję, wyglądającą sensownie w porównaniu do propozycji "złego", na którą w końcu się zgadzamy. Klasycznym przykładem tej taktyki są negocjacje z przedstawicielem firmy, który przyszedł ze swoim prawnikiem. Prawnik tak nas męczy zawiłościami prawnymi i ograniczeniami, których nie da się przeskoczyć, że zgadzamy się na z góry przygotowane propozycje przedstawiciela firmy.
:'''Przeciwdziałanie.''' Miejmy świadomość, że druga strona odgrywa przed nami swoje przedstawienie. Starajmy się skupić na rozmowie z "dobrym", do którego najczęściej należy decydujący głos, nie przejmując się zbytnio narzekaniami "złego". Dobrym sposobem jest również wzięcie swojego "złego" (np. prawnika) i zaproponowanie aby obaj "twardziele" toczyli spór w osobnym pomieszczeniu.

;2. Precedensy
:'''Taktyka.''' Nie odpowiada ci propozycja drugiej strony w negocjacjach. Wtedy oni mówią: "rozumiemy co czujesz, inni też tak czuli, jednak po przyjęciu naszej propozycji znaleźli rozwiązanie swoich problemów, ty również je znajdziesz". Stosujący tę taktykę udają zrozumienie dla naszych negatywnych odczuć związanych z ich propozycją, a następnie usiłują je przezwyciężyć powołując się na przykłady (prawdziwe lub nie) kiedy ich propozycja przyniosła dobre efekty. Odwołanie się do odczuć i opinii innych osób ma tu charakter  "społecznego dowodu słuszności".
:'''Przeciwdziałanie.''' Nie daj się zwieść współczuciu wyrażanemu przez drugą stronę, wyrażającemu zrozumienie Twojej sytuacji. Partnera podającego przykłady "doskonałych" wyników jego propozycji poproś o bliższe dane: sytuacje, okoliczności, w których jego propozycja "zadziałała". 

;3. Niska piłka
:'''Taktyka.''' Przykład: chcemy kupić nowy samochód. Jeden z dealerów oferuje cenę niższą od konkurencji. Po wielu wizytach w innych salonach wracamy do "najtańszego", by wreszcie dokonać zakupu. Gdy dochodzi do transakcji okazuje się,  że do podanej ceny trzeba jeszcze dopłacić za dodatkowe wyposażenie, lakier i za kilka innych "drobiazgów", o których nie było mowy wcześniej. Zmęczeni poszukiwaniami kupujemy nasz samochód, choć nie jesteśmy przekonani czy robimy dobrze. Stosujący taktykę niskiej piłki oferują niewiarygodnie niską cenę aby przebić ofertę konkurentów, a kiedy podejmiemy decyzję i dochodzi do transakcji ujawniają cenę prawdziwą.
:'''Przeciwdziałanie.''' Nie daj się zwieść "okazji", zawsze dokładnie pytaj  o szczegóły i możliwe opłaty towarzyszące transakcji. Jeśli nie jesteś pewien czy zapytałeś o wszystko, zawsze możesz zadać pytanie: czy będą jeszcze jakieś inne opłaty związane z naszą transakcją? Jeśli niską piłkę zastosował np. malarz, któremu po wymalowaniu mieszkania przypomniało się, że do umówionego honorarium zapomniał dodać ceny farb i lakierów, masz pełne prawo zapłacić tylko tyle, na ile opiewała umowa. Możesz mu również zaproponować przywrócenie mieszkania do stanu sprzed malowania. 

;4. Salami
:'''Taktyka.'''To strategia drobnych kroków pomagająca osiągnąć coś, co wydaje się niemożliwe. Uzyskując drobne ustępstwa w sprawach szczegółowych, powoli, ale systematycznie przybliżamy się do osiągnięcia celu. (Żona, która chce przekonać męża do wakacyjnego wyjazdu nad morze, rozpocznie od kupna wodoodpornych olejków do opalania. Później namówi męża do zakupu sprzętu do nurkowania i pontonu które "mogą się przydać". W końcu znajdzie "okazyjnie tanią" przyczepę kempingową, którą trzeba będzie wypróbować wyjeżdżając na "doskonałe" pole kempingowe na którym ostatnio byli znajomi.) 
:'''Przeciwdziałanie.''' Bardzo trudno się przed nią obronić. Strona stosująca wobec nas tą taktykę wykorzystuje nasz brak widzenia całości problemu. Wydaje nam się,  że ustępujemy niewiele - oddajemy tylko jeden "plasterek salami" - suma tych ustępstw daje jednak całą wędlinę. Bądźmy świadomi konsekwencji małych nawet ustępstw, które poczynimy. Zawsze patrzmy na problem całościowo.

