Równania i układy równań liniowych

Z Skrypty dla studentów Ekonofizyki UPGOW

(Różnice między wersjami)
(UWAGA! Zastąpienie treści hasła bardzo krótkim tekstem: „'''W przygotowaniu'''”)
 
Linia 1: Linia 1:
-
'''W przygotowaniu'''
+
[[Category:KURS MATEMATYKI]]
 +
<!--
 +
Zajmiemy się teraz układami dwóch i trzech równań liniowych, przy czym zagadnieniu rozwiązywania dowolnego układu równań liniowych będzie poświęcony osobny wykład w dalszej części tego kursu. Zaczniemy jednak od krótkiego przypomnienia definicji równania liniowego.
 +
-->
 +
== Równanie liniowe ==
 +
 
 +
Równaniem liniowym nazywamy równanie postaci
 +
 
 +
:<math>\begin{aligned}
 +
ax + b = 0 \nonumber\end{aligned}</math>
 +
 
 +
przy czym <math>x \in \mathbb{R}</math> jest niewiadomą, czyli wielkością którą znajdujemy rozwiązując równanie liniowe. Natomiast wartości współczynników równania <math>a \in \mathbb{R}</math> i <math>b \in \mathbb{R}</math> są znane. Rozwiązanie równania polega na znalezieniu <math>wszystkich</math> liczb, które podstawione w miejsce <math>x</math> spełnią powyższe równanie. Funkcja
 +
 
 +
:<math>\begin{aligned}
 +
y = ax + b, \quad x\in \mathbb{R} \nonumber\end{aligned}</math>
 +
 
 +
jest funkcją liniową, a parametr <math>a</math> jest nazywany współczynnikiem kierunkowym prostej, która jest wykresem funkcji liniowej. Współczynnik kierunkowy jest równy wartości tg<math>\,\alpha</math>, gdzie <math>\alpha</math> jest kątem pod którym prosta <math>y = ax + b</math> przecina oś <math>OX</math> ([[Media:uk_r1.png|Rys 1]]).<br />
 +
 
 +
[[File:uk_r1.png|thumb|300px|Rys. 1 Prosta w kartezjańskim układzie współrzędnych]]
 +
 
 +
Oprócz znalezienia rozwiązania jakiegokolwiek równania istotne jest udzielenie odpowiedzi na następujące dwa pytania: czy równanie ma rozwiązanie?, a jeśli ma to ile jest rozwiązań?. W przypadku równania liniowego <math>ax + b = 0</math> z jedną niewiadomą <math>x</math> mamy następujące trzy przypadki:
 +
 
 +
* jeżeli <math>a \neq 0</math> to jest jedno rozwiązanie <math>x = \frac{-b}{a}</math>. Funkcja liniowa <math>y = ax + b</math> reprezentująca równanie <math>ax + b = 0</math> przecina oś <math>OX</math> w dokładnie jednym punkcie o współrzędnych <math>(\frac{-b}{a},0)</math>.
 +
 
 +
* jeżeli <math>a = 0, b \neq 0</math> to wtedy nie ma rozwiązań (<math>x \in \emptyset</math>), a funkcja liniowa <math>y = b</math>, będąca geometrycznym przedstawieniem tego równania nie ma punktu przecięcia z osią <math>OX</math>, jest do niej równoległa.
 +
 
 +
* jeżeli <math>a = 0</math> i <math>b = 0</math> to wtedy jest nieskończenie wiele rozwiązań (<math>x \in \mathbb{R}</math>), a będąca rozwiązaniem prosta <math>y = 0</math> pokrywa się z osią <math>OX</math>.
 +
 
 +
== Układ dwóch równań liniowych ==
 +
 
 +
Układ dwóch równań postaci
 +
 
 +
:<math>\begin{cases}
 +
a_1x + b_1y = c_1 \\
 +
a_2x + b_2y = c_2
 +
\end{cases}</math>
 +
 
