|
|
| Linia 1: |
Linia 1: |
| - | [[Category:KURS MATEMATYKI]]
| + | '''W przygotowaniu''' |
| - | == Operator różniczkowy ==
| + | |
| - | Operatory różniczkowe mogą działać zarówno na funkcje jednej jak i wielu zmiennych, na funkcje skalarne bądź wektorowe. Wprowadzimy teraz cztery podstawowe operatory różniczkowe, które znajdą zastosowanie w kursie fizyki, a ograniczymy się do [[Układy współrzędnych|kartezjańskiego układu współrzędnych]]. Będziemy przy tym wymagać aby rozważane funkcje były różniczkowalne. W tej części kursu, podobnie jak w przypadku omawiania układów współrzędnych, nie pojawią się rozwiązania zadań, ponieważ wiele przykładów zastosowania operatorów różniczkowych zostanie szczegółowo omówionych na kursie fizyki.
| + | |
| - | | + | |
| - | == Gradient ==
| + | |
| - | Dla ciągłej, różniczkowalnej funkcji <math>f(x,y,z)</math> współrzędnych <math>x, y, z</math> można w dowolnym punkcie przestrzeni utworzyć wektor, którego składowe są pochodnymi cząstkowymi w kierunku osi układu współrzędnych :
| + | |
| - | <math>
| + | |
| - | \mathrm{grad}\ f = \nabla f = \mathbf{\widehat{x}} \frac{\partial f}{\partial x} + \mathbf{\widehat{y}} \frac{\partial f}{\partial y} + \mathbf{\widehat{z}} \frac{\partial f}{\partial z},
| + | |
| - | </math>
| + | |
| - | | + | |
| - | gdzie przez <math>grad</math>, lub <math>\nabla</math> (czytamy nabla) oznaczyliśmy operator różniczkowy gradientu funkcji. Jak widzimy w wyniku działania operatora gradientu na funkcję skalarną <math>f(x,y,z)</math> otrzymujemy wektor. Przypominamy, że pochodna cząstkowa funkcji jest miarą szybkości zmiany funkcji względem zmiennej dla której jest liczona, np. <math>\frac{\partial f}{\partial x}</math> określa szybkość zmiany funkcji wzdłuż osi <math>x</math>. Zatem kierunek wektora gradientu funkcji <math>\nabla f</math> będzie odpowiadał kierunkowi najszybszej zmiany funkcji <math>f(x,y,z)</math> w punkcie, w którym liczymy gradient. Zilustrujemy to na przykładzie funkcji dwóch zmiennych. Wykresem funkcji skalarnej dwóch zmiennych <math>f(x,y)</math> jest powierzchnia w przestrzeni trójwymiarowej, a dobrze znanym przykładem takiej funkcji jest np. ukształtowanie terenu górzystego. Stojąc w takim terenie z łatwością możemy stwierdzić w którym kierunku teren podnosi sie maksymalnie, bądź maksymalnie opada. Operator różniczkowy gradientu funkcji, która opisuje ukształtowanie terenu wskazuje kierunek maksymalnego wzrostu, czyli robiąc krok w tym własnie kierunku znjadziemy się najwyżej.
| + | |
| - | | + | |
| - | Operator <math>\nabla</math> we współrzędnych kartezjańskich jest definiowany nastepująco:
| + | |
| - | <math>
| + | |
| - | \nabla = \mathbf{\widehat{x}} \frac{\partial }{\partial x} + \mathbf{\widehat{y}} \frac{\partial }{\partial y} + \mathbf{\widehat{z}} \frac{\partial }{\partial z},
| + | |
| - | </math>
| + | |
| - | gdzie <math>\mathbf{\widehat{x}}, \mathbf{\widehat{y}}, \mathbf{\widehat{z}}</math> oznaczją wersory wzdłuż trzech osi kartezjańskiego układu współrzędnych.
