Z Skrypty dla studentów Ekonofizyki UPGOW
| Linia 21: | Linia 21: | ||
* jeżeli <math>a \neq 0</math> to jest jedno rozwiązanie <math>x = \frac{-b}{a}</math>. Funkcja liniowa <math>y = ax + b</math> reprezentująca równanie <math>ax + b = 0</math> przecina oś <math>OX</math> w dokładnie jednym punkcie o współrzędnych <math>(\frac{-b}{a},0)</math>. | * jeżeli <math>a \neq 0</math> to jest jedno rozwiązanie <math>x = \frac{-b}{a}</math>. Funkcja liniowa <math>y = ax + b</math> reprezentująca równanie <math>ax + b = 0</math> przecina oś <math>OX</math> w dokładnie jednym punkcie o współrzędnych <math>(\frac{-b}{a},0)</math>. | ||
| + | |||
* jeżeli <math>a = 0, b \neq 0</math> to wtedy nie ma rozwiązań (<math>x \in \emptyset</math>), a funkcja liniowa <math>y = b</math>, będąca geometrycznym przedstawieniem tego równania nie ma punktu przecięcia z osią <math>OX</math>, jest do niej równoległa. | * jeżeli <math>a = 0, b \neq 0</math> to wtedy nie ma rozwiązań (<math>x \in \emptyset</math>), a funkcja liniowa <math>y = b</math>, będąca geometrycznym przedstawieniem tego równania nie ma punktu przecięcia z osią <math>OX</math>, jest do niej równoległa. | ||
| + | |||
* jeżeli <math>a = 0</math> i <math>b = 0</math> to wtedy jest nieskończenie wiele rozwiązań (<math>x \in R</math>), a będąca rozwiązaniem prosta <math>y = 0</math> pokrywa się z osią <math>OX</math>. | * jeżeli <math>a = 0</math> i <math>b = 0</math> to wtedy jest nieskończenie wiele rozwiązań (<math>x \in R</math>), a będąca rozwiązaniem prosta <math>y = 0</math> pokrywa się z osią <math>OX</math>. | ||
| Linia 33: | Linia 35: | ||
\end{cases}</math> | \end{cases}</math> | ||
| - | nazywamy układem dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi <math>x</math> i <math>y</math>, przy czym wymagamy aby <math>a_1 | + | nazywamy układem dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi <math>x</math> i <math>y</math>, przy czym wymagamy aby wartość przynajmniej jednego ze współczynników <math>a_1</math>, <math>b_1</math> była różna od 0 (i podobnie dla <math>a_2</math>, <math>b_2</math>). Jeżeli te warunki na współczynniki są spełnione to wtedy każde z dwóch równań przedstawia prostą w układzie współrzędnych <math>XY</math>, a dwie proste na płaszczyźnie mogą mieć zero (są wtedy równoległe), jeden (przecinają się w jednym punkcie) lub nieskończenie wiele (pokrywają się) punktów wspólnych. I dlatego układ dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi może mieć, odpowiednio: 0 rozwiązań (układ sprzeczny), dokładnie jedno rozwiązanie (układ oznaczony), lub nieskończenie wiele rozwiązań (układ nieoznaczony). Ilustracją graficzną tych przypadków są rysunki ([[Media:uk_r2a.png|Rys 2a]], [[Media:uk_r2b.png|Rys 2b]], [[Media:uk_r2c.png|Rys 2c]]).<br /> |
[[File:uk_r2a.png|thumb|250px|Rys. 2a Rozwiązania układu równań - brak rozwiązania]] | [[File:uk_r2a.png|thumb|250px|Rys. 2a Rozwiązania układu równań - brak rozwiązania]] | ||
| Linia 40: | Linia 42: | ||
| - | W celu ułatwienia rozwiązania układu równań liniowych można wykonywać pewne operacje, z których najważniejsze to: mnożenie obu stron równania przez tę samą liczbę różną od zera oraz dodawanie bądź odejmowanie równań <math>stronami</math>. Aby rozwiązać układ dwóch równań liniowych | + | W celu ułatwienia rozwiązania układu równań liniowych można wykonywać pewne operacje, z których najważniejsze to: mnożenie obu stron równania przez tę samą liczbę różną od zera oraz dodawanie bądź odejmowanie równań <math>stronami</math>. Aby rozwiązać układ dwóch równań liniowych najczęściej stosuje się jedną z czterech metod: podstawiania, przeciwnych współczynników, wyznaczników, bądź graficzną. Metodą wyznaczników zajmiemy się w dalszej części zajęć gdy będziemy omawiać podstawowe działania na macierzach, w tym obliczanie wyznaczników. A teraz pokrótce przedstawimy metody podstawiania i przeciwnych współczynników. |
=== Metoda podstawiania === | === Metoda podstawiania === | ||
