Z Skrypty dla studentów Ekonofizyki UPGOW

Wersja z 12:31, 3 sty 2014

Zajmiemy się teraz układami dwóch i trzech równań liniowych, przy czym zagadnieniu rozwiązywania dowolnego układu równań liniowych będzie poświęcony osobny wykład w dalszej części tego kursu. Zaczniemy jednak od krótkiego przypomnienia definicji równania liniowego.

Równanie liniowe

Równaniem liniowym nazywamy równanie postaci

\[\begin{aligned} ax + b = 0 \nonumber\end{aligned}\]

przy czym \(x \in R\) jest niewiadomą, czyli wielkością którą znajdujemy rozwiązując równanie liniowe. Natomiast wartości współczynników równania \(a \in R\) i \(b \in R\) są znane. Rozwiązanie równania polega na znalezieniu \(wszystkich\) liczb, które podstawione w miejsce \(x\) spełnią powyższe równanie. Funkcja

\[\begin{aligned} y = ax + b, x\in R \nonumber\end{aligned}\]

jest funkcją liniową, a parametr \(a\) jest nazywany współczynnikiem kierunkowym prostej, która jest wykresem funkcji liniowej. Współczynnik kierunkowy jest równy wartości \(tg\alpha\), gdzie \(\alpha\) jest kątem pod którym prostą \(y = ax + b\) przecina oś \(OX\) (rys...).

Oprócz znalezienia rozwiązania jakiegokolwiek równania istotne jest udzielenie odpowiedzi na następujące dwa pytania: czy równanie ma rozwiązanie?, a jeśli ma to ile jest rozwiązań?. W przypadku równania liniowego \(ax + b = 0\) z jedną niewiadomą \(x\) mamy następujące trzy przypadki:

• jeżeli \(a \neq 0\) to jest jedno rozwiązanie \(x = \frac{-b}{a}\). Funkcja liniowa \(y = ax + b\) reprezentująca równanie \(ax + b = 0\) przecina oś \(OX\) w dokładnie jednym punkcie o współrzędnych \((\frac{-b}{a},0)\).
• jeżeli \(a = 0, b \neq 0\) to wtedy nie ma rozwiązań (\(x \in \emptyset\)), a funkcja liniowa \(y = b\), będąca geometrycznym przedstawieniem tego równania nie ma punktu przecięcia z osią \(OX\), jest do niej równoległa.
• jeżeli \(a = 0\) i \(b = 0\) to wtedy jest nieskończenie wiele rozwiązań (\(x \in R\)), a będąca rozwiązaniem prosta \(y = 0\) pokrywa się z osią \(OX\).

Wszystkie te przypadki są przedstawione na poniższym rysunku.

Układ dwóch równań liniowych

Układ dwóch równań postaci

\[\begin{cases} a_1x + b_1y = c_1 \\ a_2x + b_2y = c_2 \end{cases}\]

nazywamy układem dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi \(x\) i \(y\), przy czym wymagamy aby \(a_1 \neq 0\) i/lub \(b_1 \neq 0\), oraz aby \(a_2 \neq 0\) i/lub \(b_2 \neq 0\). Jeżeli te warunki na współczynniki są spełnione to wtedy każde z dwóch równań przedstawia prostą w układzie współrzędnych \(XY\), a dwie proste na płaszczyźnie mogą mieć zero (sa wtedy równoległe), jeden (przecinają się w jednym punkcie) lub nieskończenie wiele (pokrywają się) punktów wspólnych. I dlatego układ dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi może mieć, odpowiednio: 0 rozwiązań (układ sprzeczny), dokładnie jedno rozwiązanie (układ oznaczony), lub nieskończenie wiele rozwiązań (układ nieoznaczony). Ilustracją graficzną tych przypadków jest poniższy rysunek.

W celu ułatwienia rozwiązania układu równań liniowych można wykonywać pewne operacje, z których najważniejsze to: mnożenie obu stron równania przez tę samą liczbę różną od zera oraz dodawanie bądź odejmowanie równań \(stronami\). Aby rozwiązać układ dwóch równań liniowych można zastosować jedną z czterech metod: podstawiania, przeciwnych współczynników, wyznaczników, bądź graficzną. Najbardziej ogólną jest metoda wyznaczników, ale aby z niej skorzystać potrzebna jest umiejętność znajdowania wartości wyznaczników, czym zajmiemy się w dalszej częsci zajęc gdy będziemy omawiać podstawowe działania na macierzach. A teraz pokrótce przedstawimy metody podstawiania i przeciwnych współczynników.

Metoda podstawiania

Metoda ta polega na wyznaczeniu, np. z równania \(a_1x + b_1y = c_1\) niewiadomej \(x\) (będzie ona oczywiście wyrażała się przez niewiadomą \(y\)) i wstawienia do drugiego równania. Wtedy drugie z równań będzie równaniem liniowym z jedną niewiadomą \(y\), które rozwiązujemy znanymi już sposobami. Po znalezieniu \(y\) wstawiamy je do równania pierwszego otrzymując równanie liniowe z jedną niewiadomą \(x\).

Metoda przeciwnych współczynników

Ta metoda polega na pomnożeniu jednego z dwóch równań przez taką liczbę (oczywiście różną od 0) aby po dodaniu (bądź odjęciu) równań \(stronami\) otrzymać równanie z tylko jedną niewiadomą, \(x\) bądź \(y\), które rozwiązujemy znanymi sposobami.

Układ trzech równań liniowych

Układ trzech równań postaci

\[\begin{cases} a_1x + b_1y + c_1z = d_1 \\ a_2x + b_2y + c_2z = d_2 \\ a_3x + b_3y + c_3z = d_3 \end{cases}\]

nazywamy układem trzech równań liniowych z trzema niewiadomymi \(x\), \(y\) i \(z\). Najprostszym sposobem rozwiązania takiego układu równań jest zastosowanie tzw. wzorów Cramera, które wprowadzimy w wykładach poświęconych działaniom na macierzach. Tym niemniej, układ trzech równań s trzema niewiadomymi można również rozwiązać stosując metody podstawiania lub przeciwnych współczynników.

Zadania

Stosując metodę podstawienia rozwiązać układy równań:

1. \(\begin{cases} 3x + 4y = 5 \\ 2x - 5y = 0 \end{cases}\)
2. \(\begin{cases} a + 3b = 7 \\ 5a - 4b = 1 \end{cases}\)

Stosując metodę przeciwnych współczynników rozwiązać układy równań:

1. \(\begin{cases} x + 4y = 2 \\ 2x - 4y = 3 \end{cases}\)
2. \(\begin{cases} 3a - b = 12,5 \\ 6a + 5b = 25 \end{cases}\)

Rozwiązać układy równań metodą graficzną:

1. \(\begin{cases} x - y = 2 \\ 2x - 2y = 4 \end{cases}\)
2. \(\begin{cases} x + 3y = 7 \\ 5x - 4y = 1 \end{cases}\)

Rozwiązać układy równań:

1. \(\begin{cases} x - 4y +z = 15 \\ 2x - 5y - 3z = 0 \\ -3x + y = 2 \end{cases}\)
2. \(\begin{cases} x + z = 0 \\ 5y - 4z = 11 \\ x + y + z = 0 \end{cases}\)