|
|
| Linia 1: |
Linia 1: |
| - | [[Category:KURS MATEMATYKI]]
| + | '''W przygotowaniu''' |
| - | Zajmiemy się teraz układami dwóch i trzech równań liniowych, przy czym zagadnieniu rozwiązywania dowolnego układu równań liniowych będzie poświęcony osobny wykład w dalszej części tego kursu. Zaczniemy jednak od krótkiego przypomnienia definicji równania liniowego.
| + | |
| - | | + | |
| - | == Równanie liniowe ==
| + | |
| - | | + | |
| - | Równaniem liniowym nazywamy równanie postaci
| + | |
| - | | + | |
| - | :<math>\begin{aligned}
| + | |
| - | ax + b = 0 \nonumber\end{aligned}</math>
| + | |
| - | | + | |
| - | przy czym <math>x \in R</math> jest niewiadomą, czyli wielkością którą znajdujemy rozwiązując równanie liniowe. Natomiast wartości współczynników równania <math>a \in R</math> i <math>b \in R</math> są znane. Rozwiązanie równania polega na znalezieniu <math>wszystkich</math> liczb, które podstawione w miejsce <math>x</math> spełnią powyższe równanie. Funkcja
| + | |
| - | | + | |
| - | :<math>\begin{aligned}
| + | |
| - | y = ax + b, x\in R \nonumber\end{aligned}</math>
| + | |
| - | | + | |
| - | jest funkcją liniową, a parametr <math>a</math> jest nazywany współczynnikiem kierunkowym prostej, która jest wykresem funkcji liniowej. Współczynnik kierunkowy jest równy wartości <math>tg\alpha</math>, gdzie <math>\alpha</math> jest kątem pod którym prostą <math>y = ax + b</math> przecina oś <math>OX</math> ([[Media:uk_r1.png|Rys 1]]).<br />
| + | |
| - | | + | |
| - | [[File:uk_r1.png|thumb|250px|Rys. 1 Prosta w karteziańskim układzie współrzędnych]]
| + | |
| - | | + | |
| - | Oprócz znalezienia rozwiązania jakiegokolwiek równania istotne jest udzielenie odpowiedzi na następujące dwa pytania: czy równanie ma rozwiązanie?, a jeśli ma to ile jest rozwiązań?. W przypadku równania liniowego <math>ax + b = 0</math> z jedną niewiadomą <math>x</math> mamy następujące trzy przypadki:
| + | |
| - | | + | |
| - | * jeżeli <math>a \neq 0</math> to jest jedno rozwiązanie <math>x = \frac{-b}{a}</math>. Funkcja liniowa <math>y = ax + b</math> reprezentująca równanie <math>ax + b = 0</math> przecina oś <math>OX</math> w dokładnie jednym punkcie o współrzędnych <math>(\frac{-b}{a},0)</math>.
| + | |
| - | | + | |
| - | * jeżeli <math>a = 0, b \neq 0</math> to wtedy nie ma rozwiązań (<math>x \in \emptyset</math>), a funkcja liniowa <math>y = b</math>, będąca geometrycznym przedstawieniem tego równania nie ma punktu przecięcia z osią <math>OX</math>, jest do niej równoległa.
| + | |
| - | | + | |
| - | * jeżeli <math>a = 0</math> i <math>b = 0</math> to wtedy jest nieskończenie wiele rozwiązań (<math>x \in R</math>), a będąca rozwiązaniem prosta <math>y = 0</math> pokrywa się z osią <math>OX</math>.
