Macierze, wyznaczniki, układy równań liniowych

Z Skrypty dla studentów Ekonofizyki UPGOW

(Różnice między wersjami)
(→Zadania)
(UWAGA! Zastąpienie treści hasła bardzo krótkim tekstem: „'''W przygotowaniu'''”)
 
(Nie pokazano 4 wersji pomiędzy niniejszymi.)
Linia 1: Linia 1:
-
= Macierze, wyznaczniki, układy równań liniowych =
+
'''W przygotowaniu'''
-
 
+
-
W jednym z poprzednich wykładów zajmowaliśmy się układami dwóch i trzech równań liniowych. Teraz uogólnimy nasze rozważania na przypadek układu <math>n</math> równań linowych, przy czym ograniczymy się do przypadku w którym liczba niewiadomych <math>n</math> jest równa liczbie równań. Aby takie uogólnienie było możliwe musimy wprowadzić pojęcie wektora, macierzy i wyznacznika. Rozdział ten zakończymy równaniem charakterystycznym macierzy i dyskusją problemu własnego macierzy. Układy równań liniowych znajdują szerokie zastosowanie w naukach przyrodniczych, technicznych i w ekonomii, co wynika m.in z tego, że zależności liniowe pomimo tego, że najprostsze opisują wiele zjawisk.
+
-
 
+
-
== Macierze ==
+
-
 
+
-
W wielu przypadkach wygodnie jest użycie tablic liczb, w których poszczególne pozycje w tablicy są określone przez dwa wskaźniki (indeksy), które jednoznacznie definiują położenie danego elementu w tablicy. Takie tablice nazywamy macierzami. Poniższa macierz <math>\mathbf{A}</math> ma <math>n</math> wierszy i <math>m</math> kolumn
+
-
 
+
-
:<math>\mathbf{A} = \left( \begin{array}{cccccc}
+
-
a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1j} & \ldots & a_{1m} \\
+
-
a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2j} & \ldots & a_{2m} \\
+
-
\vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\
+
-
a_{i1} & a_{i2} & \ldots & a_{ij} & \ldots & a_{im} \\
+
-
\vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\
+
-
a_{n1} & a_{n2} & \ldots & a_{nj} & \ldots & a_{nm}
+
-
\end{array} \right)</math>
+
-
 
+
-
Macierz <math>\mathbf{A}</math> ma <math>n \times m</math> elementów, a każdy z nich <math>a_{ij}</math> jest opisywany przez dwa wskaźniki, z których pierwszy podaje numer wiersza, a drugi numer kolumny. Co oznacza, że element <math>a_{ij}</math> leży na przecięciu <math>i-tego</math> wiersza i <math>j-tej</math> kolumny. Jeżeli <math>n = m</math> to wtedy macierz <math>\mathbf{A}</math> jest macierzą kwadratową (równa liczba wierszy o kolumn), a jeżeli <math>n \neq m</math> to jest macierzą prostokątną.<br />
+
-
 
+
-
 
+
-
Wektor jest szczególnym przypadkiem macierzy jednokolumnowej lub jednowierszowej. Wektor jednokolumnowy <math>\mathbf{X}</math>
+
-
 
+
-
:<math>\mathbf{x} = \left( \begin{array}{c}
+
-
x_{1} \\
+
-
x_{2} \\
+
-
\vdots \\
+
-
x_{i}  \\
+
-
\vdots \\
+
-
x_{n}
+
-
\end{array} \right)</math>
+
-
 
+
-
ma <math>n</math> składowych.<br />
+
-
 
+
-
 
+
-
Inną ważną macierzą jest macierz jednostkowa <math>\mathbf{I}</math>, która jest macierzą kwadratową zawierającą na głównej przekątnej <math>jedynki</math>, a poza główną przekątną <math>zera</math>
+
-
 
+
-
:<math>\mathbf{I} = \left( \begin{array}{cccccc}
+
-
1 & 0 & \ldots & 0 & \ldots & 0 \\
+
-
0 & 1 & \ldots & 0 & \ldots & 0 \\
+
-
\vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\
+
-
0 & 0 & \ldots & 1 & \ldots & 0 \\
+
-
\vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\
+
-
0 & 0 & \ldots & 0 & \ldots & 1
+
-
\end{array} \right)</math>
+
-
 
+
-
Macierz jednostkowa może być także zapisana przy pomocy delty Kroneckera <math>\delta_{ij}</math>, która jest definiowana w następujący sposób
+
-
 
