Wzory skróconego mnożenia

Z Skrypty dla studentów Ekonofizyki UPGOW

(Różnice między wersjami)
 
(Nie pokazano 4 wersji pomiędzy niniejszymi.)
Linia 1: Linia 1:
[[Category:KURS MATEMATYKI]]
[[Category:KURS MATEMATYKI]]
-
Przez wzory skróconego mnożenia rozumiemy wzory pozwalające na na rozwijanie wyrażeń postaci <math>(a \pm b)^n</math>, a także <math>a^n \pm b^n</math>, gdzie <math>a, b \in R</math>, a <math>n \in N</math>. Wzory te są użyteczne w przekształceniach wyrażeń w których występują wielomiany. Przypomnimy teraz wzory skróconego mnożenia dla <math>n = 2</math> oraz <math>n = 3</math>.
+
Przez wzory skróconego mnożenia rozumiemy wzory pozwalające na rozwijanie wyrażeń postaci <math>(a \pm b)^n</math>, a także <math>a^n \pm b^n</math>, gdzie <math>a, b \in \mathbb{R}</math>, a <math>n \in \mathbb{N}</math>. Wzory te są użyteczne w przekształceniach wyrażeń, w których występują wielomiany. Przypomnimy teraz wzory skróconego mnożenia dla <math>n = 2</math> oraz <math>n = 3</math>.
-
I tak kwadrat sumy i różnicy obliczany następująco:
+
 
 +
Kwadrat sumy i różnicy obliczamy następująco:
<br>
<br>
-
<math>(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2</math>
+
:<math>(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2,</math>
-
<math>(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2</math>
+
:<math>(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2.</math>
-
a sześciany sumy i różnicy:
+
Sześciany sumy i różnicy:
<br>
<br>
-
<math>(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3</math>
+
:<math>(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3,</math>
-
<math>(a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3</math>
+
:<math>(a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3.</math>
-
A teraz podamy wzory na różnicę kwadratów oraz sumę i różnicę sześcianów:
+
Wzory na różnicę kwadratów oraz sumę i różnicę sześcianów:
<br>
<br>
-
<math>a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)</math>
+
:<math>a^2 - b^2 = (a + b)(a - b),</math>
-
<math>a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)</math>
+
:<math>a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2),</math>
-
<math>a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)</math>
+
:<math>a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2).</math>
Wzory te są używane w rozwiązywaniu równań i nierówności wielomianowych.  
Wzory te są używane w rozwiązywaniu równań i nierówności wielomianowych.  
Linia 26: Linia 27:
Ponadto istnieje wzór na kwadrat sumy trzech składników, który wynika ze wzoru na kwadrat sumy.
Ponadto istnieje wzór na kwadrat sumy trzech składników, który wynika ze wzoru na kwadrat sumy.
-
<math>(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc</math>
+
:<math>(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc.</math>
 +
 
 +
===Przykłady ===
 +
<math>(x + 2)^2=x^2+2x+4</math>
 +
 
 +
<math>(3x - 2)^2=9x^2-6x+4</math>
 +
<math>(2x + y)(2x - y)=4x^2-2xy+y2x-y^2=4x^2-y^2</math>
== Zadania ==
== Zadania ==
Linia 39: Linia 46:
##<math>(\sqrt{3}+\sqrt{2})(\sqrt{3}-\sqrt{2})-(\sqrt{2}+3)^2</math>
##<math>(\sqrt{3}+\sqrt{2})(\sqrt{3}-\sqrt{2})-(\sqrt{2}+3)^2</math>
##<math>(2a^2-z^3)^3-(a^3-2)(a^3+2)</math>
##<math>(2a^2-z^3)^3-(a^3-2)(a^3+2)</math>
-
#Pokazać, że kwadrat sumy trzech składników wynika z wzoru na kwadrat sumy
+
#Pokazać, że kwadrat sumy trzech składników wynika ze wzoru na kwadrat sumy.

Aktualna wersja na dzień 08:55, 31 mar 2015

Przez wzory skróconego mnożenia rozumiemy wzory pozwalające na rozwijanie wyrażeń postaci \((a \pm b)^n\), a także \(a^n \pm b^n\), gdzie \(a, b \in \mathbb{R}\), a \(n \in \mathbb{N}\). Wzory te są użyteczne w przekształceniach wyrażeń, w których występują wielomiany. Przypomnimy teraz wzory skróconego mnożenia dla \(n = 2\) oraz \(n = 3\).

Kwadrat sumy i różnicy obliczamy następująco:
\[(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2,\]

\[(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2.\]

Sześciany sumy i różnicy:
\[(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3,\]

\[(a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3.\]

Wzory na różnicę kwadratów oraz sumę i różnicę sześcianów:
\[a^2 - b^2 = (a + b)(a - b),\]

\[a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2),\]

\[a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2).\]

Wzory te są używane w rozwiązywaniu równań i nierówności wielomianowych. Zauważmy, że suma kwadratów \(a^2 + b^2\) nie rozkłada się na iloczyn wielomianów rzeczywistych. Jedyną możliwością jest rozłożenie na iloczyn wielomianów zespolonych, co wymaga znajomości liczb zespolonych, które będą wprowadzone w dalszej części wykładu.

Ponadto istnieje wzór na kwadrat sumy trzech składników, który wynika ze wzoru na kwadrat sumy.

\[(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc.\]

Przykłady

\((x + 2)^2=x^2+2x+4\)

\((3x - 2)^2=9x^2-6x+4\)

\((2x + y)(2x - y)=4x^2-2xy+y2x-y^2=4x^2-y^2\)

Zadania

  1. Obliczyć stosując wzory skróconego mnożenia:
    1. \((x + 5)^3\)
    2. \((2a - 3x)^2\)
    3. \(\sqrt{6-2\sqrt{5}}\cdot\sqrt{6+2\sqrt{5}}\)
    4. \((2\sqrt{3}-\sqrt{5})\cdot(2\sqrt{3}+\sqrt{5})\)
    5. \(-4\cdot(3-x)^2+(3x-2)(3x+2)\)
    6. \(4(3x-4)(2x+5)-(x-y)^2+3y(2-5x\)) dla \(x=2, y=3\)
    7. \((\sqrt{3}+\sqrt{2})(\sqrt{3}-\sqrt{2})-(\sqrt{2}+3)^2\)
    8. \((2a^2-z^3)^3-(a^3-2)(a^3+2)\)
  2. Pokazać, że kwadrat sumy trzech składników wynika ze wzoru na kwadrat sumy.
Źródło „http://172.16.3.1/ekonofizyka/index.php/Wzory_skr%C3%B3conego_mno%C5%BCenia”