Z Skrypty dla studentów Ekonofizyki UPGOW

Wersja z 15:40, 23 paź 2009

Teoria prawdopodobieństwa bazuje, jak każda teoria matematyczna, na odpowiedniej przestrzeni.

Dla przykładu, dla teorii funkcji taka przestrzenią jest przestrzeń metryczna. Przestrzeń metryczna jest takim zbiorem $X$, w którym można zdefiniować odległość $d(x, y)$ między dwoma jej elementami $x \in X$ i $y \in X$. Odleglość jest funkcją dwóch zmiennych $x$ i $y$ oraz posiada kilka charakterystycznych cech, np. odległość nie może byc ujemna. Jeżeli zdefiniujemy odległość w zbiorze $X$, wówczas możemy w tym zbiorze określić zbieżność ciągów i wprowadzić pojęcie ciągłości funkcji. Możemy też zdefiniować pojęcie pochodnej funkcji i całki oznaczonej. Możemy dokonywać wielu innych operacji na funkcjach. Widać z tego przykładu, że pojęcie metryki jest bardzo użyteczne i zdefiniowanie metryki w jakimś zbiorze niesłychanie wzbogaca ten zbiór. Matematycy lubią definiować przestrzeń metryczna jako parę $(X, d)$, tzn. jest to zbiór X wraz z określoną w niej odległościa, czyli metryką $d=d(x, y)$.

Podobnie jest w teorii prawdopodobieństwa. Przestrzenią, którą bada teoria prawdopodobieństwa, jest zbiór, w którym określone są dodatkowe elementy, analogiczne do metryki. Przestrzeń ta nazywa się przestrzenią probabilistyczną. Dokładniej mówiąc przestrzeń ta to nie para jak w przypadku przestrzeni metrycznej, ale trójka $(\Omega, F, P)$.