 +
nazywamy układem dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi <math>x</math> i <math>y</math>, przy czym wymagamy aby wartość przynajmniej jednego ze współczynników <math>a_1</math>, <math>b_1</math> była różna od 0 (i podobnie dla <math>a_2</math>, <math>b_2</math>). Jeżeli te warunki na współczynniki są spełnione to wtedy każde z dwóch równań przedstawia prostą w układzie współrzędnych <math>XY</math>, a dwie proste na płaszczyźnie mogą mieć zero (są wtedy równoległe), jeden (przecinają się w jednym punkcie) lub nieskończenie wiele (pokrywają się) punktów wspólnych. I dlatego układ dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi może mieć, odpowiednio: 0 rozwiązań (układ sprzeczny), dokładnie jedno rozwiązanie (układ oznaczony), lub nieskończenie wiele rozwiązań (układ nieoznaczony). Ilustracją graficzną tych przypadków są rysunki ([[Media:uk_r2a.png|Rys 2a]], [[Media:uk_r2b.png|Rys 2b]], [[Media:uk_r2c.png|Rys 2c]]).<br />
 +
 
 +
[[File:uk_r2a.png|thumb|300px|Rys. 2a Układ dwóch równań liniowych - brak rozwiązania]]
 +
[[File:uk_r2b.png|thumb|300px|Rys. 2b Układ dwóch równań liniowych - jedno rozwiązanie]]
 +
[[File:uk_r2c.png|thumb|300px|Rys. 2c Układ dwóch równań liniowych - nieskończenie wiele rozwiązań]]
 +
 
 +
 
 +
W celu ułatwienia rozwiązania układu równań liniowych można wykonywać pewne operacje, z których najważniejsze to: mnożenie obu stron równania przez tę samą liczbę różną od zera oraz dodawanie bądź odejmowanie równań <math>stronami</math>. Aby rozwiązać układ dwóch równań liniowych najczęściej stosuje się jedną z czterech metod: podstawiania, przeciwnych współczynników, wyznaczników, bądź graficzną. Metodą wyznaczników zajmiemy się w dalszej części zajęć gdy będziemy omawiać podstawowe działania na macierzach, w tym obliczanie wyznaczników. A teraz pokrótce przedstawimy metody podstawiania i przeciwnych współczynników.
 +
 
 +
=== Metoda podstawiania ===
 +
 
 +
Metoda ta polega na wyznaczeniu, np. z równania <math>a_1x + b_1y = c_1</math> niewiadomej <math>x</math> (będzie ona oczywiście wyrażała się przez niewiadomą <math>y</math>) i wstawienia do drugiego równania. Wtedy drugie z równań będzie równaniem liniowym z jedną niewiadomą <math>y</math>, które rozwiązujemy znanymi już sposobami. Po znalezieniu <math>y</math> wstawiamy je do równania pierwszego otrzymując równanie liniowe z jedną niewiadomą <math>x</math>.
 +
 
 +
Rozwiążemy metodą podstawiania układ dwóch równań liniowych
 +
 
 +
:<math>\begin{cases}
 +
2x + 3y = 2 \\
 +
4x - y = 0
 +
\end{cases}</math>
 +
 
 +
Z drugiego równania znajdujemy, że <math>y = 4x</math> i wstawiamy do pierwszego otrzymując równanie z jedną niewiadomą
 +
 
 +
:<math>2x + 3 \cdot 4x = 2 </math>
 +
:<math>14x = 2 </math>
 +
 
 +
któego rowiązaniem jest <math>x = \frac{1}{7}</math>. Wstawiając <math>x = \frac{1}{7}</math> do <math>y = 4x</math> otrzymujemy <math>y = \frac{4}{7}</math>. Poprawność rozwiązania można łatwo sprawdzić wstawiając otrzymane wartośći <math>x</math> i <math>y</math> do układu równań.
 +
 
 +
=== Metoda przeciwnych współczynników ===
 +
 
 +
Ta metoda polega na pomnożeniu jednego z dwóch równań przez taką liczbę (oczywiście różną od 0) aby po dodaniu (bądź odjęciu) równań <math>stronami</math> otrzymać równanie z tylko jedną niewiadomą, <math>x</math> bądź <math>y</math>, które rozwiązujemy znanymi sposobami.
 +
 
 +
Rozwiążemy teraz powyższy układ równań metodą przeciwnych współczynników mnożąc pierwsze z równań przez <math>-2</math>   
 +
 
 +
:<math>\begin{cases}
 +
-2 \cdot 2x + (-2) \cdot 3y = (-2) \cdot 2 \\
 +
4x - y = 0
 +
\end{cases}</math>
 +
 
