Tekst źródłowy

[[Category:KURS MATEMATYKI]]
== Wektor ==
Wektor można określać na wiele sposobów. Jednym z nich, bardzo przydatnym w fizyce, jest geometryczne określenie wektora. Wyobraźmy sobie linię prostą na której wybrano dwa punkty <math>A</math> i <math>B</math>. Wektorem będziemy nazywać odcinek skierowany <math>AB</math>, którego początkiem jest punkt <math>A</math>, a końcem punkt <math>B</math> ([[Media:wek_def.png|Rys. 1]]). Taki wektor nazywamy wektorem zaczepionym w punkcie <math>A</math> i oznaczamy jako <math>\vec{AB}</math>.
[[File:wek_def.png|thumb|300px|Rys. 1 Wektor interpretacja graficzna]]

Zbiór wszystkich prostych równoległych do danej prostej tworzy tzw. kierunek, pojęcie to można zdefiniować również w dowolnym punkcie <math>A</math>, wówczas kierunkiem nazywamy prostą należącą do tego zbioru i przechodzącą przez punkt <math>A</math>.

Zbiór wszystkich wektorów zaczepionych, które można uzyskać poprzez przesunięcie równoległe danego wektora tworzy pewien obiekt, który nazywamy wektorem swobodnym. Każdy z wektorów tego zbioru nazywamy reprezentantem wektora swobodnego. 
Wektor definiuje pewien kierunek oraz zwrot. Kierunkiem wektora jest zbiór prostych równoległych do wektora, a jego zwrotem nazywamy uporządkowaną parę <math>(A,B)</math> punktów dowolnego reprezentanta. Zauważmy, że dany wektor może mieć dwa zwroty <math>(A,B)</math> i zwrot przeciwny <math>(B,A)</math>.
Dla wektora swobodnego pojęcie zaczepienia traci sens, gdyż w zbiorze jego reprezentantów są wektory  zaczepione we wszystkich punktach przestrzeni. 

O wektorze, którego początek obrazu geometrycznego może być dowolnie obrany w przestrzeni mówimy, że jest swobodny. Wektory takie można przesuwać równolegle bez zmiany ich znaczenia  ([[Media:prze1.png|Rys. 2]]). Natomiast wektor, którego obraz geometryczny  ma początek w ścisłe określonym punkcie nazywamy wektorem zaczepionym lub związanym ([[Media:wek_ukl1.png|Rys. 3]]).
[[File:prze1.png|thumb|300px|Rys. 2 Przesunięcie równoległe wektora]]
[[File:wek_ukl1.png|thumb|300px|Rys. 3 Wektor związany o początku w punkcie <math>O</math>]]

=== Długość wektora ===
Długością wektora <math>\mathbf a</math> nazywamy długość odcinka jego dowolnego reprezentanta, którą  oznaczamy jako <math>|\textbf{a}|,</math> przy czym oznaczenia tego nie należy mylić z wartością bezwzględną. Jest ona zawsze liczbą nieujemną. Wektor, którego długość wynosi jeden nazywamy wektorem jednostkowym.

=== Suma i różnica wektorów ===
Opierając się na [[Media:wek_sr.png|Rys. 4]] możemy powiedzieć, że sumą wektorów <math>\textbf{a}</math> i <math>\textbf{b}</math> nazywamy wektor <math>\textbf{c}</math>, który przedstawia przesunięcie wypadkowe przy złożeniu (kolejnym wykonaniu) przesunięć o wektory <math>\textbf{a}</math> i <math>\textbf{b}</math>
<!--
który uzyskujemy jako przesunięcie wypadkowe  wektorów <math>\textbf{a}</math> i <math>\textbf{b}</math>
-->
:<math>\textbf{c}=\textbf{a}+\textbf{b}</math>

Dla sumy wektorów spełnione jest prawo przemienności, co także widać na [[Media:wek_sr.png|Rys. 4]]
:<math>\textbf{a}+\textbf{b}=\textbf{b}+\textbf{a}</math>
[[File:wek_sr.png|thumb|300px|Rys. 4 Suma i różnica wektorów]]

Aby mówić o różnicy wektorów należy najpierw określić wektor przeciwny. Przez wektor przeciwny do wektora <math>\textbf{a}</math> rozumiemy wektor, który ma tę samą długość co wektor <math>\textbf{a}</math>, a zwrot przeciwny. Oznaczamy go symbolem <math>\textbf{-a}</math>. Odejmowanie wektora <math>\textbf{b}</math> od <math>\textbf{a}</math> rozumiemy jako dodanie wektora przeciwnego <math>\textbf{-b}</math> do wektora <math>\textbf{a}</math> (patrz  [[Media:wek_sr.png|Rys. 4]]).