;5. Wzdraganie się
:'''Taktyka.''' Jednym z większych błędów popełnianych w negocjacjach jest założenie, że "przecież musimy się dogadać". Strona, która potrafi stosować taktykę "wzdragania się" sprawia wrażenie, że niekoniecznie zależy jej na dojściu do porozumienia. Dobry zaopatrzeniowiec, rozmawiając z dostawcą sprzętu dla swojego zakładu będzie krzywił się na podawane ceny nie proponując nawet ich obniżenia. Tym spowoduje u dostawcy odczucie, że nie zależy mu na kontrakcie i że tamten nic nie wskóra bez zachęcenia go jakąś obniżką.  
:'''Przeciwdziałanie.''' Znów bardzo trudne. Nigdy nie wiemy na pewno, czy wzdraganie się drugiej strony jest wynikiem świadomie stosowanej taktyki, czy po prostu brakiem zainteresowania naszą propozycją. Proponujemy rozważenie, czy rzeczywiście tak bardzo zależy nam na dojściu do porozumienia. Ochłodźmy nasze emocje. A jeśli nasz partner stosując wzdraganie kręci się na krześle... zaproponujmy mu wygodniejszy fotel.

;6. Milczenie jest złotem
:'''Taktyka.''' W trakcie negocjacji jedna ze stron ukrywa swój pełny zakres uprawnień lub posiadaną wiedzę. Wytwarza tym samym fałszywe poczucie bezpieczeństwa drugiej strony, która może posunąć się do podkolorowania swojej oferty. Prawdziwym celem taktyki jest tymczasem ocena wiarygodności partnera i - w końcowej fazie - zaskoczenie go posiadanymi wiadomościami, które stawiają jego propozycję we właściwym świetle. Stosujący tę taktykę klient pośrednika nieruchomości nie ujawni swojej wiedzy na temat poziomu cen rynkowych i pozwoli mu na swobodne wypowiadanie się na ich temat. Po ocenie jego wiarygodności albo zrezygnuje z usług albo wzbudzi jego szacunek wykazując się posiadaną wiedzą.
:'''Przeciwdziałanie.''' Nie dajmy się skusić wrażeniu, że mamy przed sobą "łatwego" kontrahenta, gdy poziom jego wiedzy na omawiane tematy wydaje się niski. Nasz "nowicjusz" może się okazać wytrawnym graczem, który doskonale kontroluje, to co mówimy i konfrontuje to z rzeczywistością. Jedynym przeciwdziałaniem jest powstrzymanie się od podkolorowania naszej propozycji wobec partnera. Testując jego poziom wiedzy możemy mu również zadać kilka podchwytliwych pytań w rodzaju: "z pewnością słyszał Pan o sensacyjnej transakcji zawartej ostatnio".

;7. Presja czasu
:'''Taktyka.''' Zdając sobie sprawę, że partner ma ograniczony czas na zawarcie kontraktu, druga strona może celowo opóźniać dojście do porozumienia licząc na poważniejsze ustępstwa poczynione przez niego w ostatniej chwili. Możliwa jest również odmiana tej taktyki w której np. sprzedawca sztucznie wywiera presję  na klienta mówiąc, że oferowany towar jest ostatnim w tej partii, a w następnej dostawie ceny będą wyższe. Tymczasem w magazynie jest jeszcze sporo egzemplarzy, a chodzi jedynie o to, aby skłonić klienta do szybszego podjęcia decyzji. 
:'''Przeciwdziałanie.''' Przede wszystkim starajmy się nie ujawniać w negocjacjach swoich ograniczeń czasowych. Im mniej informacji na ten temat powiemy, tym lepiej. Wyjątkiem są takie informacje podawane celowo aby np. skłonić partnera do szybszego podjęcia decyzji. Przed zakupem "ostatniego" towaru po niższej cenie lepiej się dobrze zastanowić, gdyż często decyzja podjęta pod presją czasu jest złą decyzją. Po pewnym czasie okazuje się na przykład, że kupiliśmy wprawdzie nieco taniej, lecz niezupełnie ten model, o który nam chodziło.

