Processing math: 0%
Liczby zespolone

Z Skrypty dla studentów Ekonofizyki UPGOW

(Różnice między wersjami)
(Liczby zespolone sprzężone)
(Postać wykładnicza liczby zespolonej)
Linia 29: Linia 29:
== Postać wykładnicza liczby zespolonej ==
== Postać wykładnicza liczby zespolonej ==
W oparciu o formulę Euler'a  
W oparciu o formulę Euler'a  
-
: <math>e^{ix} = \cos(\phi) + i\sin(\phi) \ </math>
+
:<math>e^{ix} = \cos(\phi) + i\sin(\phi) \ </math>
możemy liczbę zespolona przedstawić w tzw. postać wykładniczej:
możemy liczbę zespolona przedstawić w tzw. postać wykładniczej:
-
: <math>z=e^{i\phi}</math>
+
:<math>z=e^{i\phi}</math>
== Liczby zespolone sprzężone ==
== Liczby zespolone sprzężone ==

Wersja z 22:26, 2 gru 2013

Liczba zespoloną jest liczbą, która może być wyrażona w postaci

,

gdzie \alpha i \beta są liczbami rzeczywistymi, zaś i jest jednostką urojoną, która spełnia równanie i^2 = -1. Ponadto liczbę \alpha nazywamy częścią rzeczywistą i liczbę \beta częścią urojoną z liczny zespolonej.

\alpha = Re(z) \beta = Im(z)

Gdy \beta=0, wtedy z=\alpha - liczba rzeczywista jest szczególnym przypadkiem liczby zespolonej, gdy \alpha=0 wtedy z= \beta i - liczba urojona szczególny przypadek liczby zespolonej.

Spis treści

[ukryj]

Interpretacja geometryczna

Liczby zespolone przedstawia się w postaci punktów na płaszczyźnie. Liczbę z = \alpha + \beta i przedstawia punkt o odciętej \alpha i rzędnej \beta rys 1.

Równość liczb zespolonych

Dwie liczby zespolone są równe wtedy i tylko wtedy, gdy zarówno ich rzeczywista i urojona są równe. Innymi słowy: z_{1} = z_{2} \, \, \leftrightarrow \, \, ( \operatorname{Re}(z_{1}) = \operatorname{Re}(z_{2}) \, \land \, \operatorname{Im} (z_{1}) = \operatorname{Im} (z_{2}))

Postać trygonometryczna liczby zespolonej

Wyrażenie z=\alpha +\beta i nazywamy postacią algebraiczną liczby zespolonej. Jeżeli zamiast współrzędnych kartezjańskich punktu reprezentującego liczbę zespoloną wprowadzimy współrzędne biegunowe to otrzymamy postać trygonometryczną zapisu liczby zespolonej: z=\rho (cos(\phi) +i sin(\phi)) gdzie \rho to długość promienia wodzącego, nazywa się modułem lub bezwzględna wartością liczby zespolonej i oznacz się symbolem |z|, natomiast \phi to kat między osia biegunową, a promieniem wodzącym i oznacza się symbolem \phi=arg z Można wyprowadzić następujące związki między współrzędnymi biegunowymi i kartezjańskimi: \alpha = \rho cos(\phi) \beta = \rho sin(\phi),'

\rho = \sqrt{\alpha^2+\beta^2} cos(\phi)=\frac{\alpha}{\sqrt{\alpha^2+\beta^2}} sin(\phi)=\frac{\beta}{\sqrt{\alpha^2+\beta^2}}

Postać wykładnicza liczby zespolonej

W oparciu o formulę Euler'a e^{ix} = \cos(\phi) + i\sin(\phi) \ możemy liczbę zespolona przedstawić w tzw. postać wykładniczej: z=e^{i\phi}