=== Mnożenie wektora przez liczbę ===
Jeżeli <math>\alpha</math> jest liczbą dodatnią, a <math>\textbf{a}</math> jest wektorem to przez <math>\alpha \textbf{a}</math> rozumiemy wektor, który ma ten sam kierunek i zwrot co wektor <math>\textbf{a}</math>, a jego długość wynosi  <math>\alpha |\textbf{a}|</math>.

Jeżeli <math>\alpha</math> jest liczbą ujemną, a <math>\textbf{a}</math> jest wektorem to przez <math>\alpha \textbf{a}</math> rozumiemy wektor, który ma ten sam kierunek lecz zwrot przeciwny do wektora <math>\textbf{a}</math>, a jego długość wynosi  <math>\alpha |\textbf{a}|</math>.

Ponadto  wektor <math>\alpha \textbf{a}</math> jest wektorem zerowym gdy <math>\alpha = 0</math>. Przez wektor zerowy rozumiemy wektor, którego początek i koniec pokrywają się.

=== Liniowa zależność wektorów ===
Dwa wektory, z których jeden powstaje z drugiego przez pomnożenie przez jakąś liczbę nazywamy liniowo zależnymi. Ponadto z reguły mnożenia wektora przez liczbę wynika, że dwa niezerowe liniowo zależne wektory są równoległe. I odwrotnie, każde dwa niezerowe wektory równoległe są liniowo zależne. 

Powyższe określenie liniowej zależności dwóch wektorów można uogólnić na więcej niż dwa wektory. Powiemy, że między <math>n</math> wektorami <math>\textbf{a}_1,\textbf{a}_2\ldots\textbf{a}_n</math> istnieje zależność liniowa jeżeli istnieje <math>n</math> takich liczb <math>\alpha_1,\alpha_2\ldots\alpha_n</math> z których nie wszystkie są równe zeru, a dla których zachodzi zależność:
:<math>\alpha_1\,\textbf{a}_1+\alpha_2\,\textbf{a}_2+\ldots+\alpha_n\,\textbf{a}_n=\textbf{0}</math>
Wektory dla których nie zachodzi powyższa zależność nazywamy wektorami liniowo niezależnymi.

=== Iloczyn skalarny wektorów ===
Iloczynem skalarnym niezerowych wektorów <math>\textbf{a}</math> i <math>\textbf{b}</math> nazywamy liczbę, którą jest iloczyn długości tych wektorów przez cosinus kąta <math>\varphi</math> zawartego między nimi. Iloczyn skalarny oznaczamy przez <math>\mathbf a \cdot \mathbf b</math>, a więc
:<math>\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=|\textbf{a}||\textbf{b}|\cos{\varphi}</math>

Gdy choć jeden z tych wektorów jest zerowy ich iloczyn skalarny jest równy zero. Ponadto należy podkreślić, że iloczyn skalarny wektorów jest liczbą, a nie wektorem.

=== Iloczyn wektorowy wektorów ===
Iloczynem wektorowym <math>\textbf{a} \times \textbf{b}</math>  niezerowych i nierównoległych wektorów  <math>\textbf{a}</math> i <math>\textbf{b}</math> nazywamy wektor <math>\textbf{c}</math>, którego długość wynosi:

:<math>|\textbf{c}|=|\textbf{a}||\textbf{b}|\sin{\varphi}</math>

gdzie kąt <math>\varphi</math> jest mierzony od wektora <math>\textbf{a}</math> do wektora <math>\textbf{b}</math> w taki sposób, że  <math>0 \leq \varphi \leq \pi</math>.  Wektor <math>\textbf{c}</math> ma kierunek prostopadły do płaszczyzny wyznaczonej przez wektory <math>\mathbf{a}</math> i <math>\mathbf{b}</math> oraz jest tak zorientowany, że wektory <math>\textbf{a}, \textbf{b}, \textbf{c}</math> tworzą układ prawoskrętny.

Gdy wektory <math>\textbf{a}</math> i <math>\textbf{b}</math> są równoległe albo choć jeden z nich jest zerowy, to ich iloczyn wektorowy jest wektorem zerowym.

