Z Skrypty dla studentów Ekonofizyki UPGOW

Aktualna wersja na dzień 08:55, 31 mar 2015

Przez wzory skróconego mnożenia rozumiemy wzory pozwalające na rozwijanie wyrażeń postaci $(a \pm b)^n$, a także $a^n \pm b^n$, gdzie $a, b \in \mathbb{R}$, a $n \in \mathbb{N}$. Wzory te są użyteczne w przekształceniach wyrażeń, w których występują wielomiany. Przypomnimy teraz wzory skróconego mnożenia dla $n = 2$ oraz $n = 3$.

Kwadrat sumy i różnicy obliczamy następująco:
$$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2,$$

$$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2.$$

Sześciany sumy i różnicy:
$$(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3,$$

$$(a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3.$$

Wzory na różnicę kwadratów oraz sumę i różnicę sześcianów:
$$a^2 - b^2 = (a + b)(a - b),$$

$$a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2),$$

$$a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2).$$

Wzory te są używane w rozwiązywaniu równań i nierówności wielomianowych. Zauważmy, że suma kwadratów $a^2 + b^2$ nie rozkłada się na iloczyn wielomianów rzeczywistych. Jedyną możliwością jest rozłożenie na iloczyn wielomianów zespolonych, co wymaga znajomości liczb zespolonych, które będą wprowadzone w dalszej części wykładu.

Ponadto istnieje wzór na kwadrat sumy trzech składników, który wynika ze wzoru na kwadrat sumy.

$$(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc.$$

Przykłady

$(x + 2)^2=x^2+2x+4$

$(3x - 2)^2=9x^2-6x+4$

$(2x + y)(2x - y)=4x^2-2xy+y2x-y^2=4x^2-y^2$

Zadania

1. Obliczyć stosując wzory skróconego mnożenia:
   1. $(x + 5)^3$
   2. $(2a - 3x)^2$
   3. $\sqrt{6-2\sqrt{5}}\cdot\sqrt{6+2\sqrt{5}}$
   4. $(2\sqrt{3}-\sqrt{5})\cdot(2\sqrt{3}+\sqrt{5})$
   5. $-4\cdot(3-x)^2+(3x-2)(3x+2)$
   6. $4(3x-4)(2x+5)-(x-y)^2+3y(2-5x$) dla $x=2, y=3$
   7. $(\sqrt{3}+\sqrt{2})(\sqrt{3}-\sqrt{2})-(\sqrt{2}+3)^2$
   8. $(2a^2-z^3)^3-(a^3-2)(a^3+2)$
2. Pokazać, że kwadrat sumy trzech składników wynika ze wzoru na kwadrat sumy.