Z Skrypty dla studentów Ekonofizyki UPGOW
(Utworzył nową stronę „Category:KURS MATEMATYKI ==Układ współrzędnych == Funkcja przypisująca każdemu punktowi danej przestrzeni skończony ciąg liczb rzeczywistych zwanych wspó...”) |
|||
| Linia 1: | Linia 1: | ||
[[Category:KURS MATEMATYKI]] | [[Category:KURS MATEMATYKI]] | ||
| - | ==Układ współrzędnych == | + | == Układ współrzędnych == |
Funkcja przypisująca każdemu punktowi danej przestrzeni skończony ciąg liczb rzeczywistych zwanych współrzędnymi punktu. | Funkcja przypisująca każdemu punktowi danej przestrzeni skończony ciąg liczb rzeczywistych zwanych współrzędnymi punktu. | ||
| Linia 17: | Linia 17: | ||
*'''Y''' – rzędna, łac. ordinata, | *'''Y''' – rzędna, łac. ordinata, | ||
*'''Z''' – kota, łac. applicata. | *'''Z''' – kota, łac. applicata. | ||
| + | |||
| + | == Układ współrzędnych biegunowych == | ||
| + | Jest to układ wyznaczony przez punkt <math>0</math> (zwany biegunem) oraz półprosta <math>OR</math> (zwaną osią biegunową), której początek znajduje się w punkcie <math>0</math>. | ||
| + | Dowolnemu punktowi <math>P</math> przypisujemy jego współrzędne biegunowe: | ||
| + | *<math>r</math> promień wodzący punktu <math>P</math> (odległość <math>|OP|</math> od bieguna), | ||
| + | *<math>\varphi</math> amplituda punktu <math>P</math> (wartość kąta skierowanego pomiędzy półprostą <math>OR</math> a wektorem <math>\overrightarrow{OP}</math>), zakłada się, że <math>0\leqslant \varphi<2\pi</math> | ||
| + | === Przejście do układu kartezjańskiego === | ||
| + | Konwersja do układu kartezjańskiego dla danego wektora wodzącego <math>r\geqslant 0</math> i amplitudy <math>\varphi\in [0,2\pi)</math> punktu <math>P</math>określona jest przez następujące wzory | ||
| + | |||
| + | <math>x=r\cdot\cos\varphi</math> | ||
| + | |||
| + | <math>y=r\cdot\sin\varphi</math> | ||
| + | |||
| + | Jakobian przejścia wynosi | ||
| + | |||
| + | <math>\frac{D(x,y)}{D(r,\varphi)}=\left|\begin{array}{ccc} | ||
| + | \frac{\partial x}{\partial r} & \frac{\partial x}{\partial \varphi} \\ | ||
| + | \frac{\partial y}{\partial r} & \frac{\partial y}{\partial \varphi} \\ | ||
| + | \end{array}\right| = \left|\begin{array}{ccc} | ||
| + | \cos\varphi & -r\sin\varphi\\ | ||
| + | \sin\varphi & r\cos\varphi\\ | ||
| + | \end{array}\right| = r(\cos^2\varphi + sin^2 \varphi) = r | ||
| + | </math> | ||
| + | |||
| + | ===Przejście z układu kartezjańskiego=== | ||
| + | Konwersja z układu kartezjańskiego na biegunowy jest zadana przez | ||
| + | |||
| + | <math>r = \sqrt{x^2 + y^2}</math>. | ||
| + | |||
| + | Jeśli <math>r\neq 0</math>, to amplituda <math>\varphi</math> tego punktu jest dana przez | ||
| + | |||
| + | <math> | ||
| + | \varphi = | ||
| + | \begin{cases} | ||
| + | \operatorname{arctg}\;(\tfrac{y}{x}), & \mbox{gdy } x > 0 \mbox{ oraz } y \geqslant 0\\ | ||
| + | \operatorname{arctg}\;(\tfrac{y}{x}) + 2\pi, & \mbox{gdy } x > 0 \mbox{ oraz } y < 0\\ | ||
| + | \operatorname{arctg}\;(\tfrac{y}{x}) + \pi, & \mbox{gdy } x < 0\\ | ||
| + | \tfrac{\pi}{2}, & \mbox{gdy } x = 0 \mbox{ oraz } y > 0\\ | ||
| + | \tfrac{3\pi}{2}, & \mbox{gdy } x = 0 \mbox{ oraz } y < 0 | ||
| + | \end{cases} | ||