Pojęcie prawoskrętnego układu jest związane z wzajemnym położeniem trzech osi w kartezjańskim układzie współrzędnych. Otóż osie <math>Ox</math> i <math>Oy</math> tworzą pewną płaszczyznę. Trzecia oś <math>Oz</math> jest prostopadła do płaszczyzny <math>Oxy</math> i może być wybrana na dwa sposoby ([[Media:wek_pl.png|Rys. 5]]). Wybór ten jednoznacznie definiuje typ układu: lewoskrętny ([[Media:wek_lew.png|Rys. 5a]]) lub prawoskrętny ([[Media:wek_pra.png|Rys. 5b]]).
[[File:wek_pl.png|thumb|300px|Rys. 5 Wybór osi '''''Oz''''']]
[[File:wek_lew.png|thumb|300px|Rys. 5a Układ lewoskrętny]]
[[File:wek_pra.png|thumb|300px|Rys. 5b Układ prawoskrętny ]]

=== Niektóre pożyteczne własności iloczynów wektorów ===
* <math>\textbf{a} \cdot \textbf{b}=\textbf{b}\cdot\textbf{a}</math> prawo przemienności dla iloczynu skalarnego,
* <math>\alpha (\textbf{a}\cdot\textbf{b})=(\alpha \textbf{a})\cdot \textbf{b}= \textbf{a}\cdot (\alpha \textbf{b})</math>,
* <math>\alpha (\textbf{a} \times \textbf{b}) = (\alpha \textbf{a}) \times \textbf{b}=\textbf{a}\times (\alpha \textbf{b})</math>,
* <math>\textbf{a}\cdot(\textbf{b}+\textbf{c}) = \textbf{a}\cdot\textbf{b} + \textbf{a}\cdot\textbf{c}</math>,
* <math> \textbf{a} \times (\textbf{b} + \textbf{c}) = \textbf{a} \times \textbf{b} + \textbf{a} \times \textbf{c}</math>,
* <math>\textbf{a}\cdot\textbf{b} = 0</math> jeżeli <math>\textbf{a} \bot \textbf{b}</math> (warunek prostopadłości wektorów),
* <math> \textbf{a}\cdot\textbf{a} = \textbf{a}^{2} = |\textbf{a}|^{2} </math>,
* <math>\textbf{b}\times\textbf{a}=-\textbf{a}\times\textbf{b}</math>
* <math>\textbf{a}\times\textbf{a}=0</math>

== Wektor w kartezjańskim prostokątnym układzie współrzędnych ==
=== Składowe wektora w kartezjańskim prostokątnym układzie współrzędnych ===
[[File:wek1.png|thumb|300px|Rys. 6 Wektor w kartezjańskim układzie współrzędnych]]
[[File:wek_prze.png|thumb|300px|Rys. 7 Przesunięcie równoległe wektora]]
W kartezjańskim prostokątnym układzie współrzędnych możemy określić trzy wektory nazywane wektorami podstawowymi lub wersorami, które są wektorami jednostkowymi umieszczonymi na dodatnich osiach układu współrzędnych i wychodzą z początku tego układu. Wektory takie będziemy oznaczać  <math>\mathbf{\widehat{x}}, \mathbf{\widehat{y}}, \mathbf{\widehat{z}}</math> ([[Media:wek1.png|Rys. 6]]).
Jeżeli w układzie współrzędnych wybierzemy punkt <math>P</math> o współrzędnych <math>(x,y,z)</math> ([[Media:wek1.png|Rys. 6]]) to wektor <math>\vec{OP}</math> jest równy sumie trzech wektorów <math>\vec{OA},\vec{AB},\vec{BP}</math>, gdzie
:<math> \vec{OA}=a_{x}\mathbf{\widehat{x}}</math>
:<math> \vec{AB}=a_{y}\mathbf{\widehat{y}}</math>
:<math> \vec{BP}=a_{z}\mathbf{\widehat{z}}</math>

Podobnie, każdy wektor <math>\textbf{a}</math> w kartezjańskiej przestrzeni trójwymiarowej można wyrazić przez wektory podstawowe <math>\mathbf{\widehat{x}}, \mathbf{\widehat{y}}, \mathbf{\widehat{z}}</math>  
 
:<math>\textbf{a}=a_{x}\mathbf{\widehat{x}}+a_{y}\mathbf{\widehat{y}}+a_{z}\mathbf{\widehat{z}},</math>

gdzie liczby <math>a_{x},a_{y},a_{z}</math> są współrzędnymi lub składowymi wektora w układzie współrzędnych ([[Media:wek1.png|Rys. 6]]).

Współrzędne te są miarami rzutów wektora na osie współrzędnych <math>Ox, Oy, Oz</math>, przy czym przesunięcie równoległe wektora nie zmienia wartości jego współrzędnych ([[Media:wek_prze.png|Rys. 7]]). 