+
-
:<math>\delta_{ij}=
+
-
\begin{cases}
+
-
1 & \qquad \textrm{dla i}=\textrm{j} \\
+
-
0 & \qquad \textrm{dla i} \neq \textrm{j}
+
-
\end{cases}</math>
+
-
 
+
-
Niektóre działania algebraiczne mogą być wykonywane na macierzach, a ponadto definiuje się działania na macierzach, które nie mają odpowiedników w działaniach na liczbach. Omówimy je teraz pokrótce.
+
-
 
+
-
=== Dodawanie/odejmowanie macierzy ===
+
-
 
+
-
Aby można wykonać dodawanie/odejmowanie dwóch macierzy <math>\mathbf{A}</math> i <math>\mathbf{B}</math> muszą one mieć takie same wymiary <math>n \times m</math>, a elementy macierzy <math>\mathbf{C} = \mathbf{A} \pm \mathbf{B}</math> są równe
+
-
 
+
-
:<math>\begin{aligned}
+
-
c_{ij} = a_{ij} \pm b_{ij}, \qquad i = 1,\ldots,n, \quad j = 1,\ldots,m. \nonumber\end{aligned}</math>
+
-
 
+
-
=== Mnożenie macierzy przez liczbę <math>k</math> ===
+
-
 
+
-
Polega na mnożeniu każdego elementu macierzy <math>\mathbf{A}</math> przez liczbę <math>k</math>. I dlatego element <math>ij</math> macierzy <math>k\mathbf{A}</math> jest równy
+
-
 
+
-
:<math>\begin{aligned}
+
-
k a_{ij}, \qquad i = 1,\ldots,n, \quad j = 1,\ldots,m. \nonumber\end{aligned}</math>
+
-
 
+
-
=== Mnożenie macierzy ===
+
-
 
+
-
Ta operacja dla macierzy różni się od mnożenia liczb. Po pierwsze nie każde dwie macierze można pomnożyć. Mnożenie macierzy <math>\mathbf{A} \cdot \mathbf{B}</math> można wykonać jedynie wtedy gdy liczba kolumn macierzy <math>\mathbf{A}</math> jest równa liczbie wierszy macierzy <math>\mathbf{B}</math>. A po drugie elementy macierzy <math>\mathbf{C} = \mathbf{A} \cdot \mathbf{B}</math> nie są prostym iloczynem elementów mnożonych macierzy. I tak w wyniku mnożenia macierzy <math>\mathbf{A}</math> o wymiarach <math>n \times m</math> przez macierz <math>\mathbf{B}</math> o wymiarach <math>m \times l</math> otrzymujemy macierz <math>\mathbf{C}</math> o wymiarze <math>n \times l</math>, której element <math>c_{ik}</math> wyraża się przez następującą sumę
+
-
 
+
-
:<math>\begin{aligned}
+
-
c_{ik} = \sum_{j=1}^{m} a_{ij} b_{jk}. \nonumber\end{aligned}</math>
+
-
 
+
-
Widzimy, że element <math>c_{ik}</math> powstaje przez pomnożenie wiersza <math>i</math> macierzy <math>\mathbf{A}</math> przez kolumnę <math>k</math> macierzy <math>\mathbf{B}</math>, przy czym <math>pomnożenie</math> oznacza sumowanie iloczynów odpowiednich elementów.<br />
+
-
 
+
-
 
+
-
przykład z wykładu,
+
-
 
+
-
=== Transpozycja macierzy ===
+
-
 
+
-
Operacja ta, nie mająca odpowiednika w działanaich na liczbach, polega na zamianie miejscami wierszy i kolumn macierzy. I tak macierz transponowana <math>\mathbf{A^T}</math> do macierzy <math>\mathbf{A}</math>, która ma <math>n</math> wierszy i <math>m</math> kolumn, będzie miała <math>n</math> kolumn i <math>m</math> wierszy, przy czym
+
-
 
+
-
:<math>\begin{aligned}
+
-
a_{ij}^T = a_{ji}. \nonumber\end{aligned}</math>
+
-
 
+
-
przykład z wykładu
+
-
 
+
-
== Wyznacznik macierzy ==
+
-
 
+
-
Wyznacznik macierzy kwadratowej jest to liczba przyporządkowana tej macierzy. Wyznaczniki oblicza się jedynie dla macierzy kwadratowych. Stosuje się następujące oznaczenia wyznacznika macierzy <math>\mathbf{A}</math>:
+
-
 
