Z Skrypty dla studentów Ekonofizyki UPGOW
(→Liczby rzeczywiste) |
|||
| Linia 3: | Linia 3: | ||
Zbiór liczb naturalnych N tworzą liczby 0,1,2,3,... | Zbiór liczb naturalnych N tworzą liczby 0,1,2,3,... | ||
| - | + | :<math>N = \{0,1,2,3,\ldots \}</math> | |
Nie ma największej liczby naturalnej, czyli innymi słowy dla każdej liczby naturalnej mozna znaleźć liczbę większą. (ex. sage) Najmniejszą liczbą naturalną jest 0, przy czym uwaga - niektóre podręczniki definiują zbiór liczb naturalnych jako zbiór {1,2,3,...}. W tym przypadku 0 nie jest liczbą naturalną. | Nie ma największej liczby naturalnej, czyli innymi słowy dla każdej liczby naturalnej mozna znaleźć liczbę większą. (ex. sage) Najmniejszą liczbą naturalną jest 0, przy czym uwaga - niektóre podręczniki definiują zbiór liczb naturalnych jako zbiór {1,2,3,...}. W tym przypadku 0 nie jest liczbą naturalną. | ||
| Linia 10: | Linia 10: | ||
Zbiór liczb całkowitych C tworzą liczby ...,-3,-2,-1,-,1,2,3,... | Zbiór liczb całkowitych C tworzą liczby ...,-3,-2,-1,-,1,2,3,... | ||
| - | + | :<math>C = \{\ldots,-3,-2,-1,0,1,2,3,\ldots \}</math> | |
Nie ma najmniejszej ani największej liczby całkowitej, a zbiór liczb naturalnych zawiera się w zbiorze liczb całkowitych | Nie ma najmniejszej ani największej liczby całkowitej, a zbiór liczb naturalnych zawiera się w zbiorze liczb całkowitych | ||
| - | + | :<math>N \subset C</math> | |
==Liczby wymierne== | ==Liczby wymierne== | ||
Zbiór liczb wymiernych W tworzą liczby postaci <math>\frac{m}{n}</math>, gdzie <math>m,n \in C </math> oraz <math> n \neq 0</math> | Zbiór liczb wymiernych W tworzą liczby postaci <math>\frac{m}{n}</math>, gdzie <math>m,n \in C </math> oraz <math> n \neq 0</math> | ||
| - | + | :<math>W = \{\frac{m}{n}, m,n \in C \wedge n \neq 0\}</math> | |
Nie ma najmniejszej ani największej liczby wymiernej, a zbiór liczb całkowitych zawiera się w zbiorze liczb wymiernych | Nie ma najmniejszej ani największej liczby wymiernej, a zbiór liczb całkowitych zawiera się w zbiorze liczb wymiernych | ||
| - | + | :<math>C \subset W</math> | |
== Liczby niewymierne == | == Liczby niewymierne == | ||
Zbiór liczb niewymiernych IW tworzą liczby, których nie można przedstawić w postaci <math>\frac{m}{n}</math>, gdzie <math>m,n \in C</math>, oraz <math>n \neq 0</math>, czyli nie można przedstawić w postaci ułamka. Przykładami liczb niewymiernych są <math>\sqrt{2}</math>, <math>\pi</math>, <math>\sqrt{13}</math>, liczba <math>e</math> i nieskończenie wiele innych. Z podanej definicji zbioru IW wynika, że zbiory liczb wymiernych i niewymiernych są rozłączne, czyli nie posiadają elementów wspólnych | Zbiór liczb niewymiernych IW tworzą liczby, których nie można przedstawić w postaci <math>\frac{m}{n}</math>, gdzie <math>m,n \in C</math>, oraz <math>n \neq 0</math>, czyli nie można przedstawić w postaci ułamka. Przykładami liczb niewymiernych są <math>\sqrt{2}</math>, <math>\pi</math>, <math>\sqrt{13}</math>, liczba <math>e</math> i nieskończenie wiele innych. Z podanej definicji zbioru IW wynika, że zbiory liczb wymiernych i niewymiernych są rozłączne, czyli nie posiadają elementów wspólnych | ||
| - | + | :<math>W \cap IW = \emptyset</math> | |
| - | ==Liczby rzeczywiste== | + | == Liczby rzeczywiste == |
Zbiór liczb rzeczywistych R tworzy suma zbioru liczb wymiernych W i zbioru liczb niewymiernych IW (zbiory W i IW są rozłączne) | Zbiór liczb rzeczywistych R tworzy suma zbioru liczb wymiernych W i zbioru liczb niewymiernych IW (zbiory W i IW są rozłączne) | ||
| - | + | :<math>R = W \cup IW</math> | |
| - | Oczywiście nie ma najmniejszej ani największej liczby rzeczywistej, a pomiędzy dwie dowolne liczby rzeczywiste można włożyć nieskończenie wiele liczb rzeczywistych. Przykład w sage. Mówiąc obrazowo liczby rzeczywiste to <math>\it wszystkie</math> liczby i tymi liczbami będziemy się posługiwać na zajęciach z analizy matematycznej. | + | Oczywiście nie ma najmniejszej ani największej liczby rzeczywistej, a pomiędzy dwie dowolne liczby rzeczywiste można włożyć nieskończenie wiele liczb rzeczywistych. Przykład w sage. Mówiąc obrazowo liczby rzeczywiste to <math>\it wszystkie</math> liczby i tymi liczbami będziemy się posługiwać na zajęciach z analizy matematycznej. |