Liczby zespolone sprzężone

Dwie liczby zespolone nazywamy sprzężonymi jeżeli mają części rzeczywiste równe, a części urojone różnią się tylko znakiem. Liczby takie oznaczmy: z \text{ } \bar{z} z= \alpha + \beta i = \rho(cos(\phi)+i\sin(\phi) = \rho e^{i\phi} \bar{z}= \alpha - \beta i = \rho(cos(\phi)-i\sin(\phi) = \rho e^{-i\phi} Ponadto zachodzi: \operatorname{Re}\,(z) = \tfrac{1}{2}(z+\bar{z}), \, \operatorname{Im}\,(z) = \tfrac{1}{2i}(z-\bar{z}). \, A także: \overline{z+w} = \bar{z} + \bar{w}, \, \overline{z-w} = \bar{z} - \bar{w}, \, \overline{z w} = \bar{z} \bar{w}, \, \overline{(z/w)} = \bar{z}/\bar{w}. \, \frac{1}{z}=\frac{\bar{z}}{z \bar{z}}=\frac{\bar{z}}{x^2+y^2}.

Podstawowe działania

Dodawanie i odejmowanie

Liczby zespolone są dodawane/odejmowane przez dodanie/odjęcie rzeczywistych i urojonych części. (a+bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d)i.\ (a+bi) - (c+di) = (a-c) + (b-d)i.\

Mnożenie

Mnożenie dwóch liczb jest zdefiniowane za pomocą następującego wzoru: (a+bi) (c+di) = (ac-bd) + (bc+ad)i.\ Należy pamiętać, że: i^2 = i \times i = -1.\ Stąd wzór na mnożenie nie dwóch liczb zespolonych da się przedstawić w następujący sposób: (a+bi) (c+di) = ac + bci + adi + bidi \

= ac + bidi + bci + adi \
= ac + bdi^2 + (bc+ad)i \
= (ac-bd) + (bc + ad)i \

Mnożenie w postaci trygonometrycznej

Opierając się na poniższych wzorach: \cos(a)\cos(b) - \sin(a)\sin(b) = \cos(a + b) \cos(a)\sin(b) + \cos(b)\sin(a) = \sin(a + b) Możenie dwóch liczb zespolonych z1 = r1(cos φ1 + i sin φ1) i z2 =r2(cos φ2 + i sin φ2) możemy zapisać w następujący sposób: z_1 z_2 = r_1 r_2 (\cos(\varphi_1 + \varphi_2) + i \sin(\varphi_1 + \varphi_2)).\,

Dzielenie

Dzielenie liczb zespolonych jest oparte na ich mnożeniu opisanym wcześniej oraz mnożeniu liczb rzeczywistych. Należy jednak pamiętać, ze choć jedna z liczb występujących w mianowniku musi być różna od zera. \,\frac{a + bi}{c + di} = \left({ac + bd \over c^2 + d^2}\right) + \left( {bc - ad \over c^2 + d^2} \right)i.

Dzielenie w postaci trygonometrycznej

Dzielenie dwóch liczb zespolonych z1 = r1(cos φ1 + i sin φ1) i z2 =r2(cos φ2 + i sin φ2) możemy zapisać w następujący sposób: \frac{z_1}{ z_2} = \frac{r_1}{ r_2} \left(\cos(\varphi_1 - \varphi_2) + i \sin(\varphi_1 - \varphi_2)\right).

Potęgowanie

Podnoszenie liczby zespolonej do potęgi wykonuje się według wzoru de Moivre'a z^n=[\rho(cos(\phi)+isin(\phi))]^n=\rho^n(cos(n\phi)+isin(n\phi))

Pierwiastkowanie

Wyciągnięcie pierwiastka z liczby zespolonej wykonuje się za pomocą następującego wzoru: \sqrt[n]{z} = \sqrt[n]\rho \left( \cos \left(\frac{\phi+2k\pi}{n}\right) + i \sin \left(\frac{\phi+2k\pi}{n}\right)\right) Ponadto zachodzi: \sqrt[n]{z^n} = z

Zadania

  1. Oblicz:
    1. (7 + 2i) + (11 - 6i)
    2. (8 - 3i) - (6i)
    3. (9 + 4i)(3 - 16i)
    4. 3i \times 9i
    5. \frac{i}{2+i}
    6. \frac{11 + 3i}{\sqrt{3} - 4i}
    7. {(x + yi)}^{-1}