Z Skrypty dla studentów Ekonofizyki UPGOW

Wersja z 06:18, 15 kwi 2010 (pokaż źródło) Marcin (dyskusja | edycje) (→Proces Wienera) ← poprzednia edycja		Wersja z 06:30, 15 kwi 2010 (pokaż źródło) Marcin (dyskusja | edycje) (→Stochastyczne równania różniczkowe) następna edycja →
Linia 6:		Linia 6:
	gdzie F i G to dowolne funkcje, a <math>\Gamma(t)</math> jest procesem losowym.		gdzie F i G to dowolne funkcje, a <math>\Gamma(t)</math> jest procesem losowym.
-	W przypadku gdy rozpatrujemy biały szum Gaussowski to należy zwrócic szczególną uwagę na [[PIZL:Stochastyczne_równania_różniczkowe#Dylemat_Stratonowicza-Ito|dylemat Stratonowicza-Ito]].	+	Najczęstszym przypadek to taki w którym <math>\Gamma(t)</math> to biały szum Gaussowski. Tak zapisane równanie nie jest precyzyjnie określone ze względu na [[PIZL:Stochastyczne_równania_różniczkowe#Dylemat_Stratonowicza-Ito|dylemat Stratonowicza-Ito]].
		+	Dlatego poprawne jest zapisanie równanie Ito w postaci:
		+	<math>dX(t)= F(X(t), t)dt + G(X(t), t) dW(t)\;</math>
		+	Nie zmienia to ogólności, gdyż jak wiadomo każde równanie zapisane w interpretacji Stratonowicza ma swój odpowiednik Ito. Dla potrzeb metod numerycznych będziemy rozpatrywać zawsze równania Ito, a jeśli pojawią się równania Stratonowicza to będziemy je transpormować do postaci Ito.
-	<math>dX(t)= F(X(t), t)dt + G(X(t), t) dW(t)\;</math>	+
		+
		+	=== Schemat Eulera dla równania z szumem addytywnym ===
		+
		+	Najprostszą metodą aproksymacji numerycznej równania stochastycznego jest podobnie jak w przypadku równań różniczkowych zwyczajnych jest schemat Eulera. Część deterministyczną równania stochastycznego traktujemy w taki sam sposób jak w schemacie Eulera dla równań różniczkowych zwyczajnych.
		+
		+	<math>dW(t) = \Gamma(t) dt \; \; \; \; \mbox{lub} \; \; \; \; W(t) = \int_0^t \Gamma(s) \; ds</math>
		+
Linia 26:		Linia 36:
	Całkując powy		Całkując powy
-	<math>dW(t) = \Gamma(t) dt \; \; \; \; \mbox{lub} \; \; \; \; W(t) = \int_0^t \Gamma(s) \; ds</math>
-
-	=== Schemat Eulera dla równania z szumem addytywnym ===
-
-	Najprostszą metodą aproksymacji numerycznej równania stochastycznego jest podobnie jak w przypadku równań różniczkowych zwyczajnych - schemat Eulera.

---

Wersja z 06:30, 15 kwi 2010

Stochastyczne równania różniczkowe

W tym rozdziale zostaną opisane metody numeryczne, które służa do rozwiązywania stochastycznych równań różniczkowych typu:

\(\frac{dX(t)}{dt} = F(X(t), t) + G(X(t), t)\Gamma(t)\)

gdzie F i G to dowolne funkcje, a \(\Gamma(t)\) jest procesem losowym. Najczęstszym przypadek to taki w którym \(\Gamma(t)\) to biały szum Gaussowski. Tak zapisane równanie nie jest precyzyjnie określone ze względu na dylemat Stratonowicza-Ito. Dlatego poprawne jest zapisanie równanie Ito w postaci:

\(dX(t)= F(X(t), t)dt + G(X(t), t) dW(t)\;\)

Nie zmienia to ogólności, gdyż jak wiadomo każde równanie zapisane w interpretacji Stratonowicza ma swój odpowiednik Ito. Dla potrzeb metod numerycznych będziemy rozpatrywać zawsze równania Ito, a jeśli pojawią się równania Stratonowicza to będziemy je transpormować do postaci Ito.

Schemat Eulera dla równania z szumem addytywnym

Najprostszą metodą aproksymacji numerycznej równania stochastycznego jest podobnie jak w przypadku równań różniczkowych zwyczajnych jest schemat Eulera. Część deterministyczną równania stochastycznego traktujemy w taki sam sposób jak w schemacie Eulera dla równań różniczkowych zwyczajnych.

\(dW(t) = \Gamma(t) dt \; \; \; \; \mbox{lub} \; \; \; \; W(t) = \int_0^t \Gamma(s) \; ds\)

Proces Wienera

Proces Wienera jest rozwiązaniem następującego stochastycznego równania różniczkowego:

\(dX(t)= dW(t)\;\).

Jego realizacja jest funkcją ciągłą, ale jednocześnie nigdzie nie jest różniczkowalna. Przyrost \(W(t_2) - W(t_1)\) jest zmienna losową gaussowską o zerowej wartości średniej i wariancji \( = 2D(t_2 - t_1) \).

Całkując powy