| + | |
| - | | + | |
| - | == Dywergencja ==
| + | |
| - | | + | |
| - | Zajmiemy się teraz operatorem dywergencji, przy czym ograniczymy się do rozpatrywania działania tego operatora na funkcję wektorową <math>\mathbf F</math> będącą funkcją trzech współrzędnych kartezjańskich <math>x,y,z</math>. Zatem funkcja wektorowa <math>\mathbf F</math> ma trzy składowe, które są funkcjami skalarnymi <math>F_x(x,y,z)</math>, <math>F_y(x,y,z)</math>, <math>F_z(x,y,z)</math>. Jeżeli funkcje te są różniczkowalne to możemy skonstruować nastepujący operator dywergencji <math>\mathrm{div}</math>
| + | |
| - | | + | |
| - | :<math>
| + | |
| - | \mathrm{div}\; \mathbf F = \frac{\partial F_x(x,y,z)}{\partial x} + \frac{\partial F_y(x,y,z)}{\partial y} + \frac{\partial F_z(x,y,z)}{\partial z} = \nabla \cdot \mathbf F,
| + | |
| - | </math>
| + | |
| - | | + | |
| - | będący iloczynem skalarnym operatora gradientu <math>\nabla</math> i funkcji <math>\mathbf F</math>. W wyniku działania operatora dywergencji na funkcję wektorową otrzymujemy skalar czyli liczbę. Dywergencja jest pewną miarą zmienności funkcji wektorowej w przestrzeni. Przykłady, z których najbardziej typowym jest dywergencja wektora natężenia pola elektrycznego, zostaną omówione na kursie fizyki.
| + | |
| - | | + | |
| - | == Rotacja ==
| + | |
| - | Dla różniczkowalnej funkcji wektorowej <math>\mathbf F(x,y,z)</math> można utworzyć nastepujący operator rotacji
| + | |
| - | :<math>
| + | |
| - | \mathrm{rot}\; \mathbf F = \left(\frac{\partial F_z}{\partial y} - \frac{\partial F_y}{\partial z}\right) \mathbf{\widehat{x}} + \left( \frac{\partial F_x}{\partial z} - \frac{\partial F_z}{\partial x}\right) \mathbf{\widehat{y}} + \left(\frac{\partial F_y}{\partial x} - \frac{\partial F_x}{\partial y}\right) \mathbf{\widehat{z}} = \nabla \times \mathbf F
| + | |
| - | </math>
| + | |
| - | | + | |
| - | będący iloczynem wektorowym operatora wektorowego <math>\nabla</math> i funkcji wektorowej <math>\mathbf F</math>. Rotację można także obliczyć korzystając z zapisu wyznacznikowego
| + | |
| - | | + | |
| - | :<math>
| + | |
| - | \nabla \times \mathbf F = \det \begin{bmatrix} \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ F_x & F_y & F_z \\ \mathbf{\widehat{x}} & \mathbf{\widehat{y}} & \mathbf{\widehat{z}} \end{bmatrix}</math>
| + | |
| - | | + | |
| - | Niezerowa wartość rotacji jest ilustracją tego, że w przestrzeni (w fizyce będzie to pole w którym działają siły) opisywanej funkcją wektorową <math>\mathbf F(x,y,z)</math> występują wiry.
| + | |
| - | | + | |
| - | == Laplasjan ==
| + | |
| - | We wspórzędnych kartezjańskich operator Laplace'a, czyli laplasjan <math>\Delta</math>, jest kwadratem operatora nabla <math>\nabla</math>
| + | |
| - | :<math>
| + | |
| - | \Delta = \frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2} + \frac{\partial^2}{\partial z^2} = \nabla \cdot \nabla = \nabla^2
| + | |
| - | </math>
| + | |
| - | Operator ten działając na funkcję skalarną daje skalar czyli liczbę. Należy zwrócić uwagę, że tak prosta definicja (kwadrat operatora <math>\nabla</math>) jest prawdziwa jedynie w kartezjańskim układzie współrzędnych. W krzywoliniowych układach współrzędnych (np. w układzie współrzędnych sferycznych) trzeba korzystać z ogólniejszej definicji laplasjanu.
| + | |