|
|
| Linia 1: |
Linia 1: |
| - | [[Category:KURS MATEMATYKI]]
| + | '''W przygotowaniu''' |
| - | == Zasada indukcji matematycznej ==
| + | |
| - | Zasada indukcji matematycznej jest stosowana do dowodzenia twierdzeń i wykazywania prawdziwości wzorów dotyczących liczb naturalnych. Można ją przedstawić w następujący sposób
| + | |
| - | #jeżeli dla pewnej ustalonej liczby naturalnej <math>n</math> dane jest zdanie <math>Z(m)</math> (może to być również wzór lub twierdzenie) dla każdej liczby naturalnej <math>m \geq n</math>
| + | |
| - | #jeżeli zdanie <math>Z(n)</math> jest prawdziwe
| + | |
| - | #oraz jeżeli dla dowolnej liczby naturalnej <math>m \geq n</math>, prawdziwa jest implikacja (czyli wynikanie)
| + | |
| - | :<math>Z(m)\quad \implies \quad Z(m+1).</math>
| + | |
| - | to wtedy zdanie <math>Z(m)</math> jest prawdziwe dla każdej liczby naturalnej <math>m \geq n</math>.
| + | |
| - | | + | |
| - | <!--
| + | |
| - | == Indukcją zupełna ==
| + | |
| - | Niech <math>T(n)</math> jest pewnym wyrażeniem, w którym jedyną zmienną jest n i dziedzina tej zmiennej zawiera wszystkie liczby naturalne. Załóżmy, że
| + | |
| - | #dla każdej liczby naturalnej <math>n\in \mathbb N </math> zachodzi:
| + | |
| - | :<math> (\forall m<n)(T(m))\quad \implies \quad T(n)</math>
| + | |
| - | Wówczas <math>T(n)</math> jest prawdziwe dla każdego <math>n\in \mathbb N</math>.
| + | |
| - | -->
| + | |
| - | | + | |
| - | == Praktyczne stosowanie indukcji matematycznej ==
| + | |
| - | W praktyce idukcję matematyczną stosujemy w nastepujących trzech krokach:
| + | |
| - | #Udowadniamy prawdziwość twierdzenia dla pewnej liczby naturalnej <math>n</math>, przy czym najczęściej <math>n=1</math>. Do udowodnienia twierdzenia dla <math>n</math> zazwyczaj wystarcza wstawienie <math>n</math> do wzoru, który mamy dowieść i sprawdzenie, czy lewa strona wzoru jest równa prawej.
| + | |
| - | #Zakładamy, ze twierdzenie jest prawdziwe dla pewnej liczby naturalnej <math>m = n</math>. Jest to założenie indukcyjne.
| + | |
| - | #Udowadniamy prawdziwość twierdzenia dla <math>m+1</math>, korzystając z założenia indukcyjnego, czyli z prawdziwości twierdzenia dla <math>m</math>. Jest to teza indukcyjna. Tym samym wykazujemy, że prawdziwa jest implikacja <math> Z(m) \implies Z(m+1)</math>.
| + | |
| - | | + | |
| - | Udowodnienie tezy indukcyjnej jest równoważne z prawdziwością zdania (twierdzenia, wzoru) dla wszystkich liczb naturalnych, jeżeli udowodniliśmy prawdziwość zdania (twierdzenia, wzoru) dla <math>n=1</math>.
| + | |
| - | | + | |
| - | == Przykład wykorzystania indukcji matematycznej ==
| + | |
| - | *Zadanie
| + | |
| - | Korzystając z zasady indukcji matematycznej wykaż, że dla każdej liczby naturalnej <math>n \geq 1 </math> prawdziwe jest równanie
| + | |
| - | :<math>1+2+3+\ldots+n=\frac{n(n+1)}{2}</math>
| + | |
| - | | + | |
| - | *Rozwiązanie
| + | |
| - | | + | |
| - | # Sprawdzamy równanie dla <math>n=1</math>
| + | |
| - | #: :<math>L=1</math>
| + | |
| - | #: :<math>P=\frac{\color{green}{1}(\color{green}{1}+1)}{2}=1</math>
| + | |
| - | # Zakładamy, że prawdziwe jest rówanie dla pewnej liczby <math>\color{green}{k} \geq 1 </math>
| + | |
| - | #: :<math>1+2+3+\ldots+\color{green}{k}=\frac{\color{green}{k}(\color{green}{k}+1)}{2}</math>
| + | |
| - | # Dowodzimy prawdziwości równania dla <math>k+1</math>
| + | |
| - | #: :<math>1+2+3+\ldots+k+\color{green}{k+1}=\frac{(\color{green}{k+1})(\color{green}{k+1}+1)}{2}</math>
| + | |
| - | | + | |
| - | :<math>L=1+2+3+\ldots+k+\color{green}{k+1}=</math>
| + | |
| - | :korzystamy z punktu 2
| + | |
| - | :<math>=\frac{k(k+1)}{2}+(k+1)=\frac{k(k+1)}{2}+\frac{2(k+1)}{2}=\frac{k(k+1)+2(k+1)}{2}=</math>
| + | |
| - | :<math>=\frac{(k+1)(k+2)}{2}=P</math>
| + | |
| - | :<math>L=P</math>
| + | |
| - | | + | |
| - | Udowodniliśmy, że jeżeli równanie jest prawdziwe dla liczby <math>k</math>, to jest ono prawdziwe dla liczby <math>k+1</math>. Oznacza to, że jeżeli jest prawdziwie dla liczby <math>1</math> to jest ono prawdziwe dla wszystkich liczb naturalnych.
| + | |
| - | | + | |
| - | == Zadania ==
| + | |
| - | #Korzystając z zasady indukcji matematycznej wykaż, że dla dowolnego <math> n\in\mathbb{N}</math> prawdziwa jest równość:
| + | |
| - | #: :<math>1^3+3^3+\ldots +(2n+1)^3=2(n+1)^4-(n+1)^2\; .\,</math>
| + | |
| - | #Korzystając z zasady indukcji matematycznej wykaż, że dla dowolnego <math> n\in\mathbb{N}</math> i <math>n \geq 2</math>, prawdziwa jest równość:
| + | |
| - | #: :<math>\frac{1}{2^2-1}+\frac{1}{3^2-1}+\ldots\frac{1}{n^2-1}=\frac{(3n+2)(n-1)}{4n(n+1)}\; .\,</math>
| + | |
| - | #Korzystając z zasady indukcji matematycznej wykaż, że dla dowolnego <math> n\in\mathbb{N}</math> i <math>n \geq 2</math>, zachodzi nierówność:
| + | |
| - | #: :<math>\frac{\sqrt{2}}{1}+\frac{\sqrt{3}}{2}+\ldots\frac{\sqrt{n}}{n-1}>\sqrt{n-1}\; .\,</math>
| + | |
| - | #Wykazać, że dla dowolnego <math>n\in\mathbb{N}\,</math> i <math>n\geq 2\,</math> liczba postaci <math>4^n+6n-10\,</math> jest podzielna przez '''''9'''''.
| + | |