| + | |
| - | | + | |
| - | == Układ dwóch równań liniowych ==
| + | |
| - | | + | |
| - | Układ dwóch równań postaci
| + | |
| - | | + | |
| - | :<math>\begin{cases}
| + | |
| - | a_1x + b_1y = c_1 \\
| + | |
| - | a_2x + b_2y = c_2
| + | |
| - | \end{cases}</math>
| + | |
| - | | + | |
| - | nazywamy układem dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi <math>x</math> i <math>y</math>, przy czym wymagamy aby wartość przynajmniej jednego ze współczynników <math>a_1</math>, <math>b_1</math> była różna od 0 (i podobnie dla <math>a_2</math>, <math>b_2</math>). Jeżeli te warunki na współczynniki są spełnione to wtedy każde z dwóch równań przedstawia prostą w układzie współrzędnych <math>XY</math>, a dwie proste na płaszczyźnie mogą mieć zero (są wtedy równoległe), jeden (przecinają się w jednym punkcie) lub nieskończenie wiele (pokrywają się) punktów wspólnych. I dlatego układ dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi może mieć, odpowiednio: 0 rozwiązań (układ sprzeczny), dokładnie jedno rozwiązanie (układ oznaczony), lub nieskończenie wiele rozwiązań (układ nieoznaczony). Ilustracją graficzną tych przypadków są rysunki ([[Media:uk_r2a.png|Rys 2a]], [[Media:uk_r2b.png|Rys 2b]], [[Media:uk_r2c.png|Rys 2c]]).<br />
| + | |
| - | | + | |
| - | [[File:uk_r2a.png|thumb|250px|Rys. 2a Rozwiązania układu równań - brak rozwiązania]]
| + | |
| - | [[File:uk_r2b.png|thumb|250px|Rys. 2b Rozwiązania układu równań - jedno rozwiązanie]]
| + | |
| - | [[File:uk_r2c.png|thumb|250px|Rys. 2c Rozwiązania układu równań - nieskończenie wiele rozwiązań]]
| + | |
| - | | + | |
| - | | + | |
| - | W celu ułatwienia rozwiązania układu równań liniowych można wykonywać pewne operacje, z których najważniejsze to: mnożenie obu stron równania przez tę samą liczbę różną od zera oraz dodawanie bądź odejmowanie równań <math>stronami</math>. Aby rozwiązać układ dwóch równań liniowych najczęściej stosuje się jedną z czterech metod: podstawiania, przeciwnych współczynników, wyznaczników, bądź graficzną. Metodą wyznaczników zajmiemy się w dalszej części zajęć gdy będziemy omawiać podstawowe działania na macierzach, w tym obliczanie wyznaczników. A teraz pokrótce przedstawimy metody podstawiania i przeciwnych współczynników.
| + | |
| - | | + | |
| - | === Metoda podstawiania ===
| + | |
| - | | + | |
| - | Metoda ta polega na wyznaczeniu, np. z równania <math>a_1x + b_1y = c_1</math> niewiadomej <math>x</math> (będzie ona oczywiście wyrażała się przez niewiadomą <math>y</math>) i wstawienia do drugiego równania. Wtedy drugie z równań będzie równaniem liniowym z jedną niewiadomą <math>y</math>, które rozwiązujemy znanymi już sposobami. Po znalezieniu <math>y</math> wstawiamy je do równania pierwszego otrzymując równanie liniowe z jedną niewiadomą <math>x</math>. \\
| + | |
| - | | + | |
| - | Rozwiążemy metodą podstawiania układ dwóch równań liniowych
| + | |
| - | | + | |
| - | :<math>\begin{cases}
| + | |
| - | 2x + 3y = 2 \\
| + | |
| - | 4x - y = 0
| + | |
| - | \end{cases}</math>
| + | |
| - | | + | |
| - | Z drugiego równania znajdujemy, że <math>y = 4x</math> i wstawiamy do pierwszego otrzymując równanie z jedną niewiadomą
| + | |
| - | | + | |
| - | :<math>2x + 3 \cdot 4x = 2 </math>
| + | |
| - | :<math>14x = 2 </math>
| + | |
| - | | + | |
| - | któego rowiązaniem jest <math>x = \frac{1}{7}</math>. Wstawiając <math>x = \frac{1}{7}</math> do <math>y = 4x</math> otrzymujemy <math>y = \frac{4}{7}</math>. Poprawność rozwiązania można łatwo sprawdzić wstawiając otrzymane wartośći <math>x</math> i <math>y</math> do układu równań.