+
-
:<math>\begin{aligned}
+
-
det\mathbf{A} = \mid \mathbf{A} \mid. \nonumber\end{aligned}</math>
+
-
 
+
-
Metodą rozwinięcia Laplace’a (rozwinięcia względem wiersza lub kolumny) można obliczyć wyznacznik macierzy o dowolnym wymiarze. Metoda ta zostanie omówiona później. Teraz zajmiemy się obliczaniem wyznaczników macierzy kwadratowych o liczbie wierszy/kolumn <math>n \leq 3</math>. I tak dla <math>n = 1</math> (macierz ma wtedy tylko jeden element <math>a_{11}</math>)
+
-
 
+
-
:<math>\left| \mathbf{A} \right| = a_{11}</math>
+
-
 
+
-
Dla <math>n = 2</math>
+
-
 
+
-
:<math>\left| \begin{array}{cc}
+
-
a_{11} & a_{12} \\
+
-
a_{21} & a_{22} \\
+
-
\end{array} \right| = a_{11}a_{22} - a_{12}a_{21}</math>
+
-
 
+
-
A dla <math>n = 3</math> stosujemy metodę Sarrusa
+
-
 
+
-
:<math>\left| \begin{array}{ccc}
+
-
a_{11} & a_{12} & a_{13}\\
+
-
a_{21} & a_{22} & a_{23}\\
+
-
a_{31} & a_{32} & a_{33}\\
+
-
\end{array} \right| = a_{11}a_{22}a_{33} + a_{21}a_{32}a_{13} + a_{31}a_{12}a_{23}- a_{13}a_{22}a_{31} - a_{23}a_{32}a_{11} - a_{33}a_{12}a_{21}</math>
+
-
 
+
-
Aby wprowadzić metodę rozwinięcia Laplace’a obliczania wyznacznika macierzy <math>\mathbf{A}</math> o wymiarze <math>n \times n</math> musimy wprowadzić dwa pojęcia: minor <math>M_{ij}</math>, czyli podwyznacznik oraz dopełnienie algebraiczne macierzy <math>A_{ij}</math>. Minorem <math>M_{ij}</math> nazywamy wyznacznik macierzy, która powstaje z macierzy <math>\mathbf{A}</math> po wykreśleniu <math>i-tego</math> wiersza i <math>j-tej</math> kolumny (oczywiście otrzymamy wtedy macierz o wymiarach <math>n-1 \times n-1</math>):
+
-
 
+
-
:<math>M_{ij} = \left| \begin{array}{cccccc}
+
-
a_{11} & \ldots & a_{1j-1} & a_{1j+1} & \ldots & a_{1n} \\
+
-
a_{21} & \ldots & a_{2j-1} & a_{2j+1} & \ldots & a_{2n} \\
+
-
\vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\
+
-
a_{i-11} & \ldots & a_{i-1j-1} & a_{i-1j+1} & \ldots & a_{i-1n} \\
+
-
a_{i+11} & \ldots & a_{i+1j-1} & a_{i+1j+1} & \ldots & a_{i+1n} \\
+
-
\vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\
+
-
a_{n1} & \ldots & a_{nj-1} & a_{nj+1} & \ldots & a_{nn} \\
+
-
\end{array} \right|</math>
+
-
 
+
-
Natomiast dopełnienie algebraiczne <math>A_{ij}</math> to minor <math>M_{ij}</math> pomnożony przez czynnik <math>(-1)^{i+j}</math>, czyli
+
-
 
+
-
:<math>\begin{aligned}
+
-
A_{ij} = (-1)^{i+j} M_{ij} \nonumber\end{aligned}</math>
+
-
 
+
-
I podobnie jak minor dopełnienie algebraiczne jest liczbą. Mając dopełnienie algebraiczne możemy obliczyć wyznacznik macierzy <math>\mathbf{A}</math>:
+
-
 
+
-
<math>\begin{aligned}
+
-
|\mathbf{A}| = \sum_{j=1}^{n} a_{ij} A_{ij} = \sum_{i=1}^{n} a_{ij} A_{ij}. \nonumber\end{aligned}</math>
+
-
 