;8. Gra na impas
:'''Taktyka.''' Polega na tym, że jedna ze stron, dla osiągnięcia swoich doraźnych celów taktycznych, celowo decyduje się na chwilowy impas w negocjacjach, choć ustępstwo w tej chwili nie przyniosło by jej większej szkody. Celem tej taktyki może być:
:*chęć zyskania na czasie, 
:*zbadanie "głębokości" obszaru możliwych ustępstw drugiej strony, 
:*liczenie na możliwe jej odkrycie się. 
:Przejawem tej taktyki może być tzw. dzielenie włosa na czworo - sytuacje, w której jedna ze stron przedłuża negocjacje czepiając się drobnych szczegółów pisanego kontraktu.
:'''Przeciwdziałanie.''' Znów: najważniejsza jest cierpliwość i pewien dystans do negocjowanego kontraktu, podobnie jak wobec taktyki wzdragania się. W konfrontacji z tą taktyką lepiej poczekać na przełom w postawie drugiej strony niż poddać się nerwom czy iść na ustępstwa. Jeśli partner czepia się szczegółów, też bądźmy drobiazgowi i pokażmy mu, że nasza propozycja jest szczegółowo dopracowana. Jeśli celowo stosuje tę taktykę go to powinno zbić z tropu. 

;9. Statystyki
:'''Taktyka.''' Polega na tym, że jedna ze stron podaje "dowody" na słuszność swojego punktu widzenia oparte na tendencyjnie dobranych danych statystycznych lub opiniach wybranych przez siebie osób. Jedną z podstawowych zasad negocjacji jest stosowanie obiektywnych kryteriów, a jednymi z najbardziej niepodważalnych są kryteria oparte na danych statystycznych. Wiadomo jednak, że odpowiednio manipulując danymi statystycznymi można pokazać zafałszowany obraz rzeczywistości. (Znany jest przykład kiedy jedna firma reklamując swoje dietetyczne wyroby podała informacje że jada je 9 lekarzy na 10. Nie dodała, że dane te dotyczą pewnych konkretnych 10 lekarzy z których wspomniana dziewiątka to... Chińczycy.) 
:'''Przeciwdziałanie.''' Przygotowując się do negocjacji warto "odrobić zadanie domowe". Do tego zadania powinno należeć zorientowanie się na temat istniejących na dany temat obiektywnych danych. Powinniśmy przy tym wyrobić sobie zdanie na temat rzeczywistej obiektywności różnych kryteriów. Podobnie uważajmy na opinie tzw. "niezależnych ekspertów" i postarajmy się poszukać również "naszych niezależnych". Jeśli na przykład chcemy sprzedać dom,  sprawdzimy jakie ostatnio ceny za metr kwadratowy uzyskano w tej okolicy. Sprawdźmy również jednak, czy sprzedane domy nie były położone np. pod linią wysokiego napięcia albo przy bardzo ruchliwej ulicy bo wpłynie to, rzecz jasna, na poziom ceny.

;10. Bluff
:'''Taktyka.''' Polega na świadomym podawaniu drugiej stronie nieprawdziwych faktów, bądź manipulowania nimi tak, aby osiągnąć zamierzony przez siebie efekt. Strona stosująca bluff liczy na to, że partnerzy  nie sprawdzą faktów, lub - jeśli to zrobią - będzie już dla nich za późno. Jest to bardzo ryzykowna taktyka, która może doprowadzić do całkowitego zerwania negocjacji i utraty zaufania do strony ją stosującej. Bluff może dotyczyć również intencji i wtedy jego wykrycie jest trudne bądź niemożliwe. Kiedy na przykład jedna strona stwierdza, że jest to jej ostatnie słowo i nie pójdzie na żadne kolejne ustępstwa, druga strona może ustąpić pod wpływem wywartej presji. 
:'''Przeciwdziałanie.''' Dobrym sposobem przeciwdziałania jest stosowanie "zasady ograniczonego zaufania". Jeśli partner podaje fakty, co do prawdziwości których nie mamy pewności, zawsze możemy je sprawdzić albo poprosić rozmówcę o dostarczenie odpowiednich dowodów na to, co mówi. Wcale nie musi to oznaczać braku naszego zaufania, lecz jedynie konieczność sprawdzenia ważnych faktów. Wobec "ostatniego słowa" często stajemy bezradni. Proponujemy, aby podobnie jak wobec taktyki wzdragania się, sprawdzić czy to "słowo" jest rzeczywiście "ostatnie".

