Tekst źródłowy

[[Category:KURS MATEMATYKI]]
__TOC__
Rozważaliśmy już całkowanie funkcji jednej zmiennej rzeczywistej, a także funkcję dwóch zmiennych jako przykład funkcji wielu zmiennych. Oczywiście można także całkować funkcje wielu zmiennych. Treścią tego wykładu będzie całka podwójna, czyli całka funkcji dwóch zmiennych <math>f(x,y)</math>, przy czym ograniczymy się do całki iterowanej. Z wielu zastosowań całki podwójnej można wymienić obliczanie objętości, obliczanie pola powierzchni w przestrzeni trójwymiarowej czy znajdowanie wartości momentu bezwładności.<br />

Nasze rozważania o całce podwójnej funkcji dwóch zmiennych <math>f(x,y)</math> będą bardzo skrótowe i uproszczone. Zrezygnujemy bowiem z definiowania obszaru regularnego oraz definiowania całki podwójnej jako granicy pewnego ciągu. Dla naszych zastosowań w zupełności wystarczy stwierdzenie, że funkcja dwóch zmiennych <math>f(x,y)</math> ciągła i ograniczona w zbiorze <math>A</math> (zbiór <math>A</math> znajduje się na płaszczyźnie <math>XY</math> i będziemy go nazywać obszarem) należącym do dziedziny funkcji jest w tym zbiorze całkowalna, a jej całkę podwójną zapisujemy jako

:<math>\begin{aligned}
\int\!\!\!\int_{A} f(x,y) dx dy \nonumber\end{aligned}</math>

Dla funkcji <math>f(x,y) \geq 0</math> w obszarze <math>A</math> całka podwójna ma następującą interpretację geometryczną: jest to objętość obszaru ograniczonego powierzchnią <math>f(x,y)</math> (przypominamy, że wykresem funkcji dwóch zmiennych jest powierzchnia <math>z = f(x,y)</math>), obszarem <math>A</math> oraz powierzchnią łącząca te dwa obszary, która powstaje w nastepujący sposob: z każdego punktu brzegu obszaru <math>A</math> prowadzimy prostą prostopadłą do płaszczyzny <math>XY</math> aż do przecięcia z wykresem funkcji, czyli powierzchnią <math>z=f(x,y)</math>. Na  [[Media:cp1.png|Rys. 1]] zaznaczono objętość <math>V</math>

:<math>\begin{aligned}
V = \int\!\!\!\int_{A} f(x,y) dx dy \nonumber\end{aligned}</math>

dla obszaru <math>A</math>, który jest prostokątem.<br />

[[File:cp1.png|thumb|250px|Rys. 1 Całka podwójna]]

== Niektóre własności całek podwójnych ==

Przy obliczaniu całek podwójnych będziemy korzystać z następujących dwóch własności:

<ul>
<li><p>stałą <math>c</math> można wyłączyć przed całkę podwójną</p>
<p>:<math>\begin{aligned}
\int\!\!\!\int_{A} cf(x,y) dx dy = c\int\!\!\!\int_{A} f(x,y) dx dy \nonumber\end{aligned}</math></p></li>
<li><p>jeżeli obszary <math>A_1</math> i <math>A_2</math> nie mają punktów wewnętrznych wspólnych (mogą mieć wspólny brzeg) to</p>
<p>:<math>\begin{aligned}
\int\!\!\!\int_{A_1 + A_2} f(x,y) dx dy = \int\!\!\!\int_{A_1} f(x,y) dx dy + \int\!\!\!\int_{A_2} f(x,y) dx dy \nonumber\end{aligned}</math></p></li></ul>

== Zamiana całki podwójnej na całkę iterowaną ==

Wygodnym sposobem obliczenia całki podwójnej jest jej zamiana na całkę iterowaną. Aby taką zamianę przeprowadzić musimy zdefiniować pojęcie obszaru normalnego względem osi układu współrzędnych <math>OX</math> i <math>OY</math>. I tak obszar normalny względem osi <math>OX</math> to zbiór punktów <math>(x,y)</math> spełniających warunek

:<math>\left\{ \begin{array}{c}
a \leq x \leq b\\
g(x) \leq y \leq h(x), 
\end{array} \right.</math>

a obszar normalny względem osi <math>OY</math> to następujący zbiór punktów

:<math>\left\{ \begin{array}{c}
p(y) \leq x \leq r(y)\\
c \leq y \leq d.  
\end{array} \right.</math>

Oba zdefiniowane obszary normalne są przedstawione na rysunkach [[Media:cp3.png|Rys 2A]], [[Media:cp4.png|Rys 2B]]. Jak widać są to obszary ograniczone prostymi prostopadłymi do jednej osi układu współrzędnych, oraz dwoma funkcjami zmiennej <math>x</math> bądź <math>y</math>. Dla obszaru normalnego można zamienić całkę podwójną na całkę iterowaną. I tak, jeżeli obszar <math>A</math>, po którym całkujemy funkcję dwóch zmiennych <math>f(x,y)</math> jest normalny względem osi <math>OX</math> to wtedy:
[[File:cp3.png|thumb|250px|Rys. 2A Obszar normalny]]
[[File:cp4.png|thumb|250px|Rys. 2B Obszar normalny]]