+
-
Można pokazać, że wartość takiego wyrażenia (czyli wartość wyznacznika) nie zależy od tego względem którego wiersza/kolumny dokonamy rozwinięcia. Jak widać wyznacznik otrzymujemy sumując iloczyny elementów macierzy <math>a_{ij}</math> i dopełnień algebraicznych <math>A_{ij}</math>. Jako przykład podamy obliczanie wyznacznika macierzy <math>4 \times 4</math> przez rozwinięcie względem pierwszego wiersza
+
-
 
+
-
:<math>\left| \begin{array}{cccc}
+
-
a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14}\\
+
-
a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24}\\
+
-
a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34}\\
+
-
a_{41} & a_{42} & a_{43} & a_{44},\\
+
-
\end{array} \right| = a_{11}A_{22} + a_{12}A_{12} + a_{13}A_{13} + a_{14}A_{14}</math>
+
-
 
+
-
gdzie np. dopełnienie algebraiczne <math>A_{11}</math>, którego minor <math>M_{11}</math> powstał z wykreślenia pierwszego wiersza i pierwszej kolumny macierzy <math>\mathbf{A}</math>
+
-
 
+
-
:<math>A_{11} = \left| \begin{array}{ccc}
+
-
a_{22} & a_{23} & a_{24}\\
+
-
a_{32} & a_{33} & a_{34}\\
+
-
a_{42} & a_{43} & a_{44}\\
+
-
\end{array} \right| (-1)^{1+1}</math>
+
-
 
+
-
można obliczyć stosując metodę Sarrusa.
+
-
 
+
-
Wyznaczniki mają wiele pożytecznych własności, z których najważniejsze to:
+
-
 
+
-
* wartość wyznacznika się nie zmienia gdy elementy dowolnego wiersza/kolumny dodamy bądź odejmiemy od elementów innego wiersza/kolumny,
+
-
* wartość wyznacznika się nie zmieni gdy dowolny wiersz/kolumnę pomnożymy przez liczbę różną od zero,
+
-
* wartość wyznacznika jest równa zero gdy jego dwa wiersze, bądź dwie kolumny są identyczne,
+
-
* wartość wyznacznika jest równa zero jeżeli jeden jego wiersz (lub jedna kolumna) zawiera same zera,
+
-
* przestawienie dwóch wierszy/kolumn wyznacznika powoduje pomnożenie jego wartości przez -1.
+
-
 
+
-
Wykorzystamy teraz wyznaczniki do rozwiązywania układów równań liniowych, przy czym będziemy rozważali układy w których liczba równań jest równa liczbie niewiadomych.
+
-
 
+
-
== Układ <math>n</math> równań liniowych z <math>n</math> niewiadomymi ==
+
-
 
+
-
Jest to układ równań w którym <math>n</math> niewiadomych tworzących wektor niewiadomych <math>\mathbf{X}</math>
+
-
 
+
-
:<math>\mathbf{X} = \left( \begin{array}{c}
+
-
x_{1} \\
+
-
x_{2} \\
+
-
\vdots \\
+
-
x_{i}  \\
+
-
\vdots \\
+
-
x_{n}
+
-
\end{array} \right)</math>
+
-
 
+
-
pomnożony przez macierz <math>\mathbf{A}</math> znanych współczynników
+
-
 
+
-
:<math>\mathbf{A} = \left( \begin{array}{cccccc}
+
-
a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1j} & \ldots & a_{1n} \\
+
-
a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2j} & \ldots & a_{2n} \\
+
-
\vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\
+
-
a_{i1} & a_{i2} & \ldots & a_{ij} & \ldots & a_{in} \\
+
-
\vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\
+
-
a_{n1} & a_{n2} & \ldots & a_{nj} & \ldots & a_{nn}
+
-
\end{array} \right)</math>
+
-
 
+
-
jest równy znanemu wektorowi <math>\mathbf{b}</math> tzw. wyrazów wolnych
+
-
 
+
-
:<math>\mathbf{b} = \left( \begin{array}{c}
+
-
b_{1} \\
+
-
b_{2} \\
+
-
\vdots \\
+
-
b_{i}  \\
+
-
\vdots \\
+
-
b_{n}
+
-
\end{array} \right)</math>
+
-
 
+
-
W zapisie skróconym otrzymujemy
+
-
 
+
-
:<math>\begin{aligned}
+
-
\mathbf{A} \mathbf{X} = \mathbf{b} \nonumber\end{aligned}</math>
+
-
 
