|
|
| Linia 1: |
Linia 1: |
| - | [[Category:KURS MATEMATYKI]]
| |
| - | Funkcje trygonometryczne dla miar kątów ostrych można zdefiniować jako stosunki długości odpowiednich dwóch boków trójkąta prostokątnego
| |
| - | *sinus – oznaczany <math>\sin\;</math> – stosunek długości przyprostokątnej <math>a\;</math> leżącej naprzeciw tego kąta <math>\alpha\;</math> i długości przeciwprostokątnej <math>c\;</math>;
| |
| - | *cosinus – oznaczany <math>\cos\;</math> – stosunek długości przyprostokątnej przyległej <math>b\;</math> do tego kąta <math>\alpha\;</math> i przeciwprostokątnej <math>c\;</math>;
| |
| - | *tangens – oznaczany <math>\operatorname{tg}\;</math> – stosunek długości przyprostokątnej <math>a\;</math> leżącej naprzeciw tego kąta <math>\alpha\;</math> i długości przyprostokątnej <math>b\;</math> przyległej do tego kąta;
| |
| - | *cotangens (kotangens) – <math>\operatorname{ctg}\;</math> – stosunek długości przyprostokątnej <math>b\;</math> przyległej do tego kąta <math>\alpha\;</math> i długości przyprostokątnej <math>a\;</math> leżącej naprzeciw tego kąta
| |
| | | | |
| - | Wzory
| |
| - |
| |
| - | <math>\sin \alpha = \frac{a}{c}</math>
| |
| - |
| |
| - | <math>\cos \alpha = \frac{b}{c}</math>
| |
| - |
| |
| - | <math>\operatorname{tg} \alpha = \frac{a}{b}</math>
| |
| - |
| |
| - | <math>\operatorname{ctg} \alpha = \frac{b}{a}</math>
| |
| - |
| |
| - | [[File:katy_tryg.png|thumb|250px|Rys. 1 Trójkat prostokątny]]
| |
| - |
| |
| - | __TOC__
| |
| - |
| |
| - | == Miara łukowa kąta==
| |
| - | Miara kąta wyrażona przez stosunek długości łuku okręgu opartego na tym kącie do długości promienia okręgu
| |
| - |
| |
| - | :: <math>\alpha =\frac{l}{r}</math>
| |
| - |
| |
| - | gdzie
| |
| - | : ''α'' – rozpatrywany kąt,
| |
| - | : ''l'' – długość łuku,
| |
| - | : ''r'' – promień okręgu, którego wycinkiem jest łuk.
| |
| - | Jednostką tak zapisanego kąta jest radian (1 rad). Wymiarem radiana jest jedność
| |
| - | :: <math>\left[ \operatorname{rad} \right]=1</math>
| |
| - |
| |
| - | == Wartości dla typowych kątów ==
| |
| - | {|class="wikitable" style="text-align: center;"
| |
| - | ! radiany !! <math>0\;</math> !! <math>\frac{\pi}{12}</math> !! <math>\frac{\pi}{6}</math> !! <math>\frac{\pi}{4}</math> !! <math>\frac{\pi}{3}</math> !! <math>\frac{5\pi}{12}</math> !! <math>\frac{\pi}{2}</math>
| |
| - | |-
| |
| - | ! stopnie !! <math>0^\circ\;</math> !! <math>15^\circ\;</math> !! <math>30^\circ\;</math> !! <math>45^\circ\;</math> !! <math>60^\circ\;</math> !! <math>75^\circ\;</math> !! <math>90^\circ\;</math>
| |
| - | |-
| |
| - | ! <math>\sin\;</math>
| |
| - | | <math>0\;</math> || <math> \tfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4} </math> || <math> \tfrac{1}{2} </math> || <math> \tfrac{\sqrt{2}}{2} </math> || <math> \tfrac{\sqrt{3}}{2} </math> || <math> \tfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4} </math> || <math>1\;</math>
| |
| - | |-
| |
| - | ! <math>\cos\;</math>
| |
| - | | <math>1\;</math> || <math> \tfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4} </math> || <math> \tfrac{\sqrt{3}}{2} </math> || <math> \tfrac{\sqrt{2}}{2} </math> || <math> \tfrac{1}{2} </math> || <math> \tfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4} </math> || <math>0\;</math>
| |
| - | |-
| |
| - | ! <math>\operatorname{tg}\;</math>
| |
| - | | <math>0\;</math> || <math> 2-\sqrt{3} </math> || <math> \tfrac{\sqrt{3}}{3} </math> || <math>1\;</math> || <math> \sqrt{3} </math> || <math> 2+\sqrt{3} </math> || nieokreślony
| |
| - | |-
| |
| - | ! <math>\operatorname{ctg}\;</math>
| |
| - | | nieokreślony || <math> 2+\sqrt{3} </math> || <math> \sqrt{3} </math> || <math>1\;</math> || <math> \tfrac{\sqrt{3}}{3} </math> || <math> 2-\sqrt{3} </math> || <math>0\;</math>
| |
| - | |}
| |
| - |
| |
| - | == Podstawowe tożsamości trygonometryczne ==
| |
| - | Związki między funkcjami trygonometrycznymi spełnione dla dowolnego argumentu ich dziedziny to tzw. '''tożsamości trygonometryczne'''. Są one prawdziwe zarówno w dziedzinie rzeczywistej, jak i zespolonej. Często używane są:
| |
| - | * jedynka trygonometryczna:
| |
| - | : <math>\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \,</math>
| |
| - | * definicja tangensa i kotangensa za pomocą sinusa i cosinusa:
| |
| - | : <math>\begin{align}
| |
| - | \operatorname{tg}\ \alpha & =\tfrac{\sin \alpha}{\cos \alpha},\ \alpha\neq \tfrac{\pi}{2}+k\pi \\
| |
| - | \operatorname{ctg}\ \alpha & =\tfrac{\cos \alpha}{\sin \alpha},\ \alpha\neq k\pi
| |
| - | \end{align},\quad k\in\mathbb{Z}</math>
| |
| - | * wzory na sinus i cosinus sumy i różnicy kątów:
| |
| - | : <math>\sin (\alpha \pm \beta) = \sin \alpha \cdot \cos \beta \pm \cos \alpha \cdot \sin \beta \,</math>
| |
| - | : <math>\cos (\alpha \pm \beta) = \cos \alpha \cdot \cos \beta \mp \sin \alpha \cdot \sin \beta \,</math>
| |
| - | * wzory na sumę i różnicę sinusów i cosinusów:
| |
| - | : <math>\sin \alpha \pm \sin \beta = 2 \sin \tfrac {\alpha \pm \beta} 2 \cdot \cos \tfrac {\alpha \mp \beta } 2 </math>
| |
| - | : <math>\cos \alpha + \cos \beta = 2 \cos \tfrac {\alpha + \beta} 2 \cdot \cos \tfrac {\alpha - \beta } 2</math>
| |
| - | : <math>\cos \alpha - \cos \beta = -2 \sin \tfrac {\alpha + \beta} 2 \cdot \sin \tfrac {\alpha - \beta } 2</math>
| |
| - | * wzory na sinus i cosinus podwojonego argumentu:
| |
| - | : <math>\sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cdot \cos \alpha \,</math>
| |
| - | : <math>\cos 2\alpha = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha= 2\cos^2\alpha - 1 = 1 -2\sin^2\alpha </math>
| |
| - | * wzory na sinus i cosinus połowy argumentu:
| |
| - | : <math>\left| \sin\tfrac{1}{2}\alpha \right|=\scriptstyle{\sqrt{\frac{1-cos \alpha}{2}}}</math>
| |
| - | : <math>\left| \cos\tfrac{1}{2}\alpha \right|=\scriptstyle{\sqrt{\frac{1+cos \alpha}{2}}}</math>
| |
| - | * iloczyn w postaci sumy:
| |
| - | : <math>\cos \alpha \cdot \cos \beta = \tfrac{\cos (\alpha - \beta) + \cos (\alpha + \beta)} 2</math>
| |
| - | : <math>\sin \alpha \cdot \sin \beta = \tfrac{\cos (\alpha - \beta) - \cos (\alpha + \beta)} 2</math>
| |
| - | : <math>\sin \alpha \cdot \cos \beta = \tfrac{\sin (\alpha - \beta) + \sin (\alpha + \beta)} 2</math>
| |
| - | * wzory na wyrażanie jednych funkcji trygonometrycznych przez inne:
| |
| - | : <math>\sin \alpha = \cos \left(\tfrac{\pi}{2} - \alpha \right)</math>
| |
| - | : <math>\cos \alpha = \sin \left(\tfrac{\pi}{2} - \alpha \right)</math>
| |
| - | : <math>\operatorname{tg} \alpha = \tfrac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \operatorname{ctg} \left(\tfrac{\pi}{2} - \alpha \right) = \tfrac{1}{\operatorname{ctg} \alpha} \,</math>
| |
| - | : <math>\operatorname{ctg} \alpha = \tfrac{\cos \alpha}{\sin \alpha} = \operatorname{tg} \left(\tfrac{\pi}{2} - \alpha \right) = \tfrac{1}{\operatorname{tg} \alpha} \,</math>
| |
| - | : <math>\sec \alpha= \tfrac{1}{\cos \alpha} = \csc \left(\tfrac{\pi}{2} - \alpha \right) \,</math>
| |
| - | : <math>\csc \alpha=\tfrac{1}{\sin \alpha} = \sec \left(\tfrac{\pi}{2} - \alpha \right) \,</math>
| |
| - | : <math>\begin{matrix}
| |
| - | \color{green}{\sin^2 \alpha}=
| |
| - | & 1-\cos^2 \alpha=
| |
| - | & \tfrac{\operatorname{tg}^2\ \alpha}{1+\operatorname{tg}^2\ \alpha}=
| |
| - | & \tfrac{1}{1+\operatorname{ctg}^2\ \alpha} \\
| |
| - |
| |
| - | 1-\sin^2 \alpha=
| |
| - | & \color{green}{\cos^2 \alpha}=
| |
| - | & \tfrac{1}{1+\operatorname{tg}^2\ \alpha}=
| |
| - | & \tfrac{\operatorname{ctg}^2\ \alpha}{1+\operatorname{ctg}^2\ \alpha} \\
| |
| - |
| |
| - | \tfrac{\sin^2 \alpha}{1-\sin^2 \alpha}=
| |
| - | & \tfrac{1-\cos^2 \alpha}{\cos^2 \alpha}=
| |
| - | & \color{green}{\operatorname{tg}^2\ \alpha}=
| |
| - | & \tfrac{1}{\operatorname{ctg}^2\ \alpha} \\
| |
| - |
| |
| - | \tfrac{1-\sin^2 \alpha}{\sin^2 \alpha}=
| |
| - | & \tfrac{\cos^2 \alpha}{1-\cos^2 \alpha}=
| |
| - | & \tfrac{1}{\operatorname{tg}^2\ \alpha}=
| |
| - | & \color{green}{\operatorname{ctg}^2\ \alpha}
| |
| - | \end{matrix}</math>
| |