| - | Metoda ta polega na wyznaczeniu, np. z równania <math>a_1x + b_1y = c_1</math> niewiadomej <math>x</math> (będzie ona oczywiście wyrażała się przez niewiadomą <math>y</math>) i wstawienia do drugiego równania. Wtedy drugie z równań będzie równaniem liniowym z jedną niewiadomą <math>y</math>, które rozwiązujemy znanymi już sposobami. Po znalezieniu <math>y</math> wstawiamy je do równania pierwszego otrzymując równanie liniowe z jedną niewiadomą <math>x</math>. | + | Metoda ta polega na wyznaczeniu, np. z równania <math>a_1x + b_1y = c_1</math> niewiadomej <math>x</math> (będzie ona oczywiście wyrażała się przez niewiadomą <math>y</math>) i wstawienia do drugiego równania. Wtedy drugie z równań będzie równaniem liniowym z jedną niewiadomą <math>y</math>, które rozwiązujemy znanymi już sposobami. Po znalezieniu <math>y</math> wstawiamy je do równania pierwszego otrzymując równanie liniowe z jedną niewiadomą <math>x</math>. \\ |
| + | |||
| + | Rozwiążemy metodą podstawiania układ dwóch równań liniowych | ||
| + | |||
| + | :<math>\begin{cases} | ||
| + | 2x + 3y = 2 \\ | ||
| + | 4x - y = 0 | ||
| + | \end{cases}</math> | ||
| + | |||
| + | Z drugiego równania znajdujemy, że <math>y = 4x</math> i wstawiamy do pierwszego otrzymując równanie z jedną niewiadomą | ||
| + | |||
| + | :<math>2x + 3 \cdot 4x = 2 </math> | ||
| + | :<math>14x = 2 </math> | ||
| + | |||
| + | któego rowiązaniem jest <math>x = \frac{1}{7}</math>. Wstawiając <math>x = \frac{1}{7}</math> do <math>y = 4x</math> otrzymujemy <math>y = \frac{4}{7}</math>. Poprawność rozwiązania można łatwo sprawdzić wstawiając otrzymane wartośći <math>x</math> i <math>y</math> do układu równań. | ||
=== Metoda przeciwnych współczynników === | === Metoda przeciwnych współczynników === | ||
| - | Ta metoda polega na pomnożeniu jednego z dwóch równań przez taką liczbę (oczywiście różną od 0) aby po dodaniu (bądź odjęciu) równań <math>stronami</math> otrzymać równanie z tylko jedną niewiadomą, <math>x</math> bądź <math>y</math>, które rozwiązujemy znanymi sposobami. | + | Ta metoda polega na pomnożeniu jednego z dwóch równań przez taką liczbę (oczywiście różną od 0) aby po dodaniu (bądź odjęciu) równań <math>stronami</math> otrzymać równanie z tylko jedną niewiadomą, <math>x</math> bądź <math>y</math>, które rozwiązujemy znanymi sposobami.\\ |
| + | |||
| + | Rozwiążemy teraz powyższy układ równań metodą przeciwnych współczynników mnożąc pierwsze z równań przez <math>-2</math> | ||
| + | |||
| + | :<math>\begin{cases} | ||
| + | -2 \cdot 2x + (-2) \cdot 3y = (-2) \cdot 2 \\ | ||
| + | 4x - y = 0 | ||
| + | \end{cases}</math> | ||
| + | |||
| + | tak aby a po dodaniu stronami otrzymać następujące równanie na zmienną <math>y</math> | ||
| + | |||
| + | :<math>-7y = -4</math> | ||
| + | |||
| + | a po rozwiązaniu <math>y = \frac{4}{7}</math> i dalej <math> x = \frac{1}{7}</math> po wstawieniu rozwiąznia <math>y</math> do z drugiego z równań. | ||
== Układ trzech równań liniowych == | == Układ trzech równań liniowych == | ||
| Linia 60: | Linia 89: | ||
\end{cases}</math> | \end{cases}</math> | ||
| - | nazywamy układem trzech równań liniowych z trzema niewiadomymi <math>x</math>, <math>y</math> i <math>z</math>. | + | nazywamy układem trzech równań liniowych z trzema niewiadomymi <math>x</math>, <math>y</math> i <math>z</math>. Taki układ równań można rozwiązać wykorzystując [[Macierze, wyznaczniki, układy równań liniowych|wzory Cramera]], które wprowadzimy w wykładach poświęconych działaniom na macierzach. Oczywiście układ trzech równań z trzema niewiadomymi można również rozwiązać stosując metody podstawiania lub przeciwnych współczynników. |
== Zadania == | == Zadania == | ||
Wersja z 19:52, 6 mar 2014
Zajmiemy się teraz układami dwóch i trzech równań liniowych, przy czym zagadnieniu rozwiązywania dowolnego układu równań liniowych będzie poświęcony osobny wykład w dalszej części tego kursu. Zaczniemy jednak od krótkiego przypomnienia definicji równania liniowego.
