Z Skrypty dla studentów Ekonofizyki UPGOW

Wersja z 12:36, 23 wrz 2010

Analiza Szeregów Czasowych

Stacjonarność procesów stochastycznych

Do wyznaczania zależności pomiędzy zmiennymi losowymi użyteczna bywa funkcja kowariancji. W przypadku gdy analizujemy szereg czasowy opisywany poprzez ewolucję jednej zmiennej losowej możemy mówić najwyżej o funkcji autokowariancji.

Definicja 3.1

Szereg czasowy $\{X_t, t \in \Z\}\ $, gdzie zbiór indeksów zdefiniowany jest jako $\Z = \{0, \pm 1, \pm 2,\cdots \}$ nazywamy stacjonarnym jeżeli spełnione są poniższe punkty

$\begin{align} (i) &~E | X_t |^2 < \infty ~~~ \text{for all} ~~~ t \in \Z \\ (ii) &~E X_t = m ~~~ \text{for all} ~~~ t \in \Z \\ (iii)&~\gamma_X(r,s) = \gamma_X(r+t,s+t) ~~~ \text{for all} ~~~ t \in \Z \end{align}$

Uwagi

1. Powyższa definicja odnosi się do tak zwanej słabej stacjonarności, stacjonarności w szerszym sensie lub stacjonarności rzędu dwa. Ma ona zastsowanie najczęściej podczas analizy szeregów czasowych. Na tym kursie analizy szeregów czasowych będzie to podstawowa definicja jaką będziemy rozpatrywali.
2. Punkt $(iii)\ $ często zapisuje się w postaci

$\gamma_X(r+t,s+t) = \gamma_X(r-s,0) \!$

lub krótko

$\gamma_X(r-s,0) = \gamma(\tau) \, \mbox{ gdzie } \, \tau = t_1 - t_2$