== Liczby zespolone == | == Liczby zespolone == | ||
Zbiór liczb zespolonych Z tworzą liczby postaci <math>\it z = a + ib</math>, gdzie <math>\it a,b \in R</math>, <math>a \it i</math> jest tzw. jednostką urojoną, czyli rozwiązaniem równania <math>\it i^{2} = -1</math>. | Zbiór liczb zespolonych Z tworzą liczby postaci <math>\it z = a + ib</math>, gdzie <math>\it a,b \in R</math>, <math>a \it i</math> jest tzw. jednostką urojoną, czyli rozwiązaniem równania <math>\it i^{2} = -1</math>. | ||
| - | + | :<math>Z = \{ \it z = a + ib, \it a,b \in R, \it i^{2} = -1\}</math> | |
Liczby zespolone przedstawia się zwykle na tzw. płaszczyźnie zespolonej, która jest podzielona na cztery części dwoma osiami: rzeczywistą <math>\Re</math> i urojoną <math>\Im</math>. Własności i działania na liczbach zespolonych są omawiane na zajęciach z algebry. | Liczby zespolone przedstawia się zwykle na tzw. płaszczyźnie zespolonej, która jest podzielona na cztery części dwoma osiami: rzeczywistą <math>\Re</math> i urojoną <math>\Im</math>. Własności i działania na liczbach zespolonych są omawiane na zajęciach z algebry. | ||
| Linia 46: | Linia 46: | ||
W świetle powyższych definicji, oczywista jest następująca zależność zawierania się zbiorów liczbowych: | W świetle powyższych definicji, oczywista jest następująca zależność zawierania się zbiorów liczbowych: | ||
<br> | <br> | ||
| - | + | :<math>N \subset C \subset W \subset R \subset Z</math> | |
Wersja z 12:29, 3 sty 2014
Spis treści |
Liczby naturalne
Zbiór liczb naturalnych N tworzą liczby 0,1,2,3,...
\[N = \{0,1,2,3,\ldots \}\]
Nie ma największej liczby naturalnej, czyli innymi słowy dla każdej liczby naturalnej mozna znaleźć liczbę większą. (ex. sage) Najmniejszą liczbą naturalną jest 0, przy czym uwaga - niektóre podręczniki definiują zbiór liczb naturalnych jako zbiór {1,2,3,...}. W tym przypadku 0 nie jest liczbą naturalną.
Liczby całkowite
Zbiór liczb całkowitych C tworzą liczby ...,-3,-2,-1,-,1,2,3,...
\[C = \{\ldots,-3,-2,-1,0,1,2,3,\ldots \}\]
Nie ma najmniejszej ani największej liczby całkowitej, a zbiór liczb naturalnych zawiera się w zbiorze liczb całkowitych
\[N \subset C\]
Liczby wymierne
Zbiór liczb wymiernych W tworzą liczby postaci \(\frac{m}{n}\), gdzie \(m,n \in C \) oraz \( n \neq 0\)
\[W = \{\frac{m}{n}, m,n \in C \wedge n \neq 0\}\]
Nie ma najmniejszej ani największej liczby wymiernej, a zbiór liczb całkowitych zawiera się w zbiorze liczb wymiernych
\[C \subset W\]
Liczby niewymierne
Zbiór liczb niewymiernych IW tworzą liczby, których nie można przedstawić w postaci \(\frac{m}{n}\), gdzie \(m,n \in C\), oraz \(n \neq 0\), czyli nie można przedstawić w postaci ułamka. Przykładami liczb niewymiernych są \(\sqrt{2}\), \(\pi\), \(\sqrt{13}\), liczba \(e\) i nieskończenie wiele innych. Z podanej definicji zbioru IW wynika, że zbiory liczb wymiernych i niewymiernych są rozłączne, czyli nie posiadają elementów wspólnych
\[W \cap IW = \emptyset\]
Liczby rzeczywiste
Zbiór liczb rzeczywistych R tworzy suma zbioru liczb wymiernych W i zbioru liczb niewymiernych IW (zbiory W i IW są rozłączne)
\[R = W \cup IW\]
Oczywiście nie ma najmniejszej ani największej liczby rzeczywistej, a pomiędzy dwie dowolne liczby rzeczywiste można włożyć nieskończenie wiele liczb rzeczywistych. Przykład w sage. Mówiąc obrazowo liczby rzeczywiste to \(\it wszystkie\) liczby i tymi liczbami będziemy się posługiwać na zajęciach z analizy matematycznej.
Liczby zespolone
Zbiór liczb zespolonych Z tworzą liczby postaci \(\it z = a + ib\), gdzie \(\it a,b \in R\), \(a \it i\) jest tzw. jednostką urojoną, czyli rozwiązaniem równania \(\it i^{2} = -1\).
\[Z = \{ \it z = a + ib, \it a,b \in R, \it i^{2} = -1\}\]
Liczby zespolone przedstawia się zwykle na tzw. płaszczyźnie zespolonej, która jest podzielona na cztery części dwoma osiami: rzeczywistą \(\Re\) i urojoną \(\Im\). Własności i działania na liczbach zespolonych są omawiane na zajęciach z algebry.
W świetle powyższych definicji, oczywista jest następująca zależność zawierania się zbiorów liczbowych:
\[N \subset C \subset W \subset R \subset Z\]