Spis treści |
Równanie liniowe
Równaniem liniowym nazywamy równanie postaci
\[\begin{aligned} ax + b = 0 \nonumber\end{aligned}\]
przy czym \(x \in R\) jest niewiadomą, czyli wielkością którą znajdujemy rozwiązując równanie liniowe. Natomiast wartości współczynników równania \(a \in R\) i \(b \in R\) są znane. Rozwiązanie równania polega na znalezieniu \(wszystkich\) liczb, które podstawione w miejsce \(x\) spełnią powyższe równanie. Funkcja
\[\begin{aligned} y = ax + b, x\in R \nonumber\end{aligned}\]
jest funkcją liniową, a parametr \(a\) jest nazywany współczynnikiem kierunkowym prostej, która jest wykresem funkcji liniowej. Współczynnik kierunkowy jest równy wartości \(tg\alpha\), gdzie \(\alpha\) jest kątem pod którym prostą \(y = ax + b\) przecina oś \(OX\) (Rys 1).
Oprócz znalezienia rozwiązania jakiegokolwiek równania istotne jest udzielenie odpowiedzi na następujące dwa pytania: czy równanie ma rozwiązanie?, a jeśli ma to ile jest rozwiązań?. W przypadku równania liniowego \(ax + b = 0\) z jedną niewiadomą \(x\) mamy następujące trzy przypadki:
- jeżeli \(a \neq 0\) to jest jedno rozwiązanie \(x = \frac{-b}{a}\). Funkcja liniowa \(y = ax + b\) reprezentująca równanie \(ax + b = 0\) przecina oś \(OX\) w dokładnie jednym punkcie o współrzędnych \((\frac{-b}{a},0)\).
- jeżeli \(a = 0, b \neq 0\) to wtedy nie ma rozwiązań (\(x \in \emptyset\)), a funkcja liniowa \(y = b\), będąca geometrycznym przedstawieniem tego równania nie ma punktu przecięcia z osią \(OX\), jest do niej równoległa.
- jeżeli \(a = 0\) i \(b = 0\) to wtedy jest nieskończenie wiele rozwiązań (\(x \in R\)), a będąca rozwiązaniem prosta \(y = 0\) pokrywa się z osią \(OX\).
Układ dwóch równań liniowych
Układ dwóch równań postaci
\[\begin{cases} a_1x + b_1y = c_1 \\ a_2x + b_2y = c_2 \end{cases}\]
nazywamy układem dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi \(x\) i \(y\), przy czym wymagamy aby wartość przynajmniej jednego ze współczynników \(a_1\), \(b_1\) była różna od 0 (i podobnie dla \(a_2\), \(b_2\)). Jeżeli te warunki na współczynniki są spełnione to wtedy każde z dwóch równań przedstawia prostą w układzie współrzędnych \(XY\), a dwie proste na płaszczyźnie mogą mieć zero (są wtedy równoległe), jeden (przecinają się w jednym punkcie) lub nieskończenie wiele (pokrywają się) punktów wspólnych. I dlatego układ dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi może mieć, odpowiednio: 0 rozwiązań (układ sprzeczny), dokładnie jedno rozwiązanie (układ oznaczony), lub nieskończenie wiele rozwiązań (układ nieoznaczony). Ilustracją graficzną tych przypadków są rysunki (Rys 2a, Rys 2b, Rys 2c).