;11. Krakowskim targiem 
:'''Taktyka.''' Wytrawny negocjator przystępując do targu stosuje zasadę "mierz wysoko". Oznacza ona, że jego wyjściowe stanowisko będzie z pewnością wyższe niż realistyczny zakładany poziom kontraktu.. Zostawia sobie bowiem odpowiednie pole przetargu - margines możliwych ustępstw z jego strony. Jednym ze sposobów wykorzystania tego marginesu jest propozycja podzielenia różnicy stanowisk na pół. Jeśli na przykład sprzedający wychodzi od ceny 22 a kupujący proponuje 18, to "krakowskim targiem" dochodzą do kompromisu na poziomie 20. Sprzedający stosujący tę taktykę podniósł swoje stanowisko wyjściowe z satysfakcjonującego go poziomu 20 do 22 aby... po podzieleniu różnicy na pół otrzymać to czego chciał. 
:'''Przeciwdziałanie.''' Dobrym sposobem przeciwdziałania jest abyśmy również stosowali zasadę "mierz wysoko". Jeśli, jako kupujący z poprzedniego przykładu chcemy osiągnąć cenę 18, to nie bójmy się rozpocząć przetargu od 14. Wówczas po zastosowaniu zasady "krakowskim targiem" uzyskamy swoje 18. Oczywiście nie możemy przekroczyć pewnej granicy, za którą nasza propozycje będzie już absurdalna i może w ogóle nie dojść do negocjacji. Na ogół jednak negocjatorzy nie wykorzystują swoich możliwości "mierzenia wysoko". 

;12. Odwrócenie uwagi
:'''Taktyka.''' Stosowana przez niektórych negocjatorów taktyka mająca na celu zmylenie partnera co do rzeczywistego celu negocjacji lub ustępstw, które ta strona chce osiągnąć. Stosujący tę taktykę będzie ukrywał to, co stanowi dla niego istotę sprawy i odwracając naszą uwagę będzie się koncentrował na sprawie dla niego drugorzędnej. Po długich negocjacjach w końcu zgodzi się ustąpić w tej sprawie w zamian za nasze ustępstwo w kwestii, która ma dla niego rzeczywiste znaczenie.
:'''Przeciwdziałanie.''' Kluczowym zagadnieniem negocjacji jest świadomość wagi jaką mają dla nas poszczególne negocjowane tematy. Jeśli ta świadomość będzie nam cały czas towarzyszyć, nie damy się złapać na "odwrócenie uwagi". Bywa, że stosujący tę taktykę nie znają rzeczywistej wagi naszych ustępstw i niejako sami wprowadzają siebie w błąd. W podanym przykładzie mogło by się zdarzyć, że udzielenie odpowiedniej karencji w ogóle nie stanowi dla banku problemu i klient mógłby ją uzyskać bez specjalnych zabiegów mających na celu odwrócenie uwagi przedstawiciela banku.

==Negocjacje wielostronne==

===Wieloosobowy dylemat więźnia===

Negocjacje wielostronne to to sytuacja w której mamy więcej niż dwu negocjatorów. Podstawowe zasady negocjacji dotyczą w równy stopniu negocjacji dwustronnych jak i wielostronnych. Powstaje jednak zasadnicza różnica, którą najlepiej można opisać stosując formalizm teorii gier, chodzi o możliwość tworzenia koalicji. W negocjacjach dwustronnych każdy negocjator odpowiadał za swój wynik a możliwe akty kooperacji czy współpracy miały służyć wspólnemu dobru negocjatorów. Już dla trzech negocjatorów sytuacja ta się diametralnie zmienia, powstaje możliwość koalicji dwojga przeciw trzeciemu, możliwość pozyskania jednego z negocjatorów i przeciągnięcia go na swoją stronę czy w końcu zgodna kooperacja trojga.

Rozważmy najpierw przykład tworzenia koalicji w grach o schemacie wielostronnego dylematu więźnia. Wielostronnym dylematem więźnia nazywamy taką grę, w której każdy z n graczy ma dwie strategie: współpracy (kooperant) - W oraz odmowy (oszust) – O, takie, że:

*Strategia O jest dla każdego bardziej opłacalna (dominująca) niż W
*Jeżeli wszyscy zagrają O to wszyscy uzyskają niższe wypłaty niż gdyby zagrali W.