| + | </math> | ||
== Układ współrzędnych sferycznych == | == Układ współrzędnych sferycznych == | ||
| Linia 34: | Linia 75: | ||
Jakobian przejścia wynosi | Jakobian przejścia wynosi | ||
| + | |||
<math> | <math> | ||
\frac{D(x,y,z)}{D(r,\theta,\phi)}=\left|\begin{array}{ccc} | \frac{D(x,y,z)}{D(r,\theta,\phi)}=\left|\begin{array}{ccc} | ||
| Linia 45: | Linia 87: | ||
\end{array}\right|=r^2\sin\theta\ | \end{array}\right|=r^2\sin\theta\ | ||
</math> | </math> | ||
| - | + | ===Przejście z układu kartezjańskiego=== | |
Konwersja z układu kartezjańskiego na sferyczny jest zadana przez | Konwersja z układu kartezjańskiego na sferyczny jest zadana przez | ||
| Linia 68: | Linia 110: | ||
<math>z=z\,</math> | <math>z=z\,</math> | ||
| + | ===Przejście z układu kartezjańskiego=== | ||
<math>\rho=\sqrt{x^2+y^2}</math> | <math>\rho=\sqrt{x^2+y^2}</math> | ||
Wersja z 13:15, 24 sty 2014
Spis treści |
Układ współrzędnych
Funkcja przypisująca każdemu punktowi danej przestrzeni skończony ciąg liczb rzeczywistych zwanych współrzędnymi punktu.
Układ współrzędnych kartezjańskich (prostokątny)
Prostoliniowy układ współrzędnych o parach prostopadłych osi. Nazwa pojęcia pochodzi od łacińskiego nazwiska francuskiego matematyka i filozofa Kartezjusza. Układem współrzędnych kartezjańskich nazywa się układ współrzędnych, w którym zadane są:
- punkt zwany początkiem układu współrzędnych, którego wszystkie współrzędne są równe zeru,
- zestaw n parami prostopadłych osi liczbowych zwanych osiami układu współrzędnych. Dwie pierwsze osie często oznaczane są jako:
- X (zwana osią odciętych),
- Y (zwana osią rzędnych),
Liczba osi układu współrzędnych wyznacza tzw. wymiar przestrzeni.
Najczęściej układ reprezentuje przestrzeń trójwymiarową. Wówczas trzy współrzędne oznaczane są: Trzy pierwsze współrzędne są często oznaczane jako:
- X – odcięta, łac. abscissa,
- Y – rzędna, łac. ordinata,
- Z – kota, łac. applicata.
Układ współrzędnych biegunowych
Jest to układ wyznaczony przez punkt \(0\) (zwany biegunem) oraz półprosta \(OR\) (zwaną osią biegunową), której początek znajduje się w punkcie \(0\). Dowolnemu punktowi \(P\) przypisujemy jego współrzędne biegunowe:
- \(r\) promień wodzący punktu \(P\) (odległość \(|OP|\) od bieguna),
- \(\varphi\) amplituda punktu \(P\) (wartość kąta skierowanego pomiędzy półprostą \(OR\) a wektorem \(\overrightarrow{OP}\)), zakłada się, że \(0\leqslant \varphi<2\pi\)
Przejście do układu kartezjańskiego
Konwersja do układu kartezjańskiego dla danego wektora wodzącego \(r\geqslant 0\) i amplitudy \(\varphi\in [0,2\pi)\) punktu \(P\)określona jest przez następujące wzory
\(x=r\cdot\cos\varphi\)
\(y=r\cdot\sin\varphi\)
Jakobian przejścia wynosi
\(\frac{D(x,y)}{D(r,\varphi)}=\left|\begin{array}{ccc} \frac{\partial x}{\partial r} & \frac{\partial x}{\partial \varphi} \\ \frac{\partial y}{\partial r} & \frac{\partial y}{\partial \varphi} \\ \end{array}\right| = \left|\begin{array}{ccc} \cos\varphi & -r\sin\varphi\\ \sin\varphi & r\cos\varphi\\ \end{array}\right| = r(\cos^2\varphi + sin^2 \varphi) = r \)
Przejście z układu kartezjańskiego
Konwersja z układu kartezjańskiego na biegunowy jest zadana przez
\(r = \sqrt{x^2 + y^2}\).