 +
tak aby a po dodaniu stronami otrzymać następujące równanie na zmienną <math>y</math>
 +
 
 +
:<math>-7y = -4</math>
 +
 
 +
a po rozwiązaniu <math>y = \frac{4}{7}</math> i dalej <math> x = \frac{1}{7}</math> po wstawieniu rozwiąznia <math>y</math> do z drugiego z równań.
 +
 
 +
== Układ trzech równań liniowych ==
 +
 
 +
Układ trzech równań postaci
 +
 
 +
:<math>\begin{cases}
 +
a_1x + b_1y + c_1z = d_1 \\
 +
a_2x + b_2y + c_2z = d_2 \\
 +
a_3x + b_3y + c_3z = d_3
 +
\end{cases}</math>
 +
 
 +
nazywamy układem trzech równań liniowych z trzema niewiadomymi <math>x</math>, <math>y</math> i <math>z</math>. Układ trzech równań z trzema niewiadomymi można rozwiązać stosując metody podstawiania lub przeciwnych współczynników.
 +
 
 +
=== Przykład ===
 +
Rozwiązać układ trzech równań:
 +
:<math>
 +
\begin{cases}
 +
3x - 3y - 3z = -3 & (1)\\
 +
2x + y + 2z = 6 & (2) \\
 +
-x + 2y + 2z = 4 & (3)
 +
\end{cases}
 +
</math>
 +
Układ równań możemy rozwiązać na wiele sposobów. Jednym ze sposobów jest wyznaczenie np. z któregoś równania <math>x</math> i podstawianie wyznaczonego <math>x</math> do pozostałych równań otrzymując układ dwóch równań liniowych. Na przykład z równania <math>(1)</math> otrzymujemy:
 +
:<math>
 +
\begin{align}
 +
3x - 3y - 3z &= -3\\
 +
3x &= -3 + 3y + 3z\quad\Big/{:}\ 3\\
 +
x &= y + z - 1
 +
\end{align}
 +
</math>
 +
Teraz wyznaczony <math>x</math> podstawiamy do <math>(2)</math>
 +
:<math>
 +
\begin{align}
 +
2(y + z - 1)+ y + 2z &= 6 \\
 +
2y+2z-2+y+2z &=6 \\
 +
3y+4z &= 8
 +
\end{align}
 +
</math>
 +
Podobnie wyznaczony <math>x</math> podstawiamy do <math>(3)</math>
 +
:<math>
 +
\begin{align}
 +
-(y + z - 1) + 2y + 2z &= 4 \\
 +
-y-z+1+2y+2z &=4 \\
 +
y+z&=3
 +
\end{align}
 +
</math>
 +
Łącząc otrzymane dwa równania <math>(2)</math> i <math>(3)</math>, otrzymujemy układ dwóch równań liniowych z dwoma niewiadomymi
 +
:<math>
 +
\begin{cases}
 +
3y+4z &= 8 \\
 +
y+z&=3
 +
\end{cases}
 +
</math>
 +
Do rozwiązania tego układu można dalej stosować metodę podstawiania. Z równania drugiego obliczamy np. <math>y=3-z</math> i podstawiamy do równania pierwszego
 +
:<math>
 +
\begin{align}
 +
3(3-z)+4z=8 \\
 +
9-3z+4z=8 \\
 +
z=-1
 +
\end{align}
 +
</math>
 +
Ostatecznie
 +
:<math>
 +
\begin{align}
 +
y&=3-z \\
 +
y&=3-(-1) \\
 +
y&=4
 +
\end{align}
 +
</math>
 +
oraz
 +
:<math>
 +
\begin{align}
 +
x&=y + z - 1 \\
 +
x&=4 -1 -1 \\
 +
x&=2
 +
\end{align}
 +
</math>
 +
Czyli rozwiązanie będzie postaci:
 +
:<math>
 +
\begin{cases}
 +
x &= 2 \\
 +
y &= 4 \\
 +
z &= -1
 +
\end{cases}
 +
</math>
 +
 
 +
==Układ <math>n</math> równań liniowych z <math>n</math> niewiadomymi==
 +
Metodę rozwiązywania układów równań liniowych dla których liczba równań jest równa liczbie niewiadomych - układy <math>n</math> równań liniowych z <math>n</math> niewiadomymi jest przedstawiona w rozdziale poświęconym [[Macierze i wyznaczniki#Układ n równań liniowych z n niewiadomymi|macierzom i wyznacznikom]].
 +
 