A zatem sytuacja jest dokładnie taka sama jak w dwustronnym dylemacie, tyle że więcej graczy. Podamy teraz za Shapleym i Shubikiem (1969) przykład takiej sytuacji. Wyobraźmy sobie jezioro nad którym leży kilka wsi. Mieszkańcy tych wsi korzystają z jeziora czerpiąc z niego wodę pitną oraz wypuszczając do niego swoje ścieki, decydując czy oczyszczać te ścieki przed spuszczeniem, do jeziora czy nie. Koszty ponoszone przez wsie na uzdatnianie wody są ta takie same i zależą od ilości wsi nad jeziorem, które nie oczyszczają swoich ścieków: 

*Koszty oczyszczania ścieków to 50 tys. zł rocznie dla każdej wsi
*Koszty uzdatniania wody pitnej to 20 tys. zł razy liczba N wsi, które nie oczyszczają ścieków

Podajmy dla przykładu koszty ponoszone przez jedną z wsi w zależności od tego ile innych wsi nie oczyszcza swoich ścieków dla 5 wsi nad jeziorem:

[[Plik:Shapley Shubik przykład.png]]

W tabeli podano koszty ponoszone co roku przez każdą wieś w tys. zł.:

*jeśli wieś oczyszcza ścieki to jej koszty = 50 000 + 20 000 x N
*jeśli wieś nie oczyszcza ścieków to jej koszty = 20 000 + 20 000 x N

Ponieważ koszty dla danej wsi są zawsze niższe kiedy nie oczyszcza wody to bez porozumienia, wszystkie będą zanieczyszczały jezioro i poniosą koszty po 100 tys. zł. Najkorzystniejszy rozwiązaniem dla wszystkich byłoby oczyszczanie jeziora przez wszystkie wsie, wtedy ich roczne wydatki spadłyby do 50 tys. zł. Załóżmy jednak, że taka współpraca jest z jakiś powodów niemożliwa, jedna lub dwie wsie nie chcą przystąpić do porozumienia. Czy opłaca się wówczas pozostałym wsiom kooperować? 
Okazuje się że odpowiedź jest pozytywna! Jeżeli 3 wsie zdecydują się na oczyszczanie to im się opłaca bo płacąc po 50 tys. zł za oczyszczanie ścieków zaoszczędzą 3 x 20 tys. = 60 tys. na uzdatnianiu wody pitnej – w sumie ich wydatki roczne spadną ze 100 tys. zł do 90 tys.  zł.  Zauważmy jednak, że wsie nie oczyszczające też zaoszczędzą po 60 tys. zł płacąc rocznie tylko po 40 tys zł. 
Przykład prowadzi do następujących wniosków w wielostronnego dylematu więźnia:

*Strategia Współpracy jest strategią optymalną dla partnerów
*Każdy z graczy widzi, że korzystniej jest odmówić współpracy
*Jeśli jednak wszyscy będą oszustami społecznymi to stracą 

A zatem
:'''Najkorzystniej jest być oszustem społecznym w grupie, która próbuje kooperować'''
Wobec tego jednak:
:'''Należy skłaniać wszystkich do kooperacji i nie tolerować oszustów'''

Łatwo powiedzieć trudniej wykonać. Zauważmy jednak, że wiele problemów współczesnego świata ma charakter wielostronnego dylematu więźniów. Podamy przykłady na trzech poziomach:

*Globalnie: 
**wyczerpywanie się zasobów naturalnych (np. oszuści społeczni trzebią zagrożone wyczerpaniem zasoby ryb)
**zanieczyszczania środowiska (oszuści emitują do atmosfery dwutlenek węgla)
**demografia (przeludnienie w biednych społeczeństwach)
*Państwo: 
**system podatkowy a edukacja, opieka zdrowotna, etc (oszuści nie płaca podatków a korzystają z opieki Państwa)
**reguły ruchu drogowego, komunikacja miejska (oszuści nie przestrzegają przepisów, jeżdżą po alkoholu etc.)
**ubezpieczenia społeczne (oszuści unikają płacenia ubezpieczeń a chcą z nich korzystać)
*Firmy, biznes: 
**system bankowy (oszuści żyją ponad stan kosztem innych)
**współpraca firm (np. oszuści postępując wbrew umowom np. korzystając z nielegalnego oprogramowania, zyskują przewagę nad solidnymi firmami)
**współpraca w obrębie firmy (oszuści nie pracując wydajnie zarabiają tyle co wartościowi pracownicy).