:<math>\begin{aligned}
\int\!\!\!\int_{A} f(x,y) dx dy = \int_{a}^{b} (\int_{y = g(x)}^{y = h(x)}f(x,y)dy)dx, \nonumber\end{aligned}</math>

a całkę po prawej stronie nazywana jest całką iterowną. Widzimy, że po wykonaniu całkowania po zmiennej <math>y</math> w granicach od <math>g(x)</math> do <math>h(x)</math> pozostanie do obliczenia całka pojedyncza po zmiennej <math>x</math> w granicach od <math>a</math> do <math>b</math>. Zatem zamiana całki podwójnej na całkę iterowaną prowadzi do obliczenia kolejno dwóch całek pojedynczych. I oczywiście podobnie możemy postąpić w przypadku gdy obszar całkowania jest normalny względem osi <math>OY</math>:

:<math>\begin{aligned}
\int\!\!\!\int_{A} f(x,y) dx dy = \int_{c}^{d} (\int_{x = p(y)}^{x = r(y)}f(x,y)dx)dy. \nonumber\end{aligned}</math>

A jeżeli obszar całkowania <math>A</math> jest normalny zarówno względem <math>OX</math> jak i <math>OY</math> to:

:<math>\begin{aligned}
\int\!\!\!\int_{A} f(x,y) dx dy = \int_{c}^{d} (\int_{a}^{b}f(x,y)dx)dy = \int_{a}^{b} (\int_{c}^{d}f(x,y)dy)dx. \nonumber\end{aligned}</math>

Jeżeli obszar całkowania <math>A</math> nie jest obszarem normalnym względem osi układu współrzędnych to można próbować podzielić go na obszary normalne - całka po obszarze <math>A</math> będzie wtedy sumą całek po obszarach normalnych. Pokażemy to obliczając całkę z funkcji <math>f(x,y) = x + y</math> po obszarze <math>A</math> trójkąta o wierzchołkach w punktach <math>(0,0), (2,2), (0,4)</math> ([[Media:cp2.png|Rys. 3]]).<br />


[[File:cp2.png|thumb|250px|Rys. 3 Obszar '''''A''''']]

Jak widać jest to obszar normalny względem osi <math>OY</math> ograniczony prostymi <math>y = 0</math> oraz <math>y = 2</math>, przy czym dla <math>y = 2</math> obszar normalny jest ograniczony punktem o współrzędnych <math>(2,2)</math>. Otrzymujemy do obliczenia nastepującą całkę iterowaną:

:<math>\begin{aligned}
\int\!\!\!\int_{A} (x+y) dx dy = \int_{0}^{2} (\int_{x=y}^{x=-y+4}(x+y)dx)dy, \nonumber\end{aligned}</math>

a po wykonaniu całkowania po zmiennej <math>x</math> w granicach od <math>x=y</math> do <math>x=-y+4</math>, które są dane przez równania prostych zawierających dwa boki trójkąta, pozostaje do wyliczenia całka po zmiennej <math>y</math>

:<math>\begin{aligned}
\int\!\!\!\int_{A} (x+y) dx dy = \int_{0}^{2}(8-2y^2)dy = 10\frac{2}{3}. \nonumber\end{aligned}</math>

Obszar całkowania nie jest normalny względem osi <math>OX</math>, ale dzieląc go prostą <math>x=2</math> otrzymamy dwa obszary normalne, a całka będzie sumą dwóch całek

:<math>\begin{aligned}
\int\!\!\!\int_{A} (x+y) dx dy = \int_{0}^{2} (\int_{y=0}^{y=x}(x+y)dy)dx + \int_{2}^{4} (\int_{y=0}^{y=-x+4}(x+y)dy)dx, \nonumber\end{aligned}</math>

a wykonaniu całkowania po zmiennej <math>y</math> otrzymamy

:<math>\begin{aligned}
\int\!\!\!\int_{A} (x+y) dx dy = \int_{0}^{2} \frac{3}{2} x^2dx + \int_{2}^{4} (- \frac{1}{2}x^2 + 8)dx= 10\frac{2}{3}. \nonumber\end{aligned}</math>

Oczywiście wynik nie zależy od sposobu podziału obszaru całkowania <math>A</math> na obszary normalne.

== Zadania ==

Obliczyć całki podwójne:

<ol>
<li><p><math>\int_{1}^{3} (\int_{0}^{5} xy dy) dx </math></p></li>
<li><p><math>\int_{3}^{7} (\int_{0}^{2} dy) dx </math></p></li>
<li><p><math>\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} sinx cosy dy) dx </math></p>
<p>Obliczyć całki podwójne zamieniając je na całki iterowane:</p></li>
<li><p><math>\int\!\!\!\int_{A} (x^2+y^2) dx dy</math>, obszar <math>A</math> jest trójkątem o wierzchołkach <math>(0,0), (2,1), (1,3)</math></p></li>
<li><p><math>\int\!\!\!\int_{A} (2x-y) dx dy</math>, obszar <math>A</math> jest równoległobokiem o wierzchołkach <math>(0,0), (3,1), (3,2), (0,1)</math></p></li>
<li><p><math>\int\!\!\!\int_{A} (xy-2x^2) dx dy</math>, obszar <math>A</math> jest ograniczony prostymi <math>y=0, x=2</math> oraz parabolą <math>y=x^2</math></p></li></ol>