W celu ułatwienia rozwiązania układu równań liniowych można wykonywać pewne operacje, z których najważniejsze to: mnożenie obu stron równania przez tę samą liczbę różną od zera oraz dodawanie bądź odejmowanie równań \(stronami\). Aby rozwiązać układ dwóch równań liniowych najczęściej stosuje się jedną z czterech metod: podstawiania, przeciwnych współczynników, wyznaczników, bądź graficzną. Metodą wyznaczników zajmiemy się w dalszej części zajęć gdy będziemy omawiać podstawowe działania na macierzach, w tym obliczanie wyznaczników. A teraz pokrótce przedstawimy metody podstawiania i przeciwnych współczynników.
Metoda podstawiania
Metoda ta polega na wyznaczeniu, np. z równania \(a_1x + b_1y = c_1\) niewiadomej \(x\) (będzie ona oczywiście wyrażała się przez niewiadomą \(y\)) i wstawienia do drugiego równania. Wtedy drugie z równań będzie równaniem liniowym z jedną niewiadomą \(y\), które rozwiązujemy znanymi już sposobami. Po znalezieniu \(y\) wstawiamy je do równania pierwszego otrzymując równanie liniowe z jedną niewiadomą \(x\). \\
Rozwiążemy metodą podstawiania układ dwóch równań liniowych
\[\begin{cases} 2x + 3y = 2 \\ 4x - y = 0 \end{cases}\]
Z drugiego równania znajdujemy, że \(y = 4x\) i wstawiamy do pierwszego otrzymując równanie z jedną niewiadomą
\[2x + 3 \cdot 4x = 2 \] \[14x = 2 \]
któego rowiązaniem jest \(x = \frac{1}{7}\). Wstawiając \(x = \frac{1}{7}\) do \(y = 4x\) otrzymujemy \(y = \frac{4}{7}\). Poprawność rozwiązania można łatwo sprawdzić wstawiając otrzymane wartośći \(x\) i \(y\) do układu równań.
Metoda przeciwnych współczynników
Ta metoda polega na pomnożeniu jednego z dwóch równań przez taką liczbę (oczywiście różną od 0) aby po dodaniu (bądź odjęciu) równań \(stronami\) otrzymać równanie z tylko jedną niewiadomą, \(x\) bądź \(y\), które rozwiązujemy znanymi sposobami.\\
Rozwiążemy teraz powyższy układ równań metodą przeciwnych współczynników mnożąc pierwsze z równań przez \(-2\)
\[\begin{cases} -2 \cdot 2x + (-2) \cdot 3y = (-2) \cdot 2 \\ 4x - y = 0 \end{cases}\]
tak aby a po dodaniu stronami otrzymać następujące równanie na zmienną \(y\)
\[-7y = -4\]
a po rozwiązaniu \(y = \frac{4}{7}\) i dalej \( x = \frac{1}{7}\) po wstawieniu rozwiąznia \(y\) do z drugiego z równań.
Układ trzech równań liniowych
Układ trzech równań postaci
\[\begin{cases} a_1x + b_1y + c_1z = d_1 \\ a_2x + b_2y + c_2z = d_2 \\ a_3x + b_3y + c_3z = d_3 \end{cases}\]
nazywamy układem trzech równań liniowych z trzema niewiadomymi \(x\), \(y\) i \(z\). Taki układ równań można rozwiązać wykorzystując wzory Cramera, które wprowadzimy w wykładach poświęconych działaniom na macierzach. Oczywiście układ trzech równań z trzema niewiadomymi można również rozwiązać stosując metody podstawiania lub przeciwnych współczynników.
Zadania
Stosując metodę podstawienia rozwiązać układy równań:
- \(\begin{cases} 3x + 4y = 5 \\ 2x - 5y = 0 \end{cases}\)
- \(\begin{cases} a + 3b = 7 \\ 5a - 4b = 1 \end{cases}\)
Stosując metodę przeciwnych współczynników rozwiązać układy równań:
- \(\begin{cases} x + 4y = 2 \\ 2x - 4y = 3 \end{cases}\)
- \(\begin{cases} 3a - b = 12,5 \\ 6a + 5b = 25 \end{cases}\)
Rozwiązać układy równań metodą graficzną:
- \(\begin{cases} x - y = 2 \\ 2x - 2y = 4 \end{cases}\)
- \(\begin{cases} x + 3y = 7 \\ 5x - 4y = 1 \end{cases}\)
Rozwiązać układy równań:
- \(\begin{cases} x - 4y +z = 15 \\ 2x - 5y - 3z = 0 \\ -3x + y = 2 \end{cases}\)
- \(\begin{cases} x + z = 0 \\ 5y - 4z = 11 \\ x + y + z = 0 \end{cases}\)