===Poszukiwanie sprawiedliwego podziału===

Na szczęście nie wszystkie gry wieloosobowe maja charakter dylematy więźnia. Podamy teraz przykład negocjacji wieloosobowych kiedy współpraca jest korzystna dla kooperantów a partnerzy nie współpracujący na tym tracą. 
Wielostronną grą kooperacyjną nazywamy

*grę w której uczestniczy <math> n>2 \ </math> osób, które mogą tworzyć koalicje, np.: <math> A=\{1\} \ </math> koalicja jednoosobowa, <math> B=\{2,3\} \ </math> koalicja dwuosobowa, suma tych dwu koalicji jest też koalicją <math> C=A \oplus B=\{1,2,3\} \ </math> (trzyosobową).
*Wypłaty takiej gry określa funkcja charakterystyczna <math> V(A)=V_A \ </math> czyli wartość wypłaty dowolnej koalicji A
*Dla rozłącznych koalicji A i B wypłata ich łącznej koalicji <math> V(A \oplus B) \geq V(A) + V(B)</math>. 

Jest to warunek superaddytywności – w koalicji nasza wypłata jest większa lub co najmniej równa sumie wypłat każdego z osobna.
Dla przykłady takiej gry rozważmy za H. Raiffą negocjacje pomiędzy trzema firmami A, B i C, które działając na jednym rynku rozważają fuzję, dzięki której mogłyby ograniczyć koszty administracji i reklamy swoich wyrobów osiągając z tego korzyści. Do fuzj mogą przystąpić wszystkie trzy firmy ale możliwe są również fuzje parami. Gdyby jednak połączyły się tylko dwie firmy trzecia, pozostawiona na uboczu, na fuzji by straciła. Przedmiotem negocjacji pozostaje podział zysków pomiędzy partnerami po fuzji. Zyski poszczególnych koalicjantów (w mln. zł) oraz spodziewane zyski partnerów we wszystkich możliwych koalicjach przedstawia tabela

[[Plik:cementownie1.png]]

Zauważmy, że koalicja zawsze zyskuje a strony poza koalicja tracą. Rzeczywiście, suma zysku A i zysku B jest mniejsza od spodziewanego zysku ich koalicji <math>A \oplus B </math>
:<math>V(A) + V(B) = 32 + 23 = 55 < 59 = V(A \oplus B).\ </math>
Firma C traci na tej koalicji, gdyż jej zysk spada z 6 mln. to 5 mln. zł. Podobnie rzecz się ma w przypadku pozostałych koalicji:
:<math>V(A) + V(C) \leq V(A \oplus C)</math>
:<math>V(B) + V(C) \leq V(B \oplus C)</math>
:<math>V(A) + V(B \oplus C) \leq V(A \oplus B \oplus C)</math>
:<math>V(B) + V(A \oplus C) \leq V(A \oplus B \oplus C)</math>
:<math>V(C) + V(A \oplus B) \leq V(A \oplus B \oplus C).:</math>

A zatem gra jest kooperacyjna. Załóżmy, że firmy zdecydują się na wielką koalicję A©B©C, jak maja podzielić pomiędzy siebie spodziewane zyski w wysokości 77 mln zł? 
Jedną z możliwości jest podzielenie wartości dodanej, uzyskanej w wyniku wielkiej koalicji t.j. 16 mln zł (= 77 – 61) pomiędzy koalicjantów proporcjonalnie do ich zysków sprzed fuzji. Uzyskamy wtedy podział: 40,39 mln. zł, 29,03 mln. zł i 7,57 mln. zł. Na rysunku obok przedstawiono w trójkącie ten podział wraz z informacjami dotyczącymi zysków sprzed fuzji i spodziewanych zysków w przypadku koalicji każdych dwu i trzech partnerów. 

[[Plik:cementownie2.png]]

Firma C może mieć jednak wątpliwości co do przedstawionego podziału. Wszak gdyby weszła w koalicję tylko z B to uzyskane 39 mln zł mogliby podzielić między siebie np. w stosunku 30 mln., 9 mln.  uzyskując więcej niż z wielkiej koalicji. Jest to niewątpliwa wada rozwiązania proporcjonalnego. Tę wadę zobaczymy jeszcze wyraźniej, kiedy możliwe wyniki negocjacji naniesiemy na dwuwymiarowy wykres, na którym podział zysków w przypadku wielkiej koalicji uwzględnia nierówności:

:<math>V_A\geq 30; V_B\geq 22; V_C\geq 5; \; </math>
:<math>V_A + V_B \geq 59; V_A + V_C \geq 45; V_B + V_C \geq 39; \; </math>

oraz

:<math>V_A + V_B + V_C = 77 \;</math>

to znaczy, że żaden z partnerów wielkiej koalicji nie uzyska mniej niż gdyby występował samodzielnie ani gdyby tworzył podwójna koalicję z którymkolwiek partnerem. Sześć linii prostych na rysunku odpowiada wartościom granicznym powyższych warunków a zacieniony obszar pomiędzy nimi to tzw. jadro negocjacji, czyli obszar wyników negocjacji spełniających te warunki. Jak widać z rysunku wynik podziału proporcjonalnego leży poza tym jądrem.