Długość wektora <math>\mathbf a</math> o składowych <math>a_x, a_y, a_z</math> może być obliczona z następującego wzoru   

:<math>|\mathbf a| = \sqrt{a_x^2 + a_y^2 + a_z^2}.</math>

=== Suma i różnica wektorów  ===
Sumą wektorów <math>\textbf{a}=a_{x}\mathbf{\widehat{x}}+a_{y}\mathbf{\widehat{y}}+a_{z}\mathbf{\widehat{z}}</math> i <math>\textbf{b}=b_{x}\mathbf{\widehat{x}}+b_{y}\mathbf{\widehat{y}}+b_{z}\mathbf{\widehat{z}}</math> jest wektor <math>\textbf{c}</math> dany wzorem

:<math>\textbf{c}=c_{x}\mathbf{\widehat{x}}+c_{y}\mathbf{\widehat{y}}+c_{z}\mathbf{\widehat{z}}=(a_{x}+b_{x})\mathbf{\widehat{x}}+(a_{y}+b_{y})\mathbf{\widehat{y}}+(a_{z}+b_{z})\mathbf{\widehat{z}}</math>

Różnicą wektorów <math>\textbf{a}=a_{x}\mathbf{\widehat{x}}+a_{y}\mathbf{\widehat{y}}+a_{z}\mathbf{\widehat{z}}</math> i <math>\textbf{b}=b_{x}\mathbf{\widehat{x}}+b_{y}\mathbf{\widehat{y}}+b_{z}\mathbf{\widehat{z}}</math> jest wektor <math>\textbf{d}</math> dany wzorem

:<math>\textbf{d}=d_{x}\mathbf{\widehat{x}}+d_{y}\mathbf{\widehat{y}}+d_{z}\mathbf{\widehat{z}}=(a_{x}-b_{x})\mathbf{\widehat{x}}+(a_{y}-b_{y})\mathbf{\widehat{y}}+(a_{z}-b_{z})\mathbf{\widehat{z}}</math>

=== Mnożenie wektora przez liczbę ===

Polega na pomnożeniu każdej składowej wektora przez tę liczbę. Iloczyn wektora <math>\textbf{a}=a_{x}\mathbf{\widehat{x}}+a_{y}\mathbf{\widehat{y}}+a_{z}\mathbf{\widehat{z}}</math> przez liczbę <math>\alpha</math> wynosi

:<math>\alpha \textbf{a} = \alpha (a_{x}\mathbf{\widehat{x}}+a_{y}\mathbf{\widehat{y}}+a_{z}\mathbf{\widehat{z}}) = \alpha a_{x}\mathbf{\widehat{x}}+ \alpha a_{y}\mathbf{\widehat{y}}+ \alpha a_{z}\mathbf{\widehat{z}}</math>

=== Iloczyn skalarny wektorów ===
W postaci algebraicznej iloczyn skalarny wektorów <math>\textbf{a}</math> i <math>\textbf{b}</math> jest  sumą iloczynów składowych każdego z wektorów:

:<math>\mathbf a \cdot \mathbf b = a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z</math>

Opierając się na iloczynie skalarnym możemy przedstawić długość wektora jako równą pierwiastkowi kwadratowemu z iloczynu skalarnego wektora przez siebie 

:<math>|\mathbf a| = \sqrt{\mathbf a \cdot \mathbf a}</math>

=== Iloczyn wektorowy wektorów ===
[[File:wiw.png|thumb|300px|Rys. 8 Iloczyn wektorowy wektorów <math>\textbf{a}</math> i <math>\textbf{b}</math> w kartezjańskim układzie współrzędnych]]
W postaci algebraicznej iloczyn wektorowy wektorów <math>\textbf{a}</math> i <math>\textbf{b}</math> jest określany jako: 

:<math>\textbf{a} \times \textbf{b} = (a_y b_z - a_z b_y)\mathbf{\widehat{x}} + (a_z b_x - a_x b_z)\mathbf{\widehat{y}} + (a_x b_y - a_y b_x)\mathbf{\widehat{z}}=
\left| \begin{array}{ccc}
\mathbf{\widehat{x}} & \mathbf{\widehat{y}} & \mathbf{\widehat{z}}\\
a_{x} & a_{y} & a_{z} \\
b_{x} & b_{y} & b_{z} \\
\end{array} \right|</math>

gdzie wyznacznik jest wyliczony przez rozwinięcie względem pierwszego wiersza.

Graficzna prezentacja iloczynu wektorowego znajduje się na [[Media:wiw.png|Rys. 8]].

