Z Skrypty dla studentów Ekonofizyki UPGOW

Wersja z 19:35, 10 gru 2009 (pokaż źródło) Luczka (dyskusja | edycje) (→Procesy i zjawiska losowe) ← poprzednia edycja		Wersja z 19:38, 10 gru 2009 (pokaż źródło) Luczka (dyskusja | edycje) następna edycja →
Linia 42:		Linia 42:
	=== Spis teści  ===		=== Spis teści  ===
-	#[[Wprowadzenie]]	+	# [[Wprowadzenie]]
		+	# [[Zbiory]]
	# [[Elementy teorii prawdopodobieństa]]		# [[Elementy teorii prawdopodobieństa]]
	## Przestrzeń probabilistyczna		## Przestrzeń probabilistyczna

---

Wersja z 19:38, 10 gru 2009

Procesy i zjawiska losowe

Skrypt dla studentów ekonofizyki

\( Pr \{ \xi \in (a, b)\} = \int_a^b p_{\xi}(x)dx \)

PODSTAWOWE POJĘCIA NA TEMAT ZBIORÓW

Oznaczmy przez \(\Omega\) zbiór, który nazwiemy przestrzenią. Niech \(A, B, ...\) będa podzbiorami zbioru \(\Omega\).

Sumą zbiorów nazywamy zbiór złożony ze wszystkich elementów należących do któregokolwiek z sumowanych zbiorów. Suma zbiorów \(A \) i \( B \) jest oznaczana przez \(A\cup B\). Tak więc:

\(A\cup B=\{x:x\in A\vee x\in B\}\)

Iloczyn (lub część wspólna, przekrój, przecięcie) zbiorów \( A \) i \( B \) to zbiór, do którego należą te elementy zbioru \( A \), które należą również do \( B \). Część wspólna zbiorów \( A \) i \( B \) jest oznaczana przez \(A\cap B\). Tak więc:

\(A\cap B=\{x:x\in A\wedge x\in B\}\).

Różnica zbiorów A\B - to zbiór złożony z tych elementów zbioru A, które nie należą do B:

\(A \setminus B = \{ x : x\in A \and x \notin B\}\)

Dopełnieniem \(A'\) zbioru \(A\) (w przestrzeni \(\Omega\)) nazywa się różnica zbiorów

\(A'=\Omega \setminus A = \{x \in \Omega\colon x \notin A\}\),

Zbiór pusty to zbiór, który nie zawiera żadnych elementów. Oznaczany jest symbolem \(\empty\) lub \(\varnothing\).

Zbiory rozłączne – dwa zbiory \(A\) i \(B \)są rozłączne jeżeli ich część wspólna jest zbiorem pustym:

\(A\cap B=\empty\).

Inaczej mówiąc, zbiory te nie mające wspólnego elementu.

Na przykład, zbiory {1 ,2, 5, 8, 9} i {4, 6} są rozłączne, natomiast zbiory {2, 3, 5, 7, 8} i {2, 5, 6} – nie.

Rodzinę zbiorów| \((A_i)_{i\in I}\) nazywa się rodziną zbiorów parami rozłącznych, jeśli każde dwa różne zbiory tej rodziny są rozłączne: \[i\ne j \implies A_i\cap A_j = \emptyset\]

Spis teści

1. Wprowadzenie
2. Zbiory
3. Elementy teorii prawdopodobieństa
   1. Przestrzeń probabilistyczna
   2. Zmienna losowa
   3. Rozkłady prawdopodobieństwa zmiennej losowej
   4. Wiele zmiennych losowych-Wektor zmiennych losowych
   5. Rozkłady prawdobodobieństwa wielu zmiennych losowych
4. Próby Bernouliego
5. Twierdzenie Poissona i rozklad Poissona
6. Procesy stochastyczne
7. Proces Poissona
   1. Proces urodzin i śmierci
   2. Poissonowski ciąg impulsów: biały szum Poissona
   3. Uogólnienia procesu Poissona
   4. Równania ewolucji dla procesów Poissona; funkcja tworząca
8. Błądzenie przypadkowe
9. Proces Wienera -proces dyfuzji
10. Biały szum gaussowski
11. Stochastyczne równania różniczkowe
12. Równanie Kramersa-Moyala
13. Proste i odwrotne równanie Kołmogorowa. Równanie Fokkera-Plancka
14. Równanie Ito a proces dyfuzji
15. Równanie Ito i równanie Stratonowicza
16. Twierdzenie Ito o różniczce funkcji procesu stochastycznego
17. Przykłady zastosowań równań stochastycznych w ekonomii
    1. Geometryczny proces Wienera