[[Plik:Jądro swd.png]]

Jednym z możliwych sposobów rozwiązania problemu podziału zysków wielkiej koalicji jest tzw. Wartość Shapleya. Aby ją określić zakładamy hipotetyczną sytuacją, według której koalicja tworzy się poprzez kolejne dochodzenie do niej graczy we wszystkich możliwych kolejnościach. W przypadku trzech graczy mamy sześć takich możliwości. Następnie obliczamy jaką wartość dodaną każdy gracz wnosi wchodząc do aktualnej koalicji. Na przykład dla pierwszej możliwej kolejności <math>A \oplus B \oplus C \; </math> gracz A wchodzi najpierw sam wnosząc 30 - tyle, ile dostałby pozostając poza koalicją pozostałych partnerów, następnie dochodzi gracz B, który dokłada 29, gdyż w koalicji z A mogą razem liczyć na 59, w końcu dochodzi C dodając 17 do wyniku wielkiej koalicji 77. Tak samo obliczamy wartości dodane z pięciu pozostałych kolejności aby w końcu policzyć średnią wszystkich wartości dodanych każdego gracza. Tą średnią nazywamy wartością Shapleya.

[[Plik:Wartość Shapleya swd.png]]

Jak widać z rysunku, wartość Shapleya leży w jądrze i to w jego środkowej części. Można zatem powiedzieć, że spełnia warunku „sprawiedliwego podziału” zysków trzech koalicjantów.
Oczywiście podany powyżej sposób podziału nie jest jedynym możliwym. Przedmiotem negocjacji mogą jednak być jedynie te sposoby podziału, które leżą w jądrze. Rolą negocjatorów jest znalezienie tego najwłaściwszego.

==Zadania==

===Zadanie=== 
W następującej grze wykreślić wszystkie strategie zdominowane oraz wyznaczyć punkty siodłowe.

{| align=center border="1" cellpadding="4" cellspacing="0" style="margin: 1em 1em 1em 1em; background: #f9f9f9; border: 1px #aaa solid; border-collapse: collapse; font-size: 95%;"
|+ align=bottom | ''Zadanie''
|- class="wikitable"
|-
|align=center| ||colspan=5; style="color: #900; text-align:center;"|Kolumna 
|-
|-
| rowspan=5; style="color: #009; text-align:center; width: 60px;"|Wiersz
|style="background-color:#CCCCCC; text-align:center; width: 60px;"|
|style="background-color:#CCCCCC; color: #900; text-align:center; width: 60px;"|A  
|style="background-color:#CCCCCC; color: #900; text-align:center; width: 60px;"|B
|style="background-color:#CCCCCC; color: #900; text-align:center; width: 60px;"|C
|style="background-color:#CCCCCC; color: #900; text-align:center; width: 60px;"|D
|style="background-color:#CCCCCC; color: #900; text-align:center; width: 60px;"|E
|-
|style="background-color:#CCCCCC; color: #009; text-align:center; width: 60px;"|A
|align=center|<span style="color: #009">4
|align=center|<span style="color: #009">3
|align=center|<span style="color: #009">2
|align=center|<span style="color: #009">5
|align=center|<span style="color: #009">3
|-
|style="background-color:#CCCCCC; color: #009; text-align:center; width: 60px;"|B 
|align=center|<span style="color: #009">-3
|align=center|<span style="color: #009">2
|align=center|<span style="color: #009">0
|align=center|<span style="color: #009">-1
|align=center|<span style="color: #009">1
|-
|style="background-color:#CCCCCC; color: #009; text-align:center; width: 60px;"|C
|align=center|<span style="color: #009">7
|align=center|<span style="color: #009">3
|align=center|<span style="color: #009">2
|align=center|<span style="color: #009">4
|align=center|<span style="color: #009">5
|-
|style="background-color:#CCCCCC; color: #009; text-align:center; width: 60px;"|D 
|align=center|<span style="color: #009">0
|align=center|<span style="color: #009">8
|align=center|<span style="color: #009">-2
|align=center|<span style="color: #009">-3
|align=center|<span style="color: #009">-1
|}