 +
== Zadania ==
 +
 
 +
Stosując metodę podstawienia rozwiązać układy równań:
 +
 
 +
# <math>\begin{cases}
 +
3x + 4y = 5 \\
 +
2x - 5y = 0
 +
\end{cases}</math>
 +
# <math>\begin{cases}
 +
a + 3b = 7 \\
 +
5a - 4b = 1
 +
\end{cases}</math>
 +
 
 +
Stosując metodę przeciwnych współczynników rozwiązać układy równań:
 +
 
 +
# <math>\begin{cases}
 +
x + 4y = 2 \\
 +
2x - 4y = 3
 +
\end{cases}</math>
 +
# <math>\begin{cases}
 +
3a - b = 12,5 \\
 +
6a + 5b = 25
 +
\end{cases}</math>
 +
 
 +
Rozwiązać układy równań metodą graficzną:
 +
 
 +
# <math>\begin{cases}
 +
x - y = 2 \\
 +
2x - 2y = 4
 +
\end{cases}</math>
 +
# <math>\begin{cases}
 +
x + 3y = 7 \\
 +
5x - 4y = 1
 +
\end{cases}</math>
 +
 
 +
Rozwiązać układy równań:
 +
 
 +
# <math>\begin{cases}
 +
x - 4y +z = 15 \\
 +
2x - 5y - 3z = 0 \\
 +
-3x + y = 2
 +
\end{cases}</math>
 +
# <math>\begin{cases}
 +
x + z = 0 \\
 +
5y - 4z = 11 \\
 +
x + y + z = 0
 +
\end{cases}</math>

Aktualna wersja na dzień 08:58, 31 mar 2015

Spis treści

Równanie liniowe

Równaniem liniowym nazywamy równanie postaci

\[\begin{aligned} ax + b = 0 \nonumber\end{aligned}\]

przy czym \(x \in \mathbb{R}\) jest niewiadomą, czyli wielkością którą znajdujemy rozwiązując równanie liniowe. Natomiast wartości współczynników równania \(a \in \mathbb{R}\) i \(b \in \mathbb{R}\) są znane. Rozwiązanie równania polega na znalezieniu \(wszystkich\) liczb, które podstawione w miejsce \(x\) spełnią powyższe równanie. Funkcja

\[\begin{aligned} y = ax + b, \quad x\in \mathbb{R} \nonumber\end{aligned}\]

jest funkcją liniową, a parametr \(a\) jest nazywany współczynnikiem kierunkowym prostej, która jest wykresem funkcji liniowej. Współczynnik kierunkowy jest równy wartości tg\(\,\alpha\), gdzie \(\alpha\) jest kątem pod którym prosta \(y = ax + b\) przecina oś \(OX\) (Rys 1).

Rys. 1 Prosta w kartezjańskim układzie współrzędnych

Oprócz znalezienia rozwiązania jakiegokolwiek równania istotne jest udzielenie odpowiedzi na następujące dwa pytania: czy równanie ma rozwiązanie?, a jeśli ma to ile jest rozwiązań?. W przypadku równania liniowego \(ax + b = 0\) z jedną niewiadomą \(x\) mamy następujące trzy przypadki:

  • jeżeli \(a \neq 0\) to jest jedno rozwiązanie \(x = \frac{-b}{a}\). Funkcja liniowa \(y = ax + b\) reprezentująca równanie \(ax + b = 0\) przecina oś \(OX\) w dokładnie jednym punkcie o współrzędnych \((\frac{-b}{a},0)\).
  • jeżeli \(a = 0, b \neq 0\) to wtedy nie ma rozwiązań (\(x \in \emptyset\)), a funkcja liniowa \(y = b\), będąca geometrycznym przedstawieniem tego równania nie ma punktu przecięcia z osią \(OX\), jest do niej równoległa.
  • jeżeli \(a = 0\) i \(b = 0\) to wtedy jest nieskończenie wiele rozwiązań (\(x \in \mathbb{R}\)), a będąca rozwiązaniem prosta \(y = 0\) pokrywa się z osią \(OX\).