+
-
a w zapisie nieskróconym
+
-
 
+
-
:<math>\left( \begin{array}{cccccc}
+
-
a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1j} & \ldots & a_{1n} \\
+
-
a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2j} & \ldots & a_{2n} \\
+
-
\vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\
+
-
a_{i1} & a_{i2} & \ldots & a_{ij} & \ldots & a_{in} \\
+
-
\vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\
+
-
a_{n1} & a_{n2} & \ldots & a_{nj} & \ldots & a_{nn}
+
-
\end{array} \right) 
+
-
\left( \begin{array}{c}
+
-
x_{1} \\
+
-
x_{2} \\
+
-
\vdots \\
+
-
x_{i}  \\
+
-
\vdots \\
+
-
x_{n}
+
-
\end{array} \right) =
+
-
\left( \begin{array}{c}
+
-
b_{1} \\
+
-
b_{2} \\
+
-
\vdots \\
+
-
b_{i}  \\
+
-
\vdots \\
+
-
b_{n}
+
-
\end{array} \right)</math>
+
-
 
+
-
Powyższe mnożenie macierzy (pamiętamy, że wektor jest szczególnym przypadkiem macierzy) i przyrównanie do siebie wektorów odpowiada następującemu układowi równań liniowych
+
-
 
+
-
:<math>\begin{array}{ccccccccc}
+
-
a_{11}x_1 & + & a_{12}x_2 & + & \ldots & + & a_{1n}x_n & = & b_1 \\
+
-
a_{21}x_1 & + & a_{22}x_2 & + & \ldots & + & a_{2n}x_n & = & b_2 \\
+
-
\vdots    & + & \vdots    & + & \vdots & + & \vdots    & = & \vdots \\
+
-
a_{n1}x_1 & + & a_{n2}x_2 & + & \ldots & + & a_{nn}x_n & = & b_n \\
+
-
\end{array}</math>
+
-
 
+
-
Aby rozwiązać powyższy układ <math>n</math> równań liniowych należy obliczyć wyznacznik główny <math>W</math>, który zawiera współczynniki układu równań
+
-
 
+
-
:<math>W = \left| \begin{array}{cccccc}
+
-
a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1j} & \ldots & a_{1n} \\
+
-
a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2j} & \ldots & a_{2n} \\
+
-
\vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\
+
-
a_{i1} & a_{i2} & \ldots & a_{ij} & \ldots & a_{in} \\
+
-
\vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\
+
-
a_{n1} & a_{n2} & \ldots & a_{nj} & \ldots & a_{nn}
+
-
\end{array} \right|</math>
+
-
 
+
-
a także <math>n</math> wyznaczników <math>W_i, i = 1,2,...,n</math>, w których wektor wyrazów wolnych <math>\mathbf{b}</math> zastępuje <math>i-ta</math> kolumnę w wyznaczniku <math>W</math>
+
-
 
+
-
:<math>W_i = \left| \begin{array}{cccccccc}
+
-
a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1i-1} & b_1 & a_{1i+1} & \ldots & a_{1n} \\
+
-
a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2i-1} & b_2 & a_{2i+2} & \ldots & a_{2n} \\
+
-
\vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots\\
+
-
a_{n1} & a_{n2} & \ldots & a_{ni-1} & b_n & a_{ni+1} & \ldots & a_{nn}
+
-
\end{array} \right|</math>
+
-
 
+
-
W zależności od wartości wyznacznika głównego <math>W</math> i wyznaczników <math>W_i</math> rozważany układ równań liniowych posiada bądź nie posiada rozwiązania. Możliwe są trzy przypadki:
+
-
 
+
-
<ol>
+
-
<li><p><math>W \neq 0</math>. Wtedy układ równań liniowych jest układem oznaczonym i posiada dokładnie jedno rozwiązanie dane przez wzory Cramera:</p>
+
-
<p><math>\begin{aligned}
+
-
x_1 = \frac{W_1}{W}, \quad x_2 = \frac{W_2}{W}, \quad \ldots, \quad x_n = \frac{W_n}{W}. \nonumber\end{aligned}</math></p></li>
+
-
<li><p><math>W = 0</math> i przynajmniej jeden z wyznaczników <math>W_i \neq 0</math>. Wtedy układ równań jest układem sprzecznym i nie posiada rozwiązania.</p></li>
+
-
<li><p><math>W = W_1 = W_2 = \ldots = W_n = 0</math>. Wtedy przynajmniej jedno z równań wynika z pozostałych, czyli jest mniej równań niż niewiadomych, a układ równań liniowych jest układem nieoznaczonym lub sprzecznym.</p></li></ol>
+
-
 