===Zadanie=== 
Wykorzystując [[Teoria gier#Rozwiązania gier typu (mx2) i (2xn)|metodę graficzną]] obliczyć rozwiązanie gry, tzn strategie mieszane Wiersza i Kolumny oraz wartość gry dla macierzy wypłat

{| align=center border="1" cellpadding="4" cellspacing="0" style="margin: 1em 1em 1em 1em; background: #f9f9f9; border: 1px #aaa solid; border-collapse: collapse; font-size: 95%;"
|+ align=bottom | ''''
|- class="wikitable"
|-
|align=center|'''2.10'''||colspan=4; style="color: #900; text-align:center;"|Kolumna 
|-
|-
| rowspan=3; style="color: #009; text-align:center; width: 60px;"|Wiersz
|style="background-color:#CCCCCC; text-align:center; width: 60px;"|
|style="background-color:#CCCCCC; color: #900; text-align:center; width: 60px;"|A  
|style="background-color:#CCCCCC; color: #900; text-align:center; width: 60px;"|B
|style="background-color:#CCCCCC; color: #900; text-align:center; width: 60px;"|C
|-
|style="background-color:#CCCCCC; color: #009; text-align:center; width: 60px;"|A
|align=center|<span style="color: #009">2
|align=center|<span style="color: #009">-3
|align=center|<span style="color: #009">-2
|-
|style="background-color:#CCCCCC; color: #009; text-align:center; width: 60px;"|B 
|align=center|<span style="color: #009">-2
|align=center|<span style="color: #009">1
|align=center|<span style="color: #009">-1
|}


===Zadanie=== 
Wykorzystując [[Teoria gier#Rozwiązania gier typu (mx2) i (2xn)|metodę graficzną]] obliczyć rozwiązanie gry, tzn strategie mieszane Wiersza i Kolumny oraz wartość gry dla macierzy wypłaT

{| align=center border="1" cellpadding="4" cellspacing="0" style="margin: 1em 1em 1em 1em; background: #f9f9f9; border: 1px #aaa solid; border-collapse: collapse; font-size: 95%;"
|- class="wikitable"
|-
|align=center|Zad. 2||colspan=3; style="color: #900; text-align:center;"|Kolumna 
|-
|-
| rowspan=4; style="color: #009; text-align:center; width: 60px;"|Wiersz
|style="background-color:#CCCCCC; text-align:center; width: 60px;"|
|style="background-color:#CCCCCC; color: #900; text-align:center; width: 60px;"|A  
|style="background-color:#CCCCCC; color: #900; text-align:center; width: 60px;"| B
|-
|style="background-color:#CCCCCC; color: #009; text-align:center; width: 60px;"| A
|align=center|<span style="color: #009">2
|align=center|<span style="color: #009">-3
|-
|style="background-color:#CCCCCC; color: #009; text-align:center; width: 60px;"| B 
|align=center|<span style="color: #009">0
|align=center|<span style="color: #009">1
|-
|style="background-color:#CCCCCC; color: #009; text-align:center; width: 60px;"|C 
|align=center|<span style="color: #009">-2
|align=center|<span style="color: #009">3
|}


==Bibliografia==

# J. von Neumann and O. Morgenstern ''Theory of Games and Economic Behaviour.'' John Wiley and Sons, 1944
#Philip D. Straffin ''Teoria Gier'' WN Scholar W-wa 2001
#Z. Nęcki ''Negocjacje w biznesie'' Wyd. Profesjonalnej Szkoły Biznesu, Kraków 1991
#R. Fischer, W. Ury ''Dochodząc do TAK''. PWE. Warszawa 1990
#W. Mastenbroek ''Negocjowanie'' PWN, Warszawa 1997
#R. Perrotin, P. Heusschen ''Kupić z zyskiem. Negocjacje handlowe'', Poltext, Warszawa 1994
#R. Dawkins ''Samolubny Gen'', Prószyński i S-ka, 1996
#A.K. Dixit, B.J. Nalebuff ''Sztuka Strategii'', MT Biznes 2008, ISBN 978-83-61732-25-9
#L. Shapley, M. Shubik ''On the core of an economic system with externalities'', American Economic Review '''59''' (1969) 678-684