Jeśli \(r\neq 0\), to amplituda \(\varphi\) tego punktu jest dana przez
\( \varphi = \begin{cases} \operatorname{arctg}\;(\tfrac{y}{x}), & \mbox{gdy } x > 0 \mbox{ oraz } y \geqslant 0\\ \operatorname{arctg}\;(\tfrac{y}{x}) + 2\pi, & \mbox{gdy } x > 0 \mbox{ oraz } y < 0\\ \operatorname{arctg}\;(\tfrac{y}{x}) + \pi, & \mbox{gdy } x < 0\\ \tfrac{\pi}{2}, & \mbox{gdy } x = 0 \mbox{ oraz } y > 0\\ \tfrac{3\pi}{2}, & \mbox{gdy } x = 0 \mbox{ oraz } y < 0 \end{cases} \)
Układ współrzędnych sferycznych
Dowolnemu punktowi P przypisujemy jego współrzędne sferyczne:
- promień wodzący \(r\geqslant 0\) czyli odległość punktu P od początku układu O,
- długość azymutalna \(0\leqslant\phi<2\pi\) czyli miarę kąta między rzutem prostokątnym wektora \(\overrightarrow{OP}\) na płaszczyznę OXY, a dodatnią półosią OX.
- odległość zenitalna \(0\leqslant\theta\leqslant\pi\) czyli miarę kąta między wektorem \(\overrightarrow{OP}\) a dodatnią półosią OZ.
Wszystkie współrzędne sferyczne punktu O są równe 0.
Przejście do układu kartezjańskiego
Konwersję z układu sferycznego na współrzędne kartezjańskie x, y, z punktu P określają wzory
\(x=x(r,\theta,\phi)=r\, \sin\theta \, \cos\phi,\)
\(y=y(r,\theta,\phi)=r\, \sin\theta \, \sin\phi,\)
\(z=z(r,\theta,\phi)=r\, \cos\theta.\)
Jakobian przejścia wynosi
\( \frac{D(x,y,z)}{D(r,\theta,\phi)}=\left|\begin{array}{ccc} \frac{\partial x}{\partial r} & \frac{\partial x}{\partial \theta} & \frac{\partial x}{\partial \phi} \\ \frac{\partial y}{\partial r} & \frac{\partial y}{\partial \theta} & \frac{\partial y}{\partial \phi} \\ \frac{\partial z}{\partial r} & \frac{\partial z}{\partial \theta} & \frac{\partial z}{\partial \phi} \end{array}\right|= \left|\begin{array}{ccc} \sin\theta\cos\phi & r\cos\theta\cos\phi & -r\sin\theta\sin\phi\\ \sin\theta\sin\phi & r\cos\theta\sin\phi & r\sin\theta\cos\phi\\ \cos\theta& -r\sin\theta & 0 \end{array}\right|=r^2\sin\theta\ \)
Przejście z układu kartezjańskiego
Konwersja z układu kartezjańskiego na sferyczny jest zadana przez
\(r=\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}\),
\(\theta=\mathrm{arctg} \frac{\sqrt{x^2 + y^2}}{z}=\arccos {\frac{z}{r}}\),
\(\phi=\mathrm{arctg} {\frac{y}{x}}\).
Układ współrzędnych walcowych
Każdy punkt P przestrzeni zapisuje się w postaci trójki współrzędnych \((\rho,\phi,z)\), gdzie poszczególne składowe wyrażają się następująco:
- \(\rho\,\) — odległość od osi OZ rzutu punktu P na płaszczyznę OXY,
- \(\phi\,\) — kąt pomiędzy osią dodatnią OX a odcinkiem łączącym rzut punktu P na płaszczyznę OXY z początkiem układu współrzędnych,
- \(z\,\) — odległość rzutu punktu P na oś OZ od początku układu współrzędnych.
Przejście do układu kartezjańskiego
\(x=\rho\cos\phi\,\)
\(y=\rho\sin\phi\,\)
\(z=z\,\)
Przejście z układu kartezjańskiego
\(\rho=\sqrt{x^2+y^2}\)
\(\varphi = \begin{cases} 0 & \mbox{gdy } x = 0 \mbox{ ∧ } y = 0\\ \arcsin(\frac{y}{\rho}) & \mbox{gdy } x \geq 0 \\ -\arcsin(\frac{y}{\rho}) + \pi & \mbox{gdy } x < 0\\ \end{cases} \)