+
-
=== Równanie charakterystyczne (wiekowe) macierzy ===
+
-
 
+
-
Jeżeli od elementów diagonalnych macierzy kwadratowej <math>\mathbf{A}</math>
+
-
 
+
-
:<math>\mathbf{A} = \left( \begin{array}{cccccc}
+
-
a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1j} & \ldots & a_{1n} \\
+
-
a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2j} & \ldots & a_{2n} \\
+
-
\vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\
+
-
a_{i1} & a_{i2} & \ldots & a_{ij} & \ldots & a_{in} \\
+
-
\vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\
+
-
a_{n1} & a_{n2} & \ldots & a_{nj} & \ldots & a_{nn}
+
-
\end{array} \right)</math>
+
-
 
+
-
odejmiemy tę samą zmienną <math>\lambda</math> to otrzymamy nastepującą macierz kwadratową
+
-
 
+
-
:<math>\left( \begin{array}{cccccc}
+
-
a_{11} - \lambda  & a_{12} & \ldots & a_{1j} & \ldots & a_{1n} \\
+
-
a_{21} & a_{22} - \lambda & \ldots & a_{2j} & \ldots & a_{2n} \\
+
-
\vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\
+
-
a_{i1} & a_{i2} & \ldots & a_{ii} - \lambda & \ldots & a_{in} \\
+
-
\vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\
+
-
a_{n1} & a_{n2} & \ldots & a_{nj} & \ldots & a_{nn} - \lambda
+
-
\end{array} \right)</math>
+
-
 
+
-
Przyrównując do zera wyznacznik tej macierzy
+
-
 
+
-
:<math>\left| \begin{array}{cccccc}
+
-
a_{11} - \lambda  & a_{12} & \ldots & a_{1j} & \ldots & a_{1n} \\
+
-
a_{21} & a_{22} - \lambda & \ldots & a_{2j} & \ldots & a_{2n} \\
+
-
\vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\
+
-
a_{i1} & a_{i2} & \ldots & a_{ii} - \lambda & \ldots & a_{in} \\
+
-
\vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\
+
-
a_{n1} & a_{n2} & \ldots & a_{nj} & \ldots & a_{nn} - \lambda
+
-
\end{array} \right| = 0</math>
+
-
 
+
-
otrzymamy równanie stopnia <math>n</math> ze względu na <math>\lambda</math>. Jest to równanie charakterystyczne, albo wiekowe macierzy <math>\mathbf{A}</math>. Równanie to można rozwiązać, a jego pierwiastki czyli wartości <math>\lambda_i, i=1,2,\ldots,n</math> nazywamy wartościami własnymi macierzy <math>\mathbf{A}</math>. Mając wartości własne <math>\lambda_i</math> można znaleźć odpowiadające im wektory własne <math>|\psi_i></math> spełniające następujące równania
+
-
 
+
-
:<math>\begin{aligned}
+
-
(\mathbf{A} - \lambda_i\mathbf{I})|\psi_i> = 0, \nonumber\end{aligned}</math>
+
-
 
+
-
gdzie <math>\mathbf{I}</math> jest macierzą jednostkową o wymiarze takim jak wymiar macierzy <math>\mathbf{A}</math>. Znajdowanie wartości własnych i wektorów własnych jest centralnym zagadnieniem mechaniki kwantowej, która z powodzeniem opisuje mikroświat - atomy, cząsteczki, ...
+
-
 