Układ dwóch równań liniowych

Układ dwóch równań postaci

\[\begin{cases} a_1x + b_1y = c_1 \\ a_2x + b_2y = c_2 \end{cases}\]

nazywamy układem dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi \(x\) i \(y\), przy czym wymagamy aby wartość przynajmniej jednego ze współczynników \(a_1\), \(b_1\) była różna od 0 (i podobnie dla \(a_2\), \(b_2\)). Jeżeli te warunki na współczynniki są spełnione to wtedy każde z dwóch równań przedstawia prostą w układzie współrzędnych \(XY\), a dwie proste na płaszczyźnie mogą mieć zero (są wtedy równoległe), jeden (przecinają się w jednym punkcie) lub nieskończenie wiele (pokrywają się) punktów wspólnych. I dlatego układ dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi może mieć, odpowiednio: 0 rozwiązań (układ sprzeczny), dokładnie jedno rozwiązanie (układ oznaczony), lub nieskończenie wiele rozwiązań (układ nieoznaczony). Ilustracją graficzną tych przypadków są rysunki (Rys 2a, Rys 2b, Rys 2c).

Rys. 2a Układ dwóch równań liniowych - brak rozwiązania
Rys. 2b Układ dwóch równań liniowych - jedno rozwiązanie
Rys. 2c Układ dwóch równań liniowych - nieskończenie wiele rozwiązań


W celu ułatwienia rozwiązania układu równań liniowych można wykonywać pewne operacje, z których najważniejsze to: mnożenie obu stron równania przez tę samą liczbę różną od zera oraz dodawanie bądź odejmowanie równań \(stronami\). Aby rozwiązać układ dwóch równań liniowych najczęściej stosuje się jedną z czterech metod: podstawiania, przeciwnych współczynników, wyznaczników, bądź graficzną. Metodą wyznaczników zajmiemy się w dalszej części zajęć gdy będziemy omawiać podstawowe działania na macierzach, w tym obliczanie wyznaczników. A teraz pokrótce przedstawimy metody podstawiania i przeciwnych współczynników.

Metoda podstawiania

Metoda ta polega na wyznaczeniu, np. z równania \(a_1x + b_1y = c_1\) niewiadomej \(x\) (będzie ona oczywiście wyrażała się przez niewiadomą \(y\)) i wstawienia do drugiego równania. Wtedy drugie z równań będzie równaniem liniowym z jedną niewiadomą \(y\), które rozwiązujemy znanymi już sposobami. Po znalezieniu \(y\) wstawiamy je do równania pierwszego otrzymując równanie liniowe z jedną niewiadomą \(x\).

Rozwiążemy metodą podstawiania układ dwóch równań liniowych

\[\begin{cases} 2x + 3y = 2 \\ 4x - y = 0 \end{cases}\]

Z drugiego równania znajdujemy, że \(y = 4x\) i wstawiamy do pierwszego otrzymując równanie z jedną niewiadomą

\[2x + 3 \cdot 4x = 2 \] \[14x = 2 \]

któego rowiązaniem jest \(x = \frac{1}{7}\). Wstawiając \(x = \frac{1}{7}\) do \(y = 4x\) otrzymujemy \(y = \frac{4}{7}\). Poprawność rozwiązania można łatwo sprawdzić wstawiając otrzymane wartośći \(x\) i \(y\) do układu równań.

Metoda przeciwnych współczynników

Ta metoda polega na pomnożeniu jednego z dwóch równań przez taką liczbę (oczywiście różną od 0) aby po dodaniu (bądź odjęciu) równań \(stronami\) otrzymać równanie z tylko jedną niewiadomą, \(x\) bądź \(y\), które rozwiązujemy znanymi sposobami.

Rozwiążemy teraz powyższy układ równań metodą przeciwnych współczynników mnożąc pierwsze z równań przez \(-2\)

\[\begin{cases} -2 \cdot 2x + (-2) \cdot 3y = (-2) \cdot 2 \\ 4x - y = 0 \end{cases}\]

tak aby a po dodaniu stronami otrzymać następujące równanie na zmienną \(y\)

\[-7y = -4\]

a po rozwiązaniu \(y = \frac{4}{7}\) i dalej \( x = \frac{1}{7}\) po wstawieniu rozwiąznia \(y\) do z drugiego z równań.