== Przykłady ==
[[File:wprz1.png|thumb|300px|Rys. 9 Suma i róznica wektorów <math>\textbf{a}=3\mathbf{\widehat{x}+4\mathbf{\widehat{y}}}</math> i <math>\textbf{b}=2\mathbf{\widehat{x}-\mathbf{\widehat{y}}}</math>
]]
[[File:wprz2.png|thumb|300px|Rys. 10 Iloczyn wektorowy wektora <math>\textbf{a}=3\mathbf{\widehat{x}+4\mathbf{\widehat{y}}}</math> i <math>\textbf{b}=2\mathbf{\widehat{x}-\mathbf{\widehat{y}}}</math>
]]
Mamy dane dwa wektory

<math>\textbf{a}=3\mathbf{\widehat{x}}+4\mathbf{\widehat{y}}</math>

<math>\textbf{b}=2\mathbf{\widehat{x}}-\mathbf{\widehat{y}}</math>

Można zauważyć, że składowa w kierunku osi <math>\textbf{Z}</math> obu wektorów jest równa zero.

* Długości wektorów <math>\textbf{a}</math> i <math>\textbf{b}</math> wynoszą 

<math>|\mathbf a| = \sqrt{3^2 + 4^2}=\sqrt{25}=5</math>

<math>|\mathbf b| = \sqrt{2^2 + (-1)^2}=\sqrt{5}</math>

* Suma tych wektorów wynosi (patrz [[Media:wprz1.png|Rys. 9]])
<math>\textbf{a}+\textbf{b}=(3+2)\mathbf{\widehat{x}}+(4+(-1))\mathbf{\widehat{y}}=5\mathbf{\widehat{x}}+3\mathbf{\widehat{y}}</math>
* ich różnica (patrz [[Media:wprz1.png|Rys. 9]])
<math>\textbf{a}-\textbf{b}=(3-2)\mathbf{\widehat{x}}+(4-(-1))\mathbf{\widehat{y}}=\mathbf{\widehat{x}}+5\mathbf{\widehat{y}}</math>
*iloczyn skalarny
<math>\mathbf a \cdot \mathbf b = 3\cdot 2 + 4 \cdot (-1)=2</math>
*a iloczyn wektorowy (patrz [[Media:wprz2.png|Rys. 10]])
<math>\textbf{a} \times \textbf{b} = (4 \cdot 0 - 0 \cdot (-1))\mathbf{\widehat{x}} + (0 \cdot 2 - 3 \cdot 0)\mathbf{\widehat{y}} + (3 \cdot (-1) - 4 \cdot 2)\mathbf{\widehat{z}}=-11\mathbf{\widehat{z}}</math>

== Zadania ==
# Czy wektory <math>\vec{AB}</math> i <math>\vec{CD}</math> gdzie <math> A =(2,-1), B=(2,1), C=(3,-2), D=(-3,-2)</math> są przeciwne?
# Czy wektory <math>\vec{AB}</math> i <math>\vec{CD}</math> gdzie <math> A =(2,-1), B=(-2,-2), C=(1,-1), D=(1,2)</math> są równe?
# Oblicz długości boków trójkąta o wierzchołkach <math>A=(1,-1,2), B=(3,3,8), C=(2,0,1)</math>.
# Jeżeli <math>A = (2, -1), B = (-1, 3),  C = (0, 1)</math>, wyraź następujące wektory w układzie opartym na wektorach jednostkowych <math>\mathbf{\widehat{x}},\mathbf{\widehat{y}}</math>: 
## <math>\vec{AB}</math>, 
## <math>\vec{BC}</math>,
## <math>\vec{AC}</math>,
## <math>\vec{AB}+\vec{BC}</math>,
## <math>2\vec{AC}-3\vec{BC}</math>,
# Jeżeli <math>\textbf{a} = 2\mathbf{\widehat{x}} + \mathbf{\widehat{y}} -2\mathbf{\widehat{z}}</math> i <math>\textbf{b} = 3\mathbf{\widehat{x}} - 2\mathbf{\widehat{y}} - \mathbf{\widehat{z}} </math> znajdź:
## <math>\textbf{a} + \textbf{b}</math>,
## <math>\textbf{a} - \textbf{b}</math>,
## <math>3\textbf{a} - 2\textbf{b}</math>,
## <math>|\textbf{a}|</math>,
## <math>|\textbf{b}|</math>.
# Pokaż, że:
## <math>\mathbf{\widehat{x}} \times \mathbf{\widehat{x}} = \textbf{0} </math>,
## <math>\mathbf{\widehat{x}} \times \mathbf{\widehat{y}} = \mathbf{\widehat{z}} </math>,
## <math>\mathbf{\widehat{y}} \times \mathbf{\widehat{x}} = -\mathbf{\widehat{z}} </math>,