+
-
= Zadania =
+
-
#Mnożenie macierzy:
+
-
##<math>\begin{pmatrix}1&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}</math>
+
-
##<math>\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&2\end{pmatrix}</math>
+
-
##<math>\begin{pmatrix}\frac{1}{8}&9\end{pmatrix}\begin{pmatrix}16\\2\end{pmatrix}</math>
+
-
##<math>\begin{pmatrix}a&b\end{pmatrix}\begin{pmatrix}d\\e\end{pmatrix}</math>
+
-
##<math>\begin{pmatrix}6 + 6b&3 - b\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}</math>
+
-
##<math>\begin{pmatrix}0&abc\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a\\0\end{pmatrix}</math>
+
-
# Wyznacz "wymiar" macierzy ''C''
+
-
## ''C'' = ''A''<sub>n&times;p</sub>''B''<sub>p&times;m</sub>
+
-
## <math>C =  \begin{pmatrix} 10^{10}&20\\ 5000&0 \end{pmatrix}
+
-
\begin{pmatrix}
+
-
1&2&3&4\\
+
-
2&5&6&6
+
-
\end{pmatrix}
+
-
</math>
+
-
# Oblicz. Pamiętaj  (''AB'')''C'' = ''A''(''BC'')
+
-
##<math>
+
-
\begin{pmatrix}
+
-
1&1\\
+
-
0&1\\
+
-
\end{pmatrix}
+
-
\begin{pmatrix}
+
-
1&1\\
+
-
0&1\\
+
-
\end{pmatrix}
+
-
\begin{pmatrix}
+
-
1&1\\
+
-
0&1\\
+
-
\end{pmatrix}
+
-
\begin{pmatrix}
+
-
1\\
+
-
1\\
+
-
\end{pmatrix}</math>
+
-
##<math>
+
-
\begin{pmatrix}
+
-
3&1\\
+
-
2&8\\
+
-
\end{pmatrix}
+
-
\begin{pmatrix}
+
-
1&1\\
+
-
0&2\\
+
-
\end{pmatrix}
+
-
\begin{pmatrix}
+
-
1&1\\
+
-
0&1\\
+
-
\end{pmatrix}
+
-
\begin{pmatrix}
+
-
1\\
+
-
1\\
+
-
\end{pmatrix}</math>
+
-
#Oblicz
+
-
##<math>
+
-
C = \begin{pmatrix}
+
-
1&2\\
+
-
4&5
+
-
\end{pmatrix}
+
-
\begin{pmatrix}
+
-
1&0\\
+
-
0&1\\
+
-
\end{pmatrix}</math>
+
-
##<math>
+
-
D = \begin{pmatrix}
+
-
1&0\\
+
-
0&1
+
-
\end{pmatrix}
+
-
\begin{pmatrix}
+
-
1&2\\
+
-
4&5\\
+
-
\end{pmatrix}
+
-
</math>
+
-
#Znajdź wyznacznik macierzy
+
-
<math>A = \begin{pmatrix}\frac{2}{5}&\frac{2}{3}\\ \\ \frac{3}{2}& \frac{5}{2}\end{pmatrix}</math>. Używając wyznacznika macierzy A, zdecyduj czy jest unikatowe rozwiązanie następujących równań
+
-
<math>
+
-
\begin{matrix}
+
-
\frac{2}{5}x + \frac{2}{3}y = 0\\
+
-
\frac{3}{2}x + \frac{5}{2}y = 0
+
-
\end{matrix}</math>
+
-
#Zakładając <math>C = AB</math> pokaż, że  <math>\det{C} = \det{A}\det{B}</math> dla macierzy 2 &times; 2.
+
-
#Pokaż, że jeżeli zamienisz rządy w macierzy <math>A</math> i dostaniesz <math>A'</math>, wtedy <math>\det{A} = -\det{A'}</math>
+
-
#Udowodnij, że jeżeli <math>A = P^{-1}BP</math> to <math>\det{A} = \det{B}</math>
+
-
#Udowodnij, że jeżeli <math>A^k = 0</math> dla jakieś liczby całkowitej dodatniej ''k'', to <math>\det{A} = 0</math>.
+
-
#Oblicz <math>A^5</math> ( pomóż ''A'' przez siebie 5 razy) <math>A =
+
-
\begin{pmatrix}
+
-
-1&6\\
+
-
-1&4\\
+
-
\end{pmatrix}
+
-
</math>
+
-
#Znajdź odwrotność  ''P'' gdzie  <math>
+
-
P = \begin{pmatrix}
+
-
1&-2\\
+
-
-1&3\\
+
-
\end{pmatrix}
+
-
</math>
+
-
#Pokaż, że <math>A =
+
-
P^{-1}
+
-
\begin{pmatrix}
+
-
1&0\\
+
-
0&2\\
+
-
\end{pmatrix}
+
-
P
+
-
</math>
+

Aktualna wersja na dzień 08:28, 17 mar 2014

W przygotowaniu

Źródło „http://172.16.3.1/ekonofizyka/index.php/Macierze,_wyznaczniki,_uk%C5%82ady_r%C3%B3wna%C5%84_liniowych”