Układ trzech równań liniowych

Układ trzech równań postaci

\[\begin{cases} a_1x + b_1y + c_1z = d_1 \\ a_2x + b_2y + c_2z = d_2 \\ a_3x + b_3y + c_3z = d_3 \end{cases}\]

nazywamy układem trzech równań liniowych z trzema niewiadomymi \(x\), \(y\) i \(z\). Układ trzech równań z trzema niewiadomymi można rozwiązać stosując metody podstawiania lub przeciwnych współczynników.

Przykład

Rozwiązać układ trzech równań: \[ \begin{cases} 3x - 3y - 3z = -3 & (1)\\ 2x + y + 2z = 6 & (2) \\ -x + 2y + 2z = 4 & (3) \end{cases} \] Układ równań możemy rozwiązać na wiele sposobów. Jednym ze sposobów jest wyznaczenie np. z któregoś równania \(x\) i podstawianie wyznaczonego \(x\) do pozostałych równań otrzymując układ dwóch równań liniowych. Na przykład z równania \((1)\) otrzymujemy: \[ \begin{align} 3x - 3y - 3z &= -3\\ 3x &= -3 + 3y + 3z\quad\Big/{:}\ 3\\ x &= y + z - 1 \end{align} \] Teraz wyznaczony \(x\) podstawiamy do \((2)\) \[ \begin{align} 2(y + z - 1)+ y + 2z &= 6 \\ 2y+2z-2+y+2z &=6 \\ 3y+4z &= 8 \end{align} \] Podobnie wyznaczony \(x\) podstawiamy do \((3)\) \[ \begin{align} -(y + z - 1) + 2y + 2z &= 4 \\ -y-z+1+2y+2z &=4 \\ y+z&=3 \end{align} \] Łącząc otrzymane dwa równania \((2)\) i \((3)\), otrzymujemy układ dwóch równań liniowych z dwoma niewiadomymi \[ \begin{cases} 3y+4z &= 8 \\ y+z&=3 \end{cases} \] Do rozwiązania tego układu można dalej stosować metodę podstawiania. Z równania drugiego obliczamy np. \(y=3-z\) i podstawiamy do równania pierwszego \[ \begin{align} 3(3-z)+4z=8 \\ 9-3z+4z=8 \\ z=-1 \end{align} \] Ostatecznie \[ \begin{align} y&=3-z \\ y&=3-(-1) \\ y&=4 \end{align} \] oraz \[ \begin{align} x&=y + z - 1 \\ x&=4 -1 -1 \\ x&=2 \end{align} \] Czyli rozwiązanie będzie postaci: \[ \begin{cases} x &= 2 \\ y &= 4 \\ z &= -1 \end{cases} \]

Układ \(n\) równań liniowych z \(n\) niewiadomymi

Metodę rozwiązywania układów równań liniowych dla których liczba równań jest równa liczbie niewiadomych - układy \(n\) równań liniowych z \(n\) niewiadomymi jest przedstawiona w rozdziale poświęconym macierzom i wyznacznikom.

Zadania

Stosując metodę podstawienia rozwiązać układy równań:

  1. \(\begin{cases} 3x + 4y = 5 \\ 2x - 5y = 0 \end{cases}\)
  2. \(\begin{cases} a + 3b = 7 \\ 5a - 4b = 1 \end{cases}\)

Stosując metodę przeciwnych współczynników rozwiązać układy równań:

  1. \(\begin{cases} x + 4y = 2 \\ 2x - 4y = 3 \end{cases}\)
  2. \(\begin{cases} 3a - b = 12,5 \\ 6a + 5b = 25 \end{cases}\)

Rozwiązać układy równań metodą graficzną:

  1. \(\begin{cases} x - y = 2 \\ 2x - 2y = 4 \end{cases}\)
  2. \(\begin{cases} x + 3y = 7 \\ 5x - 4y = 1 \end{cases}\)

Rozwiązać układy równań:

  1. \(\begin{cases} x - 4y +z = 15 \\ 2x - 5y - 3z = 0 \\ -3x + y = 2 \end{cases}\)
  2. \(\begin{cases} x + z = 0 \\ 5y - 4z = 11 \\ x + y + z = 0 \end{cases}\)
Źródło „http://172.16.3.1/ekonofizyka/index.php/R%C3%B3wnania_i_uk%C5%82ady_r%C3%B3wna%C5%84_liniowych”