| + | |
| - | | + | |
| - | === Metoda przeciwnych współczynników ===
| + | |
| - | | + | |
| - | Ta metoda polega na pomnożeniu jednego z dwóch równań przez taką liczbę (oczywiście różną od 0) aby po dodaniu (bądź odjęciu) równań <math>stronami</math> otrzymać równanie z tylko jedną niewiadomą, <math>x</math> bądź <math>y</math>, które rozwiązujemy znanymi sposobami.\\
| + | |
| - | | + | |
| - | Rozwiążemy teraz powyższy układ równań metodą przeciwnych współczynników mnożąc pierwsze z równań przez <math>-2</math>
| + | |
| - | | + | |
| - | :<math>\begin{cases}
| + | |
| - | -2 \cdot 2x + (-2) \cdot 3y = (-2) \cdot 2 \\
| + | |
| - | 4x - y = 0
| + | |
| - | \end{cases}</math>
| + | |
| - | | + | |
| - | tak aby a po dodaniu stronami otrzymać następujące równanie na zmienną <math>y</math>
| + | |
| - | | + | |
| - | :<math>-7y = -4</math>
| + | |
| - | | + | |
| - | a po rozwiązaniu <math>y = \frac{4}{7}</math> i dalej <math> x = \frac{1}{7}</math> po wstawieniu rozwiąznia <math>y</math> do z drugiego z równań.
| + | |
| - | | + | |
| - | == Układ trzech równań liniowych ==
| + | |
| - | | + | |
| - | Układ trzech równań postaci
| + | |
| - | | + | |
| - | :<math>\begin{cases}
| + | |
| - | a_1x + b_1y + c_1z = d_1 \\
| + | |
| - | a_2x + b_2y + c_2z = d_2 \\
| + | |
| - | a_3x + b_3y + c_3z = d_3
| + | |
| - | \end{cases}</math>
| + | |
| - | | + | |
| - | nazywamy układem trzech równań liniowych z trzema niewiadomymi <math>x</math>, <math>y</math> i <math>z</math>. Taki układ równań można rozwiązać wykorzystując [[Macierze, wyznaczniki, układy równań liniowych|wzory Cramera]], które wprowadzimy w wykładach poświęconych działaniom na macierzach. Oczywiście układ trzech równań z trzema niewiadomymi można również rozwiązać stosując metody podstawiania lub przeciwnych współczynników.
| + | |
| - | | + | |
| - | == Zadania ==
| + | |
| - | | + | |
| - | Stosując metodę podstawienia rozwiązać układy równań:
| + | |
| - | | + | |
| - | # <math>\begin{cases}
| + | |
| - | 3x + 4y = 5 \\
| + | |
| - | 2x - 5y = 0
| + | |
| - | \end{cases}</math>
| + | |
| - | # <math>\begin{cases}
| + | |
| - | a + 3b = 7 \\
| + | |
| - | 5a - 4b = 1
| + | |
| - | \end{cases}</math>
| + | |
| - | | + | |
| - | Stosując metodę przeciwnych współczynników rozwiązać układy równań:
| + | |
| - | | + | |
| - | # <math>\begin{cases}
| + | |
| - | x + 4y = 2 \\
| + | |
| - | 2x - 4y = 3
| + | |
| - | \end{cases}</math>
| + | |
| - | # <math>\begin{cases}
| + | |
| - | 3a - b = 12,5 \\
| + | |
| - | 6a + 5b = 25
| + | |
| - | \end{cases}</math>
| + | |
| - | | + | |
| - | Rozwiązać układy równań metodą graficzną:
| + | |
| - | | + | |
| - | # <math>\begin{cases}
| + | |
| - | x - y = 2 \\
| + | |
| - | 2x - 2y = 4
| + | |
| - | \end{cases}</math>
| + | |
| - | # <math>\begin{cases}
| + | |
| - | x + 3y = 7 \\
| + | |
| - | 5x - 4y = 1
| + | |
| - | \end{cases}</math>
| + | |
| - | | + | |
| - | Rozwiązać układy równań:
| + | |
| - | | + | |
| - | # <math>\begin{cases}
| + | |
| - | x - 4y +z = 15 \\
| + | |
| - | 2x - 5y - 3z = 0 \\
| + | |
| - | -3x + y = 2
| + | |
| - | \end{cases}</math>
| + | |
| - | # <math>\begin{cases}
| + | |
| - | x + z = 0 \\
| + | |
| - | 5y - 4z = 11 \\
| + | |
| - | x + y + z = 0
| + | |
| - | \end{cases}</math>
| + | |