Wzory skróconego mnożenia

Z Skrypty dla studentów Ekonofizyki UPGOW

(Różnice między wersjami)
(UWAGA! Zastąpienie treści hasła bardzo krótkim tekstem: „'''W przygotowaniu'''”)
Linia 1: Linia 1:
-
[[Category:KURS MATEMATYKI]]
+
'''W przygotowaniu'''
-
Przez wzory skróconego mnożenia rozumiemy wzory pozwalające na rozwijanie wyrażeń postaci <math>(a \pm b)^n</math>, a także <math>a^n \pm b^n</math>, gdzie <math>a, b \in R</math>, a <math>n \in N</math>. Wzory te są użyteczne w przekształceniach wyrażeń w których występują wielomiany. Przypomnimy teraz wzory skróconego mnożenia dla <math>n = 2</math> oraz <math>n = 3</math>.
+
-
I tak kwadrat sumy i różnicy obliczamy następująco:
+
-
<br>
+
-
:<math>(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2</math>
+
-
 
+
-
:<math>(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2</math>
+
-
 
+
-
a sześciany sumy i różnicy:
+
-
<br>
+
-
:<math>(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3</math>
+
-
 
+
-
:<math>(a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3</math>
+
-
 
+
-
A teraz podamy wzory na różnicę kwadratów oraz sumę i różnicę sześcianów:
+
-
<br>
+
-
:<math>a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)</math>
+
-
 
+
-
:<math>a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)</math>
+
-
 
+
-
:<math>a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)</math>
+
-
 
+
-
Wzory te są używane w rozwiązywaniu równań i nierówności wielomianowych.
+
-
Zauważmy, że suma kwadratów <math>a^2 + b^2</math> nie rozkłada się na iloczyn wielomianów rzeczywistych. Jedyną możliwością jest rozłożenie na iloczyn wielomianów zespolonych, co wymaga znajomości liczb zespolonych, które będą wprowadzone w dalszej części wykładu.
+
-
 
+
-
Ponadto istnieje wzór na kwadrat sumy trzech składników, który wynika ze wzoru na kwadrat sumy.
+
-
 
+
-
:<math>(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc</math>
+
-
 
+
-
== Zadania ==
+
-
 
+
-
#Obliczyć stosując wzory skróconego mnożenia:
+
-
##<math>(x + 5)^3</math>
+
-
##<math>(2a - 3x)^2</math>
+
-
##<math>\sqrt{6-2\sqrt{5}}\cdot\sqrt{6+2\sqrt{5}}</math>
+
-
##<math>(2\sqrt{3}-\sqrt{5})\cdot(2\sqrt{3}+\sqrt{5})</math>
+
-
##<math>-4\cdot(3-x)^2+(3x-2)(3x+2)</math>
+
-
##<math>4(3x-4)(2x+5)-(x-y)^2+3y(2-5x</math>) dla <math>x=2, y=3</math>
+
-
##<math>(\sqrt{3}+\sqrt{2})(\sqrt{3}-\sqrt{2})-(\sqrt{2}+3)^2</math>
+
-
##<math>(2a^2-z^3)^3-(a^3-2)(a^3+2)</math>
+
-
#Pokazać, że kwadrat sumy trzech składników wynika ze wzoru na kwadrat sumy.
+

Wersja z 08:26, 17 mar 2014

W przygotowaniu

Źródło „http://172.16.3.1/ekonofizyka/index.php/Wzory_skr%C3%B3